2018-2019学年福建省莆田一中高一第二学期期中数学试卷 解析版
福建莆田第一中学18-19学度高一下学期第一学段考试——数学
福建莆田第一中学18-19学度高一下学期第一学段考试——数学本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
【一】选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.〕A.直线a 平行于平面α，那么a 平行于α内任意一条直线B.直线a 与平面α相交，那么a 不平行于α内任意一条直线C.直线a 不垂直于平面α，那么a 不垂直于α内任意一条直线D.直线a 不垂直与平面α，那么过a 的平面不可能垂直于α2、假设一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，那么这个几何体可能是〔〕A 、圆锥 B.圆柱 C . 三棱柱 D.球体3、ABC 的斜二侧直观图如下图，那么ABC 的面积为〔〕A、2B 、C 、2D 、44、假设直线221020ax y x y x ++=+-=与圆相切，那么a 的值为〔〕 A.1，－1B.2，－2C.－1D.05、如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为〔〕 A.平行B.相交成60°角C.异面成60°角D.异面且垂直6、点M 〔X0，Y0〕是圆X2＋Y2＝A2〔A 》0〕内不为圆心的一点，那么直线X0X ＋Y0Y ＝A2与该圆的位置关系是〔〕A 、相离B 、相切C 、相交D 、相切或相交7、圆X2＋2X ＋Y2＋4Y －3＝0上到直线X ＋Y ＋1＝0的距离为2的点共有〔〕 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个A8、圆O1：06422=+-+y x y x 和O2：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，那么AB 的垂直平分线的方程是〔〕A.X －3Y ＋7＝0B.3X －Y －5＝0C.X ＋3Y ＋3＝0D.3X －Y －9＝09、将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ACD 与平面ABC 成①AC BD ⊥；②面DBC 是等边三角形；③三棱锥D ABC -的体积是.其中正确命题的序号是〔〕 A 、①② B 、②③ C 、①③D 、①②③10、如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，那么直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【二】填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕11、过点),2()4,(a B a A -和的直线的倾斜角等于45，那么a 的值是＿＿＿＿＿＿＿ 12、集合A ＝｛〔X ，Y 〕｜X2＋Y2＝4｝，B ＝｛〔X ，Y 〕｜〔X －3〕2＋〔Y －4〕2＝R2｝，其中R 》0，假设A ∩B 中有且仅有一个元素，那么R 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.13、直线m y x m l -=++2)1(:1和1624:2-=+my x l ，假设1l ∥2l ，那么m 的值为＿＿＿＿＿＿＿14、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，那么这个球面的表面积为＿＿＿＿＿＿＿15、从正方体的8个顶点中，任意选择4个不共面的为顶点，所得四面体的四个面中是直角三角形的个数可以为＿＿＿＿＿＿＿＿〔写出所有可能结果的序号〕①0个，②1个，③2个，④3个，⑤4个。
2018-2019学年福建省福州市第一中学高一下学期期中数学试题(有答案解析)
2018-2019学年福建省福州市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．不等式3112x x-≥-的解集是( ) A ．3|24x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．3|24x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．3|24x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}|2x x <【答案】B【解析】把分式不等式3112x x -≥-，化为不等式4302x x -≤-，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，不等式3112x x -≥-，可化为31431022x x x x ---=≥--，即4302x x -≤-， 解得324x ≤<，即不等式的解集为3|24x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭故选B. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C 等于（ ）A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】根据条件sin :sin :sin 2:3:4A B C =，由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，可令2,3,4(0)===>a t b t c t t ，再利用余弦定理求解. 【详解】 由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===又因为sin :sin :sin 2:3:4A B C = 令2,3,4(0)===>a t b t c t t所以2221cos 24a b c C ab +-==- 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4 B ．10 C ．16 D ．32【答案】C【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.4．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若a b <，则11a b < C ．若a b >，则22ac bc > D ．若a b >，则22a bc c>【答案】D【解析】根据不等式的基本性质进行判断. 【详解】对于选项A ，当a <0，b >0时，不成立 对于选项B ，当0a b <<时，不成立 对于选项C ，当c =0时，不成立 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，不等式的性质等基础知识，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2019a =（ ） A ．3- B ．13C ．12-D ．2【解析】根据已知分析数列的周期性，可得答案． 【详解】解：∵数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-， ∴23a =-，312a =-， 413a =， 52a =，故数列{}n a 以4为周期呈现周期性变化， 由201945043÷=L L ， 故2019312a a ==-， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档． 6．△ABC 各角的对应边分别为a ， b ， c ， 满足1b c a c a b+≥++， 则角A 的范围是 A ．(0,]6πB ．(0,]3πC ．[,)3ππ D ．[,)6ππ【答案】B【解析】试题分析：由题2221b c ab b ac c a ac ab bc a c a b+≥⇒+++≥+++++ 22222211cos 222b c a b c a bc A bc +-⇒+-≥⇒≥⇒≥，由00,3A A ππ⎛⎤<<∴∈ ⎥⎝⎦ 【考点】余弦定理7．《张丘建算经》是中国古代数学名著.书中有如下问题；“今有十等人大官甲等十人.宫赐金依次差降之.上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给.问各得金几何及未到三人复应得金几何.”其意思为：“宫廷依次按照等差数列赏赐甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十位官员，前面甲乙丙三人进来，共领到四斤黄金之后，便拿着离开了；接着庚辛壬癸四人共领到三斤黄金后，也拿着离开了；中间丁戊己三人没到，也要按照应分得的数量留给他们.问这十人各得黄金多少，并问没到的三人共应该得到多少黄金.”丁戊己三人共应得黄金的斤数为（ ） A ．3 B ．8326C ．4213D ．8526【解析】根据题意设等差数列为{}n a ，则有1237891043a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩解得13726778a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再求解. 【详解】由题意设等差数列为{}n a有1237891043a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩ 113344303a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解方程组得13726778a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以()45612383926++=+++=a a a a a a d 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的实际应用，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 8．函数()()4122xxf x k =-+⋅+，若()0f x >解集为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B．(),1-∞C．()1- D．()1-【答案】B【解析】先通过换元2(0)xt t =>将()()4122xxf x k =-+⋅+ 转化为二次函数()()212=-+⋅+g t t k t ，再分对称轴大于0和小于等于0两种情况分类讨论求解.【详解】令2(0)xt t => 则()()212=-+⋅+g t t k t若()0f x >解集为R所以102(0)20k g +⎧≤⎪⎨⎪=>⎩ 或()210211()2024k k k g +⎧>⎪⎪⎨++⎪=-+>⎪⎩解得1k ≤-或11k -<<-+综上：实数的取值范围是(),1-∞ 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想方法，属于中档题.9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.10．记函数()221xx nf =--的所有零点之和为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（ ）A ．n S 有最大值21log 3+，没有最小值B ．n S 有最大值21log 3+，有最小值2log 3C ．n S 有最大值21log 3+，有最小值0D ．n S 有最小值2log 3，没有最大值 【答案】A【解析】根据指数函数的图象和性质，分1n =，2n =，2n >三种情况分析得到数列最大值，没有最小值. 【详解】当1n = 时，()2210=--=xf x n得2log 3x =即21log 3=a 当2n =时，()2210=--=xf x n得1x =即21a = 当2n >时()2210=--=x f x n 得1221=+x n 或2221=-x n 所以()111222242221)(1)0(1,1++--∈===x xx x n n n所以n a 1222log (41)0=+=-<nx x 所以当2n =时n S 取得最大值21log 3+，没有最小值. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，指数幂的运算，还考查了分类讨论的思想，属于难题.二、填空题11．已知等比数列{}n a 的公比为2，则123345234234a a a a a a ++++的值为______.【答案】14【解析】由等比数列的通项公式可得1n n a a q -=，故分母的值分别为分子的对应值乘以2q ，整体代入可得解.【详解】由等比数列的定义可得：1222232123234112344++==++q q q a a a a a a q故答案为：14本题主要考查等比数列的定义及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ______. 