指数函数求值域专题
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数1．指数函数の定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。
a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c の大小关系是_____．分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x の取值围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数の值域是[)01，．评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13．评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+の图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数 , 和 の图象,则 与1の大小关系是 ( ). (分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.3，求下列函数の定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x の定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x の值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全值域为R（注意判别式）；对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+，值域为R；指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R，值域为(0,+∞)；三角函数y=sin x，y=cos x的值域均为[-1,1]；反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；y=arccos x的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；y=arctan x的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。
利用函数的单调性来求值域对于单调递增函数f(x)，其值域为[f(a),f(b)]；对于单调递减函数f(x)，其值域为[f(b),f(a)]。
利用反函数来求值域设函数f(x)的反函数为g(x)，则f(x)的值域等于g(x)的定义域，即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。
利用配方法来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式，其中a>0，(p,q)为顶点坐标，此时，y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。
利用不等式来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。
以上是常见的求值域的方法，不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，结合图像、单调性、反函数等性质进行分析，才能得出正确的结果。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。
求函数值域是数学中常见的问题。
下面介绍两种常用的方法：单调性法和换元法。
单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。
具体来说，可以先找到函数在给定区间内的单调区间，然后比较区间两端点的函数值，从而确定函数的最大值或最小值。
当顶点横坐标是字母时，需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
指数函数典型例题详细解析
指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。
2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。
3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。
1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。
2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。
例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。
例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。
例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。
2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。
考点08 指数函数(解析版)
考点31 指数函数一．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 二．．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质考向一 指数函数辨析【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学）函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值知识理解考向分析范围是（ ） A ．0,1a a >≠ B ．1a =C ．12a =D ．1a =或12a =【答案】C 【解析】函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，22321a a ∴-+=且0a >，1a ≠，由22321a a -+=解得1a =或12a =，12a ∴=，故选C ．【举一反三】1．（2021·定远县育才学校）函数(23)xy a =-是指数函数，则a 的取值范围是________． 【答案】3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为(23)xy a =-是指数函数,所以230231a a ->⎧⎨-≠⎩,解得: 322a <<或2a <<+∞即a 的取值范围是3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为: 3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2020·上海市松江二中）已知指数函数(2)xy a =-是严格增函数，则实数a 的取值范围是____. 【答案】1a <【解析】因为指数函数(2)xy a =-是严格增函数，所以21a ->，解得：1a <，故答案为：1a <. 3．（2020·全国高三专题练习）若函数21()(33)()22xf x a a a =-++-是指数函数，则实数a 的值为_________． 【答案】2【解析】因为函数21()(33)()22xf x a a a =-++-是指数函数,所以2331a a -+=且20a -=, 解得2a =.故答案为2考向二 指数函数定义域值域【例2】（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭；（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【答案】（1）定义域{|4}x x ≠，值域为{|0y y >且1}y ≠； （2）定义域{|0}x x =，值域{|1}y y =； （3）定义域R ，值域(]0,16【解析】（1）要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-，所以1421x -≠，即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且. （2）要使函数式有意义，则||0x -，解得0x =，所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的定义域为{|0}x x =.因为0x =，所以022133⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为{|1}y y =.（3）函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-，所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭，所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）函数211()2-=x f x 的定义域为___，值域为____. 【答案】{|1}x x ≠± 1(0,](1,)2⋃+∞ 【解析】∵()2112x f x -=，∴x 2﹣1≠0，即x ≠±1，即函数的定义域为{x |x ≠±1}．∴x 2﹣1)()100∞⎡∈-⋃+⎣，， ∴](()21101x ∞∈-∞-⋃+-，， ∴函数()2112x f x -=的值域为()10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为{}()1|10,1,2x x ⎛⎤≠±⋃+∞ ⎥⎝⎦， 2．（2020·上海课时练习）函数11()31xx f x -=-的定义域为__________，值域为_________.【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞ 11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】令1310x x --≠，即01313xx -≠=，则01xx ≠-，解得0x ≠且1x ≠. 即函数的定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞；当0x <时，101111x x x <=+<--，所以11203x x --<<，则111231x x -<-；当01x <<时，01xx <-，且当1x →时，1x x →-∞-，则130x x ->且130x x -→， 所以1131xx -->-，即11131x x -<--； 当1x >时， 11111x x x <=+--，则1123x x --<，所以1110231x x -<<-； 综上所述，值域为11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为: (,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞;11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）y =（2）12xx y -=.【答案】（1）{|0x x ≤或2}x ≥；（2）(0,2)(2,)⋃+∞ 【解析】（1）22320,0x y x x x -=∴-∴或2x ≥.