人教版数学高二-2.4《等比数列》学案

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高中数学 2.4等比数列学案新人教A版必修5

第二章数列2．4 等比数列（第1课时）学习目标1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念； 2．掌握等比数列的通项公式及推导思路；3．能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列．要点精讲1．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠． 2．在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有1nn a q a -=(0,1)q n ≠>，则称数列{}n a 为等比数列；在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有11n n n na aa a +-=(1)n >，则数列{}n a 为等比数列． 3．由三个数,,a Gb 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列．这时，G 叫做a 与b 的等比中项．G 为a 与b 的等比中项⇔,,a G b 组成等比数列⇔2(0,0)G ab ab G =>≠4．设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则通项公式11n n a a q -=．公式推导方法为归纳法．对于任意,n m N *∈，有n m n m a a q -=．范例分析例1．在等比数列{}n a 中，（1）218a =，48a =，求1a 与q ；（2）5115a a -=，426a a -=，求3a ；例2．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，求22a ba b ++的值．例3．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为（）A ．4a 4b =B ．4a 4b >C ．4a 4b <D ．不确定例4．在等差数列}{n a 中，公差0d ≠，且2a 是1a 和4a 的等比中项，已知1a ，3a ，123,,,n k k k k a a a a 成等比数列，求数列123,,,,n k k k k ⋅⋅⋅的通项n k ．规律总结1．可以把等比数列{}n a 的问题归结为两个基本量1a 和q 的问题； 2．判定一个数列是不是等比数列，就是看1nn a a -(1)n >是不是一个与n 无关的常数． 3．等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式111(0)n n a a q a q -=≠，它的图象是分布在曲线1(0xa y q q q=⋅>且1)q ≠上的一些孤立的点．当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q <<<时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数数列基础训练一、选择题1．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（）A ．14 B ．13 C ．12D ．1 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a =（）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（） A ．2- B ．1 C ．2 D ．34．在△ABC 中，tan A 是以4-为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以31为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d = 若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题6．在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =___ 。

2.4 《等比数列》导学案

《2.4 等比数列》导学案班级组别组名姓名【学习目标】:1．通过实例、类比理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列；2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用，了解等比数列的通项公式的推导过程；3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．【重点难点】重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用难点：等比数列对列“等比”特征的理解和应用【复习回顾】1、等差数列的定义：即数列{a n}是等差数列⇔*=∈⇔d n N()2、等差数列的通项公式设等差数列{}n a的公差为d ，则=n a=【课前预习】知识点一等比数列的定义及通项公式1、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(q≠0).2、数学语言表示：数列{a n}是等比数列⇔*=∈⇔q n N()3、注意：（1）.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.（2）.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.（3）隐含：任何一项a n≠0，且公比0q≠【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()知识点二等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G＝.【预习评价】1. 已知等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，则a 2＝________.2. 3与27的等比中项是________. 知识点三等比数列的通项公式设等比数列{}n a ，的公比为q ，则 =n a【预习评价】１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个２．已知等比数列的通项公式1104n n a =⨯，其首项为，公比为３．在等比数列{}n a 中，已知首项为 98，末项为13 ，公比为23，则项数n=题型一等比数列的判断【例1】判断下列数列是否为等比数列（1）2,2,2,2，…；（2）-1,1,2,4,8，…；（3） ,,,321a a a ,n a ；（4）已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=。

高中数学2.4等比数列教案4人教版必修5

（3） 1,
11 ,,
24
（4） 2，— 2， 2，— 2， 2…… 例 2：求下列等比数列中的未知项：
（1） 2， a， 8
（ 5）a， a， a， a， a……
1
（2）— 4，b， c，
2
例 3：（ 1）在等比数列 an 中，是否有
11 , ……
8 16
a
2 n
an 1an 1 (n
2)?
（ 2）如果数列 an 中，对于任意的正整数 n(n 2) ，都有
等比数列
一、教学目标定位
（一）知识与技能
1、掌握等比数列的定义与等比数列的通项公式；
2、掌握等比数列以及等比数列的通项公式及推导。
3、培养学生的发现意识，提高学生的创新意识和逻辑推理能力，增强学生的应用意识。
（二）过程与方法
1 、采用比较式教学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、
如果是，它的首项和公比各是多少？
（ 2）取出数列 an 的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，
它的首项和公比各是多少？
（ 3）在数列 an 中，每隔 10 项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？
如果是，它的公比是多少？ D、课堂小结 1、本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式以及等比数列的性质； 2、注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比； 3、用方程的思想认识通项公式，并加以应用 . E、布置课后作业课课练 P31、 32
2、利用比较法教学来研究等比数列定义，体现了数学中“转化”的重要思想方法。
二、重点难点分析
（一）重点 1、等比数列的概念的理解与掌握。 2、等比数列通项公式的应用。