【答案】4038 【解析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()244sin sin(22)22222(2)ππ-=+++-=+-++x xf x f x x x 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L f f f 12019120192[()()]1010101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L f f f f 2[22019]8076=⨯= 1220194038101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L f f f 故答案为：4038 【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 13．下列四个命题：①2sin 12sin x x +≥；②sin cos 1sin cos x x x x +≥+； ③224sin sin x x+最小值是4；④2214sin cos x x +最小值是9. 其中正确的命题是______.（写出所有正确的命题的序号） 【答案】①②④【解析】①观察不等式的结构，根据重要不等式222a b ab +≥判断；③根据基本不等式取得等号的条件来判断； ④将2214sin cos x x +变形为2214tan 5tan ++x x用基本不等式来判断. 【详解】①由重要不等式222a b ab +≥知正确；②()()sin cos 1(sin cos )sin 1cos 1+-+=--x x x x x x1sin 1,1cos 1-≤≤-≤≤Q x x ；sin cos 1sin cos ∴+≥+x x x x 正确；③224sin 4sin +≥x x 当且仅当224sin sin =x x时取得等号，显然不正确； ④()222222224sin cos 14sin cos sin cos sin cos +++=+x x x x x x x x2214tan 559tan =++≥=x x 当且仅当2214tan tan =x x 即21tan 2=x 取等号，所以最小值是9正确. 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想方法，属于中档题. 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.【解析】根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222bc a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解.【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin 2==A 因为2222+=+≥b c a bc bc所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 4244∆==≤=ABC S bc A则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=．（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值． 【答案】（1）,3B π=（2）1【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将边化为角：cos 2sin sin ,cos sin C A C B B-=再根据两角和正弦公式、三角形内角关系、诱导公式化简得1cos ,.23B B π==（2）由余弦定理得()2222222cos 343b a c ac B a c ac a c ac ac =+-=+-=+-=-，再根据基本不等式求最值试题解析：（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=sin 2sin cos ,A A B =△ABC 中，sin 0A ≠，故1cos ,.23B B π== （Ⅱ）由（I ）,3B π=由已知()22343b a c ac ac =+-=-2434312a c +⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭故b 的最小值为1．【考点】正余弦定理，基本不等式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．16．已知等差数列{}n a 公差不为零，且满足：12a =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）42n -（2）12(1)36+=-+n n S n【解析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项先求得公差，再代入公式求得通项公式.（2）根据数列{}n b 的通项是由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的复合数列，利用错位相减法求其前n 项和. 【详解】（1）由125,,a a a 成等比数列得()5221=⋅a a a 即2(2)2(24)d d +=⨯+, 解得4d =或0d =（舍）, 所以 24(1)42n a n n =+-=-,（2）由（1）知3(42)3==-n n n n a n b所以232363103(42)3=⨯+⨯+⨯+⋯+-nn S n两式相减得：()231264333(42)3+-=++++--L n n n S n ()21143136(42)313-+⨯-=+---n n n14(1)312n n +=--所以12(1)36+=-+n n S n .【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，.等比中项以及错位相减法求数列的前n 项和.，还考查了运算求解能力.17．已知()2221a f x x x =++-（a 为常数）. （1）若不等式()0f x >的解集是()(),1,m -∞+∞U ，求m 的值；（2）求不等式()0f x <的解集.【答案】（1）3-（2）当0a <时()0f x <的解集是{}|1(1)-<<-+x a x a ；当0a =时()0f x <无解；当0a >时()0f x <的解集是{}|(1)1-+<<-x a x a .【解析】（1）因为不等式()0f x >是一元二次不等式，根据一元二次不等式解集的端点即为对应方程的根求解.（2）先将不等式()0f x <因式分解变为(1)(1)0+-++<x a x a 再根据根的大小，分0a <，0a =，0a >三种情况分类讨论求解.【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集是()(),1,m -∞+∞U所以1和m 是方程22210=++-x x a 的两个根所以21211m m a +=-⎧⎨⨯=-⎩解得3m =-（2）因为不等式()0f x <.所以(1)(1)0+-++<x a x a当0a <时1(1)-<<-+a x a当0a =时无解当0a >时(1)1-+<<-a x a综上：当0a <时()0f x <的解集是{}|1(1)-<<-+x a x a当0a =时()0f x <无解当0a >时()0f x <的解集是{}|(1)1-+<<-x a x a【点睛】本题主要考查了三个二次之间的关系和含参不等式的解法，还考查了分类讨论思想，属于中档题.18．如下图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 长为100米，105ADN ∠=︒，30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒．（1）求△BCD 的面积；（2）求船AB 的长．【答案】（1）；（2）10015. 【解析】试题分析：（1）由题意可得30CBD ∠=︒，所以113sin 10010022BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯；（2）由题意75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒，结合正弦定理得10063AD =，在中，由余弦定理得，可得在中，222cos AB AD BD AD BD BDA +-⋅∠10015=试题解析：（1）由题意30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒，得30CBD ∠=︒， ∴100BC BD ==，∴11sin 100100222BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． （2）由题意75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒，在△ACD 中，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即100sin 60sin 45AD =︒︒，∴AD = 在△BCD 中，BD ==在△ABD 中，AB=3=．米． 【考点】正、余弦定理的应用．19．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n n S a a +=⋅，且()11a t t =≠. （1）求证：数列{}n a 不是等差数列；（2）是否存在整数t ，使得21122n S n n n --≤对任意的*n N ∈都成立？证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）不存在，证明见解析.【解析】（1）当2n ≥时根据数列通项与前n 项和之间的关系，由12n n n S a a +=⋅得112n n n S a a --=⋅两式相减化简得：112n n a a +--=，又()11a t t =≠，得32=+a t ，再根据2121222()=+=⋅S a a a a 得222=-t a t ，由等差中项来判断是否为等差数列.（2）由（1）知奇数项是以()11a t t =≠为首项的等差数列，偶数项是以222=-t a t 为首项的等差数列，分n 为偶数和n 为奇数两种情况分析，先分析n 为偶数时，奇数项与偶数项相同，易于运算，得知不存在这样的t ，使得不等式成立，说明对任意的*n N ∈，不存在这样的t ，使得不等式成立.【详解】（1）当2n ≥时由12n n n S a a +=⋅得112n n n S a a --=⋅两式相减化简得：112n n a a +--=又因为()11a t t =≠，所以32=+a t由2121222()=+=⋅S a a a a 得222=-t a t 所以2132≠+a a a所以数列{}n a 不是等差数列.（2）由（1）奇数项是以()11a t t =≠为首项的等差数列，偶数项是以222=-t a t 为首项的等差数列当n 为偶数时 11222222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯+⨯+⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n n n n t S t t 2222=++--nt nt n n t 211322222∴--=+--n nt nt S n n n t 21122n S n n n --≤对任意的*n N ∈都成立 即21122-≤--≤n n S n n n 对任意的*n N ∈都成立 3222∴-≤+-≤-nt nt n n n t 对任意的*n N ∈都成立 311222∴-≤+-≤-t t t2152∴≤≤-t t 无解. 所以不存在整数t ，使得21122n S n n n --≤对任意n 为偶数时成立 即不存在整数t ，使得21122n S n n n --≤对任意的*n N ∈都成立. 【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和之间的关系，等差数列的判断，数列的构造，分组求和等知识，还考查了特殊与一般，分类讨论等思想方法，属于难题.。
2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题(解析版)
等差数列 中，
，
，所以对任意正整数 ，都有 ，
则 的值为
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列源自前 项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.
