任意角的三角函数、诱导公式(学生版)

任意角的三角函数、诱导公式

[基础归纳]

1．设α是一个任意角，它的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x，y)．

(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y；

(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x；

(3)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．

2．三角函数的定义域如表所示：

三角函数定义域

sin αR

cos αR

tan α{α|α≠＋kπ，k∈Z}

3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．

4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即

sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)

＝tan_α　(其中k∈Z)．

5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.

6．熟记各特殊角的三个三角函数值角度α0°30°45°60°90°180°270°360°弧度α0π2πsin α010－10cos α10

－1

1

tan α

1

不存在0不存

在

知识要点一：对三角函数定义的理解

（1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．

（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点

P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．

知识要点二：三角函数值在各象限内的符号

（1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的．

（2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记

忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．

知识要点三：诱导公式一的理解及其应用

（1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．

（2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.

（3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～

2π(或0°～360°)角的三角函数值．

知识要点四：三角函数线

（1）．三角函数线的意义

三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．

（2）．三角函数线的作用

三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．

7．同角三角函数的基本关系式包括：

平方关系式：sin2α＋cos2α＝1；

商数关系式：tan α＝.

8．商数关系tan α＝成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋，k∈Z}．

知识要点一：公式的推导

（1）．设P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x＝cos α，y＝sin α，＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x2＋y2＝1，即cos2α＋sin2α＝1，且＝＝tan α.

（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得．

设P(x，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.

则sin α＝，cos α＝，tan α＝.

易知sin2α＋cos2α＝＝1，tan α＝＝.

知识要点二：公式应用时注意的问题

（1）．公式成立的条件

sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R均成立，tan α＝仅在α≠kπ＋(k∈Z)时成立．

（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

（3）．使用平方关系sin α＝±，

cos α＝±，“±”由角α所在象限来确定．

（4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．

如：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝，＝tan α 等．

9．诱导公式二

sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.

10．诱导公式三

sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.

11．诱导公式四

sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α

tan(π－α)＝－tan_α.

即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

12．诱导公式五 13．诱导公式六

sin(－α)＝cos_α，cos(－α)＝sin_α. sin(＋α)＝cos_α，cos(＋α)＝－sin_α.

即±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

知识要点一：公式的记忆方法

六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α可统一表示成±α(k∈Z)的形式．当k为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．