高中数学第二章数列2.4等比数列一导学案新人教A版必修5

2.4 等比数列（一）【教学目标】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（一）》课件“情景导入”部分，从世界杂交水稻之父—袁隆平的实例及四个生活中遇到的问题入手，通过互相交流，既可感受袁隆平对中国和全世界作出的杰出贡献，从而激发学生的爱国热情，又能对等比数列的概念及简单应用形成初步的印象.二、自主学习教材整理1等比数列的定义阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：a n＋1*)．a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab.教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P49倒数第1行～P51例3，完成下列问题．1．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n}的第n项a n，有公式a n＝a1q n－1.这就是等比数列{a n}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．2．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．三、合作探究问题1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，…； ③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….提示：从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．问题2 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？提示：设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．问题3 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？提示：等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2)．当n ＝1时，上面的等式也成立．∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．探究点1 证明等比数列例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．提示：由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ，∴a n ＝m 2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2， ∵m ＞0且m ≠1，∴m 2为非零常数，∴数列{a n }是等比数列．反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．探究点2 等比数列通项公式的应用命题角度1 方程思想例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．提示：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163. 因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8. 综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8. 反思与感悟已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项．命题角度2 等比数列的实际应用例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)提示：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ，由条件可得，数列{a n }是一个等比数列．其中a 1＝0.84，q ＝0.84，设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg0.84＝lg0.5，用计算器算得n ≈4.答这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．探究点3 等比中项例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则a b的值为( ) A ．±12 B.12C ．1D ．±1 提示：D [∵1，a,3成等差数列，∴a ＝1＋32＝2， ∵1，b,4成等比数列，∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.] 反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．四、当堂检测1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．323．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2434．45和80的等比中项为________．提示：1．C 2.C 3.A 4.－60或60五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．。

【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.4 等比数列(一) Word版含答案

2．4 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程．[学问链接]下列推断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．答案 (1)(3)(4) [预习导引]1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8，①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)法一由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点二等比中项的应用例2 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327. 要点三等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：证明a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1， ∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法推断一个数列是否是等比数列的常用方法有 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式．解 ∵S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 A解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝16.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不行能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应留意分子、分母次序不能颠倒．(3)假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2.等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来推断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B. 8 C. 16 D. 32 答案 C解析由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．假如－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．答案 80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 二、力量提升9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.10．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.11．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.12．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 2a na n －1＝log 2q ， ∴{b n }为等差数列，且d ＝log 2q ，而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1(b 1＋d )(b 1＋2d )＝－3， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2.∴b n ＝2n －3或5－2n .∴a n ＝22n －3或a n ＝25－2n . 三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的表达式．(1)证明法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。

人教新课标版数学高二A必修5学案 2.4 等比数列(一)