12．在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据余弦定理得到 ，再根据正弦定理得到 ，故 ， ，计算得到答案.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与 轴交点的横坐标.本题属于基础题．
9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析： 时， ，故A错；∵ ，∴ ，∴ 中等号不成立，故B错；∵ ，∴ 中等号也取不到，故C错；故选D.
8．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出 的值，故不等式 即为 ，从而可求其解，从而得到正确的选项．
【详解】
∵不等式 的解集是 ，
∴ 是方程 的两根，
∴ ，解得 .
∴不等式 为 ，
解得 ，
∴不等式的解集为 .
，
，故选A．
【点睛】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·金华期末) 如果全集，，，则A .B .C .D .2. （2分）已知是等比数列，且，，那么=（）A . 10B . 15C . 5D . 63. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 设函数，则的值为（）A .B . 1C . 2D . 04. （2分）已知a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A . a2>b2>c2B . a|b|>c|b|C . ac>bcD . ab>ac5. （2分）已知中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1,，且满足条件,则的面积的最大值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在等腰△ABC中，AB=AC=1，D是线段AC的中点，设BD=x，△ABC的面积S=f（x），则函数f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·汕头期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位8. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A . 2-B . 2+C . 4-2D . 4+210. （2分）若存在两个正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)11. （2分） (2018高一上·佛山期末) 计算： ________．12. （1分） (2017高一上·定远期中) 若函数f（x）的定义域为[2a﹣1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为________．13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和________。
2018-2019学年福建省莆田市第一中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年福建省莆田市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．若直线2019x =的倾斜角为α，则α（ ） A ．等于0o B ．等于180oC ．等于90oD ．等于2019o【答案】C【解析】根据直线方程判断该直线与x 轴的位置关系，即可求出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线2019x =与x 轴垂直，因此，90α=o . 故选：C. 【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，解题时要求出直线的斜率，并理解斜率与倾斜角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2．如果0ac <，0bc >，那么直线0ax by c ++=不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】判断直线0ax by c ++=在x 轴和y 轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论. 【详解】直线0ax by c ++=在x 轴上的截距为0c a ->，在y 轴上的截距为0cb-<，如下图所示：因此，直线0ax by c ++=不通过第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查直线图象的应用，一般结合截距或斜率来理解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3．如图所示，A O B '''∆表示水平放置的AOB ∆的直观图，B '在x '轴上，A O ''和x '轴垂直，且1A O ⅱ=，则AOB ∆的边OB 上的高为（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】C【解析】过点A '作//A C y '''轴，计算出A C ''，可得出在AOB ∆中AC BO ⊥，且2AC A C ''=，进而得出结果.【详解】过点A '作//A C y '''轴，则45A C O '''∠=o ，如下图所示，A O x '''⊥Q 轴， 45A C O '''∠=o ，则A C O '''∆为等腰直角三角形，则22A C A O ''''==则在AOB ∆中，AC BO ⊥，且222AC A C ⅱ==即AOB ∆的边OB 上的高为2故选：C. 【点睛】本题考查斜二测直观图的相关计算，一般要求将直观图还原，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题：①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥； ②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m P ；③若l m n l αβγβγαγ⋂=⋂=⋂=，，，∥，则m n P . 其中真命题的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案. 【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误； ②中，l 与m 也可能异面，故②错误；③中，易知l β⊂，又l m γγβ⋂=∥，，所以由线面平行的性质定理知l m P ，同理l n P ，所以m n P ，故③正确.【点睛】本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题. 5．已知三点()1,2,1A 、()1,5,1B 、()1,2,7C ，则（ ） A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形 C ．三点构成等腰直角三角形 D ．三点构不成三角形【答案】B【解析】计算出AB 、AC 、BC ，根据三角形三边关系、勾股定理等三角形知识判断即可. 【详解】由空间中两点间的距离公式可得3AB ==，6AC ==，BC ==，222AB AC BC ∴+=，因此，三点构成直角三角形.故选：B. 【点睛】本题考查利用空间中两点间的距离公式判断三角形形状，解题的关键就是计算出三边长，结合三角形相关知识进行判断，考查计算能力，属于基础题.6．已知圆22:4O x y +=，过点()4,2P -作圆O 两条切线，切点分别为A 、B ，则圆O 上有（ ）个点到直线AB 的距离为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】计算出PA ，将直线AB 视为以P 为圆心，PA 为半径的圆与圆O 的相交弦所在的直线，即可求出直线AB 的方程，再计算出圆心O 到直线AB 的距离，即可得出结论. 【详解】PO ==圆O 的半径为2，所以，4PA ==，以点P 为圆心，以PA 为半径的圆P 的方程为()()224216x y ++-=， 则两圆相交弦AB 所在直线的方程为()()222242164x y x y ++---=-， 化简得220x y -+=，圆心O 到直线AB211=<-=， 因此，圆O 上有4个点到直线AB 的距离为1. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上的点到直线距离为定值的点的个数的求解，同时也考查了切点弦方程的计算，一般转化为两圆相交弦所在直线方程来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7．已知二面角l αβ--为60,,,AB AB l A α⊂⊥o 为垂足，,,135CD C l ACD β⊂∈∠=o ,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．4C ．D ．12【答案】B【解析】试题分析：如图所示，过点A 作AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 作//AF CD ，过点E 作EF AE ⊥，连接BF ，因为AE l ⊥，所以EAC 90∠=o ，因为//CD AF ，又135ACD ∠=o ，所以45FAC ∠=o ，所以45EAF ∠=o ，在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2,3AB a BE a ==，在Rt AEF ∆中，则,2EF a AF a ==，在Rt BEF ∆中，则2BF a =，所以异面直线AB 与CD 所成的角，即是BAF ∠,所以222222(2)(2)(2)2cos 24222AB AF BF a a a BAF AB AF a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选B ．【考点】空间角的求解问题．【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．8．已知圆的方程为2268160x y x y +--+=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．2B ．32C ．2D ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为()()22349x y -+-=,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,且223142BD =-=,6AC =,所以四边形ABCD 的面积为1164212222AC BD ⋅=⨯⨯=故选A.9．平行于210x y -+=且与圆225x y +=相切的直线方程是( ) A ．250x y -+=或250x y --= B ．250x y --=或250x y -+=C ．250x y ++=或250x y +-=D ．250x y ++=或250x y ++=【答案】A【解析】设所求直线方程为20x y C -+=，利用圆心到直线的距离等于半径求出C 的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】设所求直线方程为20x y C -+=，圆225x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为5，由题意可得()225521CC ==+-，解得5C =±.因此，所求直线的方程为250x y --=或250x y -+=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求直线方程，一般利用几何法转化为圆心到直线的距离等于半径，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.10．已知S ABC -三棱锥，SA SB ⊥，SB SC ⊥，SC SA ⊥，2SB SC ==，该三棱锥的外接球半径是32，则三棱锥S ABC -四个表面中最大的面积是（ ） A ．2 B ．1C ．26D ．6【答案】D【解析】利用该三棱锥的外接球半径求出SA ，然后求出三棱锥S ABC -的四个面的面积，由此可得出结论. 【详解】 如下图所示：SA SB ⊥Q ，SB SC ⊥，SC SA ⊥，可将三棱锥S ABC -补成一个长方体，其体对角线长即为外接球直径，所以，322⨯==，得1SA =.SAB ∆的面积为12112⨯⨯=，SAC ∆的面积为12112⨯⨯=，SBC ∆的面积为21222⨯=，且AB AC ===BC ==取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，AD =，则ABC ∆的面积为12⨯=因此，三棱锥S ABC -. 故选：D. 