数学建模作业2

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数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

实验二：微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1）微分方程例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

中国人口增长预测数学建模 (2)

中国人口增长预测数学建模引言中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。

人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。

因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。

本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

方法数据收集为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。

这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。

通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。

建立数学模型基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。

常用的数学模型包括指数增长模型、Logistic增长模型等。

在本文中，我们以Logistic增长模型为例。

Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。

Logistic增长模型的公式可以表示为：dP/dt = r*P*(1-P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。

参数估计为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。

参数估计可以通过拟合历史数据来完成。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。

模型验证一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。

为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。

如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。

预测未来人口增长利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。

通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。

例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。

结论本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

2020年高考山东版高考理科数学第五节生活中的优化问题举例(数学建模二)

第五节生活中的优化问题举例(数学建模二)A组基础题组1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案C由题意得,y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).当0<x<9时,y'>0;当x>9时,y'<0.故当x=9时,y取最大值.2.(2019孝感模拟)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=x3-x+18(0<x≤120).要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为()A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时答案C当速度为x千米/小时时,该汽车行驶200千米时行驶了小时,设耗油量为h(x)升,y=x3-x+18(0<x≤120).依题意得h(x)=-·=x2+-20(0<x≤120),h'(x)=x-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=90.当x∈(0,90)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(90,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=90时,h(x)取得极小值h(90)=18.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以当x=90时取得最小值.故选C.3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为()A. B. C. D.2答案C设底面正三角形的边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,∴l=,∴S表=2S底+S侧=x2sin60°+3xl=x2+.令S'表=x-=0,得x=,又当x∈(0,)时,S'表<0;x∈(,+∞)时,S'表>0,∴当x=时,表面积最小.4.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为()A. B.r C.r D.r答案D设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,∵h=-,∴S=-=(r+x)·-.∴S'=---=-=-.令S'=0,得x=(x=-r舍去),∴h=r.当x∈时,S'>0;当x∈时,S'<0,∴当x=时,S取最大值,即当梯形的上底长为r 时,它的面积最大.5.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.答案25解析设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000,所以p2=,p=(x>0).设总利润为y万元,则y=·x-1200-x3=500-x3-1200.y'=-x2.令y'=0,得x=25.当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.6.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为cm.答案解析设该漏斗的高为x cm,则其底面半径为-cm,体积V=π(202-x2)x=π(400x-x3)(0<x<20),则V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'>0;当<x<20时,V'<0,所以当x=时,V取得最大值.7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(L/h)关于行驶速度x(km/h)的解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少?解析(1)汽车以40km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5(h),要耗油-×2.5=17.5(L).(2)当匀速行驶速度为x km/h时,汽车从甲地行驶到乙地需h,设耗油量为h L,依题意得h(x)=-=-+(0<x≤120),则h'(x)=-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它也是最小值.所以当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,为11.25L.8.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h 米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意知200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).又由r>0,h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.B组提升题组1.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数,4≤a≤5)元的税收,设每件产品的日售价为x(35≤x≤41)元,根据市场调查,日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的日售价为40元时,日销量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.解析(1)设日销售量为,则=10,所以k=10e40,则日销售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=--(35≤x≤41).(2)由(1)可得L'(x)=-,因为4≤a≤5,所以35≤a+31≤36.令L'(x)=0,得x=a+31,故L(x)在[35,a+31]上为增函数,在(a+31,41]上为减函数.所以当x=a+31时,L(x)取得最大值,最大值为10e9-a.2.某种商品的成本为5元/件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件,而降价后,日销售量Q(单位:件)与实际销售单价x(单位:元)满足关系:Q(x)=---(1)试写出该商家的销售利润y与销售单价x的函数关系式;(利润=销售额-成本)(2)当实际销售单价为多少元时,日销售利润最大?并求出最大利润.解析(1)根据题意得y=--------=-----(2)由(1)得当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535),y'=39(6x2-78x+252),令y'=0,则6x2-78x+252=0,解得x=6或x=7(舍去).当5<x<6时,y'>0;当6<x<7时,y'<0,故当x=6时,y max=195.当7≤x<8时,y=6(33-x),故当x=7时,y max=156.当8≤x≤13时,y=-10x2+180x-650=-10(x-9)2+160,故当x=9时,y max=160.综上可知,当实际销售单价定为6元时,日销售利润最大,最大利润为195元.3.如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km的圆弧形小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P 为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.(1)证明:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.解析(1)证明:由题意,∠CAP=-θ,所以=-θ.又PQ=AB-APcosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sin θ<0,所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(2)设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a(-θ-2cosθ++2),0<θ<,g'(θ)=a(-1+2sinθ),令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.当0<θ<时,g'(θ)<0;当<θ<时,g'(θ)>0.所以,当θ=时,g(θ)最小,即当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.。

