导体圆柱面的镜像
镜像法
内蒙古大学鄂尔多斯学院
§ 3.6
镜像法
（电磁场与电磁波）
门克内木乐
公共教学部物理组
2014.4
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
（Method of Images）
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-11
谢 谢 ！
《电磁场与电磁波》
第三章 静态电磁场
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷
应用
（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法 （2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法
（3）点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法
3.6-10
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
（Method of Images）
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-3
镜像法的基本概念
用途
例题：
`
静电场边值问题：
e
2
z
0
2
边界条件
边界条件
q
(x, y, z) ? E(x, y, z) ?
2 2 2 2 2 2 x y z
在一些特殊条件下，我 们可以采用镜像法，简单地求 解这类问题
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
(x
−
K K
2 2
+ −
1 1
b)2
+
y2
=
(
2bK K2 −
)2 1
圆心坐标
h(
=
K2 K2
+1b), −1
0,
圆半径
a=
2bK K2 −1
ϕP
=
τ 2πε0
ln
ρ2 ρ1
= τ ln (x + b)2 + y2 2πε0 (x − b)2 + y2
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
4πε r20XX
r1 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r2 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
图2.8.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 )] + 2R(q'2 d − q2b) cosθ = 0
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
a2
+ b2
=
(
2bK K2 −
)2 1
+ b2
=
(
K K
2 2
+ 1 b)2 −1
=
h2
令：ϕP = 常数
(x + b)2 (x − b)2
+ +
y2 y2
=
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
a2 = h2 − b2 = (h + b)(h − b)
第11讲 静电场的解法(2)
第11讲静电场的解法（2）上节回顾：1，平面镜像金属平面镜像介质平面镜像2，球面镜像镜像问题中的三个问题：●镜像电荷位于待求场域边界之外。
●将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
●实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。
导体平面镜像介质平面镜像场分布图aa导体球接地的镜像问题a—a导体球不接地的镜像问题一，柱面镜像法在讨论圆柱面的镜像问题之前，先分析线电荷的平面镜像问题，这一结果可用于导体柱的镜像问题。
例：线密度为l 的无限长线电荷平行臵于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图所示，求电位及等位面方程。
(a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线解：线密度为l ρ的无限长电荷产生的电位为：同理得镜像电荷的l ρ-电位：任一点(x, y )的总电位：++=r r n l 0012περϕ--=r r l 00ln 2περϕ+--+=+=r r l ln 20περϕϕϕ用直角坐标表示为等位线方程为22220)()(ln 4),(y d x y d x y x l +-++=περϕ22222)()(m y d x y d x =+-++2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m d y d m m x这个方程表示一簇圆，圆心在),(00y x ，半径是0R 。
其中：每一个给定的m (m >0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为0,11,12022020=-+=-=y d m m x m md R m l ln 20περϕ=例：两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图示，求导体单位长的电容。
平行双导体解：设两个导体圆柱单位长带电分别为lρ和lρ-，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷lρ和lρ-代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
解得：bdmmamm d=-+=-1112222aabbm222,1-±=当b>>a 时，a ab b n a b b a b b n m m U l l l 2202222021021112)ln (ln 2-+=---+=-=-=περπερπερϕϕa a b b n U C l 2201-+==περab n C 210πε≈二，分离变量法分离变量法是数学物理方程中一种十分常用的方法，其基本思想是：（1）把求解偏微分方程的定解问题转化为求解常微分方程的问题，即把待求函数分离成三个坐标变量的函数之积，从而将偏微分方程转化为三个常微分方程，（2）再结合问题特定的边界条件，求出原问题的解。
无限大导体平面的镜像
1. 无限大导体平面的镜像 2. 无限大电介质平面的镜像 3. 无限大磁介质平面的镜像 4. 半无限大导体角域平面的镜像
5. 导体球面的镜像 6. 导体圆柱面的镜像
镜像法概念： 在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域
边界以外虚设的假想电荷来代替导体表面上感应电荷 的 作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟 一性 定理，空间电场可由原来的电荷和所有假想电荷 产生的 电场叠加得到。这些假想电荷称为镜像电荷， 这种求解 方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
/亠J 4兀勻
xx
d
yy
’
d
’
(z
—
d)?
n1/2
2
1
’’
? n1/2
X d y d (z d d)
EX 二 q 4兀勺
X
DQ
-|3/2
x d y d (z — d)2
X
D
-|3/2
x d y d (z d d)
二q
y
y __
4兀勻
x
d
y
d
D
(z
—?
d)2?
