随机信号通过线性系统
(完整版)随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
随机信号通过线性系统分析
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
随机信号的分析
第2章 信号分析基础
任意给定两个固定时刻 t 1、t 2 ，则由 (t1)和 (t2 ) 构成一个二维随机变量 (t1),(t2)，若
F 2 x 1 ,x 2 ; t 1 , t 2 P 2 t 1 x 1 , t 2 x 2 （2-48）
成立，则称之为随机过程 (t ) 的二维分布函数。
对N个随机变量 x t1 ,x t2,.x .tN .,，若有
（2-51）
f N ( x 1 , x 2 , , x N ; t 1 , t 2 , , t N ) f 1 ( x 1 , t 1 ) f 2 ( x 2 , t 2 ) f N ( x N , t N ) （2-52）
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
清华大学出版社
刻的随机变量的集合则为随机过程；随机变量是 一个实数值的集合，而随机过程是时间函数的集 合。
研究随机变量或随机过程的关键是研究其统
计特征，这不仅简单明了，而且直接反映信号的
变化规律。
概率分布
概率密度函数(pdf)
统计特征
数字特征
分布函数 数学期望(均值) 方差
相关函数
第2章 信号分析基础
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
解：（1）由 pdf函数知，这是一个 a、0 的2标1准
正态分布，故其直流电平为 a。0
（2）由于方差 2就是信号的交流功率，故信号的平均 功率为1(W)。
随机过程的一维分布函数或一维概率密度函 数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特 性或概率分布，并未说明在不同时刻取值之间的 内在联系，为充分描述随机过程，需进一步引入 二维分布函数和二维概率密度函数。
D E 2 E 2 （2-60）
第三章 随机信号通过线性系统分析
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
x (t ) ► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输 出为：
y (t )
h ( ) x ( t ) d
2012-6-30 3
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输 出信号的统计特性
2012-6-30
4
• 下面的分析线性系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变 的、物理可实现的稳定系统。
证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
R Y ( t1 , t 2 ) E [ Y ( t1 ) Y ( t 2 )] h ( t1 ) h ( t 2 ) R X ( t1 , t 2 )
R Y ( t1 , t 2 ) E [Y ( t1 )Y ( t 2 )]
R Y X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 ) * h ( t1 )
2012-6-30 17
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统 输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为
R X Y ( t1 , t 2 ) R X ( t 1 , t 2 ) * h ( t 2 )
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移时间C, 输出y(t)也只引起一个相同 的时移，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
随机信号分析 第五章随机信号通过线性系统(2)
2
0
0
0
FX ( ) N 0
K0
0
N0 K0
0
2
0
0
0
注：“窄带”的定义
1、窄带系统： 系统的中心频率
0
H ( )
系统带宽。
∥
0
0
2，窄带随机信号： 其功率谱密度的中心频率 0 e 等效噪声带宽。
G X ( )
N0 w2 L2 R 2 R 2 jw N RN0 R| |/ L e dw 0 ( ) e 2 R2 w2 L2 2 4L
题3：若图示系统的输入x(t)为平稳随机过程,求输 出的功率谱密度.
解：先求自相关函数，再求功率谱密度
RY ( ) E[Y (t )Y (t )] E{[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} E[ X (t ) X (t ) X (t T ) X (t ) X (t ) X (t T ) X (t T ) X (t T )]] 2 R X ( ) R X ( T ) R X ( T )
e 均由系统本身决定。
同一系统的这两个不同参数有着密切联系。
e
e
5.3.2 白噪声通过线性系统
一，输出信号的功率谱密度
N0 G X ( ) 2
FX () N0
GX ( ) FX ( )
N0 GY ( ) | H ( ) |2 ， 2 FY ( ) N0 | H ( ) |2 ， 0
这等效的限带白噪声带宽 e ←称为实际系统的“等效噪声带宽”。
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
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4.1 线性系统的基本性质
• 若在上式中令z=ejω ,则有
• 3. 物理可实现的稳定系统 • 如果系统的单位冲激响应满足当n<0时,h(n)=0,那么称该系统为因果
• 式中,y(t)是系统的输入,L[x(t)]表示系统对x(t)的作用,它是对信号x (t) 进行运算的符号,称为运算子。L[·] 代表着各种可能的数学运算方法, 如加法、乘法、微分、积分以及积分方程、微分方程的求解运算等。
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4.1 线性系统的基本性质
