高等数学知识点总结 (2)
成人高考高等数学二知识点
成人高考高等数学二知识点数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。
所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
接下来小编在这里给大家分享一些关于成人高考高等数学二知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。
图片加载中…成人高考高等数学二知识点篇一连续1、知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义、左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件、函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理、值与最小值定理、介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2、要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
(2)会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。
一元函数微分学(一)导数与微分1、知识范围(1)导数概念导数的定义、左导数与右导数、函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系(2)求导法则与导数的基本公式导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式(3)求导方法复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数(4)高阶导数高阶导数的定义、高阶导数的计算(5)微分微分的定义、微分与导数的关系、微分法则一阶微分形式不变性2、要求(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
(4)掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数。
成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习
(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
考研高等数学知识点总结数二
考研高等数学知识点总结数二嘿！考研的小伙伴们，今天咱们来好好唠唠考研高等数学知识点总结数二这回事儿呀！首先呢，咱们来说说函数、极限和连续这部分。
哎呀呀，函数可是基础中的基础呢！函数的概念、性质，还有各种类型的函数，像幂函数、指数函数、对数函数等等，都得弄得明明白白。
极限这东西，那可是贯穿整个高等数学的灵魂呀！极限的定义、性质、计算方法，都得熟练掌握。
连续的概念也很重要，什么左连续、右连续，还有函数在某点连续的条件，这些都要牢记于心呢！再来说说一元函数微分学。
哇！导数的定义、几何意义、各种求导法则，那可都是重点中的重点。
导数的应用也不少，比如判断函数的单调性、极值和最值，还有曲线的凹凸性和拐点。
这部分的知识点一定要多做练习题，才能真正掌握呀！一元函数积分学也是数二的重要内容。
不定积分和定积分的概念、性质、计算方法，那可得好好琢磨。
积分上限函数、牛顿-莱布尼茨公式，这些都是解题的关键。
还有反常积分，可别小看它，也是容易出错的地方呢！多元函数微分学也不能忽视。
多元函数的概念、偏导数、全微分，这些都是基础。
多元函数的极值和条件极值，也是经常考的知识点。
在这部分，要注意区分一元函数和多元函数的不同之处，千万别搞混了呀！向量代数和空间解析几何这部分相对来说占比不是很大，但也不能掉以轻心。
向量的运算、直线和平面的方程，都要有所了解。
无穷级数这一块，数项级数的收敛性、幂级数的展开和收敛半径，都需要认真复习。
最后呢，要提醒大家，考研高等数学知识点总结数二可不是一蹴而就的事情，需要长期的积累和不断的练习。
哎呀呀，只有多做题、多总结，才能在考场上应对自如呀！加油吧，小伙伴们，相信自己一定能行！。
高数知识点总结电子版
高数知识点总结电子版一、极限与连续1. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 无穷小量与无穷大量(4) 夹逼准则2. 连续与间断(1) 连续的定义(2) 连续函数的性质(3) 间断点的分类(4) 间断函数的构造二、导数与微分1. 导数的定义(1) 导数的几何意义(2) 导数的计算方法(3) 导数的性质(4) 高阶导数2. 微分的定义(1) 微分的几何意义(2) 微分的计算方法(3) 微分的性质(4) 隐函数求导三、微分中值定理与泰勒公式1. 罗尔中值定理(1) 罗尔中值定理的条件(2) 罗尔中值定理的应用2. 拉格朗日中值定理(1) 拉格朗日中值定理的条件(2) 拉格朗日中值定理的应用3. 柯西中值定理(1) 柯西中值定理的条件(2) 柯西中值定理的应用4. 泰勒公式(1) 泰勒公式的表述(2) 泰勒公式的应用四、不定积分与定积分1. 不定积分(1) 不定积分的概念(2) 不定积分的计算方法(3) 不定积分的性质(4) 不定积分的换元法2. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的计算方法(3) 定积分的性质(4) 定积分的应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念(1) 微分方程的定义(2) 微分方程的类型(3) 微分方程的解的存在唯一性定理2. 一阶常微分方程(1) 可分离变量的微分方程(2) 齐次微分方程(3) 一阶线性微分方程3. 高阶常微分方程(1) 高阶线性微分方程(2) 常系数齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限(1) 多元函数极限的定义(2) 多元函数极限的性质(3) 重要极限的计算2. 偏导数(1) 偏导数的定义(2) 偏导数的计算方法(3) 高阶偏导数3. 方向导数(1) 方向导数的定义(2) 方向导数的计算方法(3) 梯度4. 多元函数的微分(1) 多元函数的全微分(2) 多元函数的微分近似七、多元函数积分学1. 二重积分(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的计算方法(3) 二重积分的性质(4) 二重积分的应用2. 三重积分(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的计算方法(3) 三重积分的性质(4) 三重积分的应用3. 曲线积分与曲面积分(1) 曲线积分的定义(2) 曲线积分的计算方法(3) 曲面积分的定义(4) 曲面积分的计算方法八、向量分析1. 向量及其运算(1) 向量的基本概念(2) 向量的线性运算(3) 向量的数量积与叉积2. 曲线与曲面的方程(1) 曲线的参数方程(2) 曲线的一般方程(3) 曲面的参数方程(4) 曲面的一般方程3. 向量场与散度(1) 向量场的定义与性质(2) 散度的概念与计算(3) 散度的物理意义4. 向量场与旋度(1) 旋度的概念与计算(2) 旋度的物理意义(3) 欧拉公式以上就是高等数学的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
专升本高等数学二知识点总结
专升本高等数学二知识点总结嘿，想专升本的小伙伴们！今天咱就来好好唠唠高等数学二的那些知识点。
这高等数学二啊，就像是一座神秘的城堡，里面有各种各样的宝藏（知识点）等待我们去挖掘呢。
先说说函数这一块吧。
函数就像是一个魔法盒子，你给它一个输入（自变量），它就会给你一个输出（因变量）。
一元函数是最基础的啦，就像我们走的单行道，只有一个方向决定结果。
比如一次函数y = kx + b，k就像是这条道路的坡度，b呢，就是在起点的时候的偏移量。
我记得我那同学小李啊，最开始学函数的时候，老是把k和b的意义搞混。
我就跟他说：“你看啊，k就好比是你骑自行车的速度，b就是你出发的时候离原点有多远，这能一样吗？”他这才恍然大悟。
接着就是极限。
极限这东西可神奇了，它像是一个目标，函数这个小火车一直朝着这个目标开去。
当自变量无限接近某个值的时候，函数值就无限接近极限值。
有次考试，有个求极限的题，小张在那愁眉苦脸的。
我问他咋了，他说这极限感觉就像天上的星星，看得见摸不着。
我就笑着跟他说：“你呀，别把它想得那么复杂。
你就想象你在追一只跑得特别快的兔子，你离它越来越近，这个越来越近的状态就是极限。
”求极限的方法有好多呢，像等价无穷小替换，就像是用相似的东西去代替，简化计算。
导数可不得了，它是函数的变化率。
这导数就像一个超级放大镜，能看到函数在每一点的变化速度。
如果把函数看成是一个爬山的路线，导数就是你在每个点上爬坡的陡峭程度。
我和小王一起讨论导数的时候，他说：“这导数感觉好抽象啊。
”我就说：“你想啊，你跑步的时候，你每一秒速度的变化，那就是导数啊。
”导数的公式得好好记，像常见函数的导数公式，就像是武功秘籍里的基本招式，不记住可不行。
求导法则呢，加法求导法则就像两个人合作干活，各自的效率相加就是总的效率；乘法求导法则就稍微复杂点，有点像互相影响的关系。
再讲讲积分吧。
积分和导数是相反的过程，就像上山和下山一样。
不定积分是求原函数，就像是把已经加工好的东西还原到原材料。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结【4篇】知识产业需要了解市场和消费者的需求和趋势，拥抱变革和技术进步。
知识的应用和创新需要进行有效的市场调查和市场分析，了解商业机会和风险。
下面就让小编给大家带来高等数学知识点总结，希望大家喜欢!高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x) =g(x),则 =()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 x 兀 p= 兀 12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) = =M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2A.Function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换B.Limit and Continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理C.Derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数D.Application of Derivative导数的应用(1)微分中值定理(D-MVT)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值E.Indefinite Integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)U换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分F.Definite Integral 定积分(1)Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)Accumulation function求导数(4)反常函数求积分H.Application of Integral定积分的应用(1)积分中值定理(I-MVT)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用I.Differential Equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场J.Infinite Series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
