2019届福建省厦门双十中学高考模拟数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B 进而求并集即可. 解：，，则.故应选D.点评：本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题. 2．已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断. 解：复数(1)z a a i =+-，所以在复平面内对应的点坐标为(),1a a -，若(0,2)a ∈，则10a ->，10a -=或10a -<都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有可得010a a >⎧⎨->⎩，可得01a <<，而()()0,10,2⊆所以是必要条件，a ”是“在复平面内复数z所对应的点位于第一象限”的必要不综上可知，“(0,2)充分条件，故选:B点评：本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.3．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（）A．病人在5月13日12时的体温是38℃B．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定答案：C根据折线图，结合选项即可判断.解：由该发烧病人的体温记录折线图，可知对于A，病人在5月13日12时的体温是38℃，故A正确；对于B，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B正确；对于C，病人体温在5月13日6时到12时下降最快，故C错误；对于D，病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定，故D正确.综上可知，C为错误选项，故选：C.点评：本题考查了折线图的特征和简单应用，属于基础题.4．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．答案：A根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．解：由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A．点评：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．答案：A通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可. 解：通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，因此，故本题选A.点评：本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状. 6．设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：A由对数运算与换底公式化简，结合对数函数的图像与性质即可比较大小. 解：根据对数运算与换底公式，化简可得()2122226631312log log 1log log log a =--===-+， ()41444412123131log log 1lo l g l 4g o og b =--===-+， ()515555log 15log 151log log 1o 3l 51g 3c =--===-+ 由于333245log log log >>，所以254log lo 131313g log --<--<--， a b c ∴<<. 故选：A 点评：本题考查了对数的运算与换底公式，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，则向量AD =u u u v（ ）A ．a b +v vB ．12a b +v vC ．12a b +v vD ．23a b +v v答案：C根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ．解：解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选C ． 点评：本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-答案：C令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。
福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题理(含解析)
福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分），则（已知集合）， 1. D.A.C.B.【答案】C【解析】【分析】，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果. 由一元二次不等式的解法化简集合，【详解】由题意知，或可得，因为集合，C..所以故选【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键且不属于集合的元素的是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合集合.是的（） 2.是纯虚数，条件设，则是虚数单位，条件复数B. A. 充分不必要条件必要不充分条件D. C. 充分必要条件既不充分也不必要条件A 【答案】【解析】【分析】.是纯虚数，必有复数利用充分条件与必要条件的定义可得结果【详解】若复数能推出是纯虚数，必有；所以由不能推出.，所以由 ,但若. 不能推出复数是纯虚数是充分不必要条件,故选因此A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断和结论充要条件应注意：首先弄清条件分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还- 1 -可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.在区间上是增函数，则（ 3.，函数设）B. A.D.C.C 【答案】【解析】【分析】.利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果，【详解】因为函数上是增函数，在区间 C. 所以. 故选【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．函数的部分图象可能是（） 4.B. A.D. C.【答案】C【解析】- 2 -【分析】，由特殊点排除，从而可得结果由奇偶性排除.，【详解】因为所以是偶函数，图象关于轴对称，；可排除选项 C.，则，可排除取，故选【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.的图象如图所示，则定积分（二次函数）5.B. C. 2 D. 3A.B 【答案】【解析】【分析】，方程的根为1，2的零点为1，2，由由图象可知，二次函数的值，利用微积分基本定理可得结果.韦达定理求出【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2- 3 -，，2即方程的根为1.由韦达定理可得B.故选【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理. 的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题时，奇函数，且对任意的，都有6..已知当是定义在上）（，则的D. 1B.C. 0A.C 【答案】【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可=-f都有f（x+3），且对任意实数【详解】∵设f（x）是定义在R上的奇函数，x x），=f（-x）（的周期函数，x）是周期为3∴函数f（，时，∵当∴，=0 ）（=f（673×3+0）=f0）∴f（2019 =0，1=ff（2020）（673×3+1）=f（）.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．图象与函数的图象关于原点对称，则（）若函数7.A. B.C. D.D 【答案】【解析】- 4 -【分析】在函数的图象上，设的图象上任意一点，利用是函数可得函数. 的解析式【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.在函数的图象上，因为点所以故选可得D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8若抛物线，8.则此切线）方程是（A. B.C. D.B 【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形. 面积公式可得结果处的切线方程是，则得，.【详解】由抛物线在点.，则，则令令所以切线方程是B. 故选于是解得）求出（在点在处的导数，即1【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：处的切线与轴平行时，在在出的切线斜率（当曲线处导数不存在，切）由点斜式求得切线方程2（.）；线方程为，则其在设9.3，若函数在上的最大值是上的最小值是- 5 -（）D.B. 1A. 2 C. 0A 【答案】【解析】【分析】.设则，利用二次函数的性质求解即可设【详解】. 则；时，因为所以当A.当，即时，故选于是【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.，则的大小关系是（，10.设，），B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】.的符号即可得结果利用作差法，分别判断与【详解】因为，所以可得，所以递减，因为所以 D.可得，故选- 6 -【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.上单调递减，则实数的取值范围是（已知函数在）11.D.B.C.A.【答案】B【解析】【分析】上单调递减，等价于恒成立，，函数求出在.可得,从而可得结果由【详解】函数在恒成立，上单调递减，等价于因为,在,上恒成立 B.故选因此,.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间确定函数的单调区间，上是单调性定义，或的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式恒成立问题求参数范围，则其极大（12.是自然对数的底数）有极小值已知函数0 ）值是（A. 或B. 或或 D.C.或【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值..【详解】由题意知，- 7 -内单调因为在区间，所以函数和由得，递增，，在区间内单调递减. 的极小值为于是函数或即解得.极大值为当时，A.故选时，的极大值为.当的求导数确定函数的定义域；(3) 【点睛】解方程(2) 求函数极值的步骤：(1) ；如果左正右负在左右两侧值的符号，求出函数定义域内的所有根；(4)的根检查，那么在（左增右减）处取极小，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增）. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值值.20.0分）二、填空题（本大题共4小题，共．，则”的逆否命题是13.，命题“若设__________【答案】若，则【解析】【分析】.直接利用逆否命题的定义求解即可【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，，则所以“若”的逆否命题是，.，则，“若，则”故答案为若要注意四种命题关系的相对性，一旦. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利. 用“原命题”与“逆否命题”同真假用小于号连接．，结果是__________和14.【答案】【解析】【分析】- 8 -.内单调递减，从而可得结果构造函数,在利用导数可证明【详解】构造函数因为，所以在内单调递减，内单增，在,又因为..所以故答案为利用【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.的范围，可得函数，在定义域内，分别令导数求单调区间的步骤：求出求得的范围，可得函数.增区间，求得的减区间的，其中若函数是自然对数的底数，则实数的值域是15. ．最小值是__________【答案】【解析】【分析】域是导利用数可求得当的数值函；时函时，数的值域是当，. ，进而可得结果，从而可得.在上递增，值域是【详解】当时，此时函数是减函数，其值域是.当时，，因为函数的值域是.所以.于是故答案为解得.，即实数的最小值是【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，- 9 -属于中档题.在上的零点有__________个16..函数5 【答案】【解析】【分析】，增在上令可得上在递减，递在，其中令 ,可得为，递减，且因上在上的图象与函数上有两个零点在, ,而的图象有3个交点，从而可得结果.得，. 【详解】由在上单减，.则令. 在上单增，其中令 ,，则，所以存在唯一的上单减，且在，又因为因此函数在,使得上单减 ,上单增，在而上有两个零点,所以上的图象与函数在在 ,在个交点3 的图象有上的零点有函数5个，故正确答.5.案是函数的性质. 【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的根方程函数函数的零点在轴的交点的交点与.- 10 -三、解答题（本大题共6小题，共70.0分），其中已知关于.17.的函数的实数（Ⅰ）当的取值范围；时，求满足的上方，求的整数值的图象总在直线.时，函数（Ⅱ）若当.；【答案】（Ⅱ）（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ） , （Ⅰ）当即时，从而可得结果； ,等价于在上恒成立 .上恒成立在,上为单增函数，可得由－在，结合为整数，从而可. 得结果,（Ⅰ）当时，【详解】的取值范围是即故实数上恒成立（Ⅱ）,在上恒成立. 在即上均为单减函数，因为函数在.上为单增函数，最大值为所以－在.的整数值是解得故实数因此.或即可)恒成立【点睛】不等式恒成立问题常见方法：(①分离参数图象在上方即可恒成立（) 即可）；②数形结合(；③讨论最值.或恒成立；④讨论参数内单调递减的充要条件是.18.设:，证明函数在区间【答案】见解析【解析】分析】利用一次函数的单调性证明；充分性：两种情况，，判断二次函数的对称轴位置，- 11 -内单减，时，在利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当.内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果在. 【详解】先证充分性，则或若）当1在内单减. （时，）当（，时，内单减，在 2所以内单减.时，. 在内单减在因此. 再证必要性在区间若函数内单调递减，上面已证. 三类讨论时，.分在、和内单减在内单减，时，内单减在.当内单增，不满足在因此函数内单调递减，则.在区间在区间综上可知，函数内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要. 属于中档题运用.的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度充分利用分类讨论思想方这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.. 法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中的19.已知函数的定义城为”；命题“，设命题“”.值域为为真，求实数的取值范围；（Ⅰ）若命题.为真命题，且（Ⅱ）若命题为假命题，求实数的取值范围（Ⅱ）；【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ）命，解得或（Ⅰ）命题为真，等价于；或- 12 -为真命题，等价于，或由解得题为真，真分别列不等式组，分假以及一真一假，分两种情况讨论，对于假为假命题，可得真. 的取值范围别解不等式组，然后求并集即可求得实数，【详解】的定义域是（Ⅰ）命题为真，即恒成立，等价于等价于或. 解得的取值范围为或．故实数为真，即（Ⅱ）命题，的值域是等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于．或解得假为真命题，且若假”或“为假命题，则“真”，真.，解得或即或故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于，只）根式型，.求参数的题型，主要有三种：对于定义域为（1简答题）分式型，（3（需；2，只需）对数型，，.，只需时等号20.设，当且仅当是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（. 为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用成立) ）试证明这个不等式；（1.，若内恒成立，求实数在（2的值）设函数. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】因此内单增，（Ⅰ）令则可得在内单减，在- 13 -由灵魂不等式定义可得，.，从而可得结果；（Ⅱ）时，当由灵魂不等式得，.，当，因此.时，可得，从而可. 得结果【详解】令内单增，显然则（Ⅰ）在在内单减，.于是因此，即，当且仅当时等号成立,时，等号成立. 当（Ⅱ）就是得，.. .时，当因此由灵魂不等式得，.由灵魂不等式因此当.时，..的值是综上可知，实数【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的. 不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明现准备制定.万元100021.某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元的收益的增加而增加，且奖):)万元随收益(单位一个对开发科研小组的奖励方案:单位奖金(:万元.9万元，同时奖金总数不超过收益的金总数不超过，试确定这个函数的定义域、值域和（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型的范围；试分析这两个函数模型是否符合现有两个奖励函数模型:①.；②（Ⅱ）. 请说明理由公司的要求?.；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数符合公司要求【解析】【分析】；，，（Ⅰ）根据自变量的实际意义可得值域是在时，当 .不符合要求的最大值是当（Ⅱ）时，，.，符合题意定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明- 14 -，.【详解】，值域是（Ⅰ）的最大值是，（Ⅱ）当不符合要求时，.当时，在定义域上为增函数，最大值为9.，则令故函数符合公司要求.即.所以【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.函数.22.在区间上在点（Ⅰ）当曲线垂直时，判断函数处的切线与直线的单调性；.在定义域内有两个零点，求（Ⅱ）若函数的取值范围（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）见解析；.【解析】【分析】增区间，求得解得由，的范围，令可得函数，（Ⅰ）（Ⅱ）函数的范围，可得函数在内有两个零点，的减区间；求得恰有两个不于等价方程相等的正实根，令不合题意；当，分两种情况讨论，时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.的定义域为.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数- 15 -，，解得，.恒成立，. ，则当时，.故函数上单调递增在区间的定义域为在.内有两个零点，即方程若函数（Ⅱ）函数恰有两个不相等的正实根，恰有两个不相等的正实根.也就是方程.令，．＞0当时，恒成立，函数上是增函数，在. 最多一个零点，不合题意，舍去∴函数.；由得时，由得当.单调递减，在所以函数在内单调递增，，即最小值是所以. ，，解得的内有一个零点所以在因为.，所以因为..所以在内有一个零点于是.的取值范围是故实数a【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、零点甚至数列与函数单调性有机结合，设计- 16 -综合题.- 17 -。
2019年福建省厦门市高考数学一模考试试卷（理科）解析版