【点睛】本题考查三棱锥最大面面积的计算，同时也涉及了三棱锥的外接球半径，考查计算能力，属于中等题.11．已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是( )A ．4 BC ．D 4【答案】D【解析】作出图形，由23PN PC ≤+，11PM PC ≥-，得出214PN PM PC PC -≤-+，利用1C 、P 、2C 三点共线可得出PN PM -的最大值. 【详解】 如下图所示：圆1C 的圆心()12,3C ，半径为11r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径为23r =，()()221223342C C =-+-=由圆的几何性质可得2223PN PC r PC ≤+=+，1111PM PC r PC ≥-=-，21124424PN PM PC PC C C -≤-+≤+=，当且仅当1C 、P 、2C 三点共线时，PN PM -24. 故选：D. 【点睛】本题考查折线段长度差的最大值的计算，考查了圆的几何性质的应用以及利用三点共线求最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．已知长方形的四个顶点：()0,0A 、()2,0B 、()2,1C 、()0,1D .一质点从点A 出发，沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 、4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为()4,0x ，若412x <<，则tan θ的范围是（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,35⎛⎫⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫⎪⎝⎭D ．22,53⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】将矩形ABCD 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到矩形CEFG ，再将矩形CEFG 向右平移2个单位，得到矩形FGHM ，过点Q 作QR x ⊥轴，可得2QR =，计算出AR 的取值范围，可得出tan QR ARθ=，由此可得出tan θ的取值范围. 【详解】将矩形ABCD 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到矩形CEFG ，再将矩形CEFG 向右平移2个单位，得到矩形FGHM ，如下图所示：延长1AP 分别交CG 、FG 、FM 于点N 、P 、Q ， 过点Q 作QR x ⊥轴，垂足为点R ，则2QR =，由对称性结合图形可知，1122343BAP PP C DP P AP P θ∠=∠=∠=∠=，且有2PC CN =，2DP NG =，()41,2FQ AP =∈， 所以，()45,6AR AB CG FQ FQ =++=+∈， 在Rt AQR ∆中，212tan ,35QR AR AR θ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用光线反射求角的正切值的取值范围，解题的关键就是利用对称性进行转化，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为________. 【答案】34【解析】根据圆柱与圆锥轴截面面积相等计算出两几何体底面半径之比，然后利用锥体和柱体的体积公式可计算出这两个几何体的体积之比. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为r 、R ，高均为h ，圆柱和圆锥的体积分别为1V 、2V ， 则1222rh Rh =⨯，2R r ∴=， 所以，圆柱和圆锥的体积之比为2212223114433V r h r h V R h r h ππππ===⨯. 故答案为：34. 【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积比的计算，涉及轴截面的计算，解题的关键就是计算出这两个几何体的底面半径之比，考查计算能力，属于基础题.14．若直线()220mx m y -++=与310x my --=互相垂直，则点(),3m 到y 轴的距离为________. 【答案】0或5【解析】根据两直线垂直得出关于m 的方程，求出m 的值，即可得出点(),3m 到y 轴的距离. 【详解】由于直线()220mx m y -++=与310x my --=互相垂直，则()320m m m ++=， 可得()50m m +=，解得0m =或5m =-，因此，点(),3m 到y 轴的距离为0或5. 故答案为：0或5. 【点睛】本题考查利用两直线的位置关系求参数，同时也考查了点到y 轴的距离，考查计算能力，属于基础题.15．若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.【答案】4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线， 对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥， 曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=， 则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =. 结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.16．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是【答案】③④【解析】试题分析：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴13AB=22CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确 【考点】立体几何点，线，面的位置关系．三、解答题17．ABC ∆的边AB 边上的中线CM 所在直线的方程为0x y +=，AC 的高所在直线方程为2310x y -+=，顶点()2,1A . （1）求AC 边所在的直线方程； （2）求顶点C 的坐标.【答案】（1）3280x y +-=；（2）()8,8C -.【解析】（1）利用直线AC 与直线2310x y -+=垂直得出直线AC 的斜率，然后利用点斜式方程得出直线AC 的方程；（2）将直线CM 和AC 的方程联立，可求出顶点C 的坐标. 【详解】（1）直线2310x y -+=的斜率为23，由于直线AC 与直线2310x y -+=垂直，所以，AC 边所在的直线的斜率为32-， 因此，AC 边所在的直线的方程为()3122y x -=--，即3280x y +-=； （2）联立直线CM 和AC 的方程得03280x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得88x y =⎧⎨=-⎩，即点()8,8C -.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18．求经过点(0,5)A ，且与直线20x y -=和20x y +=都相切的圆的方程. 【答案】()()22135x y -+-=或()()22515125x y -+-=.【解析】设所求圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据直线20x y -=和20x y +=都与圆相切得出a 、b 之间的等量关系，然后利用点A 到圆心的距离等于圆心到直线20x y +=的距离可求出a 、b 的值，进而得出圆的半径，由此可得出所求圆的方程. 【详解】设所求圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由于直线20x y -=和20x y +==则22a b a b +=-或22a b b a +=-，可得3a b =-或3b a =.①若3a b =-，则圆的方程为()()2223x b y b r ++-=，该圆过点()0,5A ，=，整理得2250b b -+=，该方程无解；②若3b a =，则圆的标准方程为()()2223x a y a r -+-=，该圆过点()0,5A ，=2650a a -+=，解得1a =或5a =，当1a =时，r =；当5a =时，r =综上所述，所求圆的标准方程为()()22135x y -+-=或()()22515125x y -+-=. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般利用待定系数法求解，注意结合题中条件列方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，在矩形ABCD 中，2,4,,AD AB E F ==分别为,AB AD 的中点，现将ADE∆沿DE 折起，得四棱锥A BCDE - .（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积. 【答案】(1)见解析；（2）22V =. 【解析】试题分析：（1）取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ，只需证明四边形BEFM 为平行四边形，即有EF BM P ，可得；（2）先证CE ⊥平面ADE ，进而四面体FACE 的体积1·3EFA V S CE ∆=⨯. 试题解析：(1)取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ，因为F 为AD 的中点，所以MF CD P ，且12MF CD =，在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以BE CD P ，且12BE CD =.MF BE ∴P ，且MF BE =,所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF BM P ，又EF ⊄平面,ABC BM ⊂平面ABC ，所以EF P 平面ABC .(2) 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，2,4,AD AB E ==为AB 的中点，所以,ADE CBE ∆∆都是等腰直角三角形，且2AD AE EB BC ====，所以45DEA CEB ∠=∠=o ，且22DE EC ==又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=o o ，又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ⋂平面,BCDE DE CE =⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C EFD -的高.因为F 为AD 的中点，所以111·221224EFA S AD AE ∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以四面体FACE 的体积1122·122333EFA V S CE ∆=⨯=⨯⨯=. 20．已知点P ()2,2-，圆C ： 2280x y x +-=，过P 的动直线l 与⊙C 交,A B 两点，线段AB 中点为M ， O 为坐标原点． （1）求点M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求直线l 的方程以及△POM 面积．【答案】（Ⅰ）()()22312x y -+-=（Ⅱ）直线l 的方程为3x -y -8=0，△POM 面积是165【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为（x-4）2+y 2=16，由此能求出圆心为C （4，0），半径为4，设M （x ，y ），求出向量CM ，MP 的坐标，由0CM MP ⋅=u u u u r u u u r运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M 的轨迹方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知M 的轨迹是以点N （3，-1）为圆心，2为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，可得ON ⊥PM ，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l 的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM 的面积 试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为：()22416x y -+=，所以圆心C(4,0)半径为4．