∴定义域为{|0 2}x x x ≤或. 2200,331x xx -∴=，即1y ，∴值域为[1,)+∞.（2）12,10,1xx y x x -=∴-≠∴≠，∴定义域为{|1}x x ≠.由于1(1)1111,22111xx x x x x x --+==+≠∴≠---，且120x x ->，即0y >且2y ≠，∴值域为(0,2)(2,)⋃+∞.考向三 指数式比较大小【例3】（2021·江苏南通市·海门市第一中学）已知2225351,3,(3)2a b c -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D 【解析】()21122555522124a -=⎛⎫= ==⎪⎝⎭，()1122333339b ===，()()2511255393c ⎡⎤=-=⎣⎦=-，因为15y x =在()0,∞+单调递增，所以115549<，即a c <， 因为9xy =在R 上单调递增，1153<，所以115399<，即c b <， 所以a c b <<，即b c a >> 故选：D. 【举一反三】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）设0.49a =，0.913b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.90.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】D【解析】由题可知，0.40.83319=a >==，0.90.9313b -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，则1b a >>，又0.900.80.8=1c =<，所以c a b <<，故选：D.2．（2021·四川高三月考（文））设0.20.30.20.30.2,0.2,0.3,0.3a b c d ====.则a b c d ,,,的大小关系是（ ）A ．c a d b >>>B ．c d a b >>>C ．c a b d >>>D ．d c b a >>>【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.30.20.2a b =>=，0.20.30.30.3c d =>=， 由幂函数的单调性知：0.30.30.20.3b d =<=，0.20.20.20.3a c =<=，又0.20.10.30.10.20.040.30.027a d ==>==，∴综上有：c a d b >>>.故选：A 3．（2019·江西九江市）设e e a =，e πb =，πe c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由幂函数和指数函数知识可得e e πe >，πe e e >，即b a >，c a >. 下面比较,b c 的大小，即比较eln π与π的大小.设()eln f x x x =-，则e ()xf x x-'=， ()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，(e)(π)f f ∴>，即elne e eln ππ->-，即eln ππ<，e ππe ∴<，即c b >，即c b a >>，故选C.考向四 指数函数过定点【例4】（2020·浙江）函数12(0,1)x y a a a +=+>≠恒过定点_______． 【答案】(1,3)-.【解析】因为函数xy a =过定点(0,1)，而函数12x y a +=+是将函数x y a =的图像向左平移1个单位，向上平移2个单位得到，所以函数12x y a +=+恒过定点(1,3)-.故答案为：(1,3)-.【举一反三】1．（2021·上海市大同中学）已知函数()32x f x a -=-的图像恒过定点A ，则A 的坐标为_____________.【答案】()3,1-【解析】()xf x a =过定点（0,1），而()32x f x a-=-可以看成()x f x a =的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数()32x f x a-=-的图像恒过定点()3,1-即A ()3,1-故答案为：()3,1-2．（2021·上海市建平中学）对于任意实数a ，函数31()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________． 【答案】33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为函数31()2x f x a +=+图像可以通过x y a =向左平移3个单位得3x y a +=，再将3x y a +=图像上的点向上平移12个单位得到，且指数函数xy a =（0a >且1a ≠）恒过定点0,1， 所以函数31()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图像经过定点33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2020·江苏课时练习）已知函数93x y a -=（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，则log m n =______．【答案】12【解析】∵函数93x y a -=（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，∴90m -=，3n =，则91g31g31log log 31g921g32m n ====，故答案为：12．一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）若指数函数()()1xf x a =+是R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．()0,1【答案】C【解析】由指数函数的单调性可知011a <+<，所以10a -<<.故选C.2．（2010·吉林长春市）如果指数函数(1)xy a =-是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．2a > B ．2a <C ．1a >D ．12a <<【答案】 A强化练习【解析】由于指数函数(1)xy a =-是增函数，所以11a ->，解得2a >，故选A.3．（2021·四川雅安市）函数()f x =的定义域为（ ） A ．(]2,0- B ．()(],22,0-∞-⋃- C ．(]2,1- D ．()(],22,1-∞--【答案】A【解析】由题意13020x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得20x -<≤．故选：A ．4．（2020·全国课时练习）函数()f x = ） A ．[0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞【答案】A【解析】要使函数有意义，则需210x -≥，即为21x ≥，解得，0x ≥，则定义域为[0,)+∞.故选：A . 5．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）若2020120212020112020,,log 20212021a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D【解析】102021202020201a >==，2020011120212021b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2020102021b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，202020201log log 102021c =<=， 所以a b c >>.故选：D6．（2021·浙江丽水市）已知0.22a =，0.42b =， 1.212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】D【解析】 1.21.2122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又函数2xy =单调递增，故 1.20.20.4222-<<，即c a b <<，故选：D.7．（2021·云南高三期末）若0.52a =，0.62b =，20.6c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】D 【解析】0.60.502221>>=，即1b a >>，又200.60.61c =<=，因此，c a b <<.故选：D.8．（2021·浙江）已知函数1(0,1)xy a a a =+>≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(0,2)【答案】D【解析】对于函数1(0,1)xy a a a =+>≠，令0x =，得(0)2f =，所以图象恒过定点()0,2P ，故选：D.9．（2021·长沙市·湖南师大附中）函数()235x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数()g x 的图象上，则()2g -的值为（ ）A ．-8B ．-9C ．18-D ．19-【答案】A【解析】∵()235x f x a-=+，令20x -=，得2x =，∴()02358f a =+=， ∴()f x 的图象恒过点()2,8P ，设()g x x α=，把()2,8P 代入得28a =，∴3α=，∴()3g x x =，∴()()3228g -=-=-.故选：A10．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）函数2()3x f x a-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P又在幂函数()g x 的图象上，则()3g 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．16【答案】C【解析】∵2()3x f x a-=+，令20x -=得2x =，∴0(2)34f a =+=， ∴()f x 的图象恒过点(2,4)，设()g x x α=，把(2,4)P 代入得24α=， ∴2α=，∴2()g x x =，∴2(3)39g ==. 故选：C .11．（2020·毕节市实验高级中学）函数11x y a +=+(0,1)a a >≠的图象一定经过点（ ）A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(1,2)-D ．(1,1)【答案】C【解析】由解析式可得当1x =-时，012y a =+=，故函数过定点(1,2)-.故选：C.12．（2020·浙江高一期末）已知()()25xf x m m m =--⋅是指数函数，则实数m 的值是___________．【答案】3 【解析】()f x 是指数函数，251m m ∴--=，解得3m =或2-，2m =-不满足题意故舍去，∴3m =.故答案为：313．（2020·全国单元测试）指数函数f （x ）=（a ﹣1）x在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____． 