大一高数知识点笔记
大一高数知识点笔记高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，对于大一新生来说，掌握好这门课程的知识点至关重要。
以下是我整理的大一高数的一些重要知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
简单来说，对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
函数的表示方法有解析式法、图像法和列表法。
2、函数的性质（1）奇偶性：若对于定义域内的任意 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，则函数为偶函数；若 f(x) ＝ f(x) ，则函数为奇函数。
（2）单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜f(x₂) ，则函数在该区间上单调递增；若 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数在该区间上单调递减。
3、极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算（1）直接代入法：若函数在极限点处连续，则可直接将极限点代入函数计算。
（2）有理化法：对于含有根式的分式，可通过有理化来消除根式，从而计算极限。
（3）等价无穷小替换：当x → 0 时，sin x ～ x ，tan x ～ x ，e^x1 ～ x 等，利用等价无穷小可以简化极限的计算。
5、两个重要极限（1）lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1（2）lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的瞬时变化率，即 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx2、导数的几何意义函数在某一点的导数就是该点处切线的斜率。
3、基本初等函数的导数公式（1）（C)＇＝ 0 （C 为常数）（2）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（3）（sin x)＇＝ cos x（4）（cos x)＇＝ sin x（5）（e^x)＇＝ e^x（6）（ln x)＇＝ 1 ／ x4、导数的四则运算（1）（u ± v)＇＝ u' ± v'（2）（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（3）（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）5、复合函数的求导法则设 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) ，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 y' ＝ f'（u) g'（x)6、微分的定义函数的微分是函数增量的线性主部，即 dy ＝ f'（x)dx三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足：（1）在闭区间 a, b 上连续；（2）在开区间（a, b) 内可导；（3）f(a) ＝ f(b) ，那么在区间（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
大一高数一二章知识点总结
大一高数一二章知识点总结高等数学是大学理科类专业中的一门重要学科，也是对数学的进一步学习和应用。
大一的高数一二章内容涵盖了一些基础的数学知识点，下面我将对这些知识点进行总结。
1. 函数及其图像函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
函数的图像是描述函数取值规律的几何形状，常见的函数图像有直线、抛物线、指数函数等。
2. 极限与连续极限是函数研究的基础，它描述了函数在某一点附近的取值趋势。
连续性则描述了函数在整个定义域上的连续性，连续函数具有没有间断点的特性。
3. 导数与微分导数是描述函数变化快慢的指标，它在几何上表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化量，它可以用来解决近似计算问题。
4. 微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理，它描述了函数在某一区间内必存在一点使得函数在该点的导数等于该区间上的平均变化率。
5. 不定积分与定积分不定积分是求函数原函数的逆运算，它可以表示为∫f(x)dx。
定积分则是对函数在某一区间上的面积进行求解，它可以表示为∫a^b f(x)dx。
6. 定积分的应用定积分在物理、经济学等领域有广泛的应用，例如求物体的质量、力学中的功、经济学中的总收益等。
7. 微分方程微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型，它包括常微分方程和偏微分方程两种类型。
通过解微分方程可以获得具体函数的表达式。
8. 无穷级数无穷级数是一类无限求和的数列，包括等差级数、等比级数等。
对无穷级数的求和可以通过极限的方法进行计算。
这些是大一高数一二章的主要知识点总结，理解并掌握这些知识点对于学好高等数学具有重要的意义。
在学习过程中，我们应注重理论与实际的结合，通过练习题和实际问题的应用来加深对知识的理解。
希望这份总结对你的学习有所帮助！。
高等数学2知识点总结和例题
高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。
本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。
1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。
偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。
1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。
高等数学二函数知识点总结
高等数学二函数知识点总结在高等数学二中，函数是一个非常重要的概念，它是描述数学关系的一种工具。
在本文中，我们将总结高等数学二中关于函数的重要知识点，包括函数的定义、性质、极限与连续性等内容。
一、函数的定义在高等数学二中，函数是一个非常基础的概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量上。
严格的定义是：设A和B是两个非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f，对于A中的每一个元素x都有唯一确定的B中的元素y与之对应，那么就称这样的对应关系f为从A到B的函数，记作f：A→B，y=f(x)。
其中，A称为函数f的定义域，B称为函数f的值域。
在高等数学二中，我们还介绍了多种不同形式的函数，例如常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在不同的数学领域具有重要的应用，因此对它们的性质和变化规律进行深入的了解是非常重要的。
二、函数的性质在高等数学二中，我们学习了函数的一些重要性质，例如奇偶性、周期性、单调性等。
这些性质可以帮助我们更加深入地了解函数的特点和变化规律，从而能够更加灵活地应用函数进行问题的求解。
（一）奇偶性对于函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
根据奇偶性的定义，我们可以得出以下结论：1. 偶函数的图像关于y轴对称；2. 奇函数的图像关于原点对称；3. 对于任意函数f(x)，都可以分解为一个偶函数和一个奇函数的和。
（二）周期性对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意x都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T称为函数f(x)的周期。
周期函数在实际问题中有着广泛的应用，例如正弦函数、余弦函数等。
（三）单调性对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么称f(x)在该区间上是单调增加的；如果对于定义域内的任意x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，那么称f(x)在该区间上是单调减少的。
高等数学二知识点总结
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高等数学二知识点总结
高等数学二知识点总结高等数学二是大学数学课程的一部分，主要介绍微积分和线性代数的高级内容。
在这门课程中，学生将深入学习微分和积分的更复杂的概念和技巧，以及线性代数的各种高级应用。
本文将总结高等数学二的主要知识点，包括微分和积分的高级内容以及线性代数的应用。
微分学是高等数学的基础，其目的是研究函数的变化率。
在高等数学二中，微分学的内容主要包括以下几个方面：1. 高阶导数：在高等数学一中，我们学习了一阶导数，即函数在某一点的斜率。
而在高等数学二中，我们将学习高阶导数，即函数的二阶、三阶及更高阶的导数。
高阶导数可以帮助我们研究函数的曲率和凸凹性。
2. 隐函数和参数方程的导数：在高等数学一中，我们学习了显函数的导数，即已知函数表达式可以直接求导。
而在高等数学二中，我们将学习隐函数和参数方程的导数，即在未知函数表达式的情况下，如何求导。
这需要使用隐函数求导法和参数方程求导法。
3. 高阶导数的应用：高阶导数在科学工程中有广泛的应用。
在高等数学二中，我们将学习如何利用高阶导数求函数的极值、拐点以及函数的图像特征。