明目标、知重点 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项的概念如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 3．等比数列的通项公式已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一等比数列的概念思考1 阅读教材48页至49页上半页列举了4个实例，请同学们写出这4个实例对应的4个数列，并观察它们有什么共同特点．答这4个数列分别为：①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,20,202,203，…；④10 000×1.019 8,10 000×1.019 82,10 000×1.019 83，10 000×1.019 84,10 000×1.019 85. 它们的特点为：每一项与它前一项的比等于同一常数．思考2结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义．答如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．思考3我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简洁地表示它？答a na n－1＝q(n>1，q≠0)．思考4下列所给数列中，是等比数列的为________．(1)1,1,1,1,1，….(2)0,1,2,4,8，….(3)2－3，－1,2＋3，….(4)1,3,9,27,81，….答案(1)(3)(4)解析(1)中数列显然符合等比数列的定义，公比为1，所以是等比数列；对于(2)由于第一项为0，公比不存在，所以不是等比数列；对于(3)－12－3＝－12－3＝－2＋3(2－3)(2＋3)＝2＋3－1，所以(3)是等比数列；对于(4)明显能看出是等比数列，公比为3.探究点二等比中项思考1请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．答如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．思考2下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.探究点三等比数列的通项公式思考1如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？答根据等比数列的定义知：a 1＝a 1q 0，a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，一般地，有a n ＝a 1q n －1.思考2 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？答根据等比数列的定义得：a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a na n －1＝q (n ＞1)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1.当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．小结 (1)等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，要注意公式中q 的次数为n －1而非n . (2)对于公比q ，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q 是任意非零常数，可正可负； (4)首项和公比均不为0.思考3 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n 等于什么？为什么？答 a n ＝4·(32)n －1，由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n－1.小结如果一个数列{a n }的任意三项满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)，则这个数列是等比数列．例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ，由条件可得数列{a n }是一个等比数列．其中a 1＝0.84，q ＝0.84，设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4.答这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练1 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)解记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11.答从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨．例2 根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？解若将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，…. 由框图可知，a 1＝1，a 2＝a 1×12＝12，a 3＝a 2×12＝14，a 4＝a 3×12＝18，a 5＝a 4×12＝116.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1(n >1).由于a n a n －1＝12，因此这个数列是等比数列，其通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列． (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减，得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.反思与感悟已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其它项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其它项或通项．跟踪训练3 在等比数列{a n }中， (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解 (1)由等比数列的通项公式，得 a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32答案 C解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. [呈重点、现规律] 1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．答案 80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d .∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{b n }是等比数列，设公比为q . ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n .又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n. 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.。

2.4(2)等比数列(学生学案)

SCH 南极数学同步教学设计人教A 版必修5第二单元《数列》班级姓名座号2.4(2)等比数列（学生学案）例1：（P51例4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，求证{}n n b a ⋅也是一个等比数列变式训练1：将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列例2：(tb0316237)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2a 3a 10a 11=256，则a 6a 7等于（）。

（A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）16变式训练2: 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.例3：已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝．变式训练3：在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（）A. 32B. 256C. 64±D. 64例4：有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数. 变式训练4：在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A.227 B. 445 C. 225 D. 447 等比数列的性质归纳：在等比数列{}n a 中（1）等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n*（2）若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅（3）等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）（4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，则数列{}n n b a ⋅也是一个等比数列（5）当{a n }是有穷数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积。

高中数学第二章数列2.4等比数列二导学案新人教A版必修5

2.4等比数列（二）【教学目标】1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理等比数列的性质阅读教材P51例4～P53，完成下列问题．1．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k.2．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….3．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也为等比数列．三、合作探究问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n－m (n ，m ∈N *)．问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3a n }是等比数列；(2){3＋a n }是等比数列；(3){1a n}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．提示：由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．问题4在等比数列{a n}中，a25＝a1a9是否成立？a25＝a3a7是否成立？a2n＝a n－2a n＋2(n>2，n∈N*)是否成立？提示：∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝a21q8＝(a1q4)2＝a25，∴a25＝a1a9成立．同理a25＝a3a7成立，a2n＝a n－2·a n＋2也成立．探究点1 等比数列的判断方法例1 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝n－5a n－85，n∈N*，证明：{a n－1}是等比数列．提示：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝1－5a n＋5a n－1，∴6a n＝5a n－1＋1，a n－1＝56(a n－1－1)，∴{a n －1}是首项为－15，公比为56的等比数列．反思与感悟判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (常数)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a 22≠a 1a 3.探究点2 等比数列的性质命题角度1 序号的数字特征例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．提示：(1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9，∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝10.反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．提示：方法一设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6. 所以，当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为aq 3，a q，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .四、当堂检测1．在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )A．2B．3C．4D．82．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )A．9B．6C．3D．23．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．4．已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？提示：1．A 2.C 3.84．解不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