【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，∴a ﹣1＞1，即a ＞2，故a 的取值范围是（2，+∞）故答案为（2，+∞）．14．（2020·全国高三专题练习）函数()1f x x =-__________. 【答案】(2,1)-【解析】函数()f x =的自变量x 满足：2650140210x x x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩， 解得6121x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩即 21x -<<.故答案为：(2,1)-15．（2021·湖南长沙市）函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(0,2] 【解析】设21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为211t x =-≥-，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数， 所以111022t -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1022t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭， 所以函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,2]，故答案为：(0,2]16．（2021·曲靖市沾益区第四中学）函数()423x f x a-=+（0a >，且1a ≠）恒过一个定点，则该点的坐标为_________.【答案】()4,5【解析】令40x -=得4x =，5y =.所以()45f =，所以函数()f x 恒过定点()4,5故答案：()4,517．（2021·山东济宁市）已知函数1()2x a f x ax -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________.【答案】()1,4【解析】1x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)．故答案为：(1,4)．18．（2020·浙江高一期末）函数123x y +=的定义域为__________，值域为_________．【答案】{}|2x x ≠- {0y y 且}1y ≠【解析】由题意可得20x +≠，解得：2x ≠-，所以函数的定义域为：{}|2x x ≠-， 令12t x =+，则0t ≠，12303t x y +=>=且03y ≠，即1y ≠， 故函数123x y +=的值域为{0y y 且}1y ≠，故答案为：{}|2x x ≠-；{0y y 且}1y ≠19．（2020·浙江杭州市·学军中学高一期中）函数1()2x x f x +=的定义域是__________________；值域是_________________.【答案】(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)⋃+∞； 【解析】由题意知：指数1x x+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞， 令111t x=+≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈⋃+∞， 故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)⋃+∞； 20．（2021·长春市第八中学）若函数23x y a -=+，(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________，若点P 在角θ的终边上，则2sin 3cos sin θθθ=-________. 【答案】(2,4) 4【解析】对于函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)P ，点P 在角θ的终边上， 4tan 22θ∴==， ∴2sin 2tan 2243cos sin 3tan 32θθθθθ⨯===---， 故答案为：(2,4)，4．。
值域例题及其解答
1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．考点：函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。
1457182专题：计算题。
分析：由可求A，由可求B可求解答：解：由题意可得∴A=[2，+∞），∵∴B=（1，+∞），C R A=（﹣∞，2），C R B=（﹣∞，1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2，+∞）∴（C R A）∩（C R B）=（﹣∞，1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．考点：函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。
1457182专题：计算题。
分析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）在（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．解答：解：（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x==2，∴b=﹣4，函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3，解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：1和3满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数所以函数在x=2时，有最小值为﹣1，最大值小于f（0）=3因而函数在区间（0，3]上的值域的为[﹣1，3）．点评：本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．3．求函数的值域：．考点：函数的值域。
专题：求函数值域的常用方法及值域的应用
例 4.求函数
的值域．
05.图解法（数形结合）
7
例
1.设函数
y
f
x 定义域为 R
，对给定正数 M
，定义函数
fM
x
f x, f x
M
,
f
x
M
M
则称函数
fM
x为
f
x 的“孪生函数”，若给定函数
f
x
2 x2, 2
2
x
1,
x
0
x
0 ,M
1，
则 y fM x 的值域为（
）
A. 2,1
5
04.单调性法
函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可
快速求出函数的值域
（1） 判断函数单调性的方法与结论：
① 增 增 增 减 减 减 1 增 减
若函数的符号恒正或恒负，则
1 增
减
② 复 合 函 数 单 调 性 ： 复 合 函 数 y f g x 可 拆 成 y f t, t g x， 则 若 y f t, t g 的x 单调性相同，则 y f g x 单调递增；若 y f t,t g x 的单调 性相反，则 y f g x 单调递减
x 1 x
6
A. ,1
B. ,1
C. 0,1
D. 0,1
思路：函数的定义域为 x 1，从而发现 1 x 1 x ，所以函数的解析式为
f x x 1 x ，观察可得 f x 为增函数 ，且 x 时， f x ，所以当
x ,1 时， f x 的值域为 ,1
例 3.函数 f x 3 2x 5 的值域为________
x 1
例 4.函数 f x 4x 2x1 8, x 2,2的值域为__________
高考数学专题复习：指数函数
高考数学专题复习：指数函数一、单选题1．设函数13,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若5[()]46f f =，则a =（ ）A ．2B ．12 C ．34D ．782．设函数3,1()2,1x x a x f x x +≤⎧=⎨>⎩，若183f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ） A ．74-B ．54C ．2D ．54或23．若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),a +∞，则a 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．24．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．3±B ．3C．D5．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞6．函数y = ）A ．(,3)-∞B ．(,3]-∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知133a =，159b =，295c =，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．指数函数2x y =的图象一定经过点（ ）A ．()0,1B ．()1,1C ．()1,1-D ．()1,1-9．已知函数()()231xg x a a R =-∈+是奇函数，则函数()g x 的值域为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(]1,1-D ．(),1-∞10．函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．0,1B ．()1,1C ．()2,1D ．1,211．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（ ）A ．4-B ．52-C ．4D ．5212．已知函数221,02,()()1,20,x x f x g x ax x x ⎧-≤≤==+⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,2]-D ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数2,1()2,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则((3))f f 的值为________.14．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠），()12f =，则函数()f x 的解析式是________.15．若函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数2()89f x x x =++，2()422x x g x +=-+-．若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为________． 三、解答题17．若函数31()31x x a af x --=-为奇函数．（1）求a 的值； （2）求函数的值域．18．已知函数()131x mf x =++为奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）求不等式()21102f x x --+<的解集．