数学建模-排队论(二)

基本的排队模型
一、随机服务过程基本组成二、随机服务记号方案三、排队论的重要公式
一、基本组成
排队系统
输入来源
顾客
队列
服务机构服务完离开
排队系统的三个基本组成部分
输入过程 (顾客到达规律) 排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务) 服务机构 (服务机构的设置，服务台的数量，
服务的方式，服务时间分布等)
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务(FCFS)；后来先服务(LCFS)；随机服务(RSS)；有优先权的服务(PS)；排队模型中也用到服务中的“一般规则（GD）”它包括前三种排队规则。
基本排队模型－服务规则
服务机构可以有一个，也可以有多个；对于多个服务台可以是并列、串列、混合
排列；服务方式可以是一个或成批；服务时间分布：
排队论
（Queueing Theory）
排队等候随机服务现象
商店、超市等收款处排队付款车站、民航等售票处依次购买车船票各种生产系统、存储系统、运输系统等
一系列等待现象比比皆是
排队论的基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是排队论，排队论又称为随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论。
若时,即 1 此时顾客在系统中的逗留时间服从参数为的
指数分布。

三、排队论的重要公式
平均到达率：单位时间平均队长：内到达顾客的平均数平均服务率：单位时间内被服务顾客的平均数平均等待时间：服务强度：/
AB AB AB
A
B
第t时刻有 n-1个顾客
Pn1(t) Pn1(t)
服务率问题、顾客满意问题）

数学建模Assignment-2

600*A1+300*A2+500*B1+200*B2<=1000S.t= A1+A2>=1;B1+B2<=1;-A1+B1<=0；-A2+B2<=0；A1,A2,B1,B2=0 or 1;TASK 4: 图可达性，如输入两个顶点，判断图中一个顶点到另一个顶点是否存在至少一条路径?（3 points)要求写出思路和伪代码即可。

思路：输入两个顶点，从第一个顶点开始遍历，如果在遍历过程中出现第二个顶点，则说明这两个顶点至少存在一条路径，否则不存在任何路径。

使用的语言：C++存储结构：邻接表伪代码：邻接表的存储结构：struct lindnode//邻接表中顶点的关系{ int vex;bool sh; // 0表明顶点还没被访问，1表明已被访问，防止重复访问linknode*next; }struct node //邻接表中的所有节点{ char data;linknode*head;node adj[ms];//创建一个数组，保存所有顶点输入图的数据函数的创建void createlink(){输入n; //n总顶点数量for(1 to n){adj[i].head=0;输入adj[i].data; //adj[i].data是图中顶点的名称输入m; //m是与当前输入点直接相连的点的数量}输入p->vex; //输入与此顶点直接相连的其他顶点}遍历（采用深度遍历）：viod DFS（int v,char tag）{p=new linknodep=adj[v].head;adj[v].sh=1；//标志此顶点已经被访问，防止重复访问if（adj[v].data等于tag）//如果遍历到的顶点与目标顶点相等{输出<<"在在至少一条路径";return；//结束这个函数}while(p!=0){ DFS(p->vex)p=p->next; }}main() //函数入口{createlink();cin>>A,B;for(i to n){ if( adj[i]=A)vv=i;break; }DFS（int vv，B）}BONUS（Optional):下载资源里的testcsv.zip文件，实际是代表一个大图的数据，要求用JAVA实现任意输入两个点，能返回是否有路径的结果及运算时间，所实现程序运行时间最短的同学有特殊奖品:）。

[数学建模]自选实验题二汉诺塔游戏的解法演示

汉诺塔游戏的解法演示问题背景汉诺塔是源自印度神话里的玩具。

上帝创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上安大小顺序摞着64片黄金圆盘。

上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。

并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。

也有人相信婆罗门至今还在一刻不停地搬动着圆盘。

数学模型现在有三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，现在把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方，请问至少需要多少次移动，设移动次数为H(n)。

