计算机模拟_排队论
排队论例题
几种典型的排队模型（1）M/M/1/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。
系统运行指标a.系统中的平均顾客数（队长期望值）0.s n i L n P λμλ∞===-∑；b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）0(1).q n i L n P ρλμλ∞==-=-∑； c.系统中顾客停留时间的期望值1[]s W E W μλ==-； d.队列中顾客等待时间的期望值 1q s W W ρμμλ=-=-。
(2) M/M/1/N/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P011,11N P ρρρ+-=≠-； 11,1n n N P n N ρρρ+-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）11(1)11N s N N L ρρρρ+++=--- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）0(1)q s L L P =--c ．系统中顾客停留时间的期望值0(1)s s L W P μ=- d ．队列中顾客等待时间的期望值 。
1q s W W μ=-(3) M/M/1/∞/m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型系统的稳态概率n P001!()()!m i i P m m i λμ==-∑； 0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）0(1)s L m P μλ=-- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） 00()(1)(1)q s L m P L P λμλ+=--=-- c ．系统中顾客停留时间的期望值 01(1)s m W P μλ=-- d ．队列中顾客等待时间的期望值1q s W W μ=-(4) M/M/c/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P 100111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c cλμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 系统运行指标a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）：s q L L λμ=+ b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）：021()(1)!(1)c q n n c c L n P P c ρρρ∞=+=-=-∑ c ．系统中顾客停留时间的期望值：s s L W λ=d ．队列中顾客等待时间的期望值： q q L W λ=[典型例题精解]例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
2018/11/23 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－9
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。
如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均 10 天，而计算机损坏时由 1 名 工程师维修，维修 1 台计算机的时间是负 指数分布的，平均 5天。求： 2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
m 1
2! 1 i ( ) i 0 ( 2 i )! 2
2
1
2 0. 4 5
P{计算机损坏无法运行}＝p2
2! 1 2! 1 ( ) 2 p0 ( ) 2 0.4 0.2 ( 2 2)! 2 ( 2 2)! 2
计算机科学与工程学院 顾小丰 18－11
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ 2018年11月23日星期五
习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院，假
设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟。
（a) 医生空闲时间的比例？ （b) 有多少病人等待看医生？ （c) 病人的平均等待时间？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
3 4 ( 1 4 ) 3 1 e e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
2018/11/23
计算机科学与工程学院
顾小丰
18－4
习题2
一台计算机有 2 个终端，假定计算一个题目
用蒙特卡洛法实现对排队等待问题的计算机模拟
用蒙特卡洛法实现对排队等待问题的计算机模拟蒙特卡洛(MonteCarlo)法，或称统计试验法、计算机随机模拟方法，起源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
一、蒙特卡洛法的基本思想及其应用MonteCarlo方法是一种基于“随机数”，采用统计抽样方法，近似求解数学问题或物理问题的过程。
把统计模拟法用于数值计算已有200多年的历史，最早是法国数学家蒲丰（1707－1788）。
他进行了著名的“蒲丰投针实验”，早以此来求圆周率π的近似值。
本世纪40年代，随着电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
统计试验法通常用来研究概率过程，研究问题时常涉及下列一些与随机因素有关的概率，如各类概率等，一般来说，建立描述过程的复杂的概率模型是不成问题的，但用数学方法研究与分析这些模型是却很困难，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Co urse Dimensionality)。
传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机），甚至达到了无法进行的地步。
因此，唯一可取的研究方法是统计实验法。