19．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对在意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立，求k 的取值范围．20．已知函数1()(0xx b f x a a a-=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．21．已知函数()323,()3x x f x g x =-⋅=.（1）当[1,2]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,2]x ∈不等式[]2()()3f x m g x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.22．设a 是实数，函数()()2xx f x ee a x R =+-∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数； （2）若a y x =在0,单调递减，求满足不等式()2f x a >的x 的取值范围；（3）求函数()f x 的值域(用a 表示).参考答案1．A 【分析】根据给定的分段函数求出5()6f 的值，列出关于a 的方程即可得解. 【详解】依题意，551()32662f =⋅-=，则25[()](2)6f f f a ==，于是得24a =，解得2a =或2a =-(不符合题意，舍去)， 所以2a =. 故选：A 2．C 【分析】求出113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据1a +的范围分类计算求解．【详解】由已知113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0a ≤时，1(1)3(1)83f f f a a a ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，54a =，不合题意，0a >时，11(1)283a f f f a +⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2a =． 综上，2a =． 故选：C ． 3．B 【分析】分别求出1x <和1≥x 时的()f x 的范围，然后结题意可得12a ≤且1142a +≥，从而可求出a 的范围，进而可得答案 【详解】解：当1x <时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111222x ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭当1≥x 时，1()4xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1111444x a a a a ⎛⎫⎛⎫<+≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),4f x a a ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦，因为()f x 的值域为(),a +∞， 所以12a ≤且1142a +≥，解得1142a ≤≤， 所以a 的最大值为12， 故选：B 4．D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可 【详解】解：将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，则()3x g x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为2233x xy a a a -==， 因为所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，所以231a=，23a =，解得a a =， 故选：D 5．C 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >,101yy+∴>-， ∴11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C6．D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得280x -≥，所以322x ≥，解得3x ≥． 故选：D. 7．C 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可 【详解】∵111365399a b ==<=，21119993525273c a ==<==， ∴c a b <<． 故选：C ． 8．A 【分析】结合选项中的点，带入函数解析式检验即可得出结果. 【详解】当0x =时，0221x y ===，所以指数函数2x y =的图象一定经过点()0,1，故A 正确； 当1x =时，12221x y ===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1，故B 错误；当1x =-时，112212x y -===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故C 错误； 当1x =时，12221x y ===≠-，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故D 错误； 故选：A. 9．A 【分析】由()00g =可构造方程求得1a =，验证可知满足题意；根据30x >，由不等式的性质可求得()g x 的范围，从而得到所求值域.【详解】由题意知：()g x 定义域为R ，()g x 为定义在R 上的奇函数，()0201031g a a ∴=-=-=+，解得：1a =， 此时()23113131xx x g x -=-=++，()()1113311313x x x xg x g x ---===-++，满足题意； 30x >，311x ∴+>，20231x ∴<<+，22031x ∴-<-<+，()11g x ∴-<<， 即()g x 的值域为()1,1-. 故选：A. 10．D 【分析】根据指数函数过定点求解即可. 【详解】解：因为指数函数x y a =（0a >且1a ≠）过定点0,1， 所以令10x -=得1,2x y ==所以函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,2P故选：D 11．B 【分析】由奇函数的性质有(1)(1)=--f f ，结合0x <的函数解析式即可求值. 【详解】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-.故选：B 12．A 【分析】作出函数()f x 的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出函数221,02(),20x x f x x x ⎧-=⎨--<⎩的图象如图：则当[2x ∈-，2]，()f x 的最大值为()23f =，最小值(2)4f -=-，若0a =，()1g x =，此时满足1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 若0a ≠，则直线()g x 过定点(0,1)B ，若0a >，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ， 即213a +且214a -+-， 即1a 且52a， 此时满足01a <，若0a <，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ， 即213a -+且214a +-， 即1a -且52a -， 此时满足11a -<， 综上11a -，故选：A 13．12 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由2,1()2,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩， 则11((3))(1)22f f f -=-==.故答案为：1214．()()2xf x x R =∈【分析】由()12f =可求得a 的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由已知可得()12f a ==，因此，()2xf x =.故答案为：()()2xf x x R =∈.15．34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由分段函数的两段都递减，两个端点的函数值满足左大右小可得． 【详解】解：函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数， 所以()()5400211547321a a a a a ⎧-<⎪<-<⎨⎪-+-≥-⎩，解得4511235a a a ⎧<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，即3455a ≤<，所以实数a 的取值范围是34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．16．1- 【分析】由已知可得，函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集，分别求出函数()f x 的值域和()g x 的值域，利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立， 即函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集.当(0,)x ∈+∞时，21x >，所以222()422(2)422(22)22x x x x x g x +=-+-=-+⨯-=--+≤， 所以()(,2]g x ∈-∞，又22()89(4)7f x x x x =++=+-的图象开口向上，其对称轴为4x =-， 当54a -<<-时，函数()f x 的值域为2[+89,6]a a +-，符合题意； 当43a --≤≤时，函数()f x 的值域为[7,6]--，符合题意； 当3a >-时，函数()f x 的值域为2[7,+89]a a -+，要满足题意，则2892a a ++≤，解得71a -≤≤-，又3a >-，所以31a -<≤-， 综上51a -<≤-所以实数a 的最大值为1-. 故答案为：1- 【点睛】方法点睛：等式任意性和存在性的混合问题，可以转化为两个函数在各自定义域下的值域包含问题.17．（1）12a =-；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）由于()f x 为奇函数，所以可得()()f x f x -=-，从而可求出a 的值； （2）由（1）可得11()231xf x =---，然后由30x >结合不等式的性可求出函数的值域 【详解】解：（1）函数31()31x x a af x --=-为奇函数．∴31313131x x x x a a a a------=---，即3313x x x a a a a --=--+，2(31)13x x a ∴-=-可得：12a =-．