第一节n维向量与向量组[1]

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北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间

n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时，能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，

, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念二．向量与矩阵的关系三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．

向量组及其线性组合分布图示n维向量的概念向量组与矩阵

第一节向量组及其线性组合分布图示★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=⨯X A n m的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、向量组的线性组合考察线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1) 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα则线性方程组(1)可表为如下向量形式:βααα=+++n n x x x 2211 (2)于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：.2211n n k k k αααβ+++=定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；定理1 设向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩阵),,,,(~21βαααs A =的秩相等.三、向量组间的线性表示定义6 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使,),,,(21212211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ所以,),,,(),,,(2122221112112121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ其中矩阵t s ij t s k K ⨯⨯=)(称为这一线性表示的系数矩阵.引理若,n t t s n s B A C ⨯⨯⨯= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.例题选讲n 维向量及其线性运算例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT ---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.解由题设条件,有022321=--αβαβ)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --=例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此β是21,αα的线性组合.例4 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+=例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1(-及)2,3,3(的线性组合. 证假定321,,λλλ是数，它们使)5,5,4()2,3,3()4,1,1()3,2,1(321λλλ+-+=)2,3,3()4,,()3,2,(333222111λλλλλλλλλ+-+=),243,32,3(321321321λλλλλλλλλ+++++-=这样便可得到一个线性方程组:.524353243321321321⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-λλλλλλλλλ （2）这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解:,11=λ,02=λ;13=λ,31=λ,12-=λ.03=λ因此);2,3,3()3,2,1()5,5,4(+=).4,1,1()3,2,1(3)5,5,4(--=即向量)5,5,4(可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.注：本例表明，判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多.这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.向量组的线性组合例6 (E02) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 =α都是n 维向量单位组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.因为 .2211n n a a a εεεα+++=例7 (E03) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例8 (E04) 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=例9 (E05) 判断向量T )11,1,3,4(1-=β与T )11,0,3,4(2=β是否各为向量组,)5,1,2,1(1T -=α T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.解设,12211βαα=+k k 对矩阵)(121βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000110421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110201 易见，秩=)(121βαα秩.2),(21=αα故1β可由21,αα线性表示，且由上面的初等变换可取,21=k 12=k 使.2211ααβ+= 类似地，对矩阵),,(221βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1115011312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990430550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010*******易见, 秩,3)(221=βαα秩.2)(21=αα 故2β不能由21,αα线性表示.课堂练习1.下列向量组中,向量β能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:.)6,5,4(,)1,2,1(,)2,1,2(,)2,3,3(321T T T T =-=-=-=βααα。

第1节 n维向量及其线性相关性(全)

第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。

,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。

◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。

◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。

◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。

11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。

1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。

则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。

1、第一节 n维向量的概念第二节向量组的线性相关性

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , 等T 表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an ) n维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
第一节 n维向量的概念ຫໍສະໝຸດ 注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
例7.讨论向量组a
1 1,
1 b 2,
1 c 0
1
1
0
解
的线性相关性.
设 1a 2b 3c 0
1 2 3 0
即
1 22 0
1 2 0
11 1
系数行列式 D 1 2 0 1 0
11 0
方程组只有零解 1 2 3 0所以,向量组
a, b, c是线性无关的.
因
1，
2，
线性无关，故有
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
第二节向量组的线性相关性一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，

第二章第一讲向量及向量组合(2013-3-21)

1 1 2 2
n
n
1
2
n
1
2
m
1
2
m
1
2
m
1
2
3
4
1 1 1 0 2 0 0 2 1 −1 β= , α1 = ,α 2 = ,α3 = ,α 4 = 0 1 3 2 0 1 1 1 0 1
3
例1.2 证明：任一三维向量
1
a1 α = a2 a 3
3
都可由
1 0 0 e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 0 0 1
1 2
线性表示
证明先将向量 α 写成 e , e , e 的线性组合，对一组数 k ,k
T
T
1 2 n
1
2
n
i
i
T
T
1
2
n
1
2
n
( a1 + b1 ,
a2 + b2 , ⋯ , an + bn )
T
称为向量 α 与 β 的和,记作 α + β . 若记 −β = ( −b , −b , ⋯, −b ) 为 β 的负向量,则可定义向量 α 与 β 的差:
1 2 n
1
α − β = α + (− β )
1 2
m
1
2
m
,
称
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m
是向量组 A 的一个线性组合；（2）对向量 β ,若存在一组数 k , k ,⋯, k ,使得
1 2 m