首先我们肯定是把上面n-1个盘子移动到柱子C上，然后把最大的一块放在B上，最后把C上的所有盘子移动到B上，由此我们得出表达式：H(1) = 1H(n) = 2*H(n-1)+1 (n>1)那么我们很快就能得到H(n)的一般式：H(n) = 2^n - 1 (n>0)并且这种方法的确是最少次数的，证明非常简单，可以尝试从2个盘子的移动开始证。

下面利用这种思想，给出一个用Mathematica软件模拟出的解法演示。

解析方法利用Mathematica，程序如下：(*一.输入变量区域*)(*输入圆环总数:如果总数在11以内还是可以很快出结果的*)zongshu = 11;(*从位置1移动到位置2则输入1->2,从位置1移动到位置3则输入1->3*)weizhi = "1->3";(*二.计算结果区域*)(*下面这三行是赋初值*)a = Table[ii, {ii, zongshu, 1, -1}];arr1 = {a, {}, {}};arr2 = {arr1};(*下面这两个二级嵌套的If语句用来判断最小圆环的移动方向*)If[weizhi == "1->3" || weizhi == "1→3",mowei = 3;If[Mod[zongshu, 2] == 0,fangx = 1,fangx = -1];];If[weizhi == "1->2" || weizhi == "1→2",mowei = 2;If[Mod[zongshu, 2] == 1,fangx = 1,fangx = -1];];For[ii = 1; jj = 1, ii < 2^(zongshu - 1) + 1, ii++,kk = arr1[[jj]][[-1]];arr1[[jj]] = Delete[arr1[[jj]], -1];jj = Mod[jj + fangx + 2, 3] + 1;arr1[[jj]] = Append[arr1[[jj]], kk];arr2 = Append[arr2, arr1];(*下面这两个If语句用来判断移动是否已经完成*)If[mowei == 2 && arr1[[1]] == {} && arr1[[3]] == {}, Break[];];If[mowei == 3 && arr1[[1]] == {} && arr1[[2]] == {}, Break[];];(*下面这一个三级嵌套的If语句判断除了最小圆环以外的圆环的移动方向*)If[arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]] == {},xuanze = 1,If[arr1[[Mod[jj, 3] + 1]] == {},xuanze = 2,If[arr1[[Mod[jj, 3] + 1]][[-1]] < arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]][[-1]],xuanze = 1,xuanze = 2;];];];(*下面这一个If语句用来接受上面的判断结果,然后移动圆环,也可以和上面的判断语句合并在一起写*)If[xuanze == 1,kk = arr1[[Mod[jj, 3] + 1]][[-1]];arr1[[Mod[jj, 3] + 1]] = Delete[arr1[[Mod[jj, 3] + 1]], -1];arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]] = Append[arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]], kk],kk = arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]][[-1]];arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]] = Delete[arr1[[Mod[jj + 1, 3] + 1]], -1];arr1[[Mod[jj, 3] + 1]] = Append[arr1[[Mod[jj, 3] + 1]], kk];];(*下面的arr2用来记录每一步的移动结果*)arr2 = Append[arr2, arr1];];(*下面的arr2是记录的完整的每一步移动结果,但是此处选择了不显示该结果,若要显示该结果,去掉arr2后的分号即可*)arr2;(*三.制作动画区域*)(*下面的tu[0]只是一个空的框架,防止动画过程中比例的变化*)tu[0] = Graphics3D[{Opacity[0], EdgeForm[None],Cuboid[{-zongshu, zongshu, 0}, {zongshu, 7*zongshu, zongshu + 2}]}, Boxed -> False, ViewPoint -> Right];For[zhen = 1; mm = 1, zhen <= Length[arr2], zhen++,For[ii = 1; kk1 = 1, ii <= 3, ii++,For[jj = 1, jj <= Length[arr2[[zhen]][[ii]]], jj++,(*下面的tu[kk1]用来记录每一步的圆环的位置*)tu[kk1] =Cylinder[{{0, 2*ii*zongshu, jj - 1}, {0, 2*ii*zongshu, jj}},arr2[[zhen]][[ii]][[jj]]];kk1++;];];(*下面的tu[zongshu+1]是三个杆*)tu[zongshu + 1] =Table[{Y ellow, Cylinder[{{0, 2*ii*zongshu, 0}, {0, 2*ii*zongshu, zongshu + 1}}, 0.3]}, {ii, 1, 3}];(*下面的zongtu[mm]用来记录整个动画过程*)zongtu[mm] =Graphics3D[Table[tu[kk2], {kk2, 1, zongshu + 1}],V iewPoint -> Right, Boxed -> False,PlotLabel -> Style[StringJoin["第", ToString[mm - 1], "步"], 16, Blue, FontWeight -> Bold, FontFamily -> "宋体"]];mm++;];(*下面的Animate命令为显示整个移动圆环的过程*)Animate[DynamicModule[{}, Show[zongtu[bushu], tu[0]]], {bushu, 1, Length[arr2], 1}, DisplayAllSteps -> True,AnimationRate -> 1,AnimationRepetitions -> 2, AnimationRunning -> False,BaseStyle -> Blue]。