（2）由（1）可知1113(31)111222()3131231x x x x xf x -----===-----． 由310x -≠，得0x ≠， 所以30x >且31x ≠所以1310x -<-<或310x ->， 所以1131x <--或1031x >-， 所以1112312x-->-或1112312x --<--， 所以函数()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．（1）2m =-；（2）()f x 在R 上单增，证明见解析；（3）{}01x x <<. 【分析】（1）由奇函数的性质可知()00f =，求得m 后，再验证函数是奇函数；（2）利用单调性的定义，判断函数的单调性；（3）()112f =，不等式变形为()()211f x x f --<-，利用函数的单调性求x 的取值范围. 【详解】 解：（1）()f x 为奇函数，定义域为R ，∴()0f x =，即102m+=， ∴2m =-，经检验，符合题意．（2）()f x 为R 上的增函数，设12x x <，则()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x ----=-=++++，12x x <，∴1233x x <，1310x +>，2310x +>，∴()()120f x f x -<， ∴()f x 在R 上单增．（3）()2111312f =-=+ ∴()()2110f x x f --+<， ∴()()211f x x f --<-，()f x 为奇函数，()()11f f -=-，∴()()211f x x f --<-，()f x 为R 上增函数，∴211x x --<-， ∴01x <<，所以不等式的解集是{}01x x <<. 19．（1）2,1a b ==；（2）[)16,+∞ 【分析】（1）根据()00=f ，可得1b =，再由11f f即可求解，最后检验即可；（2）先判断()f x 的单调性，利用单调性解不等式 . 【详解】解：（1）∵因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+. 又由11f f，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当2a =，1b =时，121()22x x f x +-+=+，此时111211221222()(22)2x x x x x x f x f x --+++-+-+-+==+-=--+=+，满足题意.所以2a =，1b =（2）由（1）知：121()22x x f x +-+=+. 任取12,x x R ∈且12x x <，则1212121212111111122121(21)(22)(22)(21)2222(22)(22)()()x x x x x x x x x x f x f x ++++++-+-+-++-+-+-=+-=+++1212121111222222(22)(22)x x x x x x ++++-+-+=++2112221122(22)(22)x x x x ++++-=++因为12x x <，所以1222x x <，所以212222x x ++>，所以12()()f x f x > 所以121()22x x f x +-+=+为减函数.所以对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立等价于对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()()222222f t t f t k f k t +>--=-恒成立，所以2222t t k t +<-对任意的[1,2)t ∈-恒成立， 所以232t t k +<对任意的 [1,2)t ∈-恒成立，因为二次函数性质得函数232y t t =+在区间[1,2)t ∈-上的函数值满足1163y -≤<，所以16k ≥，即k 的取值范围为[)16,+∞ 20．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案. (2)由题意1()1xg x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】(1)函数1()(0)xxb f x a a a -=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数 所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b =(2) 11()()111x xxx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111x a-<--即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<- 21．（1）[]126,6--；（2）(,24]-∞. 【分析】（1）由题设令3[3,9]x t =∈，则()()242k t h x t t ==-，根据二次函数的性质即可求值域；（2）由题设结合（1）2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立，当3t =时易知不等式恒成立，当(3,9]t ∈时，令2(32)()(3)t t t ϕ-=-则只需min ()m t ϕ≤，结合基本不等式即可求参数范围.【详解】（1）由题设，若3[3,9]x t =∈，∴()()()()224242212k t h x t t t t t ==-=-=--+，则对称轴为1t =且开口向下， ∴[3,9]t ∈上()k t 单调递减，即()()[]126,6k t h x =∈--， ∴()h x 的值域为[]126,6--.（2）由（1）知：2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立， ∴当3t =时，2(323)(33)m -⨯≥-，即90≥对任意m 都成立，当(3,9]t ∈，即3(0,6]t -∈时，2(32)9944(3)12(3)33t m t t t t t -≤=+=-++---恒成立，∴9()4(3)1212243t t t ϕ=-++≥=-当且仅当9[3,9]2t =∈等号成立，∴仅需min ()m t ϕ≤，即24m ≤即可. ∴实数m 的取值范围(,24]-∞.22．（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）根据奇函数的性质(0)0f =是否成立，即可证明；（2）由题设易知0a <，令0x t e =>，则()()[(1)]0h t t a t a =-++>，讨论102a >>-、112a -≤<-、1a <-，求解集即可.（3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-，讨论0a ≤、102a ≥>、12a >，结合分段函数的性质求值域范围. 【详解】（1）由题意，(0)1|1|0f a =+-≠，而()f x 定义域为x ∈R ，与奇函数的性质矛盾， ∴函数()f x 不是奇函数，得证. （2）a y x =在0,单调递减，则0a <，即2()x x f x e e a =+-，∴2()f x a >，令0x t e =>，则22()()()[(1)]0h t t t a a t a t a =+-+=-++>， 当102a >≥-，有(1)t a <-+或t a >，故解集为0t >，此时x ∈R ；当112a -≤<-有t a <或(1)t a >-+，故解集为0t >，此时x ∈R ；当1a <-，有(1)t a >-+，此时ln[(1)]x a >-+；综上，10a -≤<时，x ∈R ；1a <-时，(ln[(1)],)x a ∈-++∞. （3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-， 当0a ≤时，2()(0)g t t t a g a =+->=-； 当102a ≥>时， 1、若t a ≥，22()()g t t t a g a a =+-≥=；2、若0a t >>，)22211()(),24g t t t a t a a a ⎡=-+=-+-∈⎣； 此时2()g t a ≥； 当12a >时， 1、若t a ≥，22211()()()24g t t t a t a g a a =+-=+--≥=；2、若0a t >>，221111()()()2424g t t t a t a g a =-+=-+-≥=-，此时1()4g t a ≥-.综上，0a ≤时，()f x ∈(,)a -+∞；102a ≥>时，()f x ∈2[,)a +∞； 12a >时，()f x ∈1[,)4a -+∞；。
第17讲 指数函数及性质八大题型总结(原卷版)
2．（2021·全国高一课时练习）下列判断正确的是（）
A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83
C．4 ＜π D．0.90.3＞0.90.5
3.（2022·全国·高一课时练习）已知 ， ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
题型六：解指数函数不等式
【例1】若 ，则实数a的取值范围是.
2.指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
6．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在 上的奇函数 ．在 时， ．
(1)试求 的表达式；
(2)若对于 上的每一个值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
7．（2022·福建福州·高二期末）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
第17讲 指数函数及性质八大题型总结
【知识点梳理】
1.指数函数的定义及图像
图象
性质
①定义域 ，值域
② ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ即时 ， ，图象都经过 点
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时，
时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
题型七：指数函数的值域问题
【例1】已知 ，求 的最小值与最大值。
专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。
指数函数的定义域和值域
指数函数的定义域和值域指数函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义域和值域与其特殊的性质有密切关系。
在本文中，我将深入探讨指数函数的定义域和值域，并分享我的观点和理解。
1. 什么是指数函数？指数函数是一种以底数为常数的指数幂形式表示的函数。
一般情况下，指数函数的形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是底数，x是指数，f(x)是函数的值。
2. 定义域是什么？指数函数的定义域是指能够使函数有意义的x的值的集合。
由于指数函数中涉及到幂运算，我们需要考虑底数a的取值范围以及指数x的限制。
2.1 底数a的取值范围指数函数中底数a一般取正实数，即a > 0。