统计模拟（蒙特卡洛法），在系统工程中的应用日益广泛，据国外有关文献报道其应用领域大致有：1．航空运输排队，机场设计等；2．港口设计，泊位研究等；3．消防车或救护车的布局和调派；4．城市公共汽车作业调度；5．出租汽车调度计划；- 1 -6．铁路货运调度计划；7．加油站、停车场等设计；8．售票所布局；9．存储模拟，仓库布局等；10．设备维修计划；11．生产过程的安排；12．工厂的单件、小批生产的作业计划；13．销售预测；二、排队或等待问题的分析在日常生活中，我们每天都会遇到各种各样的排队。
计算机模拟排队论模型
排队论模型排队系统模型的根本组成局部效劳系统由效劳机构和效劳对象〔顾客〕构成。
如果效劳对象到来的时刻和对他效劳的时间〔即占用效劳系统的时间〕都是随机的，则这个效劳系统称为派对系统。
图1为一最简单的排队系统模型。
排队系统包括三个组成局部：输入过程、排队规则和效劳机构。
输入过程对于排队系统，顾客到达时输入。
输入过程考察的是顾客到达效劳系统的规律。
它可以用一定时间顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t 顾客到达数 n 〔t 〕服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t 到达n 个顾客的概率为其中λ>0为一常数。
令第i 个顾客到达的时刻为Τi(i=1,2,…),Τ0≡0,并令ti=Τi-Τi-1,则相继到达的顾客的间隔时间ti 是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则排队规则分为等待制、消失制和混合制三种。
1， 等候制顾客到达后，如果效劳机构已经占满，当允许顾客等待时，再到的顾客便排队等待。
常见的有以下几种排队方式：（1） 先到先效劳 这是最普遍的情形。
例如：医院候诊的患者。
（2） 后到先效劳 许多存储系统中运用这种规则，例如：加工钢板总是先从上面取来加工。
A(t)=1-t e λ- , t ≥0 0 , t<0（3） 随即效劳 当一名顾客承受效劳完毕离去时，随机的从等候的顾客中选择一名进展效劳，等待中的每位顾客被选中的概率是相等的。
例如订票效劳。
（4） 优先效劳 对于不同的顾客，规定不同的优先权，具备较高优先权的顾客，优先承受效劳。
例如；急诊病人、加急电报等。
2， 消失制当效劳机构已全部占满时，再到的顾客不能进入效劳系统，顾客自动消失。
排队论公式
D(v) :方差
ρ：系统忙着的概率，
M/M/1/∞/∞
标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
=
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/ /1/∞/m
排队模型的计算机模拟方法探讨
过 符 号 表 示 。 如 Ｍ／ １表 示 患 者 相 Ｍ／ 式 中 入为单 位 时间患 者期 望 到达 继到 达 的间 隔 时间 为负 指 数 分 布 、 服 础 ， 过计 算 机 模 拟 ， 不 同类 型 的 通 为 数， 称为平 均到 达 率 ；／ １ｋ为 平 均 间隔 务 时 间为 负 指数 分布 、 务 台个 数 为 服 队 列 测 算 需 要 开 设 的 窗 口数 ， 供 提
Ｐ ≤ ￡ ＝ １一ｅ （ ≥ ０ （ ） ｔ ）
开 设 的窗 口数 （ 务 台 ）， 据 不 同 服 根
类 型 的 队列 安 排 不 同 的排 队 方 式 ，
啪
）：
（ ＿０ ｌ２ Ⅳ） ，，， ２…’
式 中 为平均服 务率 ， 为 平均 ｌ 或 相继 到达 的患 者 的间 隔时 间 Ｔ 服 务 时 间 。 以缩 短 患 者 等 待 时 间 ， 医 院 资 源 使 服从 负指 数分布 ， ： 即 排 队 系 统 的 ３个 组 成 部 分 可 通 得 到 充 分 利 用 具 有 重 要 的 意
蠢
ｌ 质量 与信 息化
’。 ０ｕａ ｉｖ＆ Ｉ ｏｒ ａ ｉ ｌｔ ｎｆ ｍ ｔｏｎ
（ 国 生 管 ） ８ 第１ （ 第 ８ ） ｉ 中 卫 质量 理 第１卷 期 总 ９期２ ｌ ０ 年叭月
排 队 模 型 的 计 算 机 模 拟 方 法 探 讨
基于计算机仿真的排队系统优化问题研究
基于计算机仿真的排队系统优化问题研究一、本文概述随着信息技术的快速发展和广泛应用，排队系统在各种实际场景中的应用越来越普遍，如银行、医院、商场、交通等各个领域。
然而，传统的排队系统往往存在效率不高等待时间长、服务质量不稳定等问题，这些问题不仅影响了服务效率，也降低了客户满意度。
因此，如何优化排队系统，提高服务效率和质量，成为了当前研究的热点之一。
基于计算机仿真的排队系统优化问题研究，旨在通过计算机仿真技术，对排队系统的运行过程进行模拟和分析，发现系统存在的问题和瓶颈，进而提出有效的优化策略。
本文首先介绍了排队系统的基本概念和分类，分析了传统排队系统存在的问题和挑战。
然后，详细介绍了计算机仿真技术在排队系统优化中的应用，包括仿真模型的建立、仿真实验的设计和实施、仿真结果的分析和评估等方面。
接着，本文重点探讨了基于计算机仿真的排队系统优化策略，包括服务流程优化、资源配置优化、排队规则优化等方面，并通过案例分析和实验验证，证明了这些优化策略的有效性和可行性。
本文的研究不仅有助于解决传统排队系统存在的问题，提高服务效率和质量，也有助于推动计算机仿真技术在排队系统优化中的广泛应用和发展。
本文的研究方法和成果也可以为其他领域的系统优化问题提供借鉴和参考。
二、排队系统理论基础排队系统，也称为随机服务系统，是一种广泛存在于现实生活中的数学模型。
这种模型通常描述顾客到达服务机构，等待并接受服务的过程。
排队系统理论的核心在于分析并优化这种服务过程的效率。
在计算机仿真领域，通过模拟排队系统的运行过程，可以深入理解其内部机制，为优化系统性能提供理论支持。
排队系统主要由三个基本部分构成：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程描述了顾客到达服务系统的规律，常见的输入过程包括定长输入、泊松输入等。
排队规则决定了顾客在系统中的等待和服务顺序，常见的有先到先服务（FCFS）、最短作业优先（SJF）等。
服务机构则负责为顾客提供服务，其服务能力通常受到多种因素的影响，如服务速度、服务人员数量等。
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
排队论
1.基 1.基 本 概 念