设M （x,y ）,则CM =u u u u r （x-4，y ），()2,2MP x y =--u u u v 则由条件知，0CM MP ⋅=u u u u r u u u r故（x-4）（2-x ）+y （2-y ）=0，即()()22312x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22312x y -+-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M 的轨迹是以点N （3，1）为圆心，以2为半径的圆．又OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，显然P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．K ON =13,所以直线l 的斜率为－3，故直线的方程为3x ＋y -8=0.又OP OM ==22，O 到l 的距离为00841010+-=，由勾股定理可得|PM|=410,所以△面积是14104101625⨯⨯=． 21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =.（1）求证：111B D A F ⊥；（2）若直线1AF ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（3）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【解析】分析：（1）要证111B D A F ⊥，需证明11B D ⊥平面11AC C ，要证111CC B D ⊥，1111B D A C ⊥，用综合法书写即可．（2）要证明1AF ⊥平面11B D E ，需证明11B E A F ⊥，需证1B E ⊥面1A FG ，需证 FG ⊥面11ABB A ，需证：11A G B E ⊥，要证明：190B HG ∠=︒，由此确定E 点的位置． （3）过11B C 三等分点作11B D 平行线，对于上面的任意一点P 都有1B P AF ⊥，再求长度．详解：（1）证明：连结11A C ，1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， 又1111CC AC C ⋂=，所以11B D ⊥平面11AC C ， 因为1A F ⊂平面11AC C ， 所以111B D A F ⊥.（2）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11B D E . 证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G ∆与1Rt B BE ∆中，1B G BE =，111A B B B =，所以111A B G B BE ∆≅∆，111B AG BB E ∠=∠， 又111190B AG AGB ∠+∠=︒，所以11190BB E AGB ∠+∠=︒，所以190B HG ∠=︒，11A G B E ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B G ⊥，又1AG FG G ⋂=， 所以1B E ⊥面1A FG ， 所以11B E A F ⊥，又111B D A F ⊥，1111B D B E B ⋂=， 所以直线1A F ⊥平面11B D E .（3点睛：证明线面平行的最终落脚点是证明线线平行；要证线面垂直的最终落脚点是证明线线垂直；在证明的过程中，我们往往可以从问题入手，找结论成立的充分条件，直到为公理、性质为止．这样可以充分的分析题意，快速的入手．对于探讨型问题，有以下三种作法：（1）先猜想点的位置，再证明结论成立．（2）从问题入手，找结论成立的充分条件，反推点应该满足哪种位置才可以． （3）直接建系，用空间向量解点的坐标，确定点的位置．22．已知圆C 经过点()3,3A 、()2,4B ，并且直线:210m x y --=平分圆C . （1）求圆C 的方程；（2）若过点()2,0D ，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N . （i ）求实数k 的取值范围； （ii ）若13OM ON ⋅=u u u u r u u u r，求k 的值. 【答案】（1）()()22231x y -+-=；（2）（i）((),-∞-+∞U ；（ii）6k =+【解析】（1）求出线段AB 的垂直平分线方程，将线段AB 的垂直平分线方程与直线m 的方程联立，可圆心C 的坐标，求出半径BC ，即可得出圆C 的标准方程； （2）（i ）将直线l 的方程表示出来，利用圆心C 到直线l 的距离小于半径得出k 的不等式，即可得出实数k 的取值范围；（ii ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，令1t k=，可得出直线l 的方程为2x ty =+，将直线l 的方程与圆C 的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入13OM ON ⋅=u u u u r u u u r，可求出t 的值，进而可得出k 的值. 【详解】（1）线段AB 的中点57,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为43123AB k -==--， 故线段AB 的中垂线方程为7522y x -=-，即10x y -+=. 因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心C 在线段AB 的中垂线上. 又因为直线:210m x y --=平分圆C ，所以直线m 经过圆心C .联立10210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即圆心的坐标为()2,3C ，而圆的半径1r CB ==，所以圆C 的方程为：()()22231x y -+-=；（2）直线l 的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=， 圆心C 到直线l的距离d ==（i）题意得1d =<，两边平方整理得28k >，解得k <-或k >因此，实数k的取值范围为：((),-∞-+∞U ； （ⅱ）令1t k=，则直线l 的方程可写成2x ty =+. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组得()()222231x ty x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩①②， 将①代入②得：()221680tyy +-+=，设()11,M x y 、()22,N x y ，则由根与系数的关系可得12216y y t +=+，12281y y t =+， 而()()()()212121212121222124y x x ty ty y y ty yt y y y =+++=+++++，所以121222121284121311t tOM ON x x y y t t⋅=+=++=+=++u u u u r u u u r ， 整理得21210t t -+=，解得6t =±16k t==(()6,k =-∞-+∞U ，舍去.综上所述，6k =+【点睛】本题考查圆的方程的求解，利用直线与圆的位置关系求参数，以及利用韦达定理求参数，涉及平面向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.。
2018-2019学年福建省莆田六中、四中高一(下)期中数学试卷(B卷)(含答案解析)
2018-2019学年福建省莆田六中、四中高一（下）期中数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A. B. C. D.2.一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是A. B. C. D.3.已知，则的值为A. B. C. D.4.如图，在中，，，若，则的值为A. B. 3 C. 2 D.5.已知平面向量，，，，在下列命题中：存在唯一的实数，使得；为单位向量，且，则；；与共线，与共线，则与共线；若且，则．正确命题的序号是A. B. C. D.6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于A. 1B.C.D.7.使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是A. B. C. D.8.设，则有A. B. C. D.9.已知AB是圆O的一条弦，，则的值为A. B. 1C. 2D. 与圆O的半径有关10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为记线段BQ的长为y，则函数的图象大致是A.B.C.D.11.如图，在平面四边形ABCD中，，，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 312.函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，则______．14.已知，则______．15.的化简结果是______．16.如图，在中，C为OA上的一点，且是BC的中点，过点A的直线，P是直线l上的任意点，若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量与不共线，且，．若与的夹角为，求；若向量与互相垂直，求k的值．18.已知函数．求函数的最大值以及取得最大值时x的集合；若函数的递减区间．19.求下列各式的值：求的值；已知，，且，，求的值．20.已知，，函数．求在区间上的最大值和最小值；若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．21.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道H是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，记．试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．22.如图是函数的部分图象．Ⅰ求函数的表达式；Ⅱ若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；Ⅲ把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：．故选：C．利用三角函数的诱导公式，将角的三角函数化成锐角三角函数求值．本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2.答案：B解析：【分析】此题主要是考查圆面积的计算．关键是明白35分钟分针尖端所扫过的面积是圆面积的几分之几．钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是，即每两个相邻数字间的夹角是，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了，分针经过35分钟，走过了7个数字，即绕中心轴旋转了，此题分针的尖端所走扫过的面积是半径为10厘米的圆面积的．【解答】解：由钟面的特点可知：钟面上每两个相邻数字间的夹角是，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了，该题中分针经过35分钟，走过了7个数字，即绕中心轴旋转了，可得：分针扫过的面积：平方厘米答：这根分针的尖端所扫过的面积是平方厘米．故选：B．3.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．由已知利用两角和的正弦求得，再利用三角函数的诱导公式求的值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题．根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．【解答】解：，，；又，，；．故选：B．5.答案：D解析：解：存在唯一的实数，使得；反例如果，则不存在，所以不正确；为单位向量，且，则；正确；；满足向量的运算法则，正确；与共线，与共线，则与共线；如果，则与不一定共线，所以不正确；若且，则因为向量的数量积与向量的长度，结果向量的夹角有关，所以不正确；故选：D．利用向量的共线以及向量的模，向量的数量积的运算，判断命题的真假即可．本题考查向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题．6.答案：B解析：解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，小正方形的边长为，小正方形的面积是，又为直角三角形中较小的锐角，又即故选：B．求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得的值，判断出求得的值，然后求得利用配方法求得的进而求得，利用平方差公式把展开后，把和的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．