这是因为负数或零作为底数会导致函数值的复数结果，而指数函数一般被定义在实数范围内。
考虑a > 0可以保证指数函数有实数解。
2.2 指数x的限制指数函数中的指数x可以取任意实数值，即x ∈ R。
这意味着指数函数在实数轴上是连续的，可在任何实数点处取值。
指数函数的定义域可以表示为：x ∈ R。
3. 值域是什么？值域是指函数能够取到的所有函数值的集合。
对于指数函数，其值域取决于底数a的取值范围。
3.1 当底数0 < a < 1时当底数a位于0和1之间时，指数函数的值域是(0, +∞)，即大于0的所有正实数。
这是因为指数函数中底数小于1时，随着指数的增加，函数值会趋于0，并无上界。
3.2 当底数a > 1时当底数a大于1时，指数函数的值域是(0, +∞)。
与上述情况类似，随着指数的增加，指数函数的函数值也会趋于无穷大。
指数函数的值域可以表示为：f(x) > 0。
总结回顾：指数函数的定义域为实数集合R，表示函数有实数解。
而值域则为大于零的所有正实数。
根据底数a的取值范围的不同，指数函数的值域可能有所不同。
对于指数函数的观点和理解：指数函数是数学中一种重要而常见的函数形式，它在各个领域中都有广泛的应用。
其特点在于底数的大小和指数的变化会导致函数值的变化范围。
求指数型函数值域的常用方法
求指数型函数值域的常用方法求指数型函数的值域是一个难点，下面举例说明常见的四种类型及其相应的求法，供同学们在学习中参考．一、观察法例1 求下列函数的值域:412)1(-=x y ;1213)2(+-=x x y ． 【解析】(1)观察可知041≠-x ，所以122041=≠=-x y ， 又0>y ，所以0>y 且1≠y ．即原函数的值域为:{}10≠>y y y 且． (2)因为21)12(23211223)12(21121≠+-=+-+=+-x x x x x ， 所以33321121=≠=+-x x y ．又0>y ，所以0>y 且3≠y ． 所以，原函数的值域为: {}30≠>y y y 且． 点评：一般的，型如d cx b ax my ++=函数的值域，可用观察法来求．观察时要注意考虑两个方面:①函数d cx b ax t ++=的值域ca t ≠;②对函数t m y =有0>y ． 二、逆求法例2 求下列函数的值域：1212)1(+-=x x y ；xx xx y --+-=10101010)2(． 【解析】(1)原函数可变为：122-=+⋅x x y y ，即:yy x +---=112．因为02>x ，即: 011>+---y y ，亦即: 011<-+y y ，所以，11<<-y ． 所以原函数的值域为: {}11<<-y y ． (2)原函数即11011022+-=x x y ，所以y y x +---=1110． 因为010>x ，所以11<<-y ．所以原函数的值域为: {}11<<-y y ． 点评：一般的，型如na m a y x x +-=函数的值域，都可用逆求法获解． 三、单调性法例3 求下列函数的值域x x y 22)21()1(+=;)1(3)2(<=-x y x ． 【解析】(1)因为11)1(222-≥-+=+x x x ． 又函数t y )21(=在R 上是减函数，所以2)21()21(122=≤=-+x x y ． 又0>y ，所以20≤<y ．所以原函数的值域为: {}20≤<y y ．(2)因为1<x ，所以0≤-x ，又t y 3=在R 上是增函数，所以1330=≤=-x y ． 又0>y ，所以10≤<y ．所以原函数的值域为: {}10≤<y y ．点评：一般的，型如)(x f ay =函数的值域，可用单调性求解．四、换元法例4 求下列函数的值域)20(524)2(;)31(29)1(121≤≤+-=⋅+=+--x y y x x x x ． 【解析】(1)令x t )31(=，则0>t ，原函数变为:)0(22>+=t t t y ． 由二次函数的图象，易知，0>y ．所以，原函数的值域为: {}0>y y(2)令x t 2=，由20≤≤x 有41≤≤t ，原函数变为: )41(52212≤≤+-=t t t y ． 由二次函数的图象知，当2=t 时，3min =y ，当4=t 时，5max =y． 所以，原函数的值域为: {}53≤≤y y ．。
指数函数定义域及值域
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√（2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√（2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为。
点评：算术平方根具有双重非负性,即：(1）被开方数的非负性,（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了,不失为一种巧法。
练习：求函数y=［x](0≤x≤5）的值域。
（答案:值域为：｛0,1,2，3,4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1）/（x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为：x=(1－2y)/（y－1)，其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y∣y≠1,y∈R}.点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一.练习：求函数y=(10x+10—x)/(10x－10—x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y〉1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2）的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈［－1,2].此时－x2+x+2=－(x－1/2）2＋9/4∈［0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是［0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案：值域为{y∣y≤3｝）四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
高中试卷-专题4.2 指数函数(含答案)
专题4.2 指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域R , 值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R 上是减函数(2)在R 上是增函数性质（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数共性函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>10<a<1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1a>1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=ka x 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
(完整word版)指数函数复习专题(含详细解析)
第讲指数函数时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．在区间上为增函数的是（ B ）A ． B． C． D．2．函数是单调函数时，的取值范围( A ）A． B ． C ． D．3．如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有（ A ）A．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值4．函数，是（ B ）A．偶函数 B ．奇函数 C．不具有奇偶函数 D ．与有关5．函数在和都是增函数，若，且那么（ D )A． B． C． D ．无法确定6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ B ）A． B． C． D．12三、方法培养☆专题1：指数函数的定义一般地，函数x y a =(a ＞0且a ≠1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R 。
例1指出下列函数那些是指数函数:（１）4x y =(２）x y 4=(３)4xy -= (４))4(-=xy (５）π=y x（6）x y 24=（7）xxy =（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x解析：利用指数函数的定义解决这类问题。
解：(１），（５），（８）为指数函数变式练习11函数2(33)x y a a a =-+⋅是指数函数，则有（）Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案：C 2. 计算:105432)(0625.0833416--+++π; 解：（1）105432)(0625.0833416--+++π =（425)21+（827)31+（0。
062 5）41+1-21=（25）2×21+（23）313⨯+（0。
5）414⨯+21=25+23+0。
5+21 =5;☆专题2：指数函数的图像与性质一般地，指数函数y=a x在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a ＞1 0＜a ＜1 图象3性质 ①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1),即x=0时y=1④在R 上是增函数，当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时，y ＞1 ④在R 上是减函数，当x ＜0时，y＞1；当x ＞0时,0＜y ＜1在同一坐标系中作出y=2x和y=（21）x 两个函数的图象，如图2—1-2-3。
指数函数定义域值域复合函数单调性平移轴对称PPT讲稿
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2 4x
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2 4x
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
指数函数定义域值域复合函数 单调性平移轴对称课件
一.求指数型复合函数的定义域、值域： 1
(1) y 0.4 x1 (2) y 3 5x1
(3) y 2x 1
(4) y 4x 2x1 1
二.求下列函数的定义域、值域：
1
(1) y 32 x
(2) y ( 1 ) x1 2
(3) y ( 1 )x24x 4
单调区间为（ －∞ ，＋∞ ）
函数在该区间上是减函数
(2) f (x) ( 1 )|x1| 2
单调区间为： （－∞，1]、 [1，＋∞）
2 4x
(3) y 2x 1, y 2x 1. y
9
比较函数
8
y 2x
7
6
y 2x 1
5
y 2x 1
4
3
的图象关系.
2
1
-4 -2 O
2 4x
小 结：
f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.