积分学是微分学的逆运算，其目的是研究函数的积累效应。
在高等数学二中，积分学的内容主要包括以下几个方面：1. 不定积分：在高等数学一中，我们学习了定积分，即函数在一定区间的积分。
而在高等数学二中，我们将学习不定积分，即不含上下限的积分。
不定积分可以帮助我们求解函数的原函数。
2. 定积分的应用：定积分在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用。
在高等数学二中，我们将学习如何利用定积分求解曲线下面积、质量、物体的重心以及弧长等问题。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是微积分的核心定理之一，可以将积分与微分相互转化。
在高等数学二中，我们将学习微积分基本定理的具体表述和证明。
除了微积分的高级内容之外，高等数学二还包括线性代数的应用。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学科学。
在高等数学二中，线性代数的应用主要包括以下几个方面：1. 矩阵的特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量是线性代数的重要概念，可以帮助我们分析线性变换的性质和特点。
高等数学二知识点总结
高等数学二知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 无穷小与无穷大的概念2. 极限的性质- 唯一性、有界性- 四则运算法则- 夹逼定理和单调有界定理3. 极限的计算- 极限的四则运算- 链式法则、洛必达法则- 无穷小的比较与替换4. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 连续函数的性质二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义2. 导数的计算- 基本导数公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 隐函数求导、参数方程求导3. 高阶导数- 高阶导数的定义- 常见函数的高阶导数4. 微分的概念与应用- 微分的定义- 微分的几何意义与物理意义 - 微分在近似计算中的应用三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒公式- 泰勒公式的表达式- 泰勒公式的应用3. 函数的极值与最值- 极值存在的条件- 最大值与最小值的求解4. 曲线的凹凸性与拐点- 凹凸性的定义与判别- 拐点的求解四、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质- 微积分基本定理3. 定积分的计算- 定积分的计算方法- 利用微积分基本定理计算定积分4. 积分的应用- 平面图形的面积- 体积的计算- 平面曲线的弧长五、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义- 收敛级数与发散级数2. 收敛性的判别- 比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 积分判别法与交错级数判别法3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间- 幂级数的求和公式4. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的展开与还原以上是高等数学二的主要知识点总结。
每个部分都包含了关键的定义、性质、计算方法和应用，这些内容是理解和掌握高等数学二所必需的。
在实际应用中，需要结合具体问题来运用这些知识点，通过练习和深入理解来提高解题能力。
函授高等数学二知识点
函授高等数学二知识点1.极限与连续性1.1 极限极限是高等数学中一个重要的概念，也是一个重要的分析工具。
极限的定义是：设有数列${a_n}$和实数a，若对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有$|a_n-a|<\epsilon$，则称a是数列${a_n}$的极限，记作$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。
1.2 连续性连续性是一个函数最重要的性质之一。
若在函数f的定义域内，只要取定一个点x0，对于任何一个正的数$\epsilon$，总能找到一个正的数$\delta$，使得只要函数定义域内距离x0的距离小于$\delta$，即$|x-x_0|<\delta$，那么函数值f（x）和f（$x_0$）的差始终满足：|f（x）-f（$x_0$）|< $\epsilon$，那么我们称函数f在点$x_0$连续。
2. 导数与微分2.1 导数导数是描述一个函数变化率的概念。
对于y=f（x），若存在极限$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$，则称y=f（x）在点x的导数存在。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.2 微分微分是导数的几何意义上的应用。
函数y=f（x）在区间I内可导，在点x处的导数为f’（x），则当∆x趋近于0时，有：$\Delta y=y_0+\Delta y-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$那么∆y=f（x0+∆x）-f（x0）就称为函数y=f（x）的微分。
3. 定积分3.1 基本概念定积分是高等数学中的一个重要概念，它表示一个函数在一定区间内的面积。
设函数f（x）在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度分别为$$ \Delta x_i=\frac{b-a}{n} $$在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$内任取一点$\xi_i$，令$M_i$和$m_i$分别表示f在$[x_{i-1},x_i]$上的最大、最小值，那么当n趋近于无穷大时，积分的极限存在，称为函数f在区间[a,b]上的定积分，记作$$\int_{a}^bf(x)dx $$3.2 定积分的性质+ 任意区间的积分等于反区间的积分的负数，即$$\int_{a}^bf(x)dx=-\int_{b}^af(x)dx $$+ 区间的分割点增加，对应的定积分也会越来越逼近一个确定的值，即定积分具有可加性，即$$\int_{a}^bf(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx $$ + 若区间[a,b]上的函数f（x）连续，则它在该区间上是可积的。
大学高等数学知识点整理（全）
大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. . 数列函数数列函数数列函数: : 1. 1. 类型类型类型: : (1) (1)数列数列数列: *: *()na f n =; *1()n n a f a +=(2) (2)初等函数初等函数初等函数: :(3) (3)分段函数分段函数分段函数: *: *0102()(),()x x f x F x x x f x £ì=í>î; *00()(),x x f x F x x x a¹ì=í=î;* (4) (4)复合复合复合((含f )函数函数: : (),()y f u u x j == (5) (5)隐式隐式隐式((方程方程): ): (,)0F x y =(6) (6)参式参式参式((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î (7) (7)变限积分函数变限积分函数变限积分函数: : ()(,)xaF x f x t dt =ò(8) (8)级数和函数级数和函数级数和函数((数一数一,,三): 0(),nn n S x a x x ¥==ÎW å 2. 2. 特征特征特征((几何几何): ):(1) (1)单调性与有界性单调性与有界性单调性与有界性((判别判别); (); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x Þ"--定号定号) ) (2) (2)奇偶性与周期性奇偶性与周期性奇偶性与周期性((应用应用). ).3. 3. 反函数与直接函数反函数与直接函数反函数与直接函数: : 11()()()y f x x f y y f x --=Û=Þ= 二. . 极限性质极限性质极限性质: :1. 1. 类型类型类型: *: *lim n n a ®¥; *lim ()x f x ®¥(含x ®±¥); *0lim ()x x f x ®(含0x x ±®)2. 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大((注: : 无穷量无穷量无穷量): ):3. 3. 未定型未定型未定型: :00,,1,,0,0,0¥¥¥-¥×¥¥¥4. 4. 性质性质性质: *: *: *有界性有界性有界性, *, *, *保号性保号性保号性, *, *, *归并性归并性 三. . 常用结论常用结论常用结论: :11nn ®, 1(0)1na a >®, 1()max(,,)n nn na b c a b c ++®,()00!na a n >®1(0)x x ®®¥, 0lim 1x x x +®=, lim 0nx x x e ®+¥=, ln lim 0n x x x®+¥=, 0lim ln 0nx x x +®=, 0,xx e x ®-¥ì®í+¥®+¥î四. . 必备公式必备公式必备公式: :1. 1. 等价无穷小等价无穷小等价无穷小: : : 当当()0u x ®时,sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -;()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x a a +-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 2. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式: :(1)2211()2!xe x x o x =+++;(2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x aa a a -+=+++. 五. . 常规方法常规方法常规方法: :前前提: (1)准确判断0,,1,0Ma ¥¥¥(其它如:00,0,0,¥-¥×¥¥); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 1. 抓大弃小抓大弃小()¥¥,2. 2. 无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积 ( (M a ×) () (注注:1sin 1,x x£®¥)3. 