高中数学 2.4等比数列(2)导学案人教A版必修5

2.4 等比数列(2)【学习目标】1.回顾等比数列的定义、通项公式、以及推广公式2.熟记等差数列和等比数列性质的对比. 【重点难点】1．重点:等比数列的定义和通项公式2．难点:在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活运用这些公式解决相应的实际问题. 【学习过程】一、自主学习：任务1: （预习教材，找出疑惑之处）复习：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是任务2: 等差数列有何性质？二、合作探究归纳展示问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)nn n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？ 3.2(0)nn k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a =三、讨论交流点拨提升例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nnb }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知51274-=⋅a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a ．四、学能展示课堂闯关公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ⋅，{}n nab 也等比.2. 若*m N ∈，则mn m n q a a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n bc 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时， log a x ，log b x ，log c x （）A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，965=a a ，则log 31a + log 32a +…+ log 310a = . 五、学后反思 1. 等比中项定义； 2. 等比数列的性质. 【课后作业】1. 在{}n a 为等比数列中，6491=a a ，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.。

人教版高中数学必修(五)2.4等比数列教案(1)

2.4 等比数列（导学案）一、学习目标1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

二、本节重点理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

三、本节难点遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。

四、知识储备1、等差数列的通项公式。

2、等差数列的前n 项和公式。

3、等差数列的性质。

(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1推广：d m n a a m n )(-+=(3)前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112)1(2 (4)性质：①2b a A A b a +=⇔的的等差中项与 ②q p n m a a a a q p n m +=++=+则若,特别地：p n m a a a p n m 2,2=+=+则若③ 奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯)1()1(2121121+⋅=+⋅+=+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n ⋅=⋅+=+1222偶所以有⎩⎨⎧==-+⋅=+++中偶奇偶奇a a S S n a S S n n 1112)(n n a n n a a S n ⋅=⋅+=-22121奇项，则若有偶数项 1222+⋅=⋅+=n n a n n a a S 偶所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+⋯+-+-=--1223412奇偶④设n a a A +⋯+=1，n n a a B 21+⋯+=+ ， n n a a C 312+⋯+=+则有C A B +=2五、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1︒ “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。

高中数学 2.4 等比数列(第2课时)学案新人教A版必修5

2.4等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b 的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.分析:(1)由{a n}是等比数列,知,所以有=a n-1a n+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a n-1a n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{a n}中的每一项均不为零,且=a n-1a n+1(n≥2,n∈N),则数列{a n}是等比数列,反之成立.2.几个性质分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出a n,a n-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.分析:①由=q,得a n+1=a n q,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{a n}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{ca n}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{a n}是等比数列.分析:①设数列{a n}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=a n-1a n+1(n>1)成立.③=a n-k a n+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得a m=a1q m-1,a n=a1q n-1,a p=a1q p-1,a k=a1q k-1,结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{a n}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{a n}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练3:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)a n(2)①a1q2(3)a m a n=a p a k(m,n,p,k∈N*)三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴a n=a2q n-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.因为=q1q2,【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、变式训练,深化提高答案:25由a1+a2+a3=7得a1+a3=5, ②由①②解得当时,q==2,a n=2n-1,当时,q=,a n=4×=23-n.答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又a n>0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。