-|3/2
X+y+( z+
3/2
z—d
z+d
+3 +3
qd
L L =
- 2兀(X2 +y2 + d2 )3必必=-。
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力：
亓— 02八
导体上电荷分布
“z
如
导体平®^ O
2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像
£丄。/ /
M pi h
牛_ %
无限大导体平面的镜像
y2
y (z
d
)2
3/
2
Ez
q
4π0
x2
y2
zd (z
d )2 3/2
x2
y2
zd (z
d )2
3/ 2
上半空间的电场分布：
原始问题的场分布
镜像法求出的场分布
导体表面感应电荷：
S
Dn
0Ez (z
0)
2π(x2
qd y2
d 2 )3/2
导体表面上感应电荷总量：
qS Sdxdy
镜像法的实质是：用在待求场域外假想的镜像电荷（或 电流）替代边界上的作用，将场域视为无限大均匀媒质， 待求场为实际源和镜像源产生的场的叠加。
小 结：
1. 镜像法的原理 2. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
z r1
p
q
导体平面 d o
d q
r2
x
上半空间的电场强度： E
q
4π0
x2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
x 2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
Ex
q
4π0
x2
y2
x (z
d )2
3/2
x 2
y2
x (z
d )2
3/2
Ey
q
4π0
x2
y2
y (z
d )2
3/2
x 2
q
导体平面
边界条件： 0
由平面镜像可知，如图镜像电荷位于导体 平面下方对称点处。
由边界条件可知，镜像电荷为与原电荷大 小相等、性质相反的点电荷-q。
EM第30讲平行柱面轴镜像
半径为a的两根平行长直圆柱导体，柱轴间距离为2h，分别带有等
量异号线电荷±
的相互作用，柱面上的电荷密
度分布不均匀，两柱面靠近的一侧电荷密度大，而远离的另一侧
则密度较小。
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30.3 两偏心圆柱面壳的电轴
在图中，
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求出电轴的位置后，问题转变为平行线电荷场问题：
？
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解 ①线单位长度上带电荷
的地面看成无限大的导
平面，采用镜像法求
空间的场。
第一步:线对地面镜像，撤去地面，在 的镜像圆柱代替地面上的感应电荷；
处设带-
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用来等效描述5-12a所示的带等量异号电荷 柱体的外部电场，而且半径不同的两个柱面
的圆
以外的场也可以用来等效描述5-
12a带等量异号电荷
的圆柱体的外部电场。
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镜像法求解接地导体电容
【例4.4.3】如图4.4.12所示，一根半径a 的无限长导体圆柱与地面平行放置，其轴线距离地面的高度为h 。
求单位长度的导体圆柱与地面之间的电容。
解： 首先我们采用镜像法求解导体圆柱上的电位，在根据a l I C ϕρ=计算出无限长圆柱与地面之间的电容值。
假设无限长导体圆柱单位长度上的电荷量为l ρ，并且在距离无限长导体圆柱轴中心线正下方为d(h<d<2h)处放置镜像线电荷l ρ-。
由此我们可知无限长导体圆柱上的电荷会受到镜像线电荷的影响从而导体圆柱上电荷会重新分布，但是鉴于圆柱导体电荷分布会呈现出下面的电荷密度大于上面的电荷密度。
根据镜像法的原理我们知道引入镜像线电荷后要保证在去掉地面的平面上电位为0，这样就可求解出等效线电荷l ρ和镜像线电荷l ρ-关于地面对称即h d d h -=-'。
由式(4.4.28)可知，等效线电荷l ρ在导体圆柱外的区域产生的电位为++=ρπερρϕp l R r ln 2)(0 上式中+ρ为等效线电荷l ρ到场点的距离。
同理镜像线电荷l ρ-在无限长圆柱外是区域产生的电位为--=ρπερϕp l I r r ln 2)(0 上式中-ρ为镜像线电荷l ρ-到场点的距离。
等效线电荷和镜像线电荷在整个空间产生的合成电位为 +--+=-=+=ρρπερρπερρπερϕϕϕln 2ln 2ln 2000l p l p l I R r r因此在导体圆柱的电位可写成+-=ρρπερϕln 20l a 其中+R 和-R 分别为等效线电荷l ρ和镜像线电荷l ρ-到源导体圆柱的圆周上的任意一点的距离。
因为在源导体圆柱的圆周上电位相等，所以在源导体圆柱轴中心线正下方的表面A 点处，'d a R -=+和a d R -=-，因此存在如下关系'da a d R R --=+- 于是源导体圆柱上的电位可写为'0ln 2da a d l a --=περϕ 因为在源导体圆柱的圆周上电位相等,所以根据(4.4.29)式得 C d d d d l l a =-+--+=φρρπερφρρπερϕcos 21ln 2cos 21ln 2'2'20220 其中C 为圆周上的电位且不为0。
镜像法与电轴法(静电场)
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
35
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电磁场与电磁波课件之镜像法要点只是课件