1¥处理处理((其它如其它如::000,¥) 4. 4. 左右极限左右极限左右极限((包括x ®±¥):(1)1(0)x x®; (2)()xe x ®¥; 1(0)x e x ®; (3)分段函数: x , []x ,max ()f x5. 5. 无穷小等价替换无穷小等价替换无穷小等价替换((因式中的无穷小因式中的无穷小)()()(注注: : 非零因子非零因子非零因子) )6. 6. 洛必达法则洛必达法则洛必达法则(1) (1)先”处理”先”处理”先”处理”,,后法则后法则((00最后方法最后方法); (); (); (注意对比注意对比注意对比: :1ln lim 1x x x x ®-与0ln lim 1x x x x ®-) (2) (2)幂指型处理幂指型处理幂指型处理: : ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x xx xee e e-++-=-)(3) (3)含变限积分含变限积分含变限积分; ; (4) (4)不能用与不便用不能用与不便用不能用与不便用 7. 7. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((皮亚诺余项皮亚诺余项): ): ): 处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小 8. 8. 极限函数极限函数极限函数: : ()lim (,)n f x F x n ®¥=(Þ分段函数分段函数) )六. . 非常手段非常手段 1. 1. 收敛准则收敛准则收敛准则: :(1)()lim ()nx a f n f x ®+¥=Þ(2) (2)双边夹双边夹双边夹: *: *?n n n b a c ££, *,?n nb c a ®(3) (3)单边挤单边挤单边挤: : 1()n n a f a += *21a a ³ *?n a M £ *'()0?f x >2. 2. 导数定义导数定义导数定义((洛必达洛必达?): ?): 00lim'()x ff x x®=3. 3. 积分和积分和积分和: : 10112lim [()()()]()n n f f f f x dx n n n n®¥+++=ò,4. 4. 中值定理中值定理中值定理: : lim [()()]lim '()x xf x a f x a f x ®+¥®+¥+-=5. 5. 级数和级数和级数和((数一三数一三): ):(1)1n n a ¥=å收敛lim 0n n a ®¥Þ=, (, (如如2!limnn n n n ®¥) (2)121lim()n nn n a a a a ¥®¥=+++=å, (3){}na 与11()nn n aa ¥-=-å同敛散七. . 常见应用常见应用常见应用: :1. 1. 无穷小比较无穷小比较无穷小比较((等价等价,,阶): *(),(0)?n f x kx x ®(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f ffa -=====Û()()!!nn n a a f x x x x n n a =+(2)()xxnf t dtkt dt òò2. 2. 渐近线渐近线渐近线((含斜含斜): ): (1)()lim,lim[()]x xf x a b f x ax x®¥®¥==-()f x ax b a Þ++(2)()f x ax b a =++,(10x®)3. 3. 连续性连续性连续性: (1): (1): (1)间断点判别间断点判别间断点判别((个数个数); (2)); (2)); (2)分段函数连续性分段函数连续性分段函数连续性((附:极限函数极限函数, , '()f x 连续性)八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01l "<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x l l +-=) 2. 2. 介值定理介值定理介值定理: (: (: (附附: : 达布定理达布定理达布定理) )(1) (1)零点存在定理零点存在定理零点存在定理: : ()()0f a f b <0()0f x Þ=(根的个数根的个数); ); (2)()0(())'0xaf x f x dx =Þ=ò.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. . 基本概念基本概念基本概念: :1. 1. 差商与导数差商与导数差商与导数: : '()f x =0()()limx f x x f x x ®+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x ®--(1)0()(0)'(0)lim x f x f f x ®-= ( (注注:0()lim (x f x A f x ®=连续连续))(0)0,'(0)f f A Þ==) (2) (2)左右导左右导左右导: :''0(),()f x f x -+;(3) (3)可导与连续可导与连续可导与连续; (; (; (在在0x =处, x 连续不可导连续不可导; ; x x 可导可导) )2. 2. 微分与导数微分与导数微分与导数: : ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+Þ= (1) (1)可微可微Û可导可导; (2); (2); (2)比较比较,f df D 与"0"的大小比较的大小比较((图示图示); ); 二. . 求导准备求导准备求导准备: :1. 1. 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式; (; (; (注注: (())'f x )2. 2. 法则法则法则: (1): (1): (1)四则运算四则运算四则运算; (2); (2); (2)复合法则复合法则复合法则; (3); (3); (3)反函数反函数1'dx dy y = 三. . 各类求导各类求导各类求导((方法步骤方法步骤): ): 1. 定义导: (1)'()f a 与'()x af x =; (2)分段函数左右导;(3)0()()limh f x h f x h h®+--( (注注: 00()(),x x F x f x x x a ¹ì=í=î, , 求求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性的连续性) )2. 2. 初等导初等导初等导((公式加法则公式加法则): ): (1)[()]u f g x =, , 求求:0'()u x (图形题图形题); ); (2)()()xaF x f t dt=ò,求:'()F x (注:((,))',((,))',(())'xbbaaaf x t dt f x t dt f t dt òòò)(3)0102(),()x x f x y x x f x <ì=í³î,求''00(),()f x f x -+及0'()f x ( (待定系数待定系数待定系数) )3. 3. 隐式隐式隐式(((,)0f x y =)导: 22,dy d ydx dx(1) (1)存在定理存在定理存在定理; ; (2) (2)微分法微分法微分法((一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性). ). (3) (3)对数求导法对数求导法对数求导法. .4. 4. 参式导参式导参式导((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î, , 求求:22,dy d y dx dx 5. 5. 高阶导高阶导()()nfx 公式公式: :()()ax n n ax e a e =; ()11!()()nn n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n p =+´; ()(cos )cos()2n nax a ax n p =+´()()1(1)2(2)()'"nnn n nnuv u v C uv C uv --=+++注注: ()(0)n f与泰勒展式与泰勒展式: : 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n Þ=四. . 各类应用各类应用各类应用: :1. 1. 斜率与切线斜率与切线斜率与切线((法线法线); (); (); (区别区别区别: : ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线的切线) )2. 2. 物理物理物理: (: (: (相对相对相对))变化率-速度速度; ;3. 3. 曲率曲率曲率((数一二数一二): ): 23"()(1'())f x f x r =+(曲率半径曲率半径, , , 曲率中心曲率中心曲率中心, , , 曲率圆曲率圆曲率圆) )4. 4. 边际与弹性边际与弹性边际与弹性((数三数三): (): (): (附附: : 需求需求需求, , , 收益收益收益, , , 成本成本成本, , , 利润利润利润)) 五. . 单调性与极值单调性与极值单调性与极值((必求导必求导) ) 1. 1. 判别判别判别((驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ³Þ; '()0()f x f x £Þ;(2) (2)分段函数的单调性分段函数的单调性(3)'()0f x >Þ零点唯一零点唯一; ; "()0f x >Þ驻点唯一驻点唯一((必为极值必为极值,,最值最值). ). 2. 2. 极值点极值点极值点: :(1) (1)表格表格表格(('()f x 变号变号); (); (); (由由02'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x xxxxxf x f x f x x xxx®®®¹¹¹Þ=的特点)(2) (2)二阶导二阶导二阶导((0'()0f x =)注注(1)f 与',"f f 的匹配的匹配(('f 图形中包含的信息图形中包含的信息); );(2) (2)实例实例实例: : : 由由'()()()()f x x f x g x l +=确定点“0x x =”的特点”的特点. . (3) (3)闭域上最值闭域上最值闭域上最值((应用例应用例: : : 与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合, , , 求最优求最优求最优) ) 3. 3. 不等式证明不等式证明不等式证明((()0f x ³)(1) (1)区别区别区别: *: *: *单变量与双变量单变量与双变量单变量与双变量? *? *[,]x a b Î与[,),(,)x a x Î+¥Î-¥+¥? (2) (2)类型类型类型: *: *'0,()0f f a ³³; *'0,()0f f b £³*"0,(),()0f f a f b £³; *0"()0,'()0,()0f x f x f x ³=³(3) (3)注意注意注意: : : 单调性单调性Å端点值Å极值Å凹凸性凹凸性. (. (. (如如: max ()()f x M f x M £Û=) 4. 