2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z满足（z+1）i＝3+2i，则|z|＝（）A．B．C．5D．102．（5分）若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝（）A．2B．4C．±2D．±43．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．﹣6B．0C．1D．25．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则＝（）A．B．3C．2D．126．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＞b＞0，x＝a+be b，y＝b+ae a，z＝b+ae b，则（）A．x＜z＜y B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，2S n＝a n+1a n，则S20＝（）A．410B．400C．210D．2009．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（）A．﹣B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【20套精选试卷合集】福建省厦门双十中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷一、单项选择（5⨯12=60）1.设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是 A ．C I S 1∩（S 2∪S 3）=Φ B ．S 1⊆（C I S 2∩C I S 3） C ．C I S 1∩C I S 2∩C I S 3）=Φ D ．S 1⊆（C I S 2∪C I S 3）2.已知复数()11aiz a R i +=∈-，若1z =，则a = A. 0B. 1C.1-D.1±3.已知点()()1,1,5,2A B -，则与向量AB u u u r垂直的单位向量为A. 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A.310 B.13 C.18 D.195. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽车大约有6.已知点A （3,4），现将射线OA 绕坐标原点O 顺时针旋转4π至OB 处，若角α以x 轴非负半轴为始边、以射线OB 为终边，则3tan 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A. 7-B. 7C. 17-D. 177. 已知函数()222014120141x xx f x e -=++，则()1ln 2ln 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 52B. 32C. 12D. 08.计算机执行下图中的程序框图，为使输出的S 值等于111124618++++L ，则判断框内应该填入A. 8i <B. 8i ≥C. 9i >D. 9i <9.如图，随机向大圆内投掷一点，记该点落在阴影区域内的概率为1p ；记从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率为2p . 则12p p +=A. 21192π+-B. 1219π+-C. 329π+D. 419π+10. 函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点0x 属于区间A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭11.已知函数()f x 满足：()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈且()114f =，则()2014f = A.14- B.14 C.12- D.1212.如果关于x 的方程24x kx x =+有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（5⨯4=20）13. 如果实数1,,,,9a b c --成等比数列，则b= .14. 已知有5个幂函数的图像如下图——其中它们的指数221555,,,,,552322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，则其指数从（a ）到（e ）依次为 .15. 如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的外接球表面积为__ ___.16.设方程3405x x -+=的实数根为1x ，方程3405x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的实数根为2x ，则12x x += .三、解答题（10+12⨯5=70）17. 对定义域分别为f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()(); (); ().f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩且且且（1）若函数()11f x x =-，()2g x x =，写出函数()h x 的解析式； （2）求（1）问中函数()h x 的值域.18. 如图所示的是函数()()sin f x A x B ωϕ=++0,0,0,2A πωϕ⎛⎫⎛⎫>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象的一部分. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在y 轴右侧的第二个对称中心的坐标.19.已知a r 、b r均为单位向量.（1）记x 为a r 在a b +r r 方向上的正射影的数量；y 为b r 在a b +r r方向上的正射影的数量.试比较x 与y 的大小关系，并说明理由；（2）若312a b ⎫+=⎪⎪⎭r r ，求向量a r 与b r .20.设等比数列{}n a 的各项均为正数，项数为偶数，又知该数列的所有项的和等于所有偶数项和的4倍，而且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，求使n S 值最大的正整数n 的值. （其中lg 20.3 lg 30.4==，）21.已知函数24x y =的图像为1C ，过定点()01A ，的直线l 与1C 交于B 、C 两点，过B 、C 所作1C 的切线分别为1l 、2l . （1）求证：1l ⊥2l ；（2）记线段BC 中点为M ，求M 的轨迹方程.22. 已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）若()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在极值，试求a 的取值范围，并证明所有极值之和小于13ln 2-+； （3）（附加5分）设()11n a n N n*=+∈，求证： ()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++L L .题号 13 14 15 16 答案17.18.19.20.21.22.一、单项选择（5⨯12=60）1. C ；2. D ；3. A ；4. A ；5. D ；6. B ；7. A ；8. C ；9. B ；10. B ；11. A ；12. D 二、填空题（5⨯4=20） 13. -3；14.22155,,,,55222---；15. 17π；16. 45三、解答题（10+12⨯5=70）17. （1）()2(1);11 (1).x x h x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩[创新定义的理解]（2）(]{}[),014,-∞+∞U U .[分段函数的值域，分离常数及对号函数]18.（1）22sin136xπ⎛⎫++⎪⎝⎭；（2）11,14π⎛⎫⎪⎝⎭.得1ω<，而且0ω>，所以23ω=.19.⑴由babaax++⋅=)(，bababy++⋅=)(，及1=a，1=b则=-yx-+⋅+⋅babaaa=+⋅+⋅bababb)1(1=+⋅+-⋅+bababa，所以yx=.⑵()0,1和31,22⎛⎫-⎪⎪⎭.20.（1）11,1083q a==，所以111083nna-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）5n=.21.（1）设直线:1l y kx=+，点()11,A x y、()22,B x y，则214y kxxy=+⎧⎪⎨=⎪⎩⇒2440x kx--=，∴124x x=-.22. （1）函数的定义域为()0,+∞.()12f x x ax'=+-.法一：∵函数在定义域上单调递增，∴120x ax+->12a xx⇔<+，而min1222xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以只需22a≤法二：()21212x axf x x ax x-+'=+-=，∵函数在定义域上单调递增，∴只需2210x ax-+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立.设函数()221g x x ax =-+考虑函数函数的图像得：①04a≤或②040a ⎧>⎪⎨⎪∆≤⎩⇒22a ≤. （2）若()f x 存在极值，则只需()221g x x ax =-+在()0,+∞上有变号零点，即0224aa ⎧>⎪⇒>⎨⎪∆>⎩.设函数的零点为12,x x ，则12121,22a x x x x +=⋅=. ()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax +=+-++-()()212121212ln 2x x x x x x a x x =++--+221ln 1242a a =+--21ln 124a =--由2228a a >⇒>得2111ln 1ln 123ln 2422a --<--=-+.（3）分析：不等式的左边无法求和，转向对式子整体的观察：()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++L L右边可否拆成n 项？答案是肯定的——()12ln 12ln ln ln 222n n n n a a a ++=+++++++6447448L L 个所以考虑能否证明不等式23ln 2n n n a a a -<+之后在利用同向相加原理证明所要证明的不等式成立. 证明：设函数()2ln 32F x x x x =+-+，(]1,2x ∈则当(]1,2x ∈时，()22312123148230x x x F x x x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=+-==>高考模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B U 中元素的个数为 ▲ ．2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ．6．若函数4()2x x a f x x -=⋅为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 7．不等式2221x x --<的解集为 ▲ ．8．若双曲线222142x y a a -=-的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ．9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ．10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f +++L 的值为 ▲ ．11．已知正实数,m n 满足+3m n =，则22+1++1m n m n 的最小值为 ▲ ． 12．已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 13．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，且4,2,3AB AD BAD π==∠=，E 为BC的中点，若9AE DB ⋅=u u u r u u u r ，则对角线AC 的长为 ▲ ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)ADBCE（第13题）已知在ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 3A C ==. （1）求tan B ；（2）若227a b +=，求c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．17．(本小题满分14分)如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元. 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； 当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B ，且椭圆的离心率为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与 x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．19．（本小题满分16分） 已知无穷数列{}n a 满足12n na a ++=，n S 为其前n 项和．（1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值； （3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ． （1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB与弧AD长度相等，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：2AB BE CD=⋅．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A的逆矩阵．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=，已知3(1,)2Pπ，Q为圆C上一点，求线段PQ长度的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。
福建省厦门双十中学2019届高三热身考试数学(理)
体团中选出 3 个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连
续提问，则不同的提问方式的种数为
A．198
B．268
C．306
D．378
11．已知点 F1
，F2 分别是双曲线 M
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点，以 F2 为圆心且过点 F1 的圆 N 与双
轴上，则下列说法中正确的是
A．函数 f (x) 的最小正周期是 2
B．函数
f
(x)
的图象关于点
3
,
0
成中心对称
C．函数
f
(x)
在 (
2
,
)
单调递增
36
D．函数 f (x) 的图象向右平移 后关于原点成中心对称 12
10．2019 年 4 月 25 日-27 日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒
学校：
工作秘密★启用前
准考证号：
姓名：
．
（在此卷上答题无效）
2019 届福建省厦门双十中学高三热身考试
数学（理科）试题
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
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福建省厦门市2019版数学高三下学期理数第一次模拟考试试卷B卷
福建省厦门市2019版数学高三下学期理数第一次模拟考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·延边模拟) 若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A .B . ﹣4C . ﹣D . 43. （2分）设f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，且x•f（x）＞0的解集为（）A . （﹣2，0）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）C . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D . （﹣2，0）∪（0，2）4. （2分）(2019·上饶模拟) 已知等差数列的首项，前项和为，若，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·德阳模拟) 如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A . 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B . 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C . 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D . 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门6. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2019高一上·广东月考) 下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是（）A .B .C . y=sinD .9. （2分）已知数列{an}的前n项的和Sn=an﹣1（a是不为0的实数），那么{an}（）A . 一定是等差数列B . 一定是等比数列C . 或者是等差数列，或者是等比数列D . 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列10. （2分） (2017高一上·白山期末) 有一批材料可以建成80m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），且围墙厚度不计，则围成的矩形的最大面积为（）A . 200m2B . 360m2C . 400m2D . 480m211. （2分）(2018·辽宁模拟) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若，，则B . 若 , ,则C . 若， , ，则D . 若，且，点，直线，则12. （2分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P （B|A）=（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）(2017·黄石模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数z=﹣3y﹣2x的最大值为________．14. （1分） (2017高二上·长春期中) 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线截得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）如图在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：（1） AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．四、解答题 (共7题；共40分)17. （5分）求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．18. （5分）(2016·肇庆模拟) 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．19. （5分） (2018高二上·黄山期中) 如图，正三棱锥的底边长为3，其侧棱长为，设D为PC的中点．（1）求证：；（2）求BD与底面ABC所成角的正弦值．20. （5分）(2017·天津) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（14分）（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．21. （5分）(2017·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ，过点F2作直线PF2的垂线l2 ．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．22. （10分）(2018·肇庆模拟) 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积．23. （5分）设函数f（x）=x2-ax+b，问：（1）讨论函数f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记f0（x）= - x + ,求函数| f ( sin x ) - ( sin x )| 在[ . ]上的最大值D,（3）在（2）中，取a0=b0=0,求z= b - 满足D ≤ 1时的最大值（1）讨论函数f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记f0（x）=,求函数在上的最大值D,（3）在（2）中，取a0=b0=0,求z=满足D1时的最大值参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共1分)16-1、16-2、四、解答题 (共7题；共40分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、。