三. 导体圆柱面的镜像
1. 线电荷对导体圆柱面的镜像
一根线电荷密度为 l的无限长线电荷位于半径为 a的无限长接地 导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为 d。
a o
•
d
l
x
为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱 面内部且与轴线平行的无限长线电荷。
设镜像线电荷密度为 l，由于对称性其必定位于线电荷 l 与圆柱
球面上的感应电荷面密度为
ρS
ε0
n
ra 4a(a2qd (d222a a2)dcoθ)s3/2
导体球面上的总感应电荷为 qin S ρSdSq
这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。
2. 点电荷对不接地导体球面的镜像 设点电荷 q位于一个半径为 a的不
接地导体球外，与球心距离为 d。
注意到：①导体球面是一个电位不 为零的等位②面由；于导体球未接地，在点电 荷的作用下，球面上总的感应电荷为零。
E
eR
ρl 2πε0R
O
z l (0,0,3)
2π30 ε0 2 12 9 0 32(e x
222 32e z
3) O 2232 (0,0,3)
l
30109 2πε013(ex2ez3)
x
R y P(2,5,0)
R
x
E
eR
ρl 2πε0R
3 0 1 9 0 2 3
2π0ε2232(ex
四. 介质平面的镜像 含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。
1. 点电荷对电介质分界平面的镜像
q q
在计算电介质1中的电位时，用
置于介质2中的镜像电荷 来q 代替
分界面上的极化电荷，并把整个
第11讲 镜像法
P r a d P r a d' R' q' d R q
q'来等效。q'应位于导体球内（显然
不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有
q q ( ) 4 0 R R 1
b
a a
o
r d
R q
R'
q'
d'
a q q, d
a2 d d
| q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第11讲 镜像法
导体腔内的电位
q 1 a 2 2 4 0 r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
第11讲 镜像法
2. 两平行导体圆柱问题 问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半
径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长
度分别带电荷 l 和 l。
a
l
h
l
a
h
特点：由于两圆柱带电导体的电场互相
影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相
图1 两平行导体圆柱
对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷
R d a R a d
a2 d 像电荷的位置 d q q R a 0 q q q 像电荷的电量 R R R d a 1 q q d
第11讲 镜像法
球外的电位函数为
q 1 a 4 r 2 d 2 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
第10讲_镜像原理I
图10-3有其他物体存在时的镜像原理
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第十讲 镜像原理 I
导体拐角的镜像原理
如图10 - 4 (a) 在无限大导体直角内放置一点电荷。当去掉导 体拐角后，为了保证导体平面上的切向电场为零，必须分别 在二、三、四象限内放置镜像电荷，如图10-4(b)所示。 平面上面的两个点电荷与下面的两个点电荷保证了的切向电 场为零。平面左边的两个点电荷与右边的两个点电荷保证了 平面切向电场为零，所以整个导体拐角上切向电场为零。
r = r0
q( r0 − ra cos θ ) = 3 4π ( r02 + ra2 − 2ra r0 cos θ ) 2 q′( r0 − rb cos θ ) − 3 4π ( r02 + rb2 − 2r0 ra cos θ ) 2
(11 − 12)
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第十讲 镜像原理 I
所以总感应面电荷为
Q = ∫ ρ s ds = ∫ ρ s 2π r0 sinθ r0dθ
0 s
π
q π q′ π = ∫ 3 − 2 0 2 ⎡ 2 ∫0 ⎤ ra 2 ra ⎢1 + ( ) − 2 cosθ ⎥ rb rb ⎣ ⎦
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EM第30讲球壳镜像法
应电荷的分布在轴向
上均匀，但在靠近 一侧的柱表面
上的密度会比另一侧大。将柱面撤去，并以镜像电荷代替柱面上
的感应电荷的作用，则此镜像电荷应是平行于柱轴 的线电
荷，位于过OP1的平面并靠近 线电荷。设镜像电荷为 在
与柱轴距离为
处，
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，故-q
在内表面的分布是不均匀的。若导体球壳不接地，则球壳外表面
上还应有等量异号的感应电荷
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30.2 不接地导体球壳的镜像
