线性代数矩阵及其运算
线性代数的矩阵运算
线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。
通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。
本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。
对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。
而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。
新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
记作C = A × B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。
线性代数-矩阵的运算
线性代数-矩阵的运算1、矩阵的加减法定义A = (a ij)mxn 、B = (b ij)mxn；是两个同型矩阵（⾏数和列数分别相等），则矩阵A、B和定义为：只有同型矩阵才能进⾏加法计算运算定律交换律：A + B = B + A结合律：（A + B）+ C = A + (B + C)A + O = A = O + A （O为零矩阵）A + （-A） = O （矩阵减法的定义）设：则：2、矩阵的数乘定义数k与矩阵A乘法定义为：记作：kA = (ka ij)mxn;矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。
运算定律结合律：(kl)A = k(lA)分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;1A = A;0A = O3、乘法运算定义设A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘发定义为注意：只有当A矩阵的列数等于B矩阵的⾏数，矩阵乘积AB才有意义；且乘积C矩阵的⾏数等于A矩阵的⾏数、C矩阵的列数等于B矩阵的列数。
如：A是(2x3)矩阵,B是(3x4)矩阵，则AB为(2x4)矩阵，BA⽆意义。
运算定律矩阵乘法不满⾜交换律：⼀般AB不等于BA，如果AB = BA，即记作A、B可交换AB = 0 未必 A = O或者 B = O不满⾜消除律，即AB = AC 未必B = C矩阵乘法满⾜下⾯运算律：结合律：(AB)C = A(BC)左分配律：A(B+C) = AB+AC右分配律：(B+C)A = BA+CAk(AB) = (kA)B = A(kB)设A为mxs矩阵，则 I m A = A ，AI s = A（I为单位矩阵）AO=O OA=OA k A l = A k+l (A k)l = A kl (kl皆为⾮负整数)矩阵乘法中，单位矩阵与零矩阵，有类似于数字乘法1，0的作⽤。
4、矩阵的转置定义mxn的矩阵A，⾏列交换后得到nxm的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A'。
线性代数3.矩阵及其运算
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
0
注意：丌同型
0 0 0 0 . 的零矩阵是丌
相等的.
0 0 0 0
10
2.2 矩阵运算
一、矩阵的加法和减法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 不 B 的加法和减法规定为：
a11 b11
A
B
a21
b21
a21b11
a22b21
a2sbs1
a21b12 a22b22 a2sbs2
a21b1n
a22b2n
a2sbsn
.
am1b11
am2b21
amsbs1
am1b12 am2b22 amsbs2
am1b1n
am2b2n
amsbsn
mn
17
例
? 2
1
4 2
2
22
3
aaaa1212111
aa1122 aa222
aaaa12123333aaaa1212111
bb1122 bb222
aaaa1212333322aaaa1212111
aa1122bb1122 aa222bb222
aa2212a3a3 1233
aa3311 aa3322 aa333 aa3311 bb3322 aa333 2aa3311 aa3322bb3322 a23a3 33
1
2
4 2
2 0
3 1
0
17
14 13
3
10
,
解法2
0
( AB)T
14
3
17
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数矩阵运算法则
线性代数矩阵运算法则线性代数是数学的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射。
在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它可以用来表示线性变换和解线性方程组。
矩阵运算是线性代数中的重要内容，它包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等运算法则。
本文将详细介绍矩阵运算的各种法则，以及它们的应用。
1. 矩阵的加法。
设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和记作C=A+B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
即C的第i行第j 列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
例如，如果。
A=[1 2 3。
4 5 6]B=[7 8 9。
10 11 12]则A+B=[8 10 12。
14 16 18]。
2. 矩阵的减法。
矩阵的减法与矩阵的加法类似，设A和B是两个m×n的矩阵，它们的差记作C=A-B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之差。
即C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素减去B的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的数乘。
设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数，则kA记作B，其中B 中的每个元素都等于k乘以A对应位置的元素。
即B的第i行第j 列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
4. 矩阵的乘法。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作C=AB，其中C是一个m×p的矩阵，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
即C的第i行第j列的元素等于A的第i行的每个元素与B的第j列的对应元素的乘积之和。
矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一，它在解线性方程组和表示线性变换等方面有着重要的应用。
5. 矩阵的转置。
设A是一个m×n的矩阵，则A的转置记作AT，AT是一个n×m的矩阵，AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
即AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数中的矩阵运算
线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。
本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。
其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。
二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。
矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。
加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。
三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。
设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。
在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。
矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。
用向量的形式表示C = A×B。
在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。
(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。
线性代数：矩阵的运算
例：设
A
2 1
13, f ( x) x2 2x 2
则
f
( A)
2 1
12 2 3 2 1
1 3
2
1 0
0 1
11 7
3 2 1 2
4 1 1
1
求 C AB.