7.答案：B解析：解：函数是偶函数，，即，，故可取，此时，，且在上，，是减函数，故选：B．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，求得的一个值．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性、单调性，属于基础题．8.答案：B解析：解：，，．，，即．故选：B．由三角函数恒等变换化简可得，，根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．9.答案：C解析：解：取AB的中点M，连OM，则，．故选：C．取AB的中点M，连OM，则，然后利用向量数量积的性质运算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10.答案：B解析：解：以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为，可得，将OA绕坐标原点逆时针旋转至可得，即记线段BQ的长为y，则函数，故选：B．以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为，，可得，即记线段BQ的长为y，则函数，本题考查了三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做轴，过点B做轴，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，当时，取得最小值为．故选A．12.答案：D解析：解：作出函数的图象如图，不妨设，则，．的取值范围是故选：D．作出函数的图象，不妨设，求出的范围，数形结合可得的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：解析：解：根据题意，向量，，若，则，解可得；故答案为：．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，注意向量的坐标定义，属于基础题．14.答案：解析：解：依题意，，．故答案为：．运用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得，进而求得tan x．本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，则原式．故答案为：原式第一项被开方数利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项被开方数利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式化简，再利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.答案：解析：解：是BC的中点，，直线，存在实数k，使，因此，，由已知，得根据平面向量基本定理，得且因此，故答案为：根据OD是的中线，得由直线，可得存在实数k使，再化简得到，结合已知等式可得且，由此即可算出则的值．本题在中，给出边的三等分点C和的中线OD，探索向量表示成的线性组合问题，着重考查了平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．17.答案：解：；由题意可得：，即，，．解析：利用平面向量数量积的运算代入即可；根据向量垂直可得到，解之即可．本题考查平面向量数量积的运算，考查向量垂直等，属于中档题．18.答案：解：，令可得，，，，由，可得，，所以．解析：先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；结合正弦函数的性质可求解．本题主要考查了二倍角及辅助角公式在三角化简中的应用，及正弦函数的最值，单调性的求解，属于中档试题．19.答案：解：原式，，，，，又，，，，解析：由已知结合同角基本关系及和差角公式，二倍角公式进行化简即可求解；由已知结合两角和的正切公式可求，进而可求，然后确定的范围，进而可求．本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于中档试题．20.答案：解：，因为，所以，所以，所以，．解法一：，令，得，因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得，所以，因为，所以所以，又因为，得，所以．从而有．解法二：由，得，因为，所以，所以，解得．又，所以．解析：根据条件化简可得，根据x取值范围结合正弦函数单调性即可求得最值；法一：表示出，则，进而可得存在，使得，列出不等式即可；法二：由，得，则，，解出即可．本题考查利用平面向量数量积运算化简三角函数解析式，考查三角函数的最值等，属于中档题．21.答案：解：由题意可得，，，由于，，而且，，，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L取得最大值为米．解析：解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围．设，根据函数在上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ由图可知：，，，又由图可知：是五点作图法中的第三点，，即，Ⅱ因为的周期为，在内恰有2个周期．当时，方程在内有4个实根，设为、、、，结合图象知、，故所有实数根之和为．当时，方程在内有5个实根为0、、、、，故所有实数根之和为．Ⅲ把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，则函数为，然后向右平移个单位，得到，再把纵坐标伸长为原来的两倍得到，最后向上平移一个单位得到函数．则对应的图象如图．要使方程在区间上至多有一个解，则当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以．解析：Ⅰ根据三角函数的部分图象，求出函数的周期和定点坐标，即可求函数的表达式；Ⅱ作出函数的图象，利用函数的对称轴即可求在内的所有实数根之和；Ⅲ根据三角函数的图象变化，利用数形结合即可得到结论．本题考查由的部分图象确定解析式、函数的图象变换，考查函数方程思想、数形结合思想．。
福建省莆田第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
莆田一中2017-2018学年度下学期期中考试试卷高一数学必修四1.1~3.1.2试卷满分 100分考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1. 的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式及利用两角和的余弦化简求值即可.【详解】=，故选B.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，主要考查两角差的正弦公式，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，属于基础题.2. 半径为,中心角为的弧长为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式进行求解即可.【详解】圆弧所对的中心角为，即为弧度，半径为，弧长为，故选D.【点睛】本题主要考查角度与弧度的互化，弧长公式，掌握好公式并能熟练应用是解题的关键，属于基础题.3. 中,,则与的夹角大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式求出与的夹角，再求出与的夹角大小.【详解】中，，，，，与的夹角为，与的夹角为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4. 已知,且,则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,可得,利用即可得结果.【详解】，又，，得，由，知，，故有，则的值是，故选C.【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系（平方关系）的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.5. 下列函数的周期为的是( )①；②；③；④.A. ①④B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】利用，的周期不是，可排除选项；利用，排除，从而可得结果.【详解】设，则，，，不是的周期，③不合题意，排除，设，则，故是的周期，②符合题意，排除，故选D.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.6. 设,若是偶函数,则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得为偶函数，即有，求得，从而可得函数解析式，进而可得结果.【详解】因为，可得，因为是偶函数，所以有，即，，可得，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数.7. 已知函数,若对任意的恒成立,则的单调递减区间是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】若对x∈R恒成立，则等于函数的最大值或最小值，即2×+φ=，k∈Z，则φ=−，k∈Z，又0<φ<π，所以φ=，所以f(x)=cos(2x+)；令2x+∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，解得x∈(k∈Z)；则f(x)的单调递减区间是(k∈Z).故选：D.点睛：解决三角函数性质时，要化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关；而y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期.求单调区间时只需将ωx＋φ看作整体，利用y＝sin x的单调性求解即可.8. 已知函数,的部分图象如图所示,则 ( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求. 【详解】，，代入得，，又，，，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.9. 已知在中,是边上的一点,与夹角为,则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据知是的角平分线，利用余弦定理求出，判断是直角三角形，从而求出的值.【详解】中，是边上的一点，且，是的角平分线，如图所示，又与的夹角为，，，是直角三角形，，即，故选B.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及余弦定理、特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10. 给出下列四个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点对称；③若,则,其中；④函数的最小值为-1；以上四个命题中错误．．的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由可判断①正确；由函数满足可判断②正确；由可得，可判断③错误；利用配方法可得④正确.【详解】对于①，函数的一条对称轴是，故①正确；对于②，函数满足函数的图象关于点，对称，故②正确；对于③，若，则，其中，故③错误；对于④，函数，当时，取最小值，故④正确，故选B. 【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的最值，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.11. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象,若在上单调递减,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，利用平移变换得到的解析式，根据函数单调性的性质，由包含关系列不等式求解即可.【详解】，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则，由，得，若在上单调递减，则，得，即，当时，，即的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象变换，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间. 12. 在是边上的两个动点,且,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.二、填空题(本大题共有4个小题,每题3分,共12分)13. 已知,则________.