4. 函数的零点个数函数的零点个数函数的零点个数: : : 单调单调Å介值六. . 凹凸与拐点凹凸与拐点凹凸与拐点((必求导必求导!): !): 1. "y Þ表格表格; (; (0"()0f x =)2. 2. 应用应用应用: (1): (1): (1)泰勒估计泰勒估计泰勒估计; (2); (2)'f 单调单调; (3); (3); (3)凹凸凹凸凹凸. . 七. . 罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数: (: (: (注注: : 最值点必为驻点最值点必为驻点最值点必为驻点) ) 1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()0F b F a F f x x =Þ== 2. 2. 辅助函数构造实例辅助函数构造实例辅助函数构造实例: :(1)()f x Þ()()xa a F x f t dt =ò(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x x x x x +=Þ= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x x x x x -=Þ=(4)'()()()0f f x l x x +=Þ()()()x dx F x e f x l ò=;3. ()()0()n f f x x =Û有1n +个零点(1)()n f x -Û有2个零点4. 4. 特例特例特例: : : 证明证明()()nf a x =的常规方法的常规方法::令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点个零点((()nP x 待定)5. 5. 注注: : 含含12,x x 时,分家分家!(!(!(柯西定理柯西定理柯西定理) )6. 6. 附附(达布定理达布定理): ): ()f x 在[,]a b 可导可导,,['(),'()]c f a f b "Î,[,]a b x $Î,使:'()f c x = 八. . 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()f b f a f b a x -=-; (()(),'()0a b j j x j x <Þ$'>)2. 2. 估计估计估计: : '()f f x x =九. . 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((连接,',"f f f 之间的桥梁之间的桥梁) )1. 1. 结论结论结论: : 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-;2. 2. 应用应用应用: : : 在已知在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. . 积分中值定理积分中值定理积分中值定理((附:广义广义): [): [): [注注:有定积分有定积分((不含变限不含变限))条件时使用条件时使用] ] 第三讲: 一元积分学 一. . 基本概念基本概念基本概念: : 1. 1. 原函数原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+ò注注(1)()()xaF x f t dt =ò(连续不一定可导连续不一定可导); );(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -ÞÞòò (()f x 连续连续) )2. 2. 不定积分性质不定积分性质不定积分性质: :(1)(())'()f x dx f x =ò; (())()d f x dx f x dx =ò(2)'()()f x dx f x c =+ò; ()()df x f x c =+ò二. . 不定积分常规方法不定积分常规方法不定积分常规方法 1. 1. 熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式2. 2. 基本方法基本方法基本方法: : : 拆拆(线性性线性性) )1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+òòò3. 3. 凑微法凑微法凑微法((基础基础): ): ): 要求巧要求巧要求巧,,简,活(221sin cos x x =+)如如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x ax=+==2dx d x x=221,(1ln )(ln )1x dx d x x dx d x x x=++=+4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :(1) (1)常用常用常用((三角代换三角代换,,根式代换根式代换,,倒代换倒代换): ): 1sin ,,,1xx t ax b t t e t x=+==+=(2) (2)作用与引伸作用与引伸作用与引伸((化简化简): ): 21x x t ±-=5. 5. 分部积分分部积分分部积分((巧用巧用): ):(1) (1)含需求导的被积函数含需求导的被积函数含需求导的被积函数((如ln ,arctan ,()xax x f t dt ò);(2) (2)“反对幂三指”“反对幂三指”“反对幂三指”: : ,ln ,n ax n x e dx x xdx òò(3) (3)特别特别特别: :()xf x dx ò (* (*已知已知()f x 的原函数为()F x ; *; *已知已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b xdx a x b x ++ò; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx òò快速法; (3)()()nv x dx u x ò三. . 定积分定积分定积分: : 1. 1. 概念性质概念性质概念性质: : (1) (1)积分和式积分和式积分和式((可积的必要条件可积的必要条件::有界有界, , , 充分条件充分条件充分条件::连续连续) ) (2) (2)几何意义几何意义几何意义((面积面积,,对称性对称性,,周期性周期性,,积分中值积分中值) ) *220(0)8a ax x dx a ap ->=ò; *()02baa b x dx +-=ò(3) (3)附附: ()()baf x dx M b a £-ò,()()()bbaaf xg x dx M g x dx £òò) (4) (4)定积分与变限积分定积分与变限积分定积分与变限积分, , , 反常积分的区别联系与侧重反常积分的区别联系与侧重2: 2: 变限积分变限积分()()xax f t dt F =ò的处理的处理((重点重点) )(1)f 可积ÞF 连续连续, , f 连续ÞF 可导 (2)(())'xaf t dt ò()f x =;(()())'()x xaax t f t dt f t dt-=òò;()()()xaf x dt x a f x =-ò(3) (3)由函数由函数()()xaF x f t dt =ò参与的求导参与的求导, , , 极限极限极限, , , 极值极值极值, , , 积分积分积分((方程方程))问题3. N L -公式公式: :()()()baf x dx F b F a =-ò(()F x 在[,]a b 上必须连续上必须连续!)!) 注注: (1): (1)分段积分分段积分分段积分, , , 对称性对称性对称性((奇偶奇偶), ), ), 周期性周期性 (2) (2)有理式有理式有理式, , , 三角式三角式三角式, , , 根式根式 (3) (3)含含()baf t dt ò的方程的方程. .4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :()(())'()baf x dx f u t u t dt ba=òò(1)00()()()aaf x dx f a x dx x a t =-=-òò,(2)0()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-òòò ( (如如:4411sin dx x pp -+ò) (3)2201sin nn n n I xdx I np--==ò,(4)220(sin )(cos )f x dx f x dx pp =òò;20(sin )2(sin )f x dx f x dx pp =òò,(5)0(sin )(sin )2xf x dx f x dx p p p =òò,5. 5. 分部积分分部积分(1) (1)准备时“凑常数”准备时“凑常数” (2) (2)已知已知'()f x 或()x af x =ò时, , 求求()baf x dx ò6. 6. 附附: : 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系的正交性: :22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx ppp pp p===òòò2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m p p=¹=òò22220sin cos nxdx nxdx p pp ==òò 四. . 反常积分反常积分反常积分: : 1. 1. 类型类型类型: (1): (1)(),(),()aaf x dx f x dx f x dx +¥+¥-¥-¥òòò(()f x 连续连续) )(2)()b af x dx ò: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断处为无穷间断) )2. 2. 敛散敛散敛散; ;3. 3. 计算计算计算: : : 积分法积分法ÅN L -公式Å极限极限((可换元与分部可换元与分部) )4. 4. 特例特例特例: (1): (1)11p dx x+¥ò; (2)101pdx xò五. . 应用应用应用: (: (: (柱体侧面积除外柱体侧面积除外柱体侧面积除外) )1. 1. 面积面积面积, ,(1)[()()];baS f x g x dx =-ò(2)1()dcS f y dy -=ò;(3)21()2S r d b a q q =ò; (4); (4)侧面积侧面积侧面积::22()1'()b a S f x f x dx p =+ò 2. 2. 体积体积体积: :(1)22[()()]bx a V fx g x dx p=-ò; (2)12[()]2()dbyc a V f y dy xf x dx p p -==òò(3)0x x V =与0y y V = 3. 3. 