解：
A
aij
,
34
C
cij
.
33
B bij 43,
9
故
1 C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7 10 2 6.
2 17 10
10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
令
a11
A
a21
am1
a12 a22
am 2
a1n a2n amn
x1
X
x2
xn
b1
B
b2
bm
根据矩阵乘法的定义，方程组可写成
矩阵形式
AX B
17
方阵的幂(power)
1.定义
若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂，即 Ak AAA
k个
2.性质
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB.
7
设矩阵A (aij )ms , B (bij )sn ,则
a11
AB
ai1
a12
ai2
a1s
线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之：A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设 例 设
A A0 0
1 1
0
0 1 , 1 ,
这一步很关键 也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解 设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设 设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清 空
32 , 16 0 . 0
线性代数矩阵及其运算
(1)
8
(3)2
5 2 0
sin 6 9 1
2 2 9
2.5 0.5
0 8
(2)
0
0
0 0
0 0
0
0
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0
1
1
0
0
1
13
课堂练习
设
A
定义1.3（P4) 设有两个 m n矩阵A （aij ), B (bij ),
那么矩阵A与矩阵B的和矩阵记作A+B,规定为
a11 b11
A
B
a21 am1
b21 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
第一行 第二行
第一列 第二列
称为m行n列矩阵 ，简称为m n 矩阵,通常用大写的英文
字母A,B,…表示，其中诸 aij叫做矩阵的元素，矩阵可以简记
A Amn (aij ) mn , 或A (aij )
3
只有矩阵 A 与矩阵B 同型
11
相等矩阵
定义1.2（P4) 如果A (aij )与B (bij )是同型矩阵，并且对应位置上的 元素相等，即
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n),
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
线性代数第二章矩阵及其运算
ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)． 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n
线性代数：2.2 矩阵的运算
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。
3.矩阵乘法不满足消去律，
例 设 A 12 42
2
2
2.2.5 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 kA kn A;
3 AB A B; AB BA .
证明: a11 a1n
例 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 设C 1 ( A AT ),
2
则CT 1
A AT
T
1
( AT
A)
C,
所以C为对称阵.
2
2
设B 1 ( A AT ), 则BT 1
2
2
A AT
T 1 (AT A) B,
2
所以B为反对称阵.
A 1 (A AT ) 1 (A AT ) C B, 命题得证.
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
A 2 0 1, 1 3 2
1 7 1 B 4 2 3 ,
线性代数—1.1矩阵及其运算
a2n M
amn
矩阵是一个整体, 总是加一括号.
称为 mn 矩阵, 并称 mn 为矩阵的型.
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j) 元. • 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
§1.1 矩阵及其运算
一、矩阵及其线性运算 二、矩阵的乘法运算 三、矩阵的转置运算
一、矩阵及其线性运算
❖ mn 矩阵 由 mn 个数 aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 排成的
m 行 n 列的矩形数表
a11 a12 L
a21 M
am1
a22 M
am 2
L L
a1n
称矩阵 C (cij )mn 为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
• AB 中的(i, j)元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
b1 j cij (ai1,L , ail ) M ai1b1 j L ailblj
blj
• 乘积 AB 存在时, 要求 A 的列数与 B 的行数相等.