n 维向量及向量组的线性相关性

能线表却不唯一
不能线表
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有唯一解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有无穷解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 无解
例:判断向量能否由向量组 , , , 线性表出，
若能，求出一组组合系数，其中
证设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（
1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
矩阵方程
研究向量之间的关系
线性组合

例：1 = (2, −4,1, −1) ,
2
若满足31 − 2 + 2 = 0, 求.
解： =
1
− (21
2
− 32 )= −2 +
1
= (6, −5, − , 1)
2
3
1
2
唯一线表
所组成的集合叫做向量组．
例如矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量
mn
a11 a12 a1 j a1n

a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A

a m 1 a m 2 a mj a mn
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,

n维向量空间

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向量
a1 Hale Waihona Puke 空间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向量
若 L, L, 则 L;
空间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第三
有问题可通过Email询问:
章
n
维向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量空间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1

第4章 n维向量空间

T
# 实向量 a : 向量 a的分量都是实数 ; # 复向量 b : 向量 b的分量都是复数。定义 4 . 1 所有 n维实向量 ( r e a l v e c t o r )的集合称为 , n维实向量空间，记为，即
例 4.1 判断向量 β = -3, 2, 0, 5 是否可由向量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。解因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4，所以 β 可由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4

T
a1 a2 a n

复习若干概念： # 向量 α a1 , a 2 , , a n

T
和 β b1 , b 2 , , b n

T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向量 α , β的和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向量 0 ,0 , , 0 称为零向量，用 O 表示。
即： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定理 4.1 ( 1 ) 向量 β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 线性表示的充要条件是： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向量 β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 惟一线性表示的充要条件是： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。证 (1 ) β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 线性表示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方程组 A X β 有解其中A 存在 m 个数 x 1 , x 2 , , x m ，使得

第1节 n维向量其线性相关性-文档资料

向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）
向量组A A ： a a …,a a 线性相关向量组： a ,,a ,,…, m线性无关 11 22 m
存在不全为零的实数 ,a k …, km ，使得如果 k1a1 + k2a2 + … + k k1 （零向量），则必有 2,=0 m m k1a1 + k2 a +k … +… kma ． k = km （零向量） =0 ． m =0 12= 2= m元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax Ax= =0 0只有零解．有非零解． m 矩阵 A= =(( a a …,a a 的秩小于向量的个数m m．．矩阵 A a ,,a ,,…, m))的秩等于向量的个数 11 22 m 向量组A A中任何一个向量都不能由其余中至少有一个向量能由其余 mm － 11 个向量线性向量组－个向量线表示．性表示．
第四章向量及向量空间
● ●
n维向量及其线性相关性向量组的秩
● 线性方程组解的结构
● 向量空间
§1 向量组及其线性组合
定义4.1.1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n 维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i 个分量。

分量全为实数的向量称为实向量。分量全为复数的向量称为复向量。 n维向量写成一行的称为行向量(或行矩阵)。 n维向量写成一列的称为列向量(或列矩阵)。
故
n T 注：中任一个向量都可由 ( a , a , a ) 1 2 n
线性表示，即 1,2 , ,n
a a a
1 1 22
n n
例2如果向量组中有一部分向量线性相 , , 1 2, m 关，则这个向量组也线性相关.