2019年厦门双十中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年厦门双十中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：江西省抚州市乐安县2016-2017学年高二数学12月月考试题试卷及答案理命题：“对任意，都有”的否定是A．对任意，都有 B．不存在,使C．存在,使 D．存在,使【答案】C第 2 题：来源：福建省厦门市2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案理设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)＞k2成立时，总可推出f(k＋1)＞(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(1)≤1成立，则f(9)≤81成立B．若f(2)≤4成立，则f(1)＞1成立C．若f(3)＞9成立，则当k≥1时，均有f(k)＞k2成立D．若f(3)＞16成立，则当k≥3时，均有f(k)＞k2成立【答案】D第 3 题：来源：山东省莱西市第一中学2019届高三数学第一次模拟考试试卷理（含解析）已知实数满足约束条件，则的取值范围为A. B. C.D.【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（含边界）. 的几何意义为平面区域内的点与点连线的斜率.观察可知，，因为，所以，则，故选B．第 4 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是（）A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．至少有一个红球，都是白球C．恰有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球【答案】C第 5 题：来源：贵州省黔西南州安龙县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A．①③B．②C．②④D．①②④【答案】A第 6 题：来源：江西省南昌市第二中学2018_2019学年高一数学上学期第一次月考试题已知函数则（）.【答案】C第 7 题：来源：山东省济南市2019届高三数学3月模拟考试试卷理（含解析）已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算，然后得到，再确定是在复平面的象限.【详解】，所以在复平面对应的点位于第四象限.故选D项.【点睛】复数的四则运算，与的关系，复数与复平面的关系.第 8 题：来源： 2016_2017学年高中数学每日一题（3月13日_3月19日）试卷及答案新人教A 版必修3一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件: 事件A:“恰有一件次品”;事件B:“至少有两件次品”;事件C:“至少有一件次品”;事件D:“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∪B=B;④A∪D=C.其中正确的序号是A．①②B．③④C．①③ D．②③【答案】A 【解析】A∪B表示的事件:至少有一件次品,即事件C,所以①正确,③不正确;D∪B表示的事件:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;A∪D表示的事件:至多有一件次品,即事件D,所以④不正确.第 9 题：来源：云南省昆明市2017_2018学年高二数学12月月考试题理试卷及答案已知平面向量，，且，则=（）A、4B、﹣6C、﹣10D、10【答案】C第 10 题：来源：山东省淄博市2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是( ) A．7 B．8C．9 D．10【答案】 A第 11 题：来源：湖北省襄阳市2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案已知服从正态分布的随机变量，在区间,和内取值的概率分别为,和．某大型国有企业为名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布，则适合身高在~范围内员工穿的服装大约要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套【答案】C第 12 题：来源： 2017届河南省洛阳市高三第三次统一考试(5月)数学试题含答案祖冲之之子祖暅是找国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖咂原理，利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体，则截面面积为( )A． B． C． D．【答案】D第 13 题：来源：安徽省肥东县高级中学2019届高三数学12月调研考试试题理若,则复数（）A. B.C.D.【答案】.D第 14 题：来源：湖南省湘南三校联盟2018_2019学年高二数学10月联考试题理若满足条件函数,则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】A第 15 题：来源：四川省成都经济技术开发区2018届高三数学上学期第三次月考（11月）试题理试卷及答案如图所示程序框图输出的结果是，则判断框内应填的条件是（）．．．．【答案】 A第 16 题：来源：山东省桓台县2018届高三数学9月月考试题理设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（﹣2，1）D. [﹣2，1）【答案】B第 17 题：来源：高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表自我小测新人教B版选修1_120171101239观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)【答案】D第 18 题：来源：河北省鸡泽县2018届高三数学10月月考试题理试卷及答案在中，若,则（）A．是锐角三角形 B．是直角三角形C．是钝角三角形 D．的形状不能确定【答案】 B第 19 题：来源：广西钦州市钦州港区2017届高三数学12月月考试题理已知一元二次方程的两个实根为，且，则的取值范围是（）A． B. C. D.【答案】A第 20 题：来源：河北省大名县第一中学2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）.集合如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在CU（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩CU（P∪N）,故选B.点睛:根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．第 21 题：来源：山东省桓台县2018届高三数学9月月考试题理命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【答案】C第 22 题：来源： 2019年普通高等学校招全国生统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）（含答案）tan255°=A．-2- B．-2+ C．2- D．2+【答案】D第 23 题：来源：安徽省巢湖市2018届高三数学上学期第一次月考试题理试卷及答案设集合，。
2019年福建省厦门市高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年福建省厦门市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z =3+4i2+i （i 为虚数单位）所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 已知集合A ={x ∈Z |x 2+x -6≤0}，B ={x |x ≥1}，则A ∩B =（ ）A. {x|1≤x ≤2}B. {x|1≤x ≤3}C. {1,2}D. {1,2，3} 3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5=a 4+2，则S 7=（ ）A. −14B. −7C. 7D. 144. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A. π8B. π4C. 14D. 345. 如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A. 华为的全年销量最大B. 苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C. 华为销量最大的是第四季度D. 三星销量最小的是第四季度6. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点为F ，焦距为2√5，C 的一条渐近线被以F 为圆心，OF 为半径的圆F 所截得的弦长为2，则C 的方程是（ ）A. x 24−y 2=1B. x 24−y 216=1C. x 2−y 24=1D. x 2−y 219=17. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 2π+38B.9π4+38C. π+12D. π2+128. 在同一平面中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC −，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m +n =（ ） A. 23B. 34C. 56D. 19. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2-x ）=f （x ），曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为2π3，则曲线y =f （x ）在点（-2，f （-2））处的切线方程为（ ）A. y =−√3x −2√3B. y =√3x +2√3C. y =√33x +2√33 D. y =−√33x −2√3310. 已知抛物线E ：y 2=2px （p ＞0），直线l 过E 的焦点，交E 于AB ，两点，且A 在x 轴上方，M 是E 的准线上一点，AM 平行于x 轴，O 为坐标原点，若|OM||OB|=4，则l 的斜率为（ ）A. −43B. −34C. 34D. 4311. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=13，当n ≥2时，a n ，S n -1，S n 成等比数列，若S m ＜1921，则m 的最大值为（ ） A. 9 B. 11 C. 19 D. 2112. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 中，AB =2，AD =3，AA 1=2，E 是AA 1的中点，F 是棱AD 上一点，AF =1，动点P 在底面A 1B 1C 1D 内，且三棱锥P -BEF 与三棱锥B -D 1EF 的体积相等，则直线CP 与BB 1所成角的正切值的最小值为（ ）A. √134B. 4√1313C. √55D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0x +y −2≤0y ≥0，则z =x -y 的最小值是______．14. 在“2022北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者活动，每个项目至少需要1名志愿者，则共有______种不同的方案．（用数字填写答案）15. 函数f （x ）=3sin x +4cos x ，若直线x =θ是曲线y =f （x ）的一条对称轴，则cos2θ+sinθcosθ=______． 16. 若函数f （x ）=a 2e -2x +a （2x +1）e -x +x 2+x （a ＞0）的最小值为ln 2a +3ln a +2，则a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b -c =2a cos C ．（1）求A ；（2）若a =√3，sin B +sin C =6√2sin B sin C ，求△ABC 的面积．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB =AD =2，CD =4，PD =1，平面PAD ⊥平面ABCD ，二面角P -CD -B 为60°． （1）求证：PA ⊥平面PCD ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19. 2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”．某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A 种产品；项目二使用乙种机器生产B 种产品．甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台．该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频以这各台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替台相应机器需要维修次数的概率．（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产．据统计：当投入项目一的生产专用资金为a 万元时，生产A 产品获利的概率是34，且一年获利310a 万元；亏损的概率是14，且一年亏损110a 万元．当投入项目二的生产专用资金为a 万元时，生产B 产品获利的概率是23，且一年获利25a 万元；亏损的概率是13，且一年亏损15a 万元．你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由．20. 已知椭圆E ：x 24+y 2=1，A ，C 分别是E 的上顶点和下顶点．（1）若B ，D 是E 上位于y 轴两侧的两点，求证：四边形ABCD 不可能是矩形；（2）若B 是E 的左顶点，P 是E 上一点，线段PA 交x 轴于点M ，线段PB 交y 轴于点N ，|BM|=94|AN|，求|MN |．21. 已知函数f （x ）=ae 2x -e x +x +b （a ＞0，b ∈R ）（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若对任意a ＞0，f （x ）恰有一个零点，求b 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√55t ，y =2√55t（t 为参数），曲线C 1的方程为y 2=4x ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ．l 交C 1于A ，B 两点（A 在x 轴上方），C 2交极轴于点P （异于极点O ）． （1）求C 2的直角坐标方程和P 的直角坐标；（2）若S 为PA 的中点，T 为C 2上的点，求|ST |的最小值．23. 已知函数f （x ）=|ax -2|．（1）当a =4时，求不等式f （x ）+|4x +2|≥8的解集；（2）若x ∈[2，4]时，不等式f （x ）+|x -3|≤x +3成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵z==，∴复数z=所对应的点的坐标为（2，1），在第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A={x∈Z|-3≤x≤2}={-3，-2，-1，0，1，2}；∴A∩B={1，2}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.【答案】D【解析】解：根据题意，数列{a n}为等差数列，a3+a5=a4+2，则a3+a5=2a4=a4+2，解可得a4=2，则S7==7a4=14；故选：D．根据题意，由等差数列的性质可得a3+a5=2a4=a4+2，解可得a4=2，又由等差数列的前n项和公式可得S7==7a4，计算即可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S=a2，其内部扇形的面积S′=，其面积之比为=，其它以下图形的面积之比同理可得也是，由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，故选：B．先设最大正方形的边长为a，求出正方形的面积S及其内部扇形的面积S′，然后求出其面积之比为，其它以下图形的面积之比也是，然后由几何概型的概率求解公式可求．本题主要考查了与面积有关的几何概型的概率公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】A【解析】解：根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；∴A正确；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；∴B，C，D都错误．故选：A．根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B，C，D都错误．考查对销量百分比堆积图的理解，在不知每个季度的销量的情况下，是不能比较不同季度的销量多少的．6.【答案】C【解析】解：O为坐标原点，双曲线C ：的右焦点为F，焦距为2，可得c=，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，可得1==所以b=2，则a=1，所以双曲线方程为：．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，利用OF为半径的圆F所截得的弦长为2，列出方程，通过焦距为2，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．7.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为圆柱，底面半径为，高为2，右边为长方体，长、宽、高分别为4、3、1，则该几何体的体积V=．故选：D．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，左边为圆柱，底面半径为，高为2，右边为长方体，长、宽、高分别为4、3、1，再由圆柱及长方体的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意知，=，∵=2（-）∴3=+2=+∴=+∴m=∴m+n=故选：A．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．9.【答案】B【解析】解：定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，f（-2）=f（2）=f（0）=0，f（-x）=-f（x），可得f′（-x）=f′（x），由曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为，可得f′（0）=tan =-，f（2-x）=f（x），可得-f′（2-x）=f′（x），即f′（0）=-f′（2）=-f′（-2）=-，可得f′（-2）=，则y=f（x）在点（-2，f（-2））处的切线方程为y=（x+2），即为y=x+2．故选：B．