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
• 线性变换(1)(3)的系数矩阵依次记为 A,B,C, 定义C AB.
❖ 两矩阵的乘积
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
推导:
zi ai1(b11 x1 b12 x2 L b1n xn ) (ai1b11 ai2b21 L ailbl1 ) x1
线性代数2-2矩阵的运算
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
并把此乘积记作 C AB .
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
矩阵及其运算
矩阵及其运算矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中得到广泛应用。
本文将介绍矩阵的定义和基本操作，包括矩阵的加法、减法、乘法以及转置运算。
1. 矩阵的定义矩阵由m行n列的数排列成的矩形数表称为m×n矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个数称为元素，用a(i,j)表示矩阵中第i行第j列的元素。
例如，一个2×3的矩阵A可以定义为：A = [a(1,1) a(1,2) a(1,3)][a(2,1) a(2,2) a(2,3)]2. 矩阵的加法和减法对于两个同型矩阵A和B（即行列数相等），它们的和记为A + B，差记为A - B。
加法和减法的运算法则是对应元素相加或相减。
例如，对于两个2×3的矩阵A和B，它们的和A + B和差A - B可以表示为：A +B = [a(1,1) + b(1,1) a(1,2) + b(1,2) a(1,3) + b(1,3)][a(2,1) + b(2,1) a(2,2) + b(2,2) a(2,3) + b(2,3)]A -B = [a(1,1) - b(1,1) a(1,2) - b(1,2) a(1,3) - b(1,3)][a(2,1) - b(2,1) a(2,2) - b(2,2) a(2,3) - b(2,3)]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是定义在矩阵上的一种运算，对于矩阵A（m×p）和矩阵B（p×n），它们的乘积记为AB，结果是一个m×n的矩阵。
具体计算过程是，矩阵AB的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
用数学公式表示为：AB(i,j) = ∑(A(i,k) * B(k,j)) (k从1到p)例如，对于一个2×3的矩阵A和一个3×2的矩阵B，它们的乘积AB可以表示为：AB = [a(1,1)*b(1,1) + a(1,2)*b(2,1) + a(1,3)*b(3,1) a(1,1)*b(1,2) +a(1,2)*b(2,2) + a(1,3)*b(3,2)][a(2,1)*b(1,1) + a(2,2)*b(2,1) + a(2,3)*b(3,1) a(2,1)*b(1,2) +a(2,2)*b(2,2) + a(2,3)*b(3,2)]4. 矩阵的转置一个矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
线性代数第二章矩阵及其运算
线性代数第二章矩阵及其运算$1.矩阵定义1 由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。
为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。
以数. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵 . 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
如果那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。
例1工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中。
例2一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。
例3n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式表示一个从变量给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。
反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。
在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。
这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）又如线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。
对角阵也记作$2.矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
同济大学线性代数课件__第二章 矩阵及其运算
j
)
元素。
4
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。
矩阵相等：设矩阵A与B是同型矩阵，
A(a ) , B (b )
ij
ij
若 a b ( i, j 1,2,,n)
ij ij
则称矩阵 A与 B相等，记作 A B.
x 0
1 y
48
3 0
1 2
4z x 3, y 2, z 8
5
一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix):
第二章 矩阵及其 运算
1
§1 矩 阵
2x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x1
x2 6x2
2x3 2x3
x4 2x4
4 4
3x1 6x2 9x3 7 x4 9
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 3
6 6
2 9
2 7
4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的m行n列的数表，
那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11
A
B
a b
21
21
a12 b12
a b
22
22
a1n b1n
a 2n
b 2n
a m1
b m1
a b
m2
m2
a mn
b mn
14
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9