3n维向量与向量空间

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所以
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§4 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。如果向量组性表出，那么的秩不超过能由向量组线的极大线性无关组可由的秩。
的极大线性无关组线性表出。因此定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。上一页返回下一页
矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 推论矩阵A的行秩与列秩相等.
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例13 已知向量组 a1 1,2, 1,1 ,a2 2,0, t,0 ,
a3 0, 4,5, 2 , a4 3, 2, t 4, 1 的秩为2,确定
的值.
3 1 2 0 2 0 4 2 . 解考察矩阵 A 1 t 5 t 4 1 1 0 2
由条件知 R A 2 ,从而A的所有3阶子式均为0.
1 2 0
故由
2 0 4 12 4t 0 得 t 3. 1 t 5
返回上一页下一页且存在有限个初等矩阵p返回上一页下一页1说明a经过有限次初等行变换变成e2说明b经过有限次初等行变换变成x故可用初等行变换求x因此只需对矩阵ab作初等行变换当把a变为e时b就变成了a1返回上一页下一页返回上一页下一页所以返回上一页
第三章 n维向量与向量空间
第一节 n维向量
第二节第三节
第四节
向量组的线性相关性向量组间的关系与极大线性无关组
向量组的秩及其与矩阵的秩的关系

n维向量及其运算向量组的线性相关性教学课件

平面向量的线性相关性
空间向量具有三个分量，可以通过三个空间向量的线性组合来表示出任意一个空间向量，从而可以解决空间几何中的角度、距离、垂直和平行等问题。
空间向量的线性相关性
在几何中的应用
通过建立一元线性方程组，可以用向量表示未知数，利用向量的线性相关性求解方程组。
通过对向量空间的定义和性质的研究，可以建立向量空间的运算和结构，进而研究更为复杂的代数问题。
向量组线性相关性的判定定理
03
向量组的线性表示与矩阵
向量组的线性表示的定义：对于给定向量组A和向量b。存在一组系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
向量组的线性表示的概念与性质
线性表示的性质
唯一性：当且仅当$\mathbf{b}=0$时。存在一组非零系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
数乘运算示例：假设有一个实数k，则k×a=[k×1,k×2,k×3]=[k,2k,3k]。
减法运算示例：假设有一个3维向量c=[7,8,9]，则c-a=[7-1,8-2,9-3]=[6,6,6]，即c-a=[6,6,6]。
n维向量的运算实例
02
向量组的线性相关性
向量组的定义
有限个向量组成的集合称为一个向量组
非零向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 与 $\mathbf{b_1,b_2,...,b_n}$ 线性相关
向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 线性无关的充分必要条件是其中任意不等于零的向量的个数小于等于 $n$
向量组的线性相关性的定义与性质
01
02
在物理中的应用
05
总结与展望
向量组的秩
从定义、性质、计算方法等方面，系统地介绍了向量组的秩的基本概念和基本理论。

第2章-n维向量

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第二章 n维向量第一节 n维向量及其运算第二节向量组的秩和线性相关性第三节向量组线性相关性的等价刻画第四节向量组的极大线性无关组第五节向量空间第六节内积与正交矩阵第二章 n维向量§2.1 n维向量及其运算第二章 n维向量§2.1 n维向量及其运算§2.1 n维向量及其运算一. 历史古希腊的亚里士多德(Aristotle): 二力合成的平行四边形法则法国数学家笛卡尔(René Descartes): 解析几何 1831年, 德国数学家高斯 (Johann Carl Friedrich Gauss): 复平面的概念 1844年, 德国数学家格拉斯曼 (Hermann Günter Grassmann): n 维向量英国物理学家数学家亥维赛(Oliver Heaviside): 向量分析 1888年, 意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano): 以公理的方式定义了有/无限维向量空间三皇五帝夏朝商朝周朝春秋战国秦朝西楚西汉新朝玄汉东汉三国约前?世纪-约前30世纪初约前30世纪初-前2029年前2070-前1600 前1600-前1046 前1046-前256 前770-前476 前475-前221 前221-前206 前206-前202 前202-公元9年公元8年12月-23年10月亚里士多德[希腊] (前384~前322.3.7) 23-25 25-220 220-280第二章 n维向量§2.1 n维向量及其运算第二章 n维向量§2.1 n维向量及其运算笛卡尔[法] (1596.3.31~1650.2.11)明朝1368-1644 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911高斯[德] (1777.4.30~1855.2.23)顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911东南大学-张小向 272365083@1请双面打印/复印，节约纸张。