由R上的奇函数可得f（0）=0，结合奇函数的导数为偶函数，可得f（x）在x=-2处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的奇偶性，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点，如下图所示，抛物线E的焦点为，设直线AB的方程为，将直线AB的方程与抛物线E的方程联立，得y2-2mpy-p2=0，由韦达定理得y1+y2=2mp ，，直线OM的斜率为，直线OB的斜率为，所以，B、O、M三点共线，，则，所以，y1=-4y2，则y1+y2=-3y2=2mp ，得，，结合图形可知，直线AB的斜率为正数，所以，，因此，直线l的斜率为．故选：D．设直线l的方程为，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点，将直线l的方程与抛物线E的方程联立，列出韦达定理，计算直线OB和OM的斜率得知，O、B、M三点共线，再由已知条件得出y1=-4y2，代入韦达定理可得出m的值，从而求出直线l的斜率．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】A【解析】解：依题意，因为当n≥2时，a n，S n-1，S n成等比数列，所以，即，即，所以{}成等差数列，所以=-n-，即S n =，若S m ＜，即，解得m＜10，所以m的最大值为9．故选：A．因为当n≥2时，a n，S n-1，S n 成等比数列，所以，即，即，所以{}成等差数列，所以=-n-，即S n =，所以S m ＜可以转化为关于m的不等式，解不等式即可．本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式、构造法求数列的通项公式等、属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵V P-BEF =V =V，∴P到平面BEF的距离等于D1到平面BEF的距离，取CC1的中点M，在B1C1上取点G，使得C1G=AF=1，连接D1G，MG，D1M，则GM∥EF，D1M∥BE，∴平面D1GM∥平面BEF，∴P点轨迹为线段D1G，又BB1∥CC1，∴∠C1CP为直线CP与BB1所成的角，而tan∠C1CP=，故当C1P⊥D1G时，C1P取得最小值，过C1作C1H⊥D1G，垂足为H，则C1H==，∴tan∠C1CH==．故选：C．过D1构造与平面BEF平行的平面，得出P的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的P的位置．本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题．13.【答案】-2【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：由，可得A（0，2），z=x-y经过可行域的A时z取得最小值-2．故答案为：-2．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】36【解析】解：4人选2人1组，有=6种，然后进行全排列有A=6×6=36，故答案为：36先分组，然后全排列进行计算即可．本题主要考查计数问题的应用，先分组后排列是解决本题的关键．15.【答案】1925【解析】解：∵f（x）=3sinx+4cosx=5（sinx+cosx）=5sin （x+φ）（sinφ=，cosφ=）的一条对称轴方程是x=θ，∴sin（θ+φ）=±1，∴θ+φ=，k∈z．∴θ=-φ+，k∈z．∴2θ=-2φ+π+2kπ，k∈z，∵cos2φ==，sin2φ=2×=，∴cos2θ=-cos2φ=，cos2θ+sinθcosθ=cos2θ+sin2θ=-cos2φ+sin2φ=+=，故答案为：．引入辅助角φ，根据对称性的性质可得，sin（θ+φ）=±1，从而θ+φ=，k∈z，结合诱导公式及二倍角公式可求本题考查正弦函数的性质，突出考查其对称性，考查分析、运算能力，属于中档题．16.【答案】[e−32，+∞）【解析】解：f（x）=a2e-2x+a（2x+1）e-x+x2+x=（ae-x+x）2+ae-x+x，（a＞0）．令t=g（x）=ae-x+x，则f（x）=h（t）=t2+t，g′（x）=-ae-x+1，令g′（x）=0，可得x=lna，易得g（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴g（x）≥g（lna）=lna+1，即t∈[lna+1，+∞）．∴h（t）min=ln2a+3lna+2=（lna+1）2+lna+1，∴lna+1，即a故答案为：[e，+∞）整理f（x）=（ae-x+x）2+ae-x+x，（a＞0）．令t=g（x）=ae-x+x，则f（x）=h（t）=t2+t，易得g（x）≥g（lna）=lna+1，即t∈[lna+1，+∞）．只需lna+1，即可．本题考查了导数的应用，二次函数的最值，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵2b-c=2a cos C=2a⋅a2+b2−c22ab，整理可得：b2+c2-a2=bc，…4分∴cos A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，…5分∵A∈（0，π），∴A=π3…6分（2）∵a=√3，A=π3，∴由正弦定理b sinB=c sinC=√3√32=2，可得：sin B=b2，sin C=c2，…8分又∵sin B+sin C=6√2sin B sin C，∴b+c=3√2bc，…9分∵a2=b2+c2-2bc cos A，即：a2=（b+c）2-3bc，∴6b2c2-bc-1=0，解得：bc=12，或bc=-13（舍去），…11分∴S△ABC=12bc sin A=√38…12分【解析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=bc，可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）由正弦定理可得sinB=，sinC=，由已知可求b+c=3bc，根据余弦定理可得6b2c2-bc-1=0，解得bc的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴∠PDA 为二面角P -CD -B 的平面角， 即∠PDA =60°，又AD =1，AD =2，故PA =√PD 2+AD 2−AD ⋅PD ⋅cos∠PDA =√3， ∴PD 2+PA 2=AD 2，即PD ⊥PA ，又PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ， ∴PA ⊥平面PCD ．（2）解：在平面PAD 内过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵PD =1，∠PDA =60°，∴PO =√32，OD =12，以O 为原点建立空间坐标系O -xyz 如图所示， 则A （32，0，0），P （0，0，√32），B （32，2，0），C （-12，4，0），∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（32，2，-√32），PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（32，0，-√32），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，4，0）， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{32x −√32z =0−2x +4y =0， 令x =2，则n⃗ =（2，1，2√3）， ∴cos ＜n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7×√17=2√119119． ∴直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为|cos ＜n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=2√119119． 【解析】（1）证明CD ⊥平面PAD 可得CD ⊥PA ，且∠PDA 为二面角P-CD-B 的平面角，计算PA 可根据勾股定理得出PA ⊥PD ，于是PA ⊥平面ADC ； （2）建立空间坐标系，求出平面PAC 的法向量，则|cos ＜，＞|为直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）购买甲机器台数为1002=50，一台甲机器一年需要维修一次的频率为160200=0.8，不需要维修的频率为40200=0.2． 设一年内该企业维修费用为X ，则EX =50×0.8×2500=100000元． 即一年内该企业维修费用的数学期望为10万元．（2）若投资项目一，由（1）可知则预留维修费用为10万元，故投入生产专用资金为1000万元， 设一年的利润为ξ万元，则ξ的可能取值为300，-100，且P （ξ=300）=34，P （ξ=-100）=14， ∴E ξ=300×34+（-100）×14=200． 若投资项目二，则购买机器100台，则一年需要维修一次的机器频率为160200=0.8，一年需要维修二次的频率为20200=0.1，则需要预留的维修费用为1000×100×0.8+100×0.1×1000×2=100000元=10万元． 故投入生产的专业资金为1000万元，设一年的利润为η万元，则η的可能取值有400，-200， 且P （η=400）=23，P （η=-200）=13， ∴E η=400×23+（-200）×13=200． D （ξ）=（300-200）2×34+（-100-200）2×14=30000， D （η）=（400-200）2×23+（-200-200）2×13=80000．故显然E ξ=E η，D （ξ）＜D （η）．∴投资两个项目的利润期望相等，但投资项目一风险更小，故选择投资项目一． 【解析】（1）计算需要维修的次数，维修费用得出数学期望；（2）分别计算投资两项目的利润期望和方差，根据期望和方差大小得出结论．本题考查了用样本估计总体的统计思想，考查离散型随机变量的数学期望计算，方差计算，属于中档题．20.【答案】证明：（1）依题意A （0，1），C （0，-1），设B （x 1，y 1），则x 1≠0，且x124+y 12=1，设直线BA ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=y 1−1x 1•y 1+1x 1=y 12−1x 12=−14x 12x 12=-14≠-1，∴BA 与BC 不垂直，∴四边形ABCD 不可能是矩形．（2）设P （x 0，y 0），则x 0＞0，y 0＜0，且x024+y 02=1，∴直线PA 的方程为y =y 0−1x 0x +1，令y =0，得x =x 01−y 0，则M （x 01−y 0，0），直线PB 的方程为：y =y 0x 0+2（x +2）， ∴N （0，2y 0x+2）， ∵|BM|=94|AN|， ∴x 01−y 0+2=94（1-2y 0x0+2），∴4x 0+9y 0-1=0，由{4x 0+9y 0−1=0x 024+y 02=1，可得145x 02-32x 0-320=0， 解得x 0=85，或x 0=-4029（舍去），∴P （85，-35），M （1，0），N （0，-13）， 故|MN |=√103．【解析】（1）B （x 1，y 1），根据斜率公式即可证明，（2）设P （x 0，y 0），分别求出直线PA ，PB 的方程，求出点M ，N 的坐标，再根据，结合点P 在椭圆上即可求出．本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系等知识，考查了运算求解能力，推理论证能力等，考查数形结合思想，函数与方程的思想，化归与转化思想等，属于中档题． 21.【答案】解：（1）f ′（x ）=2ae 2x -e x +1，令f ′（x ）=0可得2ae 2x -e x +1=0，①当a ≥18时，f ′（x ）≥0恒成立，故f （x ）在R 上单调递减， ②当0＜a ＜18时，解方程f ′（x ）=0可得e x =1±√1−8a4a， ∴当e x ＜1−√1−8a4a 或e x ＞1+√1−8a4a时，f ′（x ）＞0，当1−√1−8a4a＜e x ＜1+√1−8a4a时，f ′（x ）＜0，综上，当a ≥18时，f （x ）在R 上单调递增， 当0＜a ＜18时，f （x ）在（-∞，ln 1−√1−8a4a）上单调递增，在（ln1−√1−8a4a，ln 1+√1−8a4a）上单调递减，在（ln1+√1−8a4a，+∞）上单调递增．（2）由f （x ）=0可得-b =ae 2x -e x +x ，记g （x ）=ae 2x -e x +x ，则g ′（x ）=f ′（x ）， （i ）当a ≥18时，由（1）可知g （x ）在R 上单调递增， 又当x →-∞时，g （x ）→-∞，当x →+∞时，g （x ）→+∞，故当b ∈R 时，-b =g （x ）总有一解，即f （x ）恰好有一解．（ii ）当0＜a ＜18时，由（1）知g （x ）在（-∞，ln 1−√1−8a 4a）上单调递增，在（ln 1−√1−8a 4a，ln 1+√1−8a4a）上单调递减，在（ln 1+√1−8a4a，+∞）上单调递增．设x 1=ln 1−√1−8a4a，x 2=ln1+√1−8a4a，则g ′（x 1）=g ′（x 2）=0，即2ae2x 1-ex 1+1=0，∴a =e x 1−12e 2x 1=e x 2−12e x 2，∴g （x ）的极大值为g （x 1）=ae 2x 1-e x 1+x 1=-e x 12+x 1-12，g （x ）的极小值为g （x 2）=ae2x 2-ex 2+x2=-e x 22+x 2-12，又当x →-∞时，g （x ）→-∞，当x →+∞时，g （x ）→+∞， 若f （x ）只有一个零点，则-b =g （x ）只有一解，故-b ＞-e x 12+x 1-12或-b ＜-e x 22+x 2-12恒成立，设h （x ）=-e x2+x -12，则h ′（x ）=-e x2+1=2−e x 2，∴当x ＜ln2时，h ′（x ）＞0，当x ＞ln2时，h ′（x ）＜0，∴h （x ）在（-∞，ln2）上单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减， 又x 1=ln1−√1−8a4a=ln 1+√1−8a＜ln2，x 2=ln 1+√1−8a4a=ln 1−√1−8a＞ln2，且x 1＞0，∴0＜h （x 1）＜-32+ln2，h （x 2）＜-32+ln2， 即0＜g （x 1）＜-32+ln2，g （x 2）＜-32+ln2， ∴-b ≥-32+ln2，即b ≤-32+ln2．综上，b 的取值范围为（-∞，-32+ln2]． 【解析】（1）讨论a 的范围，得出f′（x ）=0的解的情况，从而得出f （x ）的单调区间；（2）分类参数可得-b=ae 2x -e x +x ，令g （x ）=ae 2x -e x +x ，求出g （x ）的单调性和值域，从而可得出b 的范围．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查分类讨论思想，考查函数值域的求解，属于难题． 22.【答案】解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x 2+y 2-2x =0，∴C 2的直角坐标方程为（x -1）2+y 2=1，令y =0，得x =2或x =0（舍），则点P 的直角坐标为（2，0）； （2）设A ，S 所对应的参数分别为t 1，t 2（t 1＞0）， 将{x =2+√55t y =2√55t 代入y 2=4x ，得t 2−√5t −10=0．解得t =2√5或t =-√5．∴t 1=2√5．∵S 为PA 的中点，∴t 2=t 12=√5．设S （x 0，y 0），则x 0=2+√55×√5=3，y 0=2√55×√5=2，则S （3，2），依题意，C 2的圆心M （1，0），∴|SM |=√(3−1)2+(2−0)2=2√2． ∴|ST |的最小值为2√2−1． 【解析】（1）把ρ=2cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x 2+y 2，x=ρcosθ可得C 2的直角坐标方程，取y=0，可得点P 的直角坐标为（2，0）；（2）设A ，S 所对应的参数分别为t 1，t 2（t 1＞0），将代入y 2=4x ，得到关于t 的一元二次方程，求得t ，进一步得到S 的坐标，再求出C 2的圆心M （1，0），可得|SM|，则|ST|的最小值可求．本题考查极坐标方程，直线的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a =4时，原不等式即|4x -2|+|4x +2|≥8，即|2x -1|+|2x +1|≥4，当x ≥12时，原不等式等价于（2x -1）+（2x +1）≥4，解得x ≥1， 当-12＜x ＜12时，原不等式等价于（1-2x ）+（2x +1）≥4，不等式无解； 当x ≤-12时，原不等式等价于（1-2x ）-（2x +1）≥4，解得x ≤-1． 综上，原不等式的解集为（-∞，-1]∪[1，+∞） （2）由f （x ）+|x -3|≤x +3得|ax -2|+|x -3|≤x +3（*）， 当x ∈[2，3]时，（*）等价于|ax -2|+3-x ≤x +3， 即|ax -2|≤2x ，即|a -2x |≤2，所以-2+2x ≤a ≤2+2x ，因为13≤1x ≤12，所以2+2x 的最小值为83，-2+2x 最大值为-1． 所以-1≤a ≤83，当x ∈（3，4]时，原不等式等价于|ax -2|+（x -3）≤x +3， 所以|ax -2|≤6，所以-6≤ax -2≤6，即-4≤ax ≤8．所以-4x ≤a ≤8x ，因为14≤1x ≤13，所以8x 的最小值为2，-4x 的最大值为-1， 所以-1≤a ≤2，综上，a 的取值范围是[-1，2]． 【解析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）按照2种情况分类讨论去绝对值可得．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化能力，分类与整合思想，属中档题．。
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三(上)开学数学试卷(理科)(二)(含精品解析)
2������ 3
D.
5������ 6
已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2θ=（ ）
3 4
A.
5.
B.
C. 5
[ ‒ 3，4]
������ ������
D. 5
上的最小值是-2，则 ω 的最小值等于（ ）
已知函数 f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间
������������ ������9 2������ ‒ 3 ������ ������ 都有 ������=4������ ‒ 3，则 5 + ������7
+ ������
������3
8 + ������4
的值为
______． 13. 已知函数 f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m），g（x）=2x-2，若对任意 x∈R，有 f（x）＞0 或 g（x） ＞0 成立，则实数 m 的取值范围是______． 14. 已知△ABC 中，角 C 为直角，D 是 BC 边上一点，M 是 AD 上一点，且 |CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 15. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：{������ = ������������������������������（t 为参数，t≠0），其中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2 3cosθ．
2
A. 2
������ 1
B. ‒ 2
3������
C. 0
D. 3