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照 随机服务。即当服务台空闲时， 排队序列而随意指定某个顾客去接受服务， 排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如 电话交换台接通呼叫电话就是一例。 电话交换台接通呼叫电话就是一例。 ④优先权服务。如老人、儿童先进车站； 优先权服务。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算 机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服 机立即中断其他数据的处理等， 务规则。 务规则。
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息； 例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理； 半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理； 码头的船只等待装卸货物； 码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中 盘旋等等。显然，上述各种问题虽互不相同， 盘旋等等。显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得 到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。 到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求 服务的对象统称为“ 顾客” , 而把提供服务的人或机构称为 服务的对象统称为 “ 顾客 ” “服务 台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务 服务员” 系 统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务 顾客为了得到某种服务而到达系统、 而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统. 而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统.
前
言
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队， 面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通 常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、 常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、 物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设 施太少，顾客排队等待的时间就会很长， 施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带 来不良影响。于是， 来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模 的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。 的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何 做到既保证一定的服务质量指标， 做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济 合理， 合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对 矛盾，这就是随机服务系统理论 矛盾，这就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 排队论所要研究解决 的问题。 的问题。
计算机模拟
其中
cos xi1 xi
d
sin yi1 yi
d
d (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2
3. 取足够小的 , d 时结束算法.
4. 对每一个点，连接它在各时刻的位置,即得所求运动轨迹.
To MATLAB(chase)
计算程序:
v=1; dt=0.05; x=[0 0 10 10]; y=[0 10 10 0];
其中 >0为常数，则称X服从参数为 的 指数分布．
1
•指数分布的期望值为
•指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场
的时间间隔，排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率
为常数时零件的寿命都服从指数分布．
•指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用．
•注意：MATLAB中，产生参数为 的指数分布的命令为
S3 = Q1 ; else
S3 = D; end if D < Q2
S4 = Q2 ; else
S4 = D; end L1 = 5 *S3 - 2. 5 * Q1 ; L2 = 5 *S4 - 2. 5 *Q2 ; TL1 = TL1 + L1 ; TL2 = TL2 + L2 ; k=k+1; end S1 = S3 ; S22 = S21 ; S21 = S4 ;
模拟过程的流程图
【模型的求解】
利用Matlab 编程来实现这一过程, 建立如下M文件:
function[ TL1 , TL2 ] = kucun( T , S1 , S21 , S22) TL1 = 0; TL2 = 0 ; k = 1; while k < T
Q1 = S1 ; Q2 = ( S21 + S22) / 2 ; D = normrnd(135 ,22. 4) ; if D < Q1
(完整word版)数学建模 港口问题_排队论
排队模型之港口系统本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。
好。
关键词：问题提出：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分比是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。
本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。