【答案】【解析】【分析】利用以及诱导公式，直接求出与的关系，再由可得结果.【详解】，所以，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14. 函数在的值域为_________.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，可得，根据正弦函数的单调性可得结果.【详解】，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及利用正弦函数的单调性求值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.15. 已知角终边上的一点,则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，将原式分母变为，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.【详解】角终边上的一点，，则，故答案为.【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.16. 某同学利用描点法画函数的图象,列出的部分数据如下表：经检查发现表格中恰有一组数据计算错误,请你推断该函数解析式是________.【答案】【解析】【分析】先由两组的数据的对称性可知对称轴，且可排除，然后根据表格数据利用点在曲线上，建立条件关系求出和的值即可.【详解】由题意可知，关于对称轴对称，且对称轴，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最大值，且过，从而可得第二组错误，由表格知函数的最小值是，则，又，即，，则，又关于对称，则而函数的周期，根据周期公式，得，则函数的一个解析式为，故答案为.【点睛】本题主要通过已知三角函数的上的点求解析式考查三角函数的性质，属于中档题. 利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.三、解答题(本大题共6个小题,共52分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.)17. 已知,且.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由为第四象限角，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的正弦函数公式可得结果；(Ⅱ) 由的范围，求出的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出的值，然后由利用两角差的余弦函数公式化简后，代入即可求出.【详解】(Ⅰ)因为α为第四象限角所以所以(Ⅱ)因为所以α-β (-π,0),因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinα·sin(α-β) .【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.18. 已知平面内三个向量：.(Ⅰ)若,求实数的值；(Ⅱ)设,且满足,求.【答案】(Ⅰ) 0或；(Ⅱ)或.【解析】【分析】(Ⅰ)利用平面向量坐标运算法则先求出，再由,求实数的值；(Ⅱ) 利用平面向量坐标运算法则先求出,再由，能求出.【详解】(Ⅰ)因为=(3,2), =(-2,1), =(2,1),所以=(2k+3,k+2),k=(-2k-3,k-2),因为若()//(k-),所以(2k+3)(k-2)-(-2k-3)(k+2)=0,即(2k+3)k=0,解得k=0或k=-,所以实数k的值为k=0或k=-；(Ⅱ)依题意得=(1,3), -=(x-2,y-1),因为()⊥(-),所以(x-2)+3(y-1)=0,因为|-|=,所以(x-2)2+(y-1)2=10,所以联立方程得,解得或,所以=(-1,2),或=(5,0).【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式的线性运算以及向量平行、向量垂直的坐标表示，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19. 函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)图象见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∵x∈[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,].(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描点连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20. 如图,在平面直角坐标系中,锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点.(Ⅰ)如果点纵坐标分别为,求；(Ⅱ)若为轴上异于的点,且,求点横坐标的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)利用三角函数的定义，结合两角和差的余弦公式进行计算即可；(Ⅱ) 若，则，设，可得，利用向量垂直的坐标公式，可得，由，结合余弦函数的单调性可得结果.【详解】(Ⅰ)∵点A、B纵坐标分别为、,∴sinα=,sinβ=,∵α为锐角,β为钝角,(Ⅱ)依题意得A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),∵∠AOB=90︒,即β=α+90︒,∴B(-sinα,cosα),设∴(-x+cosα)(-x-sinα)+sinα·cosα=0,整理得x2+x(sinα-cosα)=0,(x≠0),∴x=cosα-sinα=cos(α+),(x≠0),所以x∈(-1,0)∪(0,1).【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是三角函数的图象与性质要熟练掌握.21. 已知函数的部分图象如图,是图象的最高点,为图象与轴的交点,为原点,且点坐标为.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象,当时,求函数的最值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最小值，得最大值.【解析】试题分析：（1）由点坐标为，可得，，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得y=f（x）的解析式．（2）求出g（x）的解析式，化简h（x）=f（x）g（x）的解析式为，再根据x 的范围求出h（x）的值域，从而求得h（x）的最大值．试题解析：(1)点坐标为，∴，，.由，得，∴.(2)，，当时，，∴当，即时，.点睛：一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关；而y＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期.22. 某企业一天中不同时刻的用电量(万千瓦时)关于时间(小时,)的函数近似满足,如图是函数的部分图象(对应凌晨点).(Ⅰ)根据图象,求的值；(Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量,电力供应有限；又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 (万千瓦时)与时间(小时)的关系可用线性函数模型模拟.当供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.初步预计停产时间在中午11点到12点间,为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 11点15分到11点30分之间.【解析】【分析】(Ⅰ)根据图象的最值求，根据周期求出，利用特殊点求出的值；(Ⅱ)由，设，则为该企业的停产时间，易知在上是单调递增函数，确定从而可得结果.【详解】(Ⅰ)由图象知T=2(12-6)=12,从而ω==,所以代入(0,2.5)得φ=+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知令设h(t0)=0,则t0为该企业的停产时间.易知h(t)在(11,12)上是单调递增函数.由h(11)=f(11)-g(11)<0,h(12)=f(12)-g(12)>0,又,所以t0∈(11,11.5),即11点到11点30分之间(大于15分钟),又h(11.25)=f(11.25)-所以t0 (11.25,11.5),即11点15分到11点30分之间(恰好15分钟),所以估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及三角函数的恒等变换及性质，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：求三角函数的解析式考查性质，利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.。
2018-2019学年福建省莆田一中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=52．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直4．若直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ay﹣2=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，α∥β，则m∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥m，则n⊥α所有正确说法的序号是（）A．②③④B．①③C．①②D．①③④7．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．8．设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是（）A．B．2 C．3 D．49．已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4（0≤x＜1）C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=4（0≤x＜1）10．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N 分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+211．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知棱长为l的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF ∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷的相应位置.13．若||=1，||=2，（ +）•=3，则与的夹角为．14．已知，则sin2x=．15．若曲线与曲线C2：（y﹣1）•（y﹣kx﹣2k）=0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN 将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2）（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．19．已知向量，，，函数，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．21．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA 所成的角的正弦值为？证明你的结论．22．已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．2018-2019学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心坐标与半径，找出圆心C关于直线y=x的对称点坐标，即为对称圆心坐标，半径不变，写出对称后圆的标准方程即可．【解答】解：圆C方程变形得：（x+2）2+y2=5，∴圆心C（﹣2，0），半径r=，则圆心C关于直线l：y=x对称点坐标为（0，﹣2），则圆C关于直线l对称圆的方程为x2+（y+2）2=5．故选D．2．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2=2．故选A．3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】以CD所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE ∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠DCE=60°故选C4．