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知A ={x|lgx >0}，B ={x||x −1|<2}，则A ∪B =（ ）A ．{x|x <−1或x ≥1}B ．{x|1<x <3}C ．{x|x >3}D ．{x|x >−1} 2．已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定4．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．1(,1)4- B ．(1,14) C ．(1,2) D ．(1,2)- 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．4π3+4B ．4π3+8C ．8π3+4D ．8π3+8 6．设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b << 7．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b + 8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π-D ．42π- 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N两点，且M在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称 10．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )A ．198B ．268C ．306D ．378 11．已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的左、右焦点，以2F 为圆心且过点1F 的圆N 与双曲线M 在第一象限的交点为P ，圆N 与x 轴的另一个交点为Q ，若1||a PF b PQ =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C ．54D ．53 12．设*n N ∈，函数1()x f x xe =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，曲线()n y f x =的最低点为n P ，12n n n P P P ++的面积为n S ，则（ ）A ．{}n S 是常数列B ．{}n S 不是单调数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列二、填空题13．非零向量,a b 满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=,则a b -与b 夹角的大小为_______14．设锐角ABC ∆三个内角、、A B C 所对的边分别为ab c 、、,cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．15．回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约__________吨．16．已知球D 的半径为3，圆A 与圆C 为该球的两个小圆，MN为圆A 与圆C 的公共弦，MN =点B 是弦MN 的中点，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________．三、解答题 17．数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）. （1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由. 18．某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图． 该公司给出了两种日薪方案． 方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元； 方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．（1）分别求出两种日薪方案中日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X （单位：元）的数学期望及方差；（Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．19．如图，在多面体ABCDFE 中，////ABCD EF ，四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形CDFE 为矩形；（2）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，2AB =，6CD =，AD =ADF 与平面BCE 所成二面角的余弦值.20．已知两定点1,03A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是平面内的动点，且||||4AB AM BA BM +++=，记M 的轨迹是C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,0)F 引直线l 交曲线C 于, Q N 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点. 21．已知函数()()()221ln f x a x ax a R x =---∈.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()()12x e ax ag x f x x --+=+，当0a ≤时，若2x =是()g x 的唯一极值点，求a .22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x a ty t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 上一点A 的极坐标为π1,3⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点,M N 在1C 上，点P 在2C 上（异于极点），若,,,O M P N 四点依次在同一条直线l 上，且||,||,||MP OP PN 成等比数列，求l 的极坐标方程.23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集； (Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B 进而求并集即可.【详解】A ={x|lgx >0}={x|x >1}，B ={x||x −1|<2}={x|−1<x <3}，则A ∪B ={x|x >−1}.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2．B【分析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断.【详解】复数(1)z a a i =+-，所以在复平面内对应的点坐标为(),1a a -，若(0,2)a ∈，则10a ->，10a -=或10a -<都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有可得010a a >⎧⎨->⎩，可得01a <<，而()()0,10,2⊆所以是必要条件，综上可知， “(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.3．C【分析】根据折线图，结合选项即可判断.【详解】由该发烧病人的体温记录折线图，可知对于A ，病人在5月13日12时的体温是38℃，故A 正确；对于B ，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B 正确； 对于C ，病人体温在5月13日6时到12时下降最快，故C 错误；对于D ，病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定，故D 正确.综上可知，C 为错误选项，故选：C.【点睛】本题考查了折线图的特征和简单应用，属于基础题.4．A【分析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为24y x =，所以2p =，所以焦点(1,0)F ，过点M 作准线1x =-的垂线，垂足为M ，由PF PM =,依题意可知当,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小，如图所示，故点P 的纵坐标为1-，代入抛物线的方程，求得14x =， 所以点1(,1)4-，故选A ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】通过三视图可知，该几何体是由一个18球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可.【详解】通过三视图可知，该几何体是由一个18球和一个三棱柱组合而成，因此V =18×43π⋅23+12×2×2×2=43π+4，故本题选A.【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状.6．A【分析】由对数运算与换底公式化简，结合对数函数的图像与性质即可比较大小.【详解】根据对数运算与换底公式，化简可得 ()2122226631312log log 1log log log a =--===-+， ()41444412123131log log 1lo l g l 4g o og b =--===-+， ()515555log 15log 151log log 1o 3l 51g 3c =--===-+ 由于333245log log log >>，所以254log lo 131313g log --<--<--，a b c ∴<<.故选：A【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式，对数函数图像与性质应用，属于基础题.7．C【分析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+． 【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ， 所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+． 故选C ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．8．C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 9．B【分析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．A【分析】根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国媒体和1名国外媒体，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国媒体和2名国外媒体，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有21263290C C A 种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有123633108C C A 种不同提问方式， 所以共有90+108=198种提问方式.故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．D【分析】设双曲线M 的焦距为2c ，由圆性质可知1||4F Q c =且12F PQ π∠=.结合勾股定理及1||||a PF b PQ =，可得||4PQ a =，1||4PF b =.再根据双曲线定义得2b a c =+，变形后可得关于,a c 的齐次方程，进而求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线M 的焦距为2c ，则1||4F Q c =，由题意以2F 为圆心且过点1F 的圆N 与双曲线M 在第一象限的交点为P ，可知12F PQ π∠=，所以在1Rt PFQ ∆中，22211||PF PQ FQ +=， 又由1||||a PF b PQ =，所以1||||b PF PQ a =， 代入上式可得2222||||16b PQ PQ c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简可得222222||||16PQ a P a Q c b +=，即()22222||16P b a a Q c +=，由222b a c +=，所以22||16PQ a =，则||4PQ a =，14||||b PF PQ ab ==， 由双曲线的定义得122PF PF a -=，即422bc a -=，所以2b a c =+，所以224()b a c =+，整理得223250c ac a --=，两边除以2a 得23250e e --=， 解得53e =（1e =-舍去）， 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及几何性质简单应用，圆的性质及勾股定理应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.12．D【解析】根据题意得()()()'211xf x f x x e ==+，()()()'322xf x f x x e ==+…，()()()'1x n n f x f x x n e +==+，又曲线()n y f x =的最低点为n P ，则当1n =时111P e-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当2n =时1212P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当3n =时1313P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭， …，则1n n P n e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1111n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，2212n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，222211122n n n n P P n e e e k e+++----==--，2n n P P l +：()22112n n e y x n e e +---=-+21e d -=，2n n P P +=则()122212n n n P P P n e S e ++∆+-==所以{}n S 是递减数列，故选D点睛：本题根据题意总结出()n f x 最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积 13．135°或者34π【解析】 【分析】根据题意，设a OA =，b OB =，则a b OA OB BA -=-=，结合题意分析可得△OAB 为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设a OA =，b OB =，则a b OA OB BA -=-=， 若|a b -|＝|a |，()0a a b ⋅-=，即|BA |＝|OA |，且OA ⊥BA ， 则△OAB 为等腰直角三角形，则a b-与b的夹角为180°﹣45°＝135°，故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．14．⎝【分析】)cos cos2sina Bb Ac C+=得3Cπ=，再利用正弦定理求出sinsinb CcB==，再结合B的范围求出c的范围.【详解】cos cos)2sina Bb Ac C+=及余弦定理可得222222)22a cb bc aa bac bc+-+-⋅+⋅=2sinc C，2sinc C=，所以sin C=又ABC为锐角三角形，所以3Cπ=．由正弦定理可得sinsinb CcB==由02Bπ<<且232Bππ<-<可得62Bππ<<，所以1sin12B<<，<<c<<．故c的取值范围为(2．故答案为(2【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.15．9000【分析】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题.【详解】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，由已知条件可得0.20.9181.20.812x yx yxy+≤⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，即291803230x yx yxy+≤⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域，如图所示，56120zz x=-+,平移直线可得当直线过点A时，在y轴的截距最大，即z最大，由图可得点A(90,0)，此时z取得最大值为9000.故答案为9000【点睛】本题考查简单线性规划的应用，属于基础题.解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；②由约束条件画出可行域；③分析目标函数z与直线截距之间的关系；④使用平移直线法求出最优解；⑤还原到现实问题中．16．2【分析】利用球的性质可以推出224DA AB DA AB ⊥⇒+=，这样可以得到1DAB S ∆≤,同理1DBC S ∆≤，这样求出四边形ABCD 的面积的最大值.【详解】如下图所示：点B 是弦MN 的中点，2DB MN DB ⊥⇒===，又因为224DA AB DA AB ⊥⇒+=,22421DAB DA AB DA AB S ∆⇒+=≥⋅⇒≤当且仅当DA AB ==同理1DBC S ∆≤当且仅当DC CB ==等号成立，因此四边形ABCD 的面积的最大值为2. 【点睛】本题考查了球的性质.重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值.17．（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a 2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．【详解】（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1；（Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题． 18．（1）见解析；（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（1）分别写出方案1、方案2的日工资y 与销售件数n 的函数关系式即可； （2）（Ⅰ）根据柱状图写出方案1的日薪X 1的分布列，计算数学期望和方差； 写出方案2的日薪X 2的分布列，计算数学期望和方差； 【详解】（1）方案1：日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式为：y =20n ，n ∈N ；方案2：日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式为y =90,5,2010,5,n n Nn n n N ≤∈⎧->∈⎨⎩；（2）（Ⅰ）根据柱状图知，日销售量满足如下表格；所以方案1的日薪X1的分布列为，数学期望为E（X1）=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106，方差为D（X1）=0.05×（60-106）2+0.2×（80-106）2+0.25×（100-106）2+0.4×（120-106）2+0.1×（140-106）2=444；方案2的日薪X2的分布列为，数学期望为E（X2）=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，方差为D（X2）=0.5×（90-102）2+0.4×（110-102）2+0.1×（130-102）2=176；（Ⅱ）答案1：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），但两者相差不大，又D（X1）＞D（X2），则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．答案2：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．19．（1）证明见解析（2）1 3【解析】【分析】（1）由梯形性质可得四边形CDEF 为平行四边形，即可得//DF CE .又可证明DF ⊥平面ABNM ，而DF MN ⊥且//MN EF ，即可得EF DF ⊥，从而四边形CDEF 为矩形.（2）分别取,,AB CD EF 的中点,,O G H ，可得OH AB ⊥，OG AB ⊥，OH OG ⊥，因而以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并分别求得平面BCE 和平面ADF 的法向量，即可由空间向量的数量积求得两个平面所成二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：分别取,DF CE 的中点,M N ，如下图所示：∵四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形EF CD ∴=，//CD EF∴四边形CDEF 为平行四边形//DF CE ∴AD AF =，M 为DF 的中点AM DF ∴⊥，同理BN CE ⊥DF BN ∴⊥M 为DF 的中点，N 为CE 的中点//////MN EF CD AB ∴，且MN EF CD ==,,,A B N M ∴四点共面，四边形ABNM 以,AB MN 为底的梯形DF AM ∴⊥，DF BN ⊥且,AM BN 相交DF ⊥∴平面ABNMMN ⊂平面ABNMDF MN ∴⊥又//MN EFEF DF ∴⊥∴四边形CDEF 为矩形.