【高中教育】高中数学 2.4 等比数列第1课时学案新人教A版必修5.doc

2.4 等比数列(第1课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义:通项公式:an =a1+(n-1)d,(n∈N*).前n项和公式:Sn ==na1+d,(n∈N*).问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1,…思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?二、信息交流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第2项起, ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).2.数学表达式: .从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.3.通项公式:等比数列{an }的首项为a1,公比为q,a 2=a1q,a 3=a2q=a1q2,a 4=a3q=a2q2=a1q3,以此类推,可以得到an 用a1和q表示的数学表达式吗?归纳猜测得到: .三、运用规律,解决问题【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,-,….【例2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.四、变式训练,深化提高变式训练1:已知等比数列{an }中an+1>an,且a3+a7=3,a2·a8=2,则等于( )A. B. C. D.2变式训练2:已知等比数列{an }的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1等于( )A. B. C. D.2变式训练3:在等比数列{an }中,a5=-16,a8=8,则a11等于( )A.-4B.±4C.-2D.±2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2.=q(n∈N*)3.an =a1q n-1三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an,那么:经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84,经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842,经过3年,剩留量为a3=0.84a2=0.84×0.842=0.843,……经过n年,剩留量为an =0.84an-1.因此an 构成一个等比数列{an},其中a1=0.84,q=0.84.设an=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,于是nlg0.84=lg0.5,n=用计算器算得n≈4.答:这种物质的半衰期大约为4年.【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么两式相比得q=,代入其中一个方程,得a1=,因此,a2=a1q==8.(2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a9=a1q8,即=a1,解得a1=2916.四、变式训练,深化提高变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.由a2·a8=a3·a7,得解得因此=2.选D. 答案:D变式训练2:分析:设等比数列{an }的公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又因为等比数列{an }的公比为正数,所以q=,故a1=,选B.答案:B变式训练3:分析:设等比数列{an }的公比为q,由已知得a8=a5q3,即8=(-16)×q3,q3=-,所以a11=a8·q3=8×=-4.选A.答案:A五、反思小结,观点提炼略。

人教版数学高二A版必修五2.4等比数列学案

2.4《等比数列》学案
一、预习问题：
1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q 表示。

2、若()为常数q n q a a n n ,21
≥=-，则称数列{}n a 为，q 为，且≠q 。

3、若b G a ,,成等比数列，则；其中G 叫做a 与b 的。

此时a 与
b （填同号或异号）。

4、等比数列的通项公式为：。

5、首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为数列；当0<q 时，数列为数列；当10<<q 时，数列为数列；当1>q 时，数列为数列。

6、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列；（） ②数列 ,8
1,41,21,
1是公比为2的等比数列；（） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列；（） ④若()
*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列；（） 7、思考：如何证明一个数列是等比数列。

二、实战操作：
例1、判断下列数列{}n a 是否为等比数列：
（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-；（2）()*3,2N n a n n ∈-=-；
（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=
例2、（1）求12+与12-的等比中项；
（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +。

例3、已知等比数列{}n a ，若8,7321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通向公式。

高中数学第二章 2.4等比数列(二)导学案新人教A版必修5(2)

§2.4 等比数列(二)课时目标1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343 答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32 答案 D解析设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________. 答案 4解析由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－6解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案 8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x －y －y ＝y ＋－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2) ＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2∴a n ＝13·2n －123a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

人教版数学高二-2.4等比数列教案一

2.4《等比数列》（第二课时）一、能力要求：1、理解并掌握等比数列的性质；2、利用等比数列的定义推导等比数列的性质。

二、教学重点、难点：重点：等比数列的性质及推导。

难点：等比数列的性质及应用。

三、新课讲解：等比数列的常见性质：若数列{}n a 为等比数列，且公比为q ，则此数列具有以下性质：①m n m n q a a -⋅=；②对任意正整数s r q p ,,,，满足s r q p +=+，则s r q p a a a a +=+；③)(*2N m a a a m n m n n ∈=+-证明：①右边==⋅=⋅⋅=---n n m n m a q a q q a 1111左边②2211111-+--=⋅=+q p q p q p q a q a q a a a=+s r a a 2211111-+--=⋅s r s r q a q a q a因为s r q p +=+，所以s r q p a a a a +=+。

③右边()==⋅=⋅=⋅⋅⋅=---+--221122211111n n n m n m n a q a q a q a q a 左边。

三、例题讲解：例1、已知数列{}n a 为等比数列（1）若6,475==a a ，求12a ；（2）若125,6,243224==+=-n a a a a a ，求n 。

例2、已知数列{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式。

例3、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则1032313log log log a a a ++等于（）A12 B10 C8 D 5log 23+注：若{}n a 为正项等比数列，则数列{}n m a log 为等差数列。

五、小结：等比数列的性质众多，最常用的是能够列出恒等式的性质，也就是本课主讲的三条。

还有一些特殊性质需在平时积累、总结、记忆。

课本上没有等比数列性质这一节内容，但作为解决等比数列问题的常用工具，对性质的熟练掌握对解题有很大的帮助。