北京工业大学、薛毅、数学模型作业二、作业2、实验二

实验二解：（1）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=1001若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=-2,q=det(A)=1,因为p<0,q>0,所以平衡点不稳定。

（2）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−1002若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=-1,q=det(A)=-2,因为p<0,q<0,所以平衡点不稳定。

（3）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=01−20若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=0,q=det(A)=2,因为p=0,q>0,所以平衡点不稳定。

（4）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−100−2若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=3,q=det(A)=2,因为p>0,q>0,p2>4q,所以平衡点稳定。

解:f(N)=R-KN,令f(N)=0,则N=k/Rf`(N)=-K<0,则N=k/R是稳定的。

当N<k/R时f(N)>0,N`(t)>0,N(t)递增；N>k/R时f(N)<0,N`(t)<0,N(t)递减ð2N ðt2=∂f∂N∙ðNðt=-K(R-KN),表明N=k/R为拐点，当N<k/R时N``(t)<0,N>k/R时N``(t)>0从图中可以看出N=k/R是营养平衡值，无论大于或小于这个值，细胞都会向这个点调整，偏离越大调整速率越大，接近平衡值时速率变小。

解：列满足条件的微分方程∂N=r1N−r2N12求平衡点，令f N=r1N−r2N1=0,解得N1=0，N2=r22r12ð2N ðt =∂f∂N∙ðNðt=(r1−12r2N−12)(r1N−r2N12）,解得N=r224r12从图中可以看出N1=0不稳定，N2=r22r12是稳定的解：令f x=r1−xNx−Ex=0得平衡点x1=N1−Er,x2=0f`(x1)=E-r,f`(x2)= r-E.若E<r,则有f`(x1)<0,f`(x2)>0.则x1是稳定的，x2是不稳定的。

数学建模国赛17年d题2

前 i 段的时间间隔之和大于第 i 段末尾巡检点的累计时间 gik ，但不超过第 i 1段首位巡检
点的累计时间 gi1,1 ，即
i
gik yh gi1,1, i 1, 2,..., m
h1
目标函数为求 m 的最小值，即
min f m
汇总得
（7）（8）
5
min f m
（1）固定时间上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间；（2）固定时间上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间；（3）错时上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间；（4）错时上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间；每班至少需要多少人？巡检线路和时间表如何安排？
二、问题分析
题目要求：（1）把所有的巡检点都要遍历；（2）耗费的人力资源尽可能少；（3）巡检人员的工作量尽可能均衡；（4）巡检人员上班时间固定或错时上班；（5）巡检人员有休息时间和吃饭时间；（6）每天三班倒；（7）每班工作 8 小时；
方案的优劣就体现在两个方面，其一是人员空闲时间；其二是人员加班时间。设最短回路被划分为 p1, p2,..., pm 段，各段对应的巡检耗时（不包括走路时间）分别为
q1, q2,..., qm ，每一段安排一名巡检工人，需要 m 个工人。
设第 i 人的空闲时间和加班时间（巡检耗时和走路时间）分别为i , i ，根据假设（2），
i 1
（11）
其中， k 1,2,3 分别表示早班、中班和晚班。
若人力资源消耗量，可通过设计 3 天的轮班，就能使得不同班次（早班、中班、晚班）的人力资源消耗量绝对均衡。
根据假设（4），每天人力资源耗费量为
3
=k
k 1
若人力资源消耗量，可以 3m 天为周期轮换，就实现了一个轮岗轮班大循环，实现了人力资源耗费量的绝对均衡。