（2）分别取,,AB CD EF 的中点,,O G H ，则OH AB ⊥，OG AB ⊥，由2OH ===，可知45AFE ︒∠=，同理2OG =，45ADC ︒∠=又由平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，OH ⊂平面ABEF ，所以OH ⊥平面ABCD 又OG ⊂平面ABCD ， 所以OH OG ⊥，则以O 为坐标原点，,,OG OB OH 方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,0)B ，(0,1,0)A -，(2,3,0)C ，(2,3,0)D -，(0,3,2)E ，(0,3,2)F - 设平面BCE 的法向量为()111,,m x y z =， 由(2,2,0)BC =，(2,0,2)CE =-则1111220220m BC x y m CE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，代入可求得111,1y z =-=，所以(1,1,1)m =-， 设平面ADF 的法向量为()222,,n x y z =，由(2,2,0)AD =-，(2,0,2)DF =-，则2222220220n AD x y n DF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21x =，代入可求得111,1==y z ，所以(1,1,1)n =， 则1cos ,3||||3m nm n m n ⋅<>===由图可知平面ADF 与平面BCE 所成二面角为锐二面角. 故1cos ,3m n <>=. 【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断，利用空间法向量法求二面角，属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）证明见解析【分析】（1）设(,)M x y ，根据向量的坐标运算并结合||||4AB AM BA BM +++=，代入化简即可求得M 的轨迹是C .（2）当斜率为0时，直线NR 即为x 轴，此时定点一定在x 轴上.当斜率不为0时，设直线方程与()11N x y ,，()22,R x y ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出1212,y y y y +，进而表示出直线NR .令0y =，化简即可求得x 为定值，即可得所过定点的坐标. 【详解】设(,)M x y ，则2||,03AB ⎛⎫=⎪⎝⎭，2||,03BA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1||,3AM x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1||,3BM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以|(1,)||(1,)|4x y x y ++-=4=. 故点(,)M x y 到1(1,0)A -，1(1,0)B 这两点的距离之和为4，11114222MA MB a A B c +==>==，由椭圆定义得曲线为椭圆且2a =，1c =，b =所以曲线22:143x y C +=.（2）若直线斜率为0，则直线NR 即为x 轴，此时定点一定在x 轴上. 若直线斜率不为0，则可设直线1x my =+，设()11N x y ,，()22,R x y由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩得()2234690m y my ++-= 所以1221220634934m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩故直线NR 为()212221y y y x x y x x +=-+-，令0y =， 可得2221221212x y x y x y x y x y y +-+=+()1212122my y y y y y ++=+121221my y y y =++2(9)146m m⨯-=+=-所以直线恒过(4,0). 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，平面向量的坐标表示及运算，直线与椭圆位置关系的应用，直线过定点的求法，属于难题.21．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间()2,+∞.（Ⅱ）0a = 【分析】（Ⅰ）当1a =时，2()f x lnx x x =--，定义域为(0,)+∞．2212(1)(2)()1x x f x x x x -+-'=-+=，令()0f x '=，解得x ．即可得出单调性． （Ⅱ）由题意可得：122()(21)x e ax a g x a lnx ax x x--+=---+，(0,)x ∈+∞，求出导函数． 由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：120x e ax x a ---+对(0,)x ∀∈+∞恒成立．情形二：120x e ax x a ---+对(0,)x ∀∈+∞恒成立．设12()x h x e ax x a -=--+，(0,)x ∈+∞，()10h =．1()21x h x e ax -'=--．对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【详解】解：（Ⅰ）∵()()()221ln f x a x ax a R x =---∈，∴当1a =时，()2ln f x x x x=--， 定义域()0,x ∈+∞，()()()2222121221'f x x x x x x x x x-+--++=-+==， 令()'0f x =，得2x =.当02x <<时，()'0f x >，()f x 在()0,2上单调递增； 当2x >时，()'0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减.综上，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间()2,+∞. （Ⅱ）由题意，122()(21)x e ax a g x a lnx ax x x --+=---+，(0,)x ∈+∞， ∴()()()121242212'x x e a x e ax a x a a x x g x x -----+⋅-=-++()()1232x x e ax x a x ----+=，()0,x ∈+∞，由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：（1）120x e ax x a ---+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立；（2）120x e ax x a ---+≤对任意()0,x ∈+∞恒成立；设()()120x e ax x h x a a -=--+≤，()0,x ∈+∞，且有()10h =，()1'21x h x e ax -=--，①当0a =时，()1'1x h x e -=-，()'10h =，当01x <<时，()'0h x <，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()'0h x >，()h x 在()1,+∞上单调递增；所以()()10h x h ≥=对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意.②当0a <时，20a ->，()1'21x h x eax -=--，∵()1''20x h x e a -=->， ∴()'h x 在()0,x ∈+∞单调递增.又()1'010h e=-<，()'120h a =->，所以存在()00,1x ∈，使得()0'0h x =， 当0x x >时，()'0h x >，()h x 在()0,x +∞上单调递增，所以()()()0102h x h h <=<，这与题意不符，故0a =.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（1）24cos 10ρρθ-+=；（2）π4θ=或3π()4θρ=∈R 【分析】（1）先根据平方关系消元得曲线1C 的直角坐标方程，再根据222,cos x y x ρρθ==+将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入A 点极坐标，可求出a 的值，进而得出答案； （2）先设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，代入12,C C ，根据||,||,||MP OP PN 成等比数列得()()233123ρρρρρ=--，代入化简可得α，进而可得出答案. 【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22()3x a y -+=，化简得222230x y ax a +-+-=，又222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以222cos 30a a ρρθ-+-=. 代入点π1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得220a a --=，解得2a =或1a =-， 因为0a >，所以2a =，所以曲线1C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.（2）由题意，可设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设点()()()123,,,,,M N P ραραρα，则12ρρ<.联立24cos 10ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得24cos 10ρρα-+=，所以124cos ρρα+=，121ρρ=. 联立cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得3cos ρα=. 因为||,||,||MP OP PN 成等比数列，所以()()233123ρρρρρ=--，即()23123122ρρρρρρ=+-.所以222cos 4cos 1αα=-，解得cos α=所以l 的极坐标方程为π4θ=或3π()4θρ=∈R . 【点睛】 本题考查圆的参数方程及极坐标方程，考查直线的极坐标方程，考查极坐标的含义的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．（1）()()12-∞-⋃+∞，，（2）()0,4 【详解】(Ⅰ)当2a =时，不等式为22x x +<.若2x ≥-，则22x x +<，解得2x >或1x <-，结合2x >-得2x >或21x -≤<-. 若2x <-，则22x x --<，不等式恒成立，结合2x <-得2x <-. 综上所述,不等式解集为()()12-∞-⋃+∞，，. (Ⅱ)()21,1121,121,x x a g x x a x a a a x a x x a -≥+⎧⎪=++--=+-<<+⎨⎪-+≤-⎩则()g x 的图象与直线11y =所围成的四边形为梯形,令2111x -=,得6x =,令2111x -+=，得5x =-,则梯形上底为21a +, 下底为 11,高为()1121102a a -+=-.()()1121S 102202a a ⎡⎤++⎣⎦=->.化简得2200a a +-<，解得5a 4-<<，结合0a >，得a 的取值范围为()0,4.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题(解析版)
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题一、单选题1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则MN =（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--2．抛物线2(21)x a y =-的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．52B ．32C ．12D ．32-3．已知命题p ：x R ∀∈，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， 2BF FO =，则FD FE ⋅=（ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．49-5．已知函数()ln 2x f x x =+，若2(4)2f x -<,则实数x 的取值范围是（ ）. A ．(2,2)-B．C．(2)-D．(2)-(2⋃6．设集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>，{}2|20170C x x x b =-+>，{}2|20180D x x x b =-+>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 B ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集 C ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 D ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为48π，则a 的值为（ ）正视图 侧视图 俯视图A ．1B ．2C ．3D ．48．若213log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. A ．(,6)-∞- B ．(6,0)- C ．(8,6]--D ．[]8,6--9．对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[]0,4C ．(,4]-∞D ．(,0][4,)-∞⋃+∞10．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}11．已知函数2ln ,1()5,14x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在1x ，2x ，，n x ，满足()()()1212n nf x f x f x m x x x ====，则当n 最大时，实数m 的取值范围为（ ）A ．31,23e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,24e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD-中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．14．若实数a ，b ，c ，d 满足︱b+a 2-3l n a ︱+（c-d+2）2=0,则（a-c ）2+（b-d ）2的最小值为 .15．若x ，y ，z 满足111235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；①523z x y >>；②325y x z >>；③532z y x >>；④532z y x ==．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是-则该四面体的外接球的表面积是__________．三、解答题17．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan 21tan A cB b+=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求函数22sin 2cos cos y B B C =-的值域．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ： 1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E-，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 21．已知函数()()1xf x e a x =--有两个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.参考答案1．C 【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，{}|13M N x x ⋂=-≤<，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．D 【解析】 【分析】根据准线方程可求得1214a-=，则a 可得． 【详解】 解：抛物线2(21)x a y =-的准线方程为1y =，∴1214a-=， 解得32a =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题． 3．C 【分析】分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假． 【详解】 解：命题:p x R ∀∈，2130x +>，∴命题p 为真，由2log 1x <，解得：02x <<，02x ∴<<是2log 1x <的充分必要条件，∴命题q 为假，所以p ⌝为假，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，属于基础题． 4．B 【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积. 因为圆半径为1BC 是直径，2,BF FO =所以1;3OF =根据向量加法和减法法则知：,FD OD OF FE OE OF =-=-；又DE 是直径，所以,1;OD OE OD OE =-==则 ()()()()FD FE OD OF OE OF OE OF OE OF ⋅=-⋅-=--⋅- ()()OE OF OE OF =-+⋅-故选 B5．D 【解析】21()2ln 20,(1)20412x f x f x x x=+>=∴<-<∴<'<，即实数x 的取值范围是()2- (2⋃，选D.6．B 【分析】运用集合的子集的概念，令m A ∈，推得m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；再由22017b =，21009b =，求得集合C ，D ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>， 可得当m A ∈，即220170m am ++>，可得2201710m am +++>， 即有m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；当22017b =时，{}22|201720170C x x x R =-+>=，{}22|201820170D x x x R =-+>=，可得C 是D 的子集；当21009b =时，{}22|201710090C x x x R =-+>=，{}22|201810090{|1009D x x x x x =-+>=≠且}x R ∈，可得C 不是D 的子集．综上可得，对任意a ，A 是B 的子集，存在b ，使得C 是D 的子集． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题． 7．B 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据转化求解即可． 【详解】解：由三视图可知几何体是一个圆柱的上下底分别挖去一个半球后的几何体，圆柱的母线长为4a ，两个底面的半径为a ，几何体的表面积为：2244S a a a ππ=⨯+ 212a π=，可得21248a ππ=，解得2a =， 故选：B ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的性质是解题的关键，属于中档题． 8．C 【解析】 由题意得21,3506ax ax 且≤--+> 在[)1,-+∞上恒成立，所以3508a a ++>⇒>- 即86a -<≤-，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 9．B 【分析】化简可得22(2)a b k ab +-恒成立，从而可得222k -+． 【详解】解：2()a b kab +， 222a b kab ab ∴+-，即22(2)a b k ab +-恒成立， 故222k --，解得04k 故[]0,4k ∈， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等关系的应用及基本不等式的应用，属于基础题． 10．D 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 11．