【1】M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。
蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
排队理论(queueing theory)
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排队系统模型的基本组成部分
排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时 刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图 1 为一最简单的排队系统模型。 排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
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输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾 客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按 规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入 是指在时间 t 内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间 t 内到达 n 个顾客的概率为
在单队单服务台的情况下:
, 多队多服务台可看作是多个单队单服务台。在单队 k 个服务台的情况下:
，
三、超市收银台的优化设计
作为顾客来说，超市收银台越多越好越方便，而就超市经营者来说，增加收银台就要增加投 资。所以应该合理的规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪
费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。因此可对超市收银台进行管理和优化 设计。
Ls = Ls(C)
化简得：
(5)
通过计算机模拟依次算出 LS(1),LS(2),LS(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确 定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数 C 的最优解 C * 。
1.对超市布局进行合理规划，为顾客营造出温馨，简便的购物环境。让顾客在尽量短的时间 内买到自己想买的商品，提高单位时间内进出超市的客流量，这样既节省了顾客的时间，也使超 市增加了顾客的流量，从而使超市的经营效率得到了提高。对于大型的超市在恰当的位置增加导 购员使一种很好的方法。对于第一次来消费的顾客，导购员的指导就会大量的减少他们的漫无目 的的逗留时间。收银台前的管理也是非常重要的，尽量让等待的顾客按顺序排队，避免过分的拥 挤和混乱。
排队论(QueuingTheory)
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 pn 稳态的物理意义见右图，系
统的稳态一般很快都能达到， 但实际中达不到稳态的现象 也存在。值得注意的是求稳 态概率Pn并不一定求t→∞ 的极限,而只需求Pn’(t)=0 即可。
Hale Waihona Puke P (t , t t ) o(t )
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
过渡状态
稳定状态
t
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图3 排队系统状态变化示意图
2019/2/7 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论主要知识点
排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 稳态概率Pn的计算 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型 [M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
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(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时 间，它的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的 时间，它的期望值记作Wq； 等待时间 服务时间
逗留时间
=
+
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排队模型的计算机模拟
j 1 j 1 N
对一个具有更新性质的排队系统,我们将时间 取离散的整数值,Ti为更新时刻.
令yi
Ti 1 1 j Ti
f ( x j ), i Ti 1 Ti .由 更 新 过 程 的 性 质
下一零件的信息可由F(x) 及Pi(x) (i=1,2,3,4)对进行随机抽样得到. 表2
零件类型
下一零件
加工时间
到达时间
下一事件时刻
2 3
21 75
2018 2002
2018 -
排队零件
加工零件
1 4 4 2 3 (1)33
52 43 43 21 75 (2)14
1992 1976 1972 1936 1896 (3)24
现在时间
已加工数
2040 2017 2003 2002 (4)22
注:模拟程序交替地在处理系统图像和计 算抽样值的子程序间运行. 从表2可知,下一事件是加工完毕一个3型零件. 将时钟拨到2003分,将这个3型零件移出系统,并 在表的最后一行的统计数据中将3型零件的数 量加1,得到表3.
表3
零件类型 下一零件 加工时间 到达时间 下一事件时刻
4.表处理技术
在处理排队论模拟中的表格时,形成了一定的技 巧.主要是使用指针来处理链接表格中的每一条 记录.表格中的一行表示一个零件的相关信息, 我们称之为一条记录.在计算机内存中,每条记 录用固定长度的若干连续单元存放,而系统图像 中的连续两条记录则不必连续放置,因为在每条 记录所使用的单元中其实存放了两部分的信息, 一是模拟信息,二是加入一个指针变量的值,用 以表示此记录的下一记录的首地址.当然在表头 （第一条记录）、表末(最后一条记录)都要引 入特殊标志.这样就形成一个链表.对记录的处 理时,我们就只要对指针进行操作即可.
