2019高考数学专题等差等比数列含答案解析

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培优点十 等差、等比数列

1．等差数列的性质

例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35

【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．

2．等比数列的性质

例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200

【答案】C

【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，

从而()()2

22

71339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，

即所求表达式的值为100．故选C ．

3．等差、等比综合

例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，

则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <

【答案】B

【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，

所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；

（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）

所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．

一、单选题

1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤

【答案】D

【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15

332

a a a +=

=， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．

2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68

C ．77

D ．84

【答案】C

【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得358

14a a =⎧⎨=⎩，

根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得12

3a d =⎧⎨=⎩，

()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．

3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-

【答案】C

对点增分集训

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【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故

412

λ

+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77

【答案】D

【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222

a a a a S ++=

⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．1

2

-

B ．2-

C ．1或1

2

-

D ．1-或

12

【答案】C

【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或1

2

q =-．故选C ．

6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，21

2a -，3a 成等差数列，若11a =，

则4S =（ ） A ．5- B ．0

C ．5

D ．7

【答案】A

【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，21

2a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，

若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，

则()()

()

4

4141125112a q S q

---=

=

=----，故选A ．

7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8

D ．32log 5+

【答案】B

【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，