D 【分析】由题意可得()f x 和直线y mx =最多4个交点，将1x =代入可得m 的值，考虑直线与y lnx =相切的m 的值，即可得到所求范围． 【详解】解：l x ，2x ，⋯，n x ，为方程1212()()()n nf x f x f x m x x x ==⋯==的n 个解， 即()f x mx =的n 个解，()y f x =和y mx =的图象如下所示，可得()f x 和直线最多4个交点，将1x =代入254x mx -，可得14m ，以下求y lnx =与y mx =相切时的m 值，设切点横坐标为a ，则y lnx =在(,)a lna 处的切线的斜率为1a ，方程为1()y lna x a a-=-， 由题意可得10lna -=，1m a =，解得a e =，1m e=， 结合图象可得m 的范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查直线的斜率和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．12．A【分析】利用构造法设2()()2=-g x f x x ，推出()g x 为奇函数，判断()g x 的单调性，然后推出不等式得到结果． 【详解】 解：2()4()f x x f x -=-2()4()f x x f x ∴=--， 22()2()20f x x f x x ∴-+--=，设2()()2=-g x f x x ，则()()0g x g x +-=，∴函数()g x 为奇函数．(,0)x ∈-∞时，()41f x x '<-，()()41g x f x x ∴'='-<-，故函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，故函数()g x 在(0,)+∞上也是减函数， 若(1)()42f m f m m +-++， 则22(1)2(1)()2f m m f m m +-+--， 即(1)()g m g m +-，1m m ∴+-，解得12m -，即1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭故选：A ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．13．2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅【解析】结论：2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.证明如下在△BCD 内，延长DO 交BC 于E ，连接AE ， ∵AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥AD ， 同理可得：BC ⊥AO∵AD 、AO 是平面AOD 内的相交直线， ∴BC ⊥平面AOD ∵AE 、DE ⊂平面AOD ∴AE ⊥BC 且DE ⊥BC∵△AED 中，EA ⊥AD ，AO ⊥DE ∴根据题中的已知结论,得AE 2=EO ⋅ED两边都乘以21(),2BC 得2111()222BC AE BC EO BC ED ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵AE 、EO 、ED 分别是△ABC 、△BCO 、△BCD 的边BC 的高线 ∴0111,,222ABCBC BCDSBC AE S BC EO S BC ED =⋅=⋅=⋅ ∴有2C ().ABCSS S BCD ∆B O =⋅故答案为2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.14．8 【解析】∵实数a 、b 、c 、d 满足：（b+a 2-3l n a ）2+（c-d+2）2=0，∴b+a 2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y ，a=x ，则y=3l n x-x 2，设c=x ，d=y ，则y=x+2，∴（a-c ）2+（b-d ）2就是曲线y=3l n x-x 2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x 2求导：y'（x ）=32x x -，与y=x+2平行的切线斜率k=1=32x x-，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x 2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c ）2+（b-d ）2的最小值就是8． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．15．①②④ 【分析】令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭，则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得； 【详解】解：因为111235x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭， 则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭当1m =时，0x y z ===，532z y x ∴==，故④正确；由于6123111339⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，6132111228⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，113211132⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 101521112232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，101251115525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112511125⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上可得11132511101325⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1m 时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴>>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴>>，故②正确；当01m <<时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴<<，故①正确；即正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题. 16．6π． 【解析】取AC 中点D ，连接,,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC∆中，,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是,cos ,332EDO OD -∴∠==，,2BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的64=64πππ⨯，故答案为6π. 17．（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理同角三角函数的基本关系、和角公式可得结果； （2）由倍角公式和辅助角公式把函数化为3sin(2)26y B π=-+的形式，由ABC ∆为锐角三角形，求得62B ππ<<，结合正弦函数的性质求出函数的值域．【详解】 解：（1）由tan 21tan A c B b+=得，sin cos sin()2sin 1cos sin cos sin sin A B A B C A B A B B ++==，2cos sin sin sin sin A B C B C ∴=，sin sin 0≠B C ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，3A π∴=； （2）因为A B C π++=，3A π=，所以23B C π+=， 则222sin 2cos cos 1cos 22cos cos 3y B B C B B B π⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭221cos 22cos cos cos sin sin 33B B B B ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos 22cos cos 2B B B B ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭21cos2cos cos B B B B =-+cos211cos222B B B +=-+31cos2222B B =- 3sin 226B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，∴72266B πππ<+<所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31sin 2,2262B π⎛⎫⎛⎫∴-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1,22y ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的值域，三角函数的恒等变换，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 18．（1）见解析；（2）10d =. 【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离. 【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC ==在PDE ∆中PE ==在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==12PEC S ∆=⨯=，1122AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅，解得d =.19．（I ）2213x y +=；（II ）0x =或726y x =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆中的ce a=，以及222a b c =+ ，和点到直线的距离公式计算求得222.,a b c ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为2y kx =+ 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算0EC ED ⋅= ，从而求得斜率k 和直线方程.试题解析：（Ⅰ）由直线:1x yl a b -==2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；（Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为()0,1±，又∵()1,0E -， ∴，即以CD 为直径的圆过点E ；②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由222{13y kx x y =++=，得()22131290kxkx +++=，由()222144491336360k kk∆=-⨯+=->，得1k >或1k <-，∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=， 由()111,EC x y =+，()221,ED x y =+， 得()()1212110x x y y +++=，∴()()()2121212150k x x k x x +++++=，∴()()222911221501313k kk k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+； 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. 20．（1）证明见解析；（2）π6． 【解析】试题分析：（1）取AP 的中点F ，连结,DF EF ，易得DF AP ⊥，AB DF ⊥，从而得DF ⊥平面PAB ，只需证得//CE DF 即可；（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，可证得PO ⊥平面ABCD ，故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PDC 的法向量n ，利用sin cos ,n EC α=即可得解. 试题解析：（1）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥．因为侧面PAD ABCD ⊥底面,=PAD ABCD AD ⋂且AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A ⋂=，所以DF ⊥平面PAB ． 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． 又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ．（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥．因为EC =，由（Ⅰ）知，DF =又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF ==== 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥． 又因为AD AB A ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ．故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(P ，()()1,2,0,1,0,0C D --，1,2,22E ⎛ ⎝⎭，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3,0,2EC ⎛=- ⎝⎭， 设平面PDC 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n PD n PC ⎧⨯=⎨⨯=⎩所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，则()3,0,1n =-，设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin cos ,2n EC α===， 因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6α=，所以EC 与平面PDC所成角的大小为π6． 21．（1）2()e +∞；（2）证明见解析 【分析】（1）求导得到()f x '，利用导数得到()f x 的最小值，从而要使()f x 有两个零点，则()f x 最小值小于0，得到a 的范围，再利用零点存在定理证明所求的a 的范围符合题意；（2）利用分析法，要证1212x x x x <+⋅，将问题转化为证明()()112ln f x f a x <-，设函数()()()2ln g x f a x f x =--，利用导数研究()g x 的单调性，从而进行证明.【详解】函数()()1xf x e a x =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意，当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，即()2ln 0a a -<，解得2a e >， 所以ln 2a >，当1ln x a =<时，得()10f e =>，当2ln ln x a a =>时，()()22ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，设()2ln 1a a a ϕ=-+，则()2210a a a aϕ-'=-=> 所以()a ϕ单调递增，则()()22140a eeϕϕ>=+->，所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点， 所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2()e +∞. （2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==， 要证1212x x x x <+⋅，即证()()12111x x --<， 根据()()120f x f x ==， 可知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()12122111x x e x x a+--=<， 即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<， 即证212ln x a x <-， 设1ln x a <，2ln x a >，由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 故只需证明()()212ln f x f a x <-，而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <- 令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a <所以()222ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，()22222x x xx xa a e ae g x e a e e+-'=--+=- ()20x xe a e-=-<所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， 所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， 所以()()112ln f a x f x ->， 故原命题得证. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，构造函数证明不等式问题，属于中档题.22．(1) min d =(2) 121MA MB t t ⋅==. 【解析】试题分析：（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式),sin Pαα，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，12MA MB t t ⋅=联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果． （1）设点),sin Pαα，则点P 到直线l 的距离为d ==， ∴当sin 13πα⎛⎫-=⎪⎝⎭时，31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时min d =（2）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，即2233x y +=，直线1l的参数方程为21,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴121MA MB t t ⋅==.点睛：第一问考查的是点到面的距离，参数方程的一个很重要的应用就是求函数最值，设出P 点坐标的参数方程形式，最终转化为三角函数的求最值问题；第二问考查是直线参数方程中t的几何意义．答案第19页，总19页。
2019届福建厦门双十中学高三下热身考理科数学试卷【含答案及解析】
