2019安徽中考数学——数式规律探索题

类型一 数式规律探索

1.观察下列等式，按照等式排列的规律填空：

①

121

1222=--， ②

221

2322=--， ③

32

1

3422=--， …

（1）根据上述规律，请写出第4个等式；

（2）写出第n 个等式（用含n 的代数式表示），并证明等式成立.

解：（1）由题中等式的变化规律可得，第4个等式为

421

4522=--； （2）第n 个等式是

n n n =--+2

1

)1(22. 证明：∵左边=21)1(22--+n n =21

1222--++n n n =n ，右边=n ，

∴第n 个等式是

n n n =--+2

1

)1(22成立. 2.观察下列等式： 第一个等式：2

21221

2112213⨯-⨯=⨯⨯=

a ；

第二个等式：3

232231

2212324⨯-⨯=⨯⨯=a ； 第三个等式：4

3432

41

2312435⨯-⨯=⨯⨯=a ； 第四个等式：5

454251

2412546⨯-

⨯=⨯⨯=a ； …

按上述规律，回答以下问题： （1）猜想并写出第n 个等式； （2）证明你写出的等式的正确性.

解：（1）根据上述规律可得，第n 个等式：1

12)1(1

-212)1(2++∙+∙=∙++=

n n n n n n n n n a ；

（2）证明：∵右边=

12)1(1-21+∙+∙n n n n =12)1(-1)2(+∙++n n n n n =1

2

)1(2

+∙++n n n n =左边， ∴等式成立.

类型二 图形规律探索

3.如图，用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.

第3题图

（1）求第四个图案中正三角形的个数；

（2）求第n个图案中正三角形的个数（用含n的代数式表示）.

解：（1）∵第一个图案中正三角形的个数为6=2+4×1；

第二个图案中正三角形的个数为10=2+2×4；

第三个图案中正三角形的个数为14=2+3×4；

…

∴第四个图案中正三角形的个数为18=2+4×4；

（2）由（1）可得，第n个图案中正三角形的个数为4n+2.

4.如图，是由m×m（m为奇数）个小正方形组成的图形，我们把图中所有的x，y相加得到的多项式称为“正方形多项式”.

第4题图

（1）观察以上图形并完成下表：

猜想：第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为；

（2）当x的个数为676个，y的个数为625个时，判断其是否在同一个“正方形多项式”中，并说明理由.

解：（1）36，25，36x+25y，(n+1)2x+n2y；

【解法提示】∵第1个图形中的“正方形多项式”为4x+y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x+4y，第3个图形中的“正方形多项式”为16x+9y，第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，∴第5个图形中的“正方形多项式”为36x+25y，∴第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为(n+1)2x+n2y.

（2）x、y在同一个“正方形多项式”中.理由如下：

当x的个数为676个时，(n+1)2=676，解得n=25，当y的个数为625个时，n2=625，得n=25，

∴x、y在同一个“正方形多项式”中.