线性代数第一节向量组及其线性组合

若干个同维数的行向量组成的集合叫做行向量组．
2、矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a1 a11
a2 a12
aj a1j

an a1n
A
a21
a22 a2j
a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的矩列阵 .向量
定理 2 向量B组 :b1,b2,,bl能由向量 A:a组 1, a2,,am线性表示的充分件必是要矩A条阵 (a1,a2,,am)的秩等于(A矩 , B)阵 (a1,a2,, am,b1,b2,,bl )的秩，R 即 (A)R(A, B).
推论向量 A:a 组 1,a2, am与向B 量 :b1,组 b2, bl 等价的充分必 R(A)要 R(条 B)件 R(A,是 B) 其A 中和 B是向A 量和 B所组构成.的矩阵
则向b量是向量A的组线性组合，向这量时b能称由向量组 A线性表示．
例如 :1 (1 ,2 ,3 ),2 (1 ,3 ,1 ),b (0 , 1 ,2 ) 则 b 1 2 ,即 b 可由 1 , 2 线性表示 .
3、定理
定 1理向 b 可量由1 ,向 2 , m 量线组性
a

a2

a n
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a1,a2, ,an)
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

第1节 n维向量及其线性相关性

k1 , k 2 , , k r

k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，而
, 1 , 2 , , r 线性相关，则可由 1 , 2 , , r
线性表示，且表示法唯一.
再证表示法唯一，设有两种表示方法：
证不妨设 1 , 2 , , j ( j
不全为零的数, k 2 k j k1 使
m)
线性相关，于是有
k 1 1 k 2 2 k j
j
0
从而有不全为零的数 k 1 , k 2 k j , 0 , , 0 使
k 1 1 k 2 2 k j j 0
k k 1 1 k 2 2 k r r 0
其中k
0 （如果 k 0 ，则由 1 , 2 , , r 线性无关又得
必须全为零，这与 k , k 1 , k 2 , , k r 不全为零矛盾），于是可由 1 , 2 , , r 线性表示为
（4.2）
即
（4.3）
因此，如果 1 , 2 , , r 线性相关，就必有不全为零的数x1 , x 2 , , x r 使得（4.2）式成立，即齐次线性方程组（4.1）有非零解；反之，如果线性方程组（4.1）有非零解，也就是有不全为零的数使（4.2）成立，则 1 , 2 , , r 线性相关.定理得证.
问：（1） 1 , 2 , 3 是否线性相关？（2） 4 是
否由 1 , 2 , 3 线性表示？如能表示求其表示式.
解（1）根据定理2，作矩阵

(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性

亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量时,若 0则说线性相关,若 0,则说线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关 .

第四章第1节向量组及其线性组合

(
)
称为列向量。称为列向量。列向量它们的区别只是写法上的不同。的不同。称为行向量。称为行向量。行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。称为零向量零向量。 2. 向量的运算和性质向量相等：向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等，的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3：定义：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组可以由向量组线性表示。可以由向量组B线性表示线性表示，那么就称向量组A可以由向量组线性表示。若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示线性表示，若同时向量组也可以由向量组线性表示，就称向量组A与向量组等价。与向量组B等价向量组与向量组等价。即
5. 线性组合与线性表示
定义1：定义：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组的一个称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。定义2：定义：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量

1 n 维向量

定义6
设 1 , 2 ,, m 是n维向量组, k1 , k 2 ,, k m
是一组数, 则称
k11 k 2 2 k m m
是向量组 1 , 2 ,, m 的一个线性组合。
若向量满足
k11 k2 2 km m
或向量能由则称向量是 1 , 2 ,, m的一个线性组合，
1 1 1
(2) 易知 2 , 所以是 , 的一个线性组合, 或能由 , 线性表示.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 例对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

系数向量组的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn x11 x22 xnn a21x1 a22 x2 a2n xn a x a x a x mn n m1 1 m2 2
若设
a11 a 1 21 , am1
a12 a 2 22 , am 2

b1 a1n b2 a 2 n n , bm amn
T
当向量的分量都为复数时,称该向量为复向量本书只讨论实向量.
n R 全体n维实向量的集合记为 ,即
R a1 a2 an | ai R, i 1, 2,, n
n T

二向量的线性运算
(一)定义
定义3: 两个向量, 相等指表示向量的两个矩阵相等.