弧长弧长弧长: : 22()()ds dx dy =+(1)(),[,]y f x x a b =Î21'()bas f x dx =+ò(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =ìÎí=î 2122'()'()t t s x t y t dt =+ò(3)(),[,]r r q q a b =Î: 22()'()s r r d baq q q =+ò4. 4. 物理物理物理((数一数一,,二)功,引力引力,,水压力水压力,,质心质心, ,5. 5. 平均值平均值平均值((中值定理中值定理): ): (1)1[,]()baf a b f x dx b a=-ò;(2)0()[0)limxx f t dt f x®+¥+¥=ò, (f 以T 为周期为周期::0()Tf t dt fT=ò)第四讲: 微分方程 一. . 基本概念基本概念 1. 1. 常识常识常识: : : 通解通解通解, , , 初值问题与特解初值问题与特解初值问题与特解((注: : 应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件) ) 2. 2. 变换方程变换方程变换方程: : (1) (1)令令()'""x x t y Dy =Þ=(如欧拉方程如欧拉方程) )(2) (2)令令(,)(,)'u u x y y y x u y =Þ=Þ(如伯努利方程如伯努利方程) ) 3. 3. 建立方程建立方程建立方程((应用题应用题))的能力 二. . 一阶方程一阶方程一阶方程: :1. 1. 形式形式形式: (1): (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 2. 变量分离型变量分离型变量分离型: : '()()y f x g y = (1) (1)解法解法解法: :()()()()dyf x dx G y F x Cg y =Þ=+òò(2) (2)“偏”微分方程“偏”微分方程“偏”微分方程: : (,)z f x y x¶=¶;3. 3. 一阶线性一阶线性一阶线性((重点重点): ): '()()y p x y q x += (1) (1)解法解法解法((积分因子法积分因子法): ): 0()01()[()()]()x x p x dxxx M x e y M x q x dx y M x ò=Þ=+ò(2) (2)变化变化变化: : '()()x p y x q y +=;(3) (3)推广推广推广: : : 伯努利伯努利伯努利((数一数一) ) '()()y p x y q x y a += 4. 4. 齐次方程齐次方程齐次方程: : '()y y x=F(1) (1)解法解法解法: : '(),()y dudx u u xu u xu u x=Þ+=F =F -òò(2) (2)特例特例特例: : 111222a xb yc dy dxa xb yc ++=++5. 5. 全微分方程全微分方程全微分方程((数一数一): ): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y¶¶=¶¶ dU Mdx Ndy U C =+Þ=6. 6. 一阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程((数三数三): ): 1*0()()xx x x xn x x y ca y ay b p x y x Q x b +=ì-=Þí=î三. . 二阶降阶方程二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: : 令令'()"(,)dp y p x y f x p dx=Þ==3. "(,')y f y y =: : 令令'()"(,)dp y p y y p f y p dy =Þ==四. . 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程: : ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 1. 通解结构通解结构通解结构: :(1) (1)齐次解齐次解齐次解: : 01122()()()y x c y x c y x =+(2) (2)非齐次特解非齐次特解非齐次特解: : 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 2. 常系数方程常系数方程常系数方程: : "'()ay by cy f x ++=(1) (1)特征方程与特征根特征方程与特征根特征方程与特征根: : 20a b c l l ++=(2) (2)非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定: : : 待定系数待定系数待定系数; (; (; (附附: ()ax f x ke =的算子法的算子法) )(3) (3)由已知解反求方程由已知解反求方程由已知解反求方程. .3. 欧拉方程(数一):2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =Þ=-=五. . 应用应用应用((注意初始条件注意初始条件): ): 1. 1. 几何应用几何应用几何应用((斜率斜率, , , 弧长弧长弧长, , , 曲率曲率曲率, , , 面积面积面积, , , 体积体积体积); ); 注注: : 切线和法线的截距切线和法线的截距 2. 2. 积分等式变方程积分等式变方程积分等式变方程((含变限积分含变限积分); ); 可设可设 ()(),()0xaf x dx F x F a ==ò3. 3. 导数定义立方程导数定义立方程导数定义立方程: : 含双变量条件含双变量条件()f x y +=的方程4. 4. 变化率变化率变化率((速度速度) )5. 22dv d x F ma dt dt ===6. 6. 路径无关得方程路径无关得方程路径无关得方程((数一数一): ): Q Px y ¶¶=¶¶7. 7. 级数与方程级数与方程级数与方程: :(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 8. 弹性问题弹性问题弹性问题((数三数三) )第五讲: 多元微分与二重积分一. . 二元微分学概念二元微分学概念 1. 1. 极限极限极限, , , 连续连续连续, , , 单变量连续单变量连续单变量连续, , , 偏导偏导偏导, , , 全微分全微分全微分, , , 偏导连续偏导连续偏导连续((必要条件与充分条件必要条件与充分条件), ), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y D =++D =+D =+(2)lim ,lim ,lim y xx y f ff f f x y D D D ==D D(3)22,lim()()x y f dff x f ydf x y D -++ ( (判别可微性判别可微性判别可微性) )注注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义点处的偏导数与全微分的极限定义: :(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy®®--==2. 2. 特例特例特例: :(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ì¹ï+=íï=î: (0,0)点处可导不连续点处可导不连续; ; (2)22(0,0)(,)0,(0,0)xy f x y x y ì¹ï=+íï=î: (0,0)点处连续可导不可微点处连续可导不可微; ; 二. . 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算: :1. 1. 显函数一显函数一显函数一,,二阶偏导二阶偏导: : (,)z f x y = 注注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3); (3)含变限积分含变限积分2. 2. 复合函数的一复合函数的一复合函数的一,,二阶偏导二阶偏导((重点重点): ): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 3. 隐函数隐函数隐函数((由方程或方程组确定由方程或方程组确定): ):(1) (1)形式形式形式: *: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =ìí=î ( (存在定理存在定理存在定理) )(2) (2)微分法微分法微分法((熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzF dx F dy F dz ++= ( (要求要求要求: : : 二阶二阶导)(3) (3)注注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4) (4)会变换方程会变换方程会变换方程. . 三. . 二元极值二元极值二元极值((定义定义?); ?); 1. 1. 二元极值二元极值二元极值((显式或隐式显式或隐式): ): (1) (1)必要条件必要条件必要条件((驻点驻点); ); (2) (2)充分条件充分条件充分条件((判别判别) ) 2. 2. 条件极值条件极值条件极值((拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) () () (注注: : 应用应用应用) )(1) (1)目标函数与约束条件目标函数与约束条件目标函数与约束条件: : (,)(,)0z f x y x y j =Å=, (, (或或: : 多条件多条件多条件) ) (2) (2)求解步骤求解步骤求解步骤: : (,,)(,)(,)L x y f x y x y l lj =+, , 求驻点即可求驻点即可求驻点即可. . 3. 3. 有界闭域上最值有界闭域上最值有界闭域上最值((重点重点). ).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y j =ÅÎ=£ (2) (2)实例实例实例: : : 距离问题距离问题四. . 二重积分计算二重积分计算二重积分计算:: 1. 1. 概念与性质概念与性质概念与性质((“积”前工作“积”前工作): ): (1)Dd s òò,(2) (2)对称性对称性对称性((熟练掌握熟练掌握): *): *D 域轴对称域轴对称; *; *f 奇偶对称奇偶对称; *; *; *字母轮换对称字母轮换对称字母轮换对称; *; *; *重心坐重心坐标;(3) (3)“分块”积分“分块”积分“分块”积分: *: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义分片定义; *; *(,)f x y 奇偶2. 2. 计算计算计算((化二次积分化二次积分): ):(1) (1)直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择((转换转换): ): ): 以“以“D ”为主”为主; ; (2) (2)交换积分次序交换积分次序交换积分次序((熟练掌握熟练掌握). ). 