数学建模习题2

数学建模（I）习题习题21．兔子出生后两个月就能生小兔，如果最初你养了刚出生的一雌一雄两只小兔，长成后兔子每月生一次且恰好生一雌一雄的一对，出生的小兔年内均不死，问一年后你家里共有多少对兔子?（注：本问题关系到一个十分重要的数列：菲波那奇数列）2．有甲乙二人，乙对甲进行盯梢，甲开始时沿甲乙二人连线的垂线方向运动并一直沿此方向运动，乙的运动方向一直指向甲并与甲一直保持着d距离，求乙的运动轨迹方程。

3．据观察，个子高的人一般来说腿也较长，现从16名成年女子测得数据如下表所示，请给出身高x与腿长y之间的函数关系。

（单位：cm）4．我们测量了十五个不同高度的人的体重，数据见下表。

各高度的人都经适当挑选，既不太胖也不太瘦。

请用这些数据建立一个体重w与身高h之间的函数关系。

单位：米（身高）、公斤（体重）。

5．举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。

下表给出了到1977年底为止九个重量级的世界纪录。

单位：公斤。

显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关联的呢，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？试根据这些数据建立一些经验模型并通过对它们相互之间的比较来验证一下这些模型的可信度。

6．为了检查X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线照射细菌，每次照射6分钟，共照射15次，数据如下表所示。

其中t为照射次数，y为各次照射后所剩的细菌数。

请用这些数据建立y与t之间的函数关系。

表2.87材料不断地侵蚀，使钢包的容积不断增长。

经测试，钢包的容积y 与相应的使用次数x 的数据如下表所示，请建立x 与y 之间的函数关系。

单位：公斤。

由于容积不便测量，容积以钢包盛满时钢水的重量来表示。

的功率p 与v 、s 、ρ的关系。

9．用量钢分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。

记水的流速为v ，密度为ρ，比热为c ，粘性系数为μ，热传导系数为k ，人体尺寸为d 。

2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-[复习资料]-答案3

2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 40 道试题,共 80 分)
1.最小二乘法估计是常见的回归模型参数估计方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
2.样本平均值和理论均值不属于参数检验方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
3.量纲齐次原则指任一个有意义的方程必定是量纲一致的<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
4.对实际问题建模没有确定的模式
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
5.数学建模以模仿为目标
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
6.利用乘同余法可以产生随机数
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
7.大学生走向工作岗位后就不需要数学建模了
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A。

数学建模习题及答案

第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。

将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。

试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。

解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。

若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

数学建模试题(带答案)大全

(14 分)
得分
四、(满分 10 分) 雨滴的速度 v 与空气密度、粘滞系数和重力加速度 g 有关，其中粘
滞系数的量纲[ ]= L1MT 1 1，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0.其量纲表达式为
[ v ]=LM0T-1，
学分 5 4 4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟 3
7
计算机编程 2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
所属类别数学数学数学；运筹学
数学；计算机数学；运筹学
计算机；运筹学计算机运筹学运筹学；计算机
先修课要求
微积分；线性代数计算机编程微积分；线性代数计算机编程
应用统计微积分；线性代数
由 U 0, U 0 可得到最优价格:
p1
p2
1
T
1
3T
p1 2b [a b(q0
)] 4
P2 2b [a b(q0 4 )]
前期销售量
T、（2 a
0

bp1
)dt
后期销售量
T
T /2 (a p2 )dt
总销售量
Q0
=
aT
bT 2
(
p1
p2 )
在销售量约束条件下 U 的最大值点为
~p1
a b
Q0 bT
T 8
,
P~2
a b
Q0 bT
T 8
7. (1)雨水淋遍全身， s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2