球壳的屏蔽作用,球壳内的电场仅由 感应电荷-q共同产生。
则
的任一点电位
式中，C为任意常数；
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ρl′和d
可由边界条件
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标题内容时的版面
是吸引力；反之，则为斥力三无
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30.5 接地导体柱面与线电荷的镜像
半径为a的接地长直导体柱，在距离其轴为
线电荷
与之平行，求其柱外的电场分布。
高中物理竞赛讲义-镜像法
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
镜像法
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
29
河北工业大学
《工程电磁场导论》 3) 两平行的不同半径、带异号电荷长直圆导线的电场
例1-18 p45
y
a1
a2 x 思考:电荷分布？ Emax=? Emin=? τ与U的关系？ 2
b
b
d
h1
b h 2 a 2 2 2 2 b h1 a1 d h1 h 2
①球面上感应电荷为-q’,分布未知。
②球面为等位面，φ=0。 ③球外为有效区， ▽2 φ =0（除+q点外）。
12
镜像电荷计算公式
P R o R b r’ -q’ d r q
河北工业大学
《工程电磁场导论》
球面为等位面φ =0
1 4
0
用假想集中电荷-q’代替未 知分布的感应电荷，放在 轴线上。
a
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
32
例：分裂导线
河北工业大学
《工程电磁场导论》
y 电晕现象的发生和气象、导体表面的污染及传输线 本身的结构均有关，但主要原因是导线表面的电场强度超 出空气的击穿场强造成的，所以应尽力降低Emax。
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思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 S const SD dS Q
+Q
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球面镜像法
ar
q2ah
40 ( h2 a2
)2
ar
接地导体球外的等位面及电场线分布
⒉ 不接地不带电导体球的点电荷镜像：
a O
0, 0
+
hq
0, 0
0, 0 q
q
O
-q h
+z h
q a q h
h a2 h
系统边界条件：
( r )r=a=常数
z > 0 空间电位方程：
2 = -q (z-h)/0
C
h a
h
a2 h
位置 h a 2
h
C
h a
h h
（舍）
镜像电荷 l l
a2 h
h
l l
C C1 h C2 a
• 圆柱外空间任意点电位：
P
0, 0
0, 0
O
R
•l
R
•l
x
h
h
1
2
1
20
(l
ln
C1 R
l ln
C2 ) R
1
2 0
(l
ln
C1 R
l
ln
C2 ) R
1 2 0
0, 0 P
0O, 0qR R
q z
h
h
0, 0
A
0, 0q O h
B
q z
h
(a) q q 0 40R 40R
A (a)
q
40 (h
a)
q
40 (h a)
0
B
(a)
q
40
q (h a)
0
40
(a
h)
q
电学 镜像法
1 q q q 4 0 R r r
3.5.3 导体圆柱面的镜像
a2 分析方法与球面镜像类似，并用 d2 d1 的关系进行试探求解。 在圆周上取两 个特殊点 S1 、S2 ，因为圆柱接地，它们 的电位为零。
如图，半径为 a 的接地导体圆柱 外有一根和它平行的线电荷，密度 为 l1 ，与圆柱轴线相距为 d1。求空间 的电位函数。
b.这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体 c. 均匀分布的分析可知,点电荷 镜像电荷1:
q
可用位于球心的等量点电荷等效
q 对非接地导体球面的镜像电荷有两个:
a q q d
a2 d d
镜像电荷2:
q q
a q d
d 0
位于球心
球外空间某点电位:
q 1 1 4 0 R R '
q
q 1 1 1 1 4 0 2 x y 2 z h 2 2 x 2 y 2 z h 2 2
面上感应电荷:
(a 2 d12 )q2 2 (a 2 d 2 2 )q12 0 2 2 2a cos (d1q2 d 2 q1 ) 0
a q2 q1 d1 联立求解得 a2 d 2 d1
于是球外任意点的电位
q 1 1 q1 q2 a 1 4 0 R1 R2 4 0 R1 d1R2
z q
h
R
P
边界条件: 等效问题:
z 0 0
0
h
R'
假设导体平面不存在，在z=0平面 下面与点电荷q 对称地放置一个电量 为-q 的点电荷，仍能保证z=0的平面
电磁场习题解2(下)解读
2-36.由无限大的导电平板折成45 的角形区，在该角形区中某一点(x y z 000,,)有一点电荷q ，用镜像法求电位分布。