-2 O
2 4x
(2) y 2x1 , y 2x2
专题2-1 函数性质1：值域12类归纳-(解析版)
专题2-1 函数性质1：值域12类归纳目录一、热点题型归纳 ...................................................................................................................................... 1 【题型一】值域基础1：幂函数求值域.................................................................................................... 1 【题型二】值域基础2：指数函数求值域................................................................................................ 3 【题型三】值域基础3：对数函数求值域................................................................................................ 3 【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域 .................................................................... 6 【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域 ...................................................................... 8 【题型六】值域基础6：分段函数与值域.............................................................................................. 10 【题型七】值域基础7：绝对值函数求值域 .......................................................................................... 12 【题型八】值域基础8：“无理函数”求值域 ........................................................................................ 14 【题型九】“高斯函数”与值域 .............................................................................................................. 16 【题型十】“保值函数”与值域 .............................................................................................................. 18 【题型十一】“放大镜”函数与值域....................................................................................................... 20 【题型十二】抽象函数、复合函数与值域............................................................................................. 22 【题型十三】值域综合 ............................................................................................................................ 24 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 26 三、模拟检测 .. (28)【题型一】值域基础1：幂函数求值域【典例分析】若函数()f x =（,,a b c ∈R ）的定义域和值域分别为集合,A B ，且集合{(,)|,}x y x A y B ∈∈表示的平面区域是边长为1的正方形，则b c +的最大值为__________． 【答案】5【详解】由题可知，2040a b ac -，，则A =⎢⎥⎣⎦ ，0B ⎡=⎢⎢⎣， 因为(){|}x y x A y B ∈∈，， 表示的平面区域是边长为1的正方形，1=，可得4a =-，21616b c += ，2116b c =-，所以()2211851616b bc b b +=-++=--+，当8b =时有最大值5．1.设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=，∵f (x )值域为[]0,∞+，∵0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222*********m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∵221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∵222211m n n m +++∵[1,13].故答案为：[1,13]. 2.已知函数3()3f x x x =-在()25,1x m m ∈--的值域为[](),a b b a >，则实数m 的取值范围为________.【答案】由函数知()f x 存在极大、小值，而()25,1x m m ∈--的值域为[](),a b b a >，则()25,1m m --必包含极值点，列不等式组求m 的取值范围.【详解】由解析式知：2()3(1)f x x '=-，∵(,1)-∞-、(1,)+∞上()0f x '>，即()f x 单调递增；(1,1)-上()0f x '<，即()f x 单调递减； ∵()f x 有极大值(1)2f -=，极小值(1)2f =-，由题意知：2,2a b =-=，即有：222155111(5)2(1)2m m m m f m f m ⎧->-⎪-<-⎪⎪->⎨⎪-≥-⎪⎪-≤⎩m ≤，故答案为：3.已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.【答案】3【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-,必有1a b ≤-≤,[][,]3,1a b ⊆-,3a =-或1b =,再根据求⋅a b 的最大值最好是正值,可得0a <, 0b <,即⋅a b 的最大值为()()313-⨯-=.【详解】画出函数()22f x x x =+的图像可知,要使其在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-,由于有且仅有()11f -=-,所以1[,]1a b a b -∈⇒≤-≤, 而()()313f f -==,所以有[][,]3,1a b ⊆-,3a =-或1b =, 又∵0a <,⋅a b 的最大值为正值时,0b <, ∵1,3b a ≠=-,所以3a b b ⋅=-,当b 取最小值时,,⋅a b 有最大值. 又∵1b ≥-,∵⋅a b 的最大值为()()313-⨯-=； 故答案为：3.【题型二】值域基础2：指数函数求值域【典例分析】函数()(,)1xb f x a a b R e =+∈+是奇函数，且图象经过点1ln 3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的值域为______ 【答案】(1,1)-【分析】由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可.【详解】函数是奇函数，则:0(0)012b bf a a e =+=+=+∵, 结合函数所过的点可得:ln31ln 3142b b f a a e ∵,∵∵联立可得:12a b =⎧⎨=-⎩， 则函数的解析式为:2(x)11x f e -=++，结合指数函数的性质可得:11x e +>，2(2,0)1xe -∈-+，2()1(1,1)1x f x e -=+∈-+. 故答案为：(1,1)-.【变式演练】 1.函数的值域为_________．【答案】．【详解】试题分析：设，因为所以又函数为增函数，有所以函数的值域为． 2.关于函数1()42xf x =+的性质，有如下四个命题： ∵函数()f x 的定义域为R ； ∵函数()f x 的值域为(0,)+∞；∵方程()f x x =有且只有一个实根； ∵函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是_____． 【答案】∵∵∵【分析】∵可以利用指数函数的值域得到40x >，从而求出定义域；∵利用40x >得到值域；∵构造函数，求导，求出单调性，结合零点存在性定理求出答案；∵求出1(1)()2f x f x ++-=，从而得到函数()f x 关于点11,24⎛⎫⎪⎝⎭对称，故()f x 的图象是中心对称图形. 【详解】∵因为40x >，所以函数1()42x f x =+的定义域为R ，∵正确；∵因为40x >，所以函数1()42x f x =+的值域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，∵错误；∵令()142xg x x =-+，则()()24ln 41042x x g x '=--<+恒成立，故()142x g x x =-+单调递减，又()1003g =>，()11106g =-<，故由零点存在性定理及函数单调性可知：方程()f x x =只有一个实根，∵正确； ∵1111(1)()42422x x f x f x +-++-=+=++，所以函数()f x 关于点11,24⎛⎫⎪⎝⎭对称，∵正确． 故答案为：∵∵∵ 3.已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（ ）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =， 当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =， 所以函数()y f x =的值域为[]3,4. 故选：B【题型三】值域基础3：对数函数求值域【典例分析】设函数()=log (01)a f x x a a >≠且的定义域为[,])m nm n <（，值域为[0,1]，若n m -的最小值为13，则实数a 的值是_____________．