典型非周期信号的频谱

2 j

sgn( t) 2
j


F ( j) 2 f (t)sin tdt 2 sin tdt
0
0

所以只有当
0
sin
tdt

1才是有效的。
需从分配函数的观点解释。
四.常数的付立叶变换
EG
(t)

E
sa(
2
)
f (t)
E
2E()
.FS和FT表示举例
f(t) 级数系数 频谱密度函数 F()
直流E F0 E
2E()
Ecos0t
E Fn Fn 2
E[( 0 ) ( 0 )]
Esin 0t
E Fn Fn 2
jE[( 0 ) ( 0 )]
*四种时频对应关系 1.基本性质。 2.与抽样定理有关的性质。 周期信号的频谱:周期性-抽样性 抽样信号的频谱:抽样性-周期性 3.与单边特性有关的性质。 (希尔泊特交换）解析信号-单频谱 4.与功率谱有关的性质。 相关函数-功率谱

2
f2(t) (t) lim K E[sa( Kt )]
K 2
2
(t) lim [ k sa(Kt)] K
波形
p380, 附录三
f (t )
A E
矩


t
2
2
形
f
(t)

E，

0，
| t | / 2 | t | / 2
f(t)不连续
f(t)
(
1 )

F[ f (t)] Fn F[e jn1t ] 2 Fn( n1)
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n

Cn ( 1 ) n
Fn
1 T1
F0 ( j ) n1
P147.例3－10
•周期单位冲激序列的FS


T (t)
A() jB()
A() lim A() 0 ( 0) a0
A() lim A() ( 0)
a0
lim lim
A( )d

d a d
a0
a0 1 2
a
lim
1
2
e j0t
F[e jt ] 2FF 1[ ( 0 )] 2( 0 )
2.F[cos1t].and.F[sin 1t]
c os1t

1 (e j1t 2
e j1t )
cos1t [ ( 1) ( 1)]
T1 n 2
FT
F
( )


E 1
n
Sa
n1
2

1
(

n1)
6.小结:单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
• 单脉冲的频谱 F0 () 是连续谱，它的大小
是有限值；
• 周期信号的谱 F() 是离散谱，含谱密度
概念，它的大小用冲激表示；
• F0 ()
t

F[E]
lim
ESa(
2
)

2E
lim
2
sa(
2
)
P17.1-35
(t)

lim[ k
k

sa (k t)]
E
F[E] 2E ()
F[1] 2 ()


2
2
五.u(t)的付立叶变换 方法一
F[u(t)] 1 [1 sgn( t)] 2
sin 1t

1 (e jt1 2j
e j1t )
sin1t j[ ( 1) ( 1)]
f (t)
F ()


0
0
0 j
0
0

25
3.一般周期信号的傅立叶变换

f (t)
Fn e jn1t
n
e j1t
2
(t nT1) Fn .e jn1t
n
n
Fn

1 T1
T1
2

T1 2
T
(t ).e
jn1t dt

1 T1
T
(t)

1 T1

e
n
jnt
•周期单位冲激序列的FT

T (t)
n

(t nT1)
三
－ 2

t
2
角
2t E(1 )
(t )
形
f (t )
0

2
t 0
f (t)连续、df 不连续 dt
F ( )
E A

2
2


F (j) E Sa() 2
F ()与大致成反比
E 2
4 8


F() E Sa2 ( )
2
4
F ()与2大致成反比
则 f1(t) f2 (t) 反之,由
F 1[F1( j )] F 1[F2 ( j)] f (t)
则 F1() F2 ()
给出简短证明如下：
f1(t)

1
2

F(

j )e jt d

1
2

[ f2 (t)e j d ]e jt d
单边指数信号的频谱
• 信号表达式
et (t 0) f (t)
0 (t 0)
F ( ) f (t)e jtdt 1

j
( 0)
– 幅频
F() 1 2 2
– 相频
() arctg( )
f(t)
F()
1
1 2a
是F() 的包络的
1
1
。
•.物理意义不同,前 者是单个复简谐波成 份的复振幅,而后者是单位带宽内所有 复简谐波成分的合的复振幅值。 •.单位不同,Fn的单位是伏特或安培,而 F(j) 的单位则是(伏特/赫,安培/赫) •.Fn代表的是信号的功率分配, 而 F( j) 代表了信号的能量分布.
T1
F0 ()
2
T1 2
f0 (t).e jt dt
Fn

1 T1
F0 ( )
n1
F0 ()

ESa
2

由单脉冲联想FS的Fn
Fn

1 T1
F0 ()
n1
E
T1
Sa( n1
2
)
FS
f (t) E Sa n 1 .e jn1
f1(t), f2 (t) 在积分意义上相等。
傅立叶变换的唯一性表明了信 号及其频谱的唯一对应关系。
证明p17 1-35
f1 (t )
EG
(t )