解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x y z 000,,)，在圆柱坐标系中为),,(000z ϕρ，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为00;z z i i ==ρρ 7,1 =i;270;180;180;90;90005004003002001ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=+=-=+=-= 07006;270ϕϕϕϕ-=+=镜像电荷为q q q q q q q q q q q q q q -==-==-==-=7654321;;;;;;对于场点),,(z y x ，电荷到场点的距离矢量为z z z y y y xx x r i i i i ˆ)(ˆ)(ˆ)(-+-+-=；7,0 =i 则场点的电场为∑==70304)(i i i r r q r E πε题2-36图 题2-37图2-37.半径为a ，带电量为Q 的导体球附近距球心f 处有一点电荷q ，求点电荷q 所受的力。
解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷'q 的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷"q 的力。
由镜像法，镜像电荷'q 的大小和位置分别为fa d q f a q 2;'=-= 由于包围导体球的总电量为Q ，所以位于位于球中心的点电荷"q =Q-'q ;因此点电荷q 受到的力为])(//[4ˆ220d f f aq f f aq Q q x F --+=πε 2-38.内外半径分别为a 、b 的导电球壳内距球心为d(d<a)处有一点电荷q ，当(1)导电球壳电位为零；(2)导电球壳电位为V ；(3)导电球壳上的总电量为Q ；分别求导电球壳内外的电位分布。
解：（1）导电球壳电位为零由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。
4.3 镜像法1
表面吻合。
总结：
（1）镜像电荷与原电荷异号。 可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表 面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量 应该等于这些感应电荷的总电量。
（2）用镜像电荷等效感应电荷后，不改变原来的电场分布，即原电力线
和等位线分布不变。 （3）镜像法只适用于不包括镜像电荷所在的区域，如本题为导体上 方。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
1
思考题： （1）若导体球不接地，求球外的电场分布。 （2）若将点电荷放置在接地导体球形空腔内，距球心d2处，求 空腔内的电场。
若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导
P a r 2 o d q
2
r1
体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面
q
上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应 电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球， 若引入上述的镜像电荷 q‘ 后，为了满足电荷守
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
s 0 Ez 0 z
h z z 0
q q
2
qh 2 x y h
2 2
3
2
dS q
s
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
解：由镜像法可得，l1的镜像电荷 a 位于l 2的反演点 d2 处。 d d
2 2 1
P a r2
r1 P2 d1
l 1
线电荷 l1 产生电位为： 1 1 l1 ln 2 0 r1
镜像法及其应用
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
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1.线电荷对导体圆柱面的镜像
♦待求区域：r > a ♦边界条件：柱面上电位为零 >设想镜像线电荷P'i位于对称面上,
且与圆柱轴线距离为。则导体柱
面上任一点的电位表示为
p 隔二一湍Pln。湍ln上
＞在柱面上取两个特殊点亿和则
a)-- ON
P
=-- —
ln(dBiblioteka +P —ln(a
+
密度分别为Pi和-p,其位置如图所示。
两根平行的线电荷的电位分布:
两电轴在空间产生的电位为:
°=
r 等位面方程为:
- ln
兀 ） 疔 2
勻 +c 2
r
=k r!
） 1（X _c 2 + y2
圆心坐标
半径
k+1
——C k
；—1
2ckx k： —
1
k； +1
2---C
1
k2 —
7 2ck? b=r
b)
2丸£。
2丸£。
= - ln(d _ a) -
_ ln(a
b
2丸%
2丸%
b =—a2 d
，P‘1=_PI
空间电位为:
P
8
=2n%In
r
r
+
c
其中：孔=^Jr2 + d2 -2drcosO
=rJ2 r2 + b 一 2br cosO
2.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷
两电轴在空间产生的电位为:
放=-^- ln r
2兀勻 r
其中：
- * (x
)c 2 + y2
=』 r
) (x+c 2+yy
小结:
导体圆柱面的镜像
电轴法:
2
b- a d
x2 - c2 + a2 x2 - c c
+X _b1x2 = d
k2 — 1
a2—b b + d2
2d a a - b2-d 2
2d
称为电轴法
例：图为一偏心电缆，内导体半径为a夕卜导体半径为们两几何轴线间 距
离为匕求两等效电轴的位置。
解：根据电轴法
一 = b + c2
= + x a c 2
2
2
2
—d X］工2
■两等效电轴的位置分别位于（C，0）和（-c, 0）处。