3. 3. 极坐标使用极坐标使用极坐标使用((转换转换): ): 22()f x y +附附: 222:()()D x a y b R -+-£; 2222:1x y D ab+£;双纽线双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +£ 4. 4. 特例特例特例: :(1) (1)单变量单变量单变量: : ()f x 或()f y (2) (2)利用利用重心求积分: : 要求要求要求: : : 题型题型12()Dk x k y dxdy +òò, , 且已知且已知D 的面积DS 与重心(,)x y5. 5. 无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分((数三数三) ) 五: : 一类积分的应用一类积分的应用一类积分的应用((():;;;;f M d D L s WÞW W G S ò):1. 1. “尺寸”“尺寸”“尺寸”: (1): (1)D Dd Ss Ûòò; (2); (2)曲面面积曲面面积曲面面积((除柱体侧面除柱体侧面); ); 2. 2. 质量质量质量, , , 重心重心重心((形心形心), ), ), 转动惯量转动惯量转动惯量; ; 3. 3. 为三重积分为三重积分为三重积分, , , 格林公式格林公式格林公式, , , 曲面投影作准备曲面投影作准备曲面投影作准备. .第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. . 级数概念级数概念1. 1. 定义定义定义: (1): (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S ®¥( (如如1(1)!n nn ¥=+å)注注:(1)lim n n a ®¥; (2)nq å(或1n aå); (3)“伸缩”级数级数::1()n n a a +-å收敛{}n a Û收敛收敛. .2. 2. 性质性质性质: (1): (1): (1)收敛的必要条件收敛的必要条件收敛的必要条件: : lim 0n n a ®¥=;(2) (2)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散((交错级数的讨论交错级数的讨论); ); (3)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®; 二. . 正项级数正项级数1. 1. 正项级数正项级数正项级数: (1): (1): (1)定义定义定义: : 0n a ³; (2); (2)特征特征特征: : n S ; (3); (3)收敛收敛n S M Û£(有界)2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)1p n å, (2)ln knna å, (3)1ln k n n å 3. 3. 审敛方法审敛方法审敛方法: (: (: (注注:222ab a b £+,ln ln baa b=)(1) (1)比较法比较法比较法((原理原理):):np k a n (估计估计), ), ), 如如10()n f x dx ò; ()()P n Q n å (2) (2)比值与根值比值与根值比值与根值: *: *1lim n n nu u +®¥ *lim n n n u ®¥ ( (应用应用应用: : : 幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算) )三. . 交错级数交错级数交错级数((含一般项含一般项): ):1(1)n n a +-å(0n a >) 1. 1. “审”前考察“审”前考察“审”前考察: (1): (1)0?na > (2)0?n a ®; (3); (3)绝对绝对绝对((条件条件))收敛收敛? ? 注注: : 若若1lim 1n n na a r +®¥=>,则n u å发散2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)11(1)n n +-å; (2)11(1)n p n +-å; (3)11(1)ln n pn +-å3. 3. 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法((收敛收敛?) ?) (1) (1)前提前提前提: :n a å发散发散; (2); (2); (2)条件条件条件: : ,0nn a a ®; (3); (3)结论结论结论: : 1(1)n n a +-å条件收敛收敛. .4. 4. 补充方法补充方法补充方法: :(1) (1)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散; (2); (2)221,0n n n n s s s s a a s s s s s s s s+®®Þ®Þ®.5. 5. 注意事项注意事项注意事项: : : 对比对比 n a å; (1)n n a -å; n a å; 2n a å之间的敛散关系四. . 幂级数幂级数幂级数: : 1. 1. 常见形式常见形式常见形式: : (1)n n a x å, (2)0()n n a x x -å, (3)20()nna x x -å 2. 2. 阿贝尔定理阿贝尔定理阿贝尔定理: :(1) (1)结论结论结论: : *x x =敛*0R x x Þ³-; *x x =散*0R x x Þ£-(2) (2)注注: : 当当*x x =条件收敛时*R x x Þ=- 3. 3. 收敛半径收敛半径收敛半径,,区间区间,,收敛域收敛域((求和前的准备求和前的准备) ) 注注(1),nnnn a na x x nåå与n n a x å同收敛半径(2)nn a x å与20()nn a x x -å之间的转换 4. 4. 幂级数展开法幂级数展开法幂级数展开法: : (1) (1)前提前提前提: : : 熟记公式熟记公式熟记公式((双向双向,,标明敛域标明敛域) )23111,2!3!xe x x x R =++++W =24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++W =35111(),23!5!xxe e x x x R --=+++W =3511sin ,3!5!x x x x R =-+-W = 2411cos 1,2!4!x x x R =-++W =; 211,(1,1)1x x x x =+++Î--; 211,(1,1)1x x x x=-+-Î-+2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-Î-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----Î-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-Î-(2) (2)分解分解分解: : ()()()f x g x h x =+(注:中心移动中心移动) () () (特别特别特别: : 021,x x ax bx c=++) (3) (3)考察导函数考察导函数考察导函数: : ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f Þ=+ò(4) (4)考察原函数考察原函数考察原函数: : 0()()xg x f x dx ò()'()f x g x Þ=5. 5. 幂级数求和法幂级数求和法幂级数求和法((注: *: *先求收敛域先求收敛域先求收敛域, *, *, *变量替换变量替换变量替换): ): (1)(),S x =+åå(2)'()S x =,(,(注意首项变化注意首项变化注意首项变化) )(3)()()'S x =å,(4)()"()"S x S x Þ的微分方程 (5) (5)应用应用应用::()(1(1))nn n n a a x S x a S Þ=Þ=ååå. 6. 6. 方程的幂级数解法方程的幂级数解法7. 7. 经济应用经济应用经济应用((数三数三): ):(1) (1)复利复利复利: : (1)nA p +; (2); (2)现值现值现值: : (1)n A p -+五. . 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数((数一数一): (): (2T p =) 1. 1. 傅氏级数傅氏级数傅氏级数((三角级数三角级数): ): 01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å2. Dirichlet 充分条件充分条件((收敛定理收敛定理): ): (1) (1)由由()()f x S x Þ(和函数和函数) ) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++3. 3. 系数公式系数公式系数公式: : 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin nn a f x nxdx a f x dx n b f x nxdxppp ppp ppp ---ì=ïï==íï=ïîòòò4. 4. 题型题型题型: (: (: (注注: ()(),?f x S x x =Î) (1)2T p =且(),(,]f x x p p =Î-(分段表示分段表示) )(2)(,]x p p Î-或[0,2]x p Î (3)[0,]x p Î正弦或余弦 *(4)[0,]x p Î(T p =) *5. 2T l =6. 6. 附产品附产品附产品: : ()f x Þ01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å0001()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥=Þ=++å001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. . 向量基本运算向量基本运算1. 12k a k b +; (; (平行平行b a l Û=)2. a ; (; (单位向量单位向量单位向量((方向余弦方向余弦) ) 01(cos ,cos ,cos )a aaa b g =)3. a b ×; (; (投影投影投影::()a a b b a×=; ; 垂直垂直垂直::0a b a b ^Û×=; ; 夹角夹角夹角::(,)a b a b a b×=)4. a b ´; (; (法向法向法向::,n a b a b =´^; ; 面积面积面积::S a b =´) 二. . 平面与直线平面与直线 1. 1.平面平面P(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C Å= (2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D p -+-+-=Þ+++=(3) (3)其它其它其它: *: *: *截距式截距式1x y za b c++=; *; *三点式三点式2. 