2019届福建厦门双十中学高三下热身考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（为虚数单位）的虚部为（）A． ________ _________________________________ B．______________________________________________ C． ___________ D．2. 若集合，则等于（）A． B．___________________________________C．___________________________________ D．3. 设，则“ 为等比数列”是“ ” 的（）A．充分非必要条件___________ B．必要非充分条件C．充分必要条件______________ D．既非充分也非必要条件4. 过双曲线的右焦点作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．______________________________________ B．C． ___________________________________ D．5. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）A. B. C.______________________________________ D.6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 _____________________________________ C．36 D．487. 如图，半径为2的圆与直线切于点，射线从出发，绕点逆时针旋转到，旋转过程中与圆交于，设，旋转扫过的弓形的面积为，那么的图象大致为（）8. 已知三点都在以为球心的球面上，两两垂直，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. ____________________B. ________________________C.______________________________ D.9. 若的最小正周期为，，则（）A. 在单调递增 _________________________________B. 在单调递减C. 在单调递增 _________________________________D. 在单调递减10. 设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（）A. ______________ ______________________________________B._________________________________ C._______________________ ___________ D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．12. 已知函数 = 恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（0,1）∪ （1，+∞）_______________________________________________D.（-∞，0）∪ {1}二、填空题13. 正中，在方向上的投影为，且 ,则________.14. 若，则等于_________．15. 已知是抛物线上一点，是该抛物线的焦点，则以为直径且过（ 0 , 2 ）的圆的标准方程为____________________________ .16. 定义表示实数中较大的数，已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为____________________________ .三、解答题17. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距米，，在地听到弹射声音的时间比地晚秒．在地测得该仪器至最高点处的仰角为．（Ⅰ）求，两地的距离；（Ⅱ）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为 340米 /秒）．18. 某商场每天以每件 100 元的价格购入 A 商品若干件，并以每件 200 元的价格出售，若所购进的 A 商品前 8 小时没有售完，则商场对没卖出的 A 商品以每件 60 元的低价当天处理完毕（假定 A 商品当天能够处理完） . 该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 8 小时的销售量，制成如下表格 .（Ⅰ）某天该商场共购入 8 件 A 商品，在前 8 个小时售出 6 件 . 若这些产品被 8 名不同的顾客购买，现从这 8 名顾客中随机选 4 人进行回访，求恰有三人是以每件 200 元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件 A 商品，并说明理由 .19. 如图，斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（Ⅰ ）求证：；（Ⅱ ）若，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．21. 设函数为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程 ,并证明恒成立（Ⅱ）当时，设是函数图像上三个不同的点，求证：是钝角三角形.22. 如图所示，内接于圆O，是的中点，∠ 的平分线分别交和圆于点 , ．（Ⅰ ）求证：是外接圆的切线；（Ⅱ ）若 , ，求的值．23. 在直角坐标系中， . 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，．（Ⅰ ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ ）求的取值范围．24. 已知，， .（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年高考厦门双十中学最后一卷数学(理科)
2019年厦门双十中学高考热身考试数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积、h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 独立性检验随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1．特称命题“∃实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x2．已知全集U={1，2，3}，且A ∉2，则集合A 的子集最多有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3. 已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是A ．1≥aB ．1≤aC ．1-≥a D. 3-≤a ； 4、计算()22sin 2x dx -+=⎰A ．-1 B. 1 C.8 D. -85．若()332901291xa a x a x a x -=++++，则129a a a +++=A 、1-B 、0C 、1D 、2 6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A 、2xy = B 、2log y x = C 、21(1)2y x =- D 、 2.61cos y x =7． 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是A ．2()f x x = B ．1()f x x=C ．()xf x e = D ．()sin f x x =8．将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级 至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的 分配方案有A. 12种B. 18种C. 24种D. 54种9．双曲线)0,(12222>=-b a ax b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于点M 、N ，则MN = A. a +bB. a 2C. )(222b a +D. )(222b a -10．若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)-f (x 1) |<|x 2-x 1|恒成立”，则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．xx f 1)(= B.||)(x x f = C.2)(=x f xD.2)(x x f =第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 11．若将复数2(1)(12)i i -+表示为p+qi （∈p,q R ，i 是虚数单位）的形式，则p+q= 。
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2019届福建省厦门双十中学高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由一元二次不等式的解法化简集合，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果.【详解】由题意知，，可得或，因为集合，所以.故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设，函数在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果. 【详解】因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．4．函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇偶性排除，由特殊点排除，从而可得结果.【详解】因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，可排除选项；取，则，可排除，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5．二次函数的图象如图所示，则定积分（）A．B．C．2 D．3【答案】B【解析】由图象可知，二次函数的零点为1，2，方程的根为1，2，由韦达定理求出的值，利用微积分基本定理可得结果.【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2即方程的根为1，2，由韦达定理可得.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.6．已知是定义在上的奇函数，且对任意的，都有.当时，，则（）A．B．C．0 D．1【答案】C【解析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可【详解】∵设f（x）是定义在R上的奇函数，，且对任意实数x都有f（x+3）=-f（-x）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的周期函数，∵当时，，∴，∴f（2019）=f（673×3+0）=f（0）=0f（2020）=f（673×3+1）=f（1）=0，.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．7．若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设是函数的图象上任意一点，利用在函数的图象上，可得函数的解析式.【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.因为点在函数的图象上，所以可得故选D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8．若抛物线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8，则此切线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得结果.【详解】由得，，则.抛物线在点处的切线方程是令，则令，则.于是解得所以切线方程是故选B.【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.9．设，若函数在上的最大值是3，则其在上的最小值是（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【解析】设则，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设则.因为所以当时，；当时，，即于是故选A.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.10．设，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用作差法，分别判断与的符号即可得结果.【详解】因为，所以可得因为，所以递减，所以可得，故选D.【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】求出，函数在上单调递减，等价于恒成立，由可得,从而可得结果.【详解】函数在上单调递减，等价于恒成立，因为,在上恒成立,因此,.故选B.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围12．已知函数（是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值.【详解】由题意知，.由得，因为，所以函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减. 于是函数的极小值为，即解得或当时，的极大值为.当时，的极大值为.故选A.【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.二、填空题13．设，命题“若，则”的逆否命题是__________．【答案】若，则【解析】直接利用逆否命题的定义求解即可.【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，所以“若，则”的逆否命题是，“若，则” ，故答案为若，则.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题. 要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.14．用小于号连接和，结果是__________．【答案】【解析】构造函数,利用导数可证明在内单调递减，从而可得结果. 【详解】构造函数因为，所以在内单增，在内单调递减，又因为,所以.故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.利用导数求单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.15．若函数的值域是，其中是自然对数的底数，则实数的最小值是__________．【答案】【解析】利用导数可求得当时，函数的值域是；当时，函数的值域是，从而可得，进而可得结果.【详解】当时，此时函数在上递增，值域是.当时，是减函数，其值域是.因为函数的值域是，所以.于是解得，即实数的最小值是.故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16．函数在上的零点有__________个.【答案】5【解析】令可得在上递减，在上递增，令，其中,可得在上递减，且，因为,在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点，从而可得结果.【详解】由得，.令则.在上单减，在上单增.令，其中,则，在上单减，且，所以存在唯一的，使得,因此函数在上单增，在上单减,又因为,所以在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点. 函数在上的零点有5个，故正确答案是5.【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题17．已知关于的函数，其中.（Ⅰ）当时，求满足的实数的取值范围；（Ⅱ）若当时，函数的图象总在直线的上方，求的整数值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）当时，, 即,从而可得结果；（Ⅱ）在上恒成立,等价于在上恒成立.由－在上为单增函数，可得，结合为整数，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）当时，,即故实数的取值范围是（Ⅱ）在上恒成立,即在上恒成立.因为函数在上均为单减函数，所以－在上为单增函数，最大值为.因此解得.故实数的整数值是.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.18．设，证明:函数在区间内单调递减的充要条件是.【答案】见解析【解析】充分性：两种情况，利用一次函数的单调性证明；，判断二次函数的对称轴位置，利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当时，在内单减，在内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果.【详解】先证充分性.若，则或（1）当时，在内单减.（2）当时，，在内单减，所以在内单减. 因此时，在内单减.再证必要性.若函数在区间内单调递减，分、和三类讨论.上面已证时，在内单减.当时，在内单减，在内单增，不满足在内单减. 因此函数在区间内单调递减，则.综上可知，函数在区间内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.19．已知函数，设命题“的定义城为”；命题“的值域为”.（Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）命题为真，等价于或，解得或；（Ⅱ）命题为真，等价于或解得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）命题为真，即的定义域是，等价于恒成立，等价于或解得或．故实数的取值范围为.（Ⅱ）命题为真，即的值域是，等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于或解得．若为真命题，且为假命题，则“真假”或“假真”，即或，解得或.故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，，只（2）对数型，，只需，（3）分式型，，需；只需.20．设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.（1）试证明这个不等式；（2）设函数，若在内恒成立，求实数的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）令则可得在内单减，在内单增，因此从而可得结果；（Ⅱ），当时，.由灵魂不等式定义可得，.可得，当时，.由灵魂不等式得，，因此，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）令则显然在内单减，在内单增，因此于是，即，当且仅当时等号成立.（Ⅱ）就是.当时，等号成立,当时，.由灵魂不等式得，.因此.当时，.由灵魂不等式得，.因此.综上可知，实数的值是.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 21．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金(单位:万元)随收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的.（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型:①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数符合公司要求.【解析】（Ⅰ）根据自变量的实际意义可得，值域是，；（Ⅱ）当时，的最大值是，不符合要求.当时，在定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明，符合题意.【详解】（Ⅰ），值域是，.（Ⅱ）当时，的最大值是，不符合要求.当时，在定义域上为增函数，最大值为9.令，则所以即.故函数符合公司要求.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22．函数.（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由，解得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）函数在内有两个零点，等价于方程恰有两个不相等的正实根，令，分两种情况讨论，不合题意；当时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为.，，解得.，. 当时，，则恒成立，故函数在区间上单调递增.（Ⅱ）函数的定义域为.若函数在内有两个零点，即方程恰有两个不相等的正实根，也就是方程恰有两个不相等的正实根.令，．当时，＞0恒成立，函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去.当时，由得；由得.所以函数在单调递减，在内单调递增.所以的最小值是，即，.，，解得.因为所以在内有一个零点.因为，所以.于是所以在内有一个零点.故实数a的取值范围是.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、零点甚至数列与函数单调性有机结合，设计综合题.。