E [ sa (
2
)];1

2
( )
以及
lim

G
(t
)

1和傅立叶变换的唯一性，有
lim E[sa( )] 2E[ ()]
FT[ (t)] 1

(t)

1 2
e j t d

d (t)
dt

1
2
( j )e j t d

FT

d dt
(t)

j
FT

dn dt n

(t
)

(
j
)n
FT
(t n )

2
(
j)n
dn
d n

( )

0

a2
j2 2
F ( j) 2
F ( j) lim F2 ( j) a0
.... 0
lim
j2 2
a0 a 2 2 j
2
( j ) .... 0 2
F ()

f (t) 1 2 e jt d 1 sin t d
§3.5- 典型非周期信号的频谱
• 单边指数信号 • 双边指数信号 • 矩形脉冲信号 • 钟形脉冲信号 • 符号函数 • 升余弦脉冲信号
从能量方面考虑:

2
能量： f (t) dt
信

号
T
lim 功率：
1 2 f 2 (t ) dt
T T
T
2
傅立叶变换的唯一性
由 F[ f1(t)] F[ f2 (t)] F ( j)
F ( j) () 1 j

P168.3-30
u(t)
t
1 sgn( t) 2
t
1 2
t
方法二:利用单边指数函数取极限
u(t ) lim eat (t 0) a0
eatu(t )
1
a j
Fe ( j)

1
a j

a2
a
2

j
a2
2
3a
0

t
()

2



2
双边指数信号的频谱
f (t) e t ( t )
F
(
)


2 2
2
() 0
一.冲激函数的频谱

F[ (t)] (t)e jt dt e j0 1

(t)
F ( j )
1
0
t
j
0
? (t)

F( j) 2 Fn ( n1)
T1 n
2
n

E1
Sa( n1)(
n
2

n1 )
令: 1 秒 20
T
1s 4
1

2
T1

2
0.25
8
F ( j)
1
5
8
40
40
n 0
周期信号的频谱 密度 F( j)
4.周期矩形脉冲的FS和FT

交换积分顺序
(t)
1

e jt d
2
1

e j (t )d (t )
2
f1(t)

1
2

[ e j (t ) d ] f 2 ( )d


(t ) f2 ( )d f2 (t)
Fn .e jn1t
n
1

e jnt
T1 n
FT [
f
(t )]

2
1 T1
n

(

n1 )

F () FT[T (t)] 1 ( n1) n
(t)
(1)
F0 ( )
1
0
T (t)
T1
FT
t
FS
t
F () 1
1

1.e jt d
1

cos t d
2
2
P80-81黎曼－勒贝格2-99和2－100
lim cost 0

(t) 1
(t t0 )
(t t0 ) e jt0
F ( j )
t0
( j)
t0
二.冲激偶的傅立叶变换
0

1 Fn T1
1 0 1 21
21 1 0 1 21

(p148,例题3-11)
F0
(
j)

ESa(
) 2

单个矩形脉冲的变换
Fn
1 T1
F0 ( j ) n1

E
T
Sa( n1 )
2
f (t) E
Sa( n1 )e jt
三.sgn(t)的付立叶变换
+1 t>0
f (t) sgn( t)
-1 t<0
eat .....t 0
f2 (t)
eat .....t 0
f (t)
1
1 t
f2 (t)
t
0

F2 ( j ) e (a j )t dt e (a j )t dt
F ( )
f0 (t)
E A
E
FT
t
周 期
0
22
重
f (t)
复E
FS
t FT
T1
T1

2
2


Fn Fn E
n
2
2


F ( )
F ( )
E A

2
2


5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
Fn

1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
118面 E
F ( )
EA E 2
－ 2
升
t
2
余
E [1 cos(2t )] t
弦 f(t) 2

2
0
t
2
f(t)、df 连续 dt
d2 f 不连续 dt 2

2
24 6





F()

E 2
Sa( ) 2
1 ()2
2
F ()与3大致成反比
a0
arctg
a
－

B(
)

lim a0
B(
)


1

F () A() jB()
() 1 j
§3.9 周期信号的傅立叶变换
• 一般周期信号的傅立叶变换 • 傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶
变换FT的关系 • 正余弦信号的傅立叶变换FT • 复指数信号的傅立叶变换 • 周期单位冲激序列的FS和 FT • 周期矩形脉冲的FS和FT • 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
1.无穷期指数函数e j0t的傅立叶变换
F (j)
jI
t
R

0 0
e j0t 2 ( 0 )
用反证法:
F 1[ ( 0
FF 1[ (
] 1
2
0

( 0 )e jt d

)]
1
F[e j0t ]
2