2.直线直线L(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p Å=(2) (2)方程方程方程((点向式点向式): ): 000:x x y y z z L m n p ---==(3) (3)一般方程一般方程一般方程((交面式交面式): ): 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=ìí+++=î(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a ty b b b t t z c c c t=+-ìï=+-Îíï=+-î)3. 3. 实用方法实用方法实用方法: :(1) (1)平面束方程平面束方程平面束方程: : 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D p l +++++++=(2) (2)距离公式距离公式距离公式: : : 如点如点000(,)M x y 到平面的距离000222Ax By Cz D d A B C +++=++(3) (3)对称问题对称问题对称问题; ;(4) (4)投影问题投影问题投影问题. .三. . 曲面与空间曲线曲面与空间曲线曲面与空间曲线((准备准备) ) 1. 1. 曲面曲面(1) (1)形式形式S : (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (; (注注: : 柱面柱面(,)0f x y =) (2) (2)法向法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y zn F F F a b g =Þ ( (或或(,1)x y n z z =--)2. 2. 曲线曲线(1) (1)形式形式():()()x x t y y t z z t =ìïG =íï=î, , 或或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =ìí=î; (2) (2)切向切向切向: : {'(),'(),'()}s x t y t z t = ( (或或12s n n =´)3. 3. 应用应用 (1) (1)交线交线交线, , , 投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线; ;(2) (2)旋转面计算旋转面计算旋转面计算: : : 参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转; ;(3) (3)锥面计算锥面计算锥面计算. .四. . 常用二次曲面常用二次曲面 1. 1. 圆柱面圆柱面圆柱面: : 222x y R += 2. 2. 球面球面球面: : 2222x y z R ++=变形变形变形: : 2222x y R z +=-, 222()z R x y =-+,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 3. 锥面锥面锥面: : 22z x y =+变形变形变形: : 222x y z +=, 22z a x y =-+ 4. 4. 抛物面抛物面抛物面: : 22z x y =+,变形变形变形: : 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 5. 双曲面双曲面双曲面: : 2221x y z +=± 6. 6. 马鞍面马鞍面马鞍面: : 22z x y =-, , 或或z xy =五. . 偏导几何应用偏导几何应用 1. 1. 曲面曲面(1) (1)法向法向法向: : (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =Þ=, , 注注: (,)(,1)x y z f x y n f f =Þ=- (2) (2)切平面与法线切平面与法线切平面与法线: :。
高等数学2知识点总结(优秀3篇)
高等数学2知识点总结（优秀3篇）高等数学2知识点总结篇一高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的'数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
高等数学2知识点总结大一
高等数学2知识点总结大一一、极限在高等数学2课程中，学习了极限的概念和性质。
极限是数列或者函数无限接近某个确定值的过程。
具体来说，我们学习了以下几个重要的知识点：1. 数列极限：数列极限是指当数列的项随着序号的增大无限接近于某一确定值。
我们主要关注数列的收敛与发散性质，以及数列极限的性质和判定方法。
2. 函数极限：函数极限是指当自变量无限接近某一确定值时，函数值也无限接近于某一确定值。
我们学习了函数极限的定义、性质和计算方法，例如利用极限运算法则来计算函数极限。
3. 无穷小与无穷大：无穷小与无穷大是极限的重要概念，它们在表达极限过程中起到了关键作用。
我们学习了无穷小与无穷大的定义和性质，以及它们的一些重要应用，例如判断函数极限的方法。
二、导数与微分导数和微分是高等数学2课程中的另一个重要内容，它们描述了函数的变化率和局部性质。
具体来说，我们学习了以下几个关键知识点：1. 导数的概念：导数表示函数在某一点处的变化率，是函数的重要性质之一。
我们学习了导数的定义、性质和计算方法，包括利用导数的定义和运算法则求函数的导数。
2. 微分的概念：微分表示函数在某一点处的线性近似，是导数的几何解释。
我们学习了微分的定义、性质和计算方法，以及微分在求函数极值和曲线绘制中的应用。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数和高阶微分是导数和微分的推广，描述了函数更高阶的变化性质。
我们学习了高阶导数和高阶微分的定义和计算方法，以及它们在函数性质研究中的应用。
三、定积分与不定积分定积分和不定积分是高等数学2课程的核心内容，它们描述了函数在区间上的累积变化量和反函数的求解。
具体来说，我们学习了以下几个重要的知识点：1. 定积分的概念：定积分表示函数在区间上的累积变化量，是函数的重要性质之一。
我们学习了定积分的定义、性质和计算方法，包括利用定积分的定义和几何解释求函数的面积和曲线长度。
2. 不定积分的概念：不定积分表示函数的原函数，是定积分的逆运算。
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主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6）抛物柱面：ay x =2 （二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=。
5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （一） 性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 微分法1） 复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则充分条件z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值， 若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。
2、 几何应用1）曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ， 21()()(,)d d d (,)d d y c y D f x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算：1）直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”2）柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3）球面坐标（三） 应用 曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d ρ2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、计算：———“一单二投三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、 性质：1）21∑+∑=∑，则计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xyD y x ∈),(，),(y x z z =在xyD 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”. 3、 两类曲面积分之间的关系：其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有 或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα2、通量与散度通量：向量场),,(R Q P A =ρ通过曲面∑指定侧的通量为：⎰⎰∑++=Φy x R x z Q z y P d d d d d d散度：zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ρ （七） 斯托克斯公式 1、斯托克斯公式：设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 2、环流量与旋度环流量：向量场),,(R Q P A =ρ沿着有向闭曲线?的环流量为⎰Γ++z R y Q x P d d d旋度：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R A rot , , ρ第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、定义：1）无穷级数：ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n nk k nu u u u u S ++++==∑=Λ3211，正项级数：∑∞=1n nu，0≥nu交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ，0≥n u2）级数收敛：若SS nn =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1n nu收敛，否则称级数∑∞=1n nu发散3）条件收敛：∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散；绝对收敛：∑∞=1n nu收敛。