数学建模2mmm

构造正互反矩阵
A′
，其中
ai′j
是从1,2,L,9,
1 2
,
1 3
,L,
1 9
中随机抽取的，
这样的 A′ 是最不一致的。取n 充分大的子样得到 A′ 的最大特征值
的平均值 λm′ ax ，定义： RI
=
λm′ ax − n n −1
。
对于 1－9 阶判断矩阵，Saaty 给出 RI 的值： n123 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
j =1
j =1
CR = 0
优先级：
P3 > P1 > P2 ↑↑↑
53.1% 25.1% 21.8%
模型竞赛中：美国 MCM 1992 问题－B：应急电力修复系统；中国 1995 年天车调度问题和 1993 年足球队排名问题。
3．残缺判断
判断矩阵中有些元素信息不知道。显然一个判断矩阵的残缺程度对排序的正确性是有明显影响的。信息越少，排序的随意性越大。要能够进行排序，必须对残缺程度及其位置有一些限制；故要研究（1）什么样的残缺矩阵是“可接受的”，（2）一个可接受的残缺判断应如何用于排序以及如何进行一致性检验。
0
0
0
L
0

y1 + y2 + L + yn

Ry
=

0 M

每一次收获后幼苗分布状况。

0

根据维持每年收获的原则，即 (生长期末的状态)－(收获)＋(新的幼苗替换)＝（生长期开始的状态），
有 Gx − y + Ry = x 分量表示：

数学建模实验答案__数学规划模型二.

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。

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于是,黄灯应该持续的时间包括驾驶员的决定时间(反应时间),他通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
程序代码：
v=[29.3000 44.0000 58.7000 73.3000 88.0000 102.7000 117.3000 ];
d=[42 73.5 116 173 248 343 464 ];
二、问题分析
问题一：
汽车的刹车距离大致可分为反应距离和制动距离。
反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间)，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。这里，我们取多数人的平均反应时间为0.75秒。
fun=inline('0.75*v+k(1)*v.^2','k','v')
k=lsqcurvefit(fun,0,v,d);
fprintf('0.75*v+k*v.^2µÄ²ÎÊýk=%.4f\n',k)
jsd=0.75*v+0.0255*v.^2
holdon
plot(v,d)
plot(v,jsd,'r+')
（2）假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；
（3）假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速直线运动；
（4）假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，减速度a是常数，制动力所做的功等于汽车动能的损失；
符号说明：
引入以下符号，并说明单位：
~车速（m/s）; ~刹车距离（m）； ~反应距离（m）
holdoff
运算程序：
运算结果：
拟合曲线图
问题(2):
设法定行驶速度为 ,十字路口的长度为 ,典型车身长度为 ,则汽车通过十字路口的时间为 = .停车过程是驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,使汽车减速直至停止,设为汽车质量, 为刹车摩擦系数, 为行驶距离,刹车制动力为 ,由牛顿第二定律,刹车过程满足下述运动方程: .根据问题(1)得出的刹车距离可得 .
44
58.7
73.3
88
102.7
117.3
实际刹车距离
42
73.5
116
173
248
343
பைடு நூலகம்464
分析刹车距离与车速之间具有怎样的关系，利用以上数据，求出具体的数学模型。并在同一幅图中画图，对计算出的刹车距离与实际刹车距离进行比较。
问题二：
（2）在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。试建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。
制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消．设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈的冲击．至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。
问题二：
设汽车行驶速度为法定速度，一定的刹车距离为，通过十字路口的距离为，车身的长度为，则黄灯的时间应t使距停车线之内的汽车能通过路口，即，如果考虑到司机有一定的反应时间，则黄灯持续的状态就也包括驾驶员的反应时间。根据分析，下面建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。
三、模型假设
(1)假设道路，天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；
所以黄灯闪烁的时间为:
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型
专业班级
1、问题提出
问题一：
司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。
（1）已知交通部门提供的一组汽车的刹车距离数据如下：
车速
29.3
~制动距离（m）； ~反应时间（s）. ~汽车通过十字路口的时间;
~停车距离的驾驶时间; ~通过红绿灯时间;则有 .
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
由 = + 和
又因为
所以
所以可得
根据动能定理: , ;可得
问题(2):
在十字路口行驶的车辆中,主要的是机动车辆.当车辆驶近交叉路口时,驾驶员在看到黄色信号后要作出决定,是停还是要通过路口,如果他按法定速度(或低于法定速度)行驶,当决定停车时,他必须有足够的停车距离,少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车,等于此距离时可以停车,也可以通过路口,当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,这包括作出决定的时间,通过十字路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间.