排队论及应用举例-
单阶段
单通道
多阶段
单阶段 队列结构 多通道 多阶段 单阶段 从多通道到单通道 混合式 交 错 通 道 多阶段
图6-6 5-6 队列结构
顾客离开
顾客接受服务后，离 开的情况可能有两种
“经常发生事件（recurring-common-cold case）”：顾客回到顾 客源，马上成为一名新的顾客要求服务。如：机器例行修理后重新 使用，可能再次出现故障而需要修理。
“只发生一次事件（appendectomy-only once case）”：顾客 重新要求服务的可能性极小，即不可能重新要求服务。如：机器 进行彻底检查和修理后，在一段时间内不会重新维修。
顾客源有限时，对回头客服务的任何改变都会改变顾客到达率，引起排队问题的特征的改变。
三、排队模型
问题一：顾客等待。 银行希望知道有多少顾客在等待其服务到车（drive-in）出纳员的服务？出纳员的效率 是多少？如果要求在95%的时间内，任一时刻系统中不超过三辆车，则其服务率应达到什 么水平？ 问题二：设备选择。 公司有三中不同的设备可以提供同一种服务，设备功率越大，成本也越高，但服务速度 越快。因此作决策时，成本与收入是紧密相联的。 问题三：服务人数决策。 经销公司的一个销售部门必须决定一个柜台雇佣多少职员。职员越多，成本也越高，但 服务等待时间的减少能带来部分成本的节约。 问题四：有限总体。 前述都是无限总体，而对于有限顾客总体，如：车间有若干台设备，一名维修工负责4 台设备的运转，在充分考虑设备闲置成本和维修工的服务成本的基础上，决定应该雇佣多 少名维修工？
（3） 下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2) 0 0.39 0.63 0.78 0.86
排队论(讲稿)PPT课件
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
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当排队系统的到达间隔时间和服务时间的概率分布很复杂时，或不能用公式给出时，那么就不能用解析法求解。
这就需用随机模拟法求解，现举例说明。
例 1 设某仓库前有一卸货场，货车一般是夜间到达，白天卸货，每天只能卸货2车，若一天内到达数超过2车，那么就推迟到次日卸货。
根据表3所示的数据，货车到达数的概率分布（相对频率）平均为1.5车/天，求每天推迟卸货的平均车数。
解服从指数分布（这是定长服务时间）。
随机模拟法首先要求事件能按历史的概率分布规律出现。
模拟时产生的随机数与事件的对应关系如表4。
表 4 到达车数的概率及其对应的随机数我们用 a1 表示产生的随机数，a2 表示到达的车数，a3 表示需要卸货车数，a4表示实际卸货车数，a5 表示推迟卸货车数。
编写程序如下：clearrand('state',sum(100*clock));n=50000;m=2a1=rand(n,1);a2=a1; %a2初始化a2(find(a1<0.23))=0;a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;a2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;a2(find(a1>=0.98))=5;a3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1); %a2初始化a3(1)=a2(1);if a3(1)<=ma4(1)=a3(1);a5(1)=0;elsea4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;endfor i=2:na3(i)=a2(i)+a5(i-1);if a3(i)<=ma4(i)=a3(i);a5(i)=0;elsea4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;endenda=[a1,a2,a3,a4,a5];sum(a)/nm =2ans =0.4985 1.4909 2.3782 1.4909 0.8874例2银行计划安置自动取款机，已知A型机的价格是B型机的2倍，而A型机的性能—平均服务率也是B型机的2倍，问应该购置1台 A 型机还是2台 B 型机。
为了通过模拟回答这类问题，作如下具体假设，顾客平均每分钟到达1位， A 型机的平均服务时间为0.9分钟，B 型机为1.8分钟，顾客到达间隔和服务时间都服从指数分布，2台B型机采取M/M/2模型（排一队），用前100名顾客（第 1 位顾客到达时取款机前为空）的平均等待时间为指标，对A型机和B型机分别作1000次模拟，进行比较。
理论上已经得到，A型机和B型机前100名顾客的平均等待时间分别为μ1(100)=4.13，μ2(100)=3.70，即 B 型机优。
对于M/M/1模型，记第k位顾客的到达时刻为ck，离开时刻为gk，等待时间为wk，它们很容易根据已有的到达间隔ik和服务时间sk按照以下的递推关系得到（w1 = 0，设c1,g1已知）：ck=ck−1+ik，gk=max(ck,gk−1)+ sk，wk=max(0,gk−1− ck)， k=2,3,L。
在模拟A型机时，用cspan表示到达间隔时间，sspan表示服务时间，ctime表示到达时间，gtime表示离开时间，wtime表示等待时间。
我们总共模拟了m次，每次n个顾客。
程序如下：ticrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;for j=1:mcspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);ctime(1)=cspan(1);gtime(1)=ctime(1)+sspan(1);wtime(1)=0;for i=2:nctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+sspan(i);wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));endresult1(j)=sum(wtime)/n;endresult_1=sum(result1)/mtocresult_1 =4.0467Elapsed time is 0.445770 seconds.类似地，模拟B型机的程序如下：ticrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=1.8;for j=1:mcspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);ctime(1)=cspan(1);ctime(2)=ctime(1)+cspan(2);gtime(1:2)=ctime(1:2)+sspan(1:2);wtime(1:2)=0;flag=gtime(1:2);for i=3:nctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);gtime(i)=max(ctime(i),min(flag))+sspan(i);wtime(i)=max(0,min(flag)-ctime(i));flag=[max(flag),gtime(i)];endresult2(j)=sum(wtime)/n;endresult_2=sum(result2)/mtocresult_2 =3.7368Elapsed time is 1.453880 seconds.可以用下面的程序与上面的程序比较了解编程的效率问题。