• 若系统的输入和输出都是连续时间信号,则称该系统为连续时间系统; 若系统的输入和输出都是离散时间信号,则称该系统为离散时间系统。 如果输入信号是从t=-∞起一直作用于系统的,则称输入信号为双侧信 号,这时的系统称为双侧系统;如果输入信号是在t=0时刻开始作用于系 统的,则称该信号为单侧信号,这时的系统被称为单侧系统。
4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.3 离散线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(n)是离散时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 式中h(n)为系统的单位冲激响应。
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4.1 线性系统的基本性质
• 2. 频域分析 • 如果x(n)和h(n)绝对可和,则它们的离散傅里叶变换存在,即
• 2. 线性时不变系统 • 所谓时不变系统是指系统的响应只随输入信号时间的移动而移动,这
样的移动不会改变信号的本质。也就是若输入信号x(t)时移,使输出y(t) 也会有一个相同的时移,即
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4.1 线性系统的基本性质
• 因此,如果系统是时不变的,设t=0时刻冲激δ(t)作用时,系统产生响应为 h(t),那么在t=τ 时刻用冲激δ(t-τ)作用时,将产生响应h(t-τ)。于是一定 有下式成立:
• 叠加原理的数学表达式是
• 式中,ak 为任意常数,n 可以是无穷大。该式所表达的物理意义是:信号 通过系统的过程与其分量分别通过系统再汇合的过程等效。
• 2)线性系统的响应 • 在信号与系统的分析中,常常会利用冲激函数的性质,因此,我们利用冲
激函数作进一步的推导。若冲激函数的表达式如下:
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• 对所有的t均满足
于是,
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4.1 线性系统的基本性质
• 所以,如果系统的冲激响应h(t)是绝对可积的,即
• 那么,系统的输出必然是有界的,也就是说,系统是稳定的。 • 2)系统因果性 • 在讨论信号与系统时,我们往往会讨论系统是否具有因果性。那么什
么是系统的因果性呢? 在实际工程应用中,系统的因果性表现为物理 上可能实现的系统在任何时刻的输出只取决于其现在和过去的输入, 也就是说,系统的冲激响应函数应满足上一页 下一页 返回源自4.1 线性系统的基本性质
• 式中h(t)为系统的单位冲激响应。 • 2. 频域分析 • 如果x(t)和h(t)绝对可积,则它们的傅里叶变换存在,即
• H (ω)为线性系统的传输函数,h(t)为H (ω)的傅里叶反变换。 • 设Y(ω)是输出y(t)的傅里叶变换,则有
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• 这是卷积公式,时不变的重要价值在于:线性系统的数学表现形式可进 一步明确为单个函数零时刻的冲激响应h(t)。
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4.1 线性系统的基本性质
• 在频域线性时不变系统对于输入信号的作用具有特殊性质,也就是信 号在时域相卷积相当于信号在频域相乘,具体是以H (ω)实施“乘积传 输”。作为中间桥梁的函数H (ω)称为线性时不变系统的传输函数。 它与系统的冲激响应函数h(t)构成傅里叶变换对。
第4章 随机信号通过线性系统
• 4.1 线性系统的基本性质 • 4.2 随机信号通过连续时间系统的分析 • 4.3 随机信号通过离散时间系统的分析 • 4.4 白噪声通过线性时不变系统的分析 • 4.5 线性系统输出端随机信号的概率分布
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4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.1 一般线性系统
• 以单输入和单输出线性系统为例,所谓系统在本质上应该理解为将一 个激励信号输入其中后,对应的输出相应的映射或运算,如图4.1所示。 x(t)经过系统映射为y(t)的过程可表示为
• 1. 一般线性系统 • 1)线性系统的定义 • 当对一个系统输入xk(t)(k=1,2,…,n)的线性组合进行研究时,如果其响
应等于系统对相应单个响应的线性组合,那么该系统就称为线性系统。 换言之,满足叠加定理的系统即为线性系统,而在此时的L[·]称为线性 运算子。
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4.1 线性系统的基本性质
4.1 线性系统的基本性质
• 将此式代入叠加原理公式有
• 其中L ·移动至被积项上是利用其运算线性的结果。为了更方便研究, 现在定义一个新函数h(t)作为线性系统对δ(t)的冲激响应,即
• 于是,可以得到进一步的响应表达式
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4.1 线性系统的基本性质
• 由以上各式可见,线性系统的响应y(t)完全由其各时刻的冲激响应和输 入信号共同决定。因而,线性系统的数学表现形式就是其各时刻的冲 激响应函数族{h(τ),τ∈(-∞,∞)}。
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4.1 线性系统的基本性质
• 这就是因果系统具有的基本性质,这样,式(4.1.9)可以改写为
• 结论: • 如果当t<0时,h(t)=0,那么该系统称为因果系统,也即是所有实际的物理
可实现系统都是因果的。
• 4.1.2 连续线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(t)是连续时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 3. 系统的稳定性与因果性 • 实际应用中的系统,其本身必定是稳定和可实现的,它们应该具有下面
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,