【答案】32或23【分析】根据题意()=log a f x x ，利用函数图像的变换，作出()=log a f x x 的图像，根据图像特点，结合题意，分01a <<和1a >进行讨论，列出关于a 的等式关系，即可求解出结果．【详解】如图所示，做出()=log a f x x 的图像，若01a <<，当1n =时，log 1a m =时，1233n m a -=⇒=． 若1a >时， 当1n =时，log 1a m =-，1332n m a -=⇒=．综上所述，32a =或23【变式演练】1.若函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则实数k 的取值范围为_____．【答案】1[0,][1,)4+∞【分析】将问题转化为()21214kx k x +-+能取尽所有的正数，然后再分0k =和0k ≠两种情况，并结合函数的性质求解即可．【详解】∵函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，∵()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数．∵当0k =时，()14g x x =-+，能取尽所有的正数，符合题意；∵当0k ≠时，要使()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数，则需满足()220214510k k k k k >⎧⎪⎨=--=-+≥⎪⎩，解得104k <≤或1k ≥， 综上可得104k ≤≤或1k ≥,∵实数k 的取值范围为][10,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.2.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，则b 与c 的和为_______． 【答案】4或0【详解】试题分析：本题是已知函数值域，求参数值问题，可根据题意知函数定义域为R ，由值域反过来求，即由已知得2221x bx cx +++的值域是[1,3]，从而有222221,1{231x bx cx x bx c x ++≥+++≤+即2210,{30,x bx c x bx c ++-≥-+-≥，注意两个不等式中等号一定成立，因此两式的判别式为0，由此可求得,b c 值． 试题解析：因为()f x 的值域为0,1，即23220log 11x bx cx ++≤≤+，所以222221,1{231x bx cx x bx c x ++≥+++≤+即2210,{30,x bx c x bx c ++-≥-+-≥ 21224(1)0,{4(3)0,b c b c ∆=--≥∆=--≥当且仅当120,{0∆=∆=时，222011x bx cx ++≤≤+取等号． 解方程组可得2,{2b c ==或2,{2.b c =-= 3.已知函数()()2lg 1f x ax x =++.设命题():p f x 的定义域为R ，命题():q f x 的值域为R .若p q ∨为真，p q∧为假，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[)0,∞+ D ．()0,∞+【答案】C【分析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得,p q 为真命题时a 的取值范围，根据p q ∨和p q ∧的真假性可知,p q 一真一假，分类讨论可得结果.若命题p 为真，则210ax x ++>在R 上恒成立，0140a a >⎧∴⎨-<⎩，1,4a ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭；若命题q 为真，则21y ax x =++的值域包含()0,∞+，则0a =或0140a a >⎧⎨-≥⎩， 10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦；p q ∨为真，p q ∧为假，,p q ∴一真一假，若p 真q 假，则1,4a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；若p 假q 真，则10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,∞+. 故选：C.【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域【典例分析】已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是_________．【答案】52【详解】试题分析：因为当d x c ≠-时，对于任意实数x ，均有()f f x x =⎡⎤⎣⎦，所以ax ba bcx d x ax b c dcx d +⨯++=+⨯++，即()()()2220a d cx d a x b a d ++--+=，因为()()()2220a d cx d a x b a d ++--+=对dx c ≠-恒成立，所以0a d +=且220d a -=，所以d a =-，因为()22f =，()33f =，所以2和3是方程ax bx cx d+=+的两个根，即2和3是方程()20cx d a x b +--=的两个根，所以5a d c -=，6b c-=，由{56d a a dc b c =--=-=得：52{652a cb c d c ==-=-，所以()5165125225252252cx cx f x x x cx c --===+---，即()f x 取不到52这个数，所以()f x 值域中取不到的唯一的实数是52，所以答案应填：52．【变式演练】1.设x ∈R ，函数INT()x 表示不超过x 的最大整数，例如INT(0.1)1-=-，INT(2.8)2=，若函数222()1x f x x -=+，则函数INT(())y f x =的值域是（ ） A ．{2} B ．{0,1,2} C ．{1,0,1,2}- D ．{0,1} 【答案】C【分析】23()11=-++f x x 可得1()2f x -<≤，分1()0f x -<<、0()1f x ≤<、1()2f x ≤<、()2f x =根据定义可得答案.2222223(1)3()1111x x f x x x x --+===-++++，因为211x +≥，所以23031x <≤+， 所以1()2f x -<≤，当1()0f x -<<时，()()1y INT f x ==-；当0()1f x ≤<时，()()0y INT f x ==； 当1()2f x ≤<时，()()1y INT f x ==；当()2f x =时，()()2y INT f x ==，所以函数()()y INT f x =的值域为{1,0,1,2}-， 故选：C.2.定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________.【答案】3【分析】先分析函数单调性，根据单调性结合值域列方程，转化为对应一元二次方程根的情况，再根据求根公式求[],m n 长度，根据二次函数性质求其最大值，即得a 的值. 【详解】因为()()222111a a x a a xa a f xx +-+==-，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都是单调递增函数，所以0m n <<或0m n <<因为值域是[],m n ，所以221111,,a a m n a a m a a n++=-=- 即m n ，为方程222211,()10a x a x a a x a a x+=--++=两个不同的实根, 所以222()401a a a a ∆=+->∴>或3a <-[],m n长度为2a ∆所以当11,33a a ==时，[],m n 长度取最大值，故答案为：33.关于函数2()1xf x x=+（x ∈R ）的如下结论：∵()f x 是奇函数； ∵函数()f x 的值域为（－2,2）；∵若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ∵函数()()3g x f x x =-在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】∵∵∵【分析】根据函数的解析式，逐一判断以下结论是否正确．【详解】函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，2()1x f x x =+，2()1xf x x--=+，所以()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，∵正确；当0x >时，22()(0,2)111x f x x x==∈++， 因为()f x 是奇函数，当0x <时，()(2,0)f x ∈-，又(0)0f =，所以函数()f x 的值域为（－2,2），∵正确；当0x >时，22()111x f x x x==++，函数在(0,)+∞上递增，因为()f x 是奇函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠，∵正确；由方程()()30g x f x x =-=，得0x =或231x =+，显然方程231x=+无实解，故函数()()3g x f x x =-在R 上有一个零点，∵不正确；综上，正确结论的序号有∵∵∵．【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域【典例分析】已知定义在（0，3]上的函数()111a bf x x a x -+=++-+的值域为[4，5]，若()1,5b a -∈-，则a +b 的值为_________ .【答案】7将函数变形为()1 12 1?a b f x x a x -+=+++-+，令1(1,4]t x =+∈，()1?2a b g t t a t -+=++-，由()10,6a b -+∈，利用对勾函数的性质求解.【详解】因为()1 1?112 1? 1?a b a b f x x a x a x x -+-+=++-=+++-++，令1(1,4]t x =+∈， 所以()1?2a b g t t a t -+=++-，因为()1,5b a -∈-，所以()10,6a b -+∈， 所以()g t在⎡⎣上递减，在⎤⎦递增，所以()min 24g t g a ==-=∵， 又()()931,4,(1,4]4a b g g b g t ++===∈，所以()()max 9344a bg t g ++==∵， 所以934a bb ++≤，由∵∵得6,29a b =-=或2,5a b ==，因为()1,5b a -∈-，所以2,5a b == 所以a +b=7。