ticclearrand('state',sum(100*clock));n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;for j=1:mctime(1)=exprnd(mu1);gtime(1)=ctime(1)+exprnd(mu2);wtime(1)=0;for i=2:nctime(i)=ctime(i-1)+exprnd(mu1);gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+exprnd(mu2);wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));endresult(j)=sum(wtime)/n;endresult=sum(result)/mtocresult =4.2162Elapsed time is 3.854620 seconds.黄河小浪底调水调沙问题5.1 问题的提出2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。
整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。
小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5 亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t。
这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。
表7是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。
表 7 观测数据（1）给出估计任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；（2）确定排沙量与水流量的关系。
5.2 模型的建立与求解已知给定的观测时刻是等间距的，以6月29日零时刻开始计时，则各次观测时刻（离开始时刻6月29日零时刻的时间）分别为ti =3600(12i−4)，i=1,2,L,24，其中计时单位为秒。
第1次观测的时刻t1=28800，最后一次观测的时刻t24=1022400 。
记第i（i= 1,2,L,24）次观测时水流量为vi，含沙量为ci，则第i次观测时的排沙量为yi=ci*vi 。
有关的数据见表8。
对于问题（1），根据所给问题的试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现。
考虑到实际中的排沙量应该是时间的连续函数，为了提高模型的精度，我们采用三次样条函数进行插值。
利用 MATLAB 函数，求出三次样条函数，得到排沙量y=y(t)与时间的关系，然后进行积分，就可以得到总的排沙量最后求得总的排沙量为1.844 ×109 t，计算的 Matlab 程序如下：clc,clearload data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成4行12列liu=data([1,3],:);liu=liu';liu=liu(:);sha=data([2,4],:);sha=sha';sha=sha(:);y=sha.*liu;y=y';i=1:24;t=(12*i-4)*3600;t1=t(1);t2=t(end);pp=csape(t,y);xsh=pp.coefs %求得插值多项式的系数矩阵，每一行是一个区间上多项式的系数。
TL=quadl(@(tt)ppval(pp,tt),t1,t2)也可以利用 3 次 B 样条函数进行插值，求得总的排沙量也为1.844 ×109 t，，计算的 Matlab 程序如下：clc,clearload data.txt %data.txt 按照原始数据格式把水流量和排沙量排成4行12列liu=data([1,3],:);liu=liu';liu=liu(:);sha=data([2,4],:);sha=sha';sha=sha(:);y=sha.*liu;y=y';i=1:24;t=(12*i-4)*3600;t1=t(1);t2=t(end);pp=spapi(4,t,y) %三次 B 样条pp2=fn2fm(pp,'pp') %把 B 样条函数转化为 pp 格式TL=quadl(@(tt)fnval(pp,tt),t1,t2)对于问题（2），研究排沙量与水量的关系，从试验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少。
显然，变化规律并非是线性的关系，为此，把问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值 2720m3/s（即增长的过程）为第一阶段，从水流量的最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量的关系。
画出排沙量与水流量的散点图。
画散点图的程序如下：load data.txtliu=data([1,3],:); liu=liu';liu=liu(:);sha=data([2,4],:); sha=sha';sha=sha(:);y=sha.*liu;subplot(1,2,1), plot(liu(1:11),y(1:11),'*')subplot(1,2,2), plot(liu(12:24),y(12:24),'*')从散点图可以看出，第一阶段基本上是线性关系，第二阶段准备依次用二次、三次、四次曲线来拟合，看哪一个模型的剩余标准差小就选取哪一个模型。