若直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ay﹣2=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】根据直线平行求出a的值，根据平行线间的距离公式计算即可．【解答】解：若直线l 1：x ﹣2y +1=0与l 2：2x +ay ﹣2=0平行，则=≠，解得：a=﹣4，故l 1：x ﹣2y +1=0与l 2：x ﹣2y ﹣1=0的距离是：d==，故选：B ．5．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面． 且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC 的高PB===故其侧面积是S=S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD==故选A6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β②若m ∥α，α∥β，则m ∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥m，则n⊥α所有正确说法的序号是（）A．②③④B．①③C．①②D．①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由垂直于同一直线的两平面平行，即可判断①；运用线面的位置关系，以及面面平行和线面平行的性质即可判断②；运用线面平行、垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断③；运用线面的位置关系，结合线面平行的性质，即可判断④．【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，①若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α∥β，故①正确；②若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故②错；③若m∥β，过m的平面与β交于n，可得m∥n，由m⊥α，可得n⊥α，n⊂β，则α⊥β，故③正确；④若m∥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α或n与α相交，故④错．故选：B．7．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．8．设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解之可得ω的范围，结合选项可得答案．【解答】解：由题意可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解得ω≤，结合选项可知只有A符合，故选A9．已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4（0≤x＜1）C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=4（0≤x＜1）【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J3：轨迹方程．【分析】结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答．【解答】解：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，割线ABC的方程：y=k（x﹣4）；作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x2+y2﹣4x=0如图故选B．10．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N 分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+2【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN||﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN||﹣|PM|最大值是（|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）=|PF|﹣|PE|+4，再利用对称性，求出所求式子的最大值．【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心E（1，﹣1），半径为1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9的圆心F（4，5），半径是3．要使|PN|﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN|﹣|PM|最大值是（|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）=|PF|﹣|PE|+4F（4，5）关于x轴的对称点F′（4，﹣5），|PN|﹣|PM|=|PF′|﹣|PE|≤|EF′|= =5，故|PN|﹣|PM|的最大值为5+4=9，故选：B．11．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．12．已知棱长为l的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF ∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】由已知条件推导出l∥EF，从而得到l∥面ABCD；由MN是运动的，得到面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，从而平面MEF与平面MPQ不垂直；EF∥BD，l∥EF，EF与AC所成的角为90°，从而l与AC垂直；M是一个确定的点，从而当x变化时，l是定直线．【解答】解：对于A，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，∵QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD，故A结论正确；对于B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC，故B结论正确．对于C，∵MN是运动的，∴面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，∴平面MEF与平面MPQ不垂直，故C不正确；对于D，∵M是AA1的中点，是一个确定的点，∴当x变化时，l是过M与EF 平行的定直线，故D正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷的相应位置.13．若||=1，||=2，（ +）•=3，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的余弦值，可得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵若||=1，||=2，（ +）•=3，∴（+）•=+=1•2•cosθ+4=3，cosθ=﹣，∴θ=，故答案为：．14．已知，则sin2x=．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．15．若曲线与曲线C2：（y﹣1）•（y﹣kx﹣2k）=0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为（，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出两曲线图象，根据交点个数判断直线的斜率范围即可．【解答】解：由y=1+得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1（y≥1），曲线C1表示以（1，1）为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y=1与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点．∴直线y=kx+2k=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，当直线y=k（x+2）经过点（0，1）时，k=，当直线y=k（x+2）与半圆相切时，=1，解得k=或k=0（舍），∴当＜k＜时，直线y=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN 将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F 是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2）（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆心为C（﹣1，1），半径，求出AB的斜率，直线CD的斜率，然后求解直线CD的方程．（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，通过圆心C到直线的距离求解即可；②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，通过圆心C到直线的距离求解即可；【解答】解：（Ⅰ）依题意得，圆心为C（﹣1，1），半径，，∴直线CD的斜率为：，∴直线CD的方程为：y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y﹣1=0．（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，则圆心C到直线的距离为，解得k=1，得直线为y=x，②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，则圆心C到直线的距离为，解得a=±2，得直线为x+y=2或x+y=﹣2，综上所述，直线方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0或x+y+2=0．18．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用查三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域，根据f（x）的图象和直线y=m在区间上有两个不同的交点，结合f（x）的图象求得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，=，故函数f（x）的最小正周期为；由，求得，∴函数f（x）单调递增区间为．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴1≤f（x）≤3，由函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，可知f（x）=m在区间内有两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=m的图象有两个不同的交点．在区间上，2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，f（x）=2sin（2x+）+1∈[1，3]，结合图象可知，当时，两图象有两个不同的交点，∴实数m的取值范围是．19．已知向量，，，函数，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义，正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的图象经过点M，求得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）依题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）=sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ）+3，由题可知，，∴T=4，∴由得．又∵函数f（x）经过点，∴，∴，∵，∴，即，∴函数f（x）的解析式为f（x）=．（Ⅱ）先将函数y=f（x）=﹣cos（x+）+3图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，可得y=﹣cos（x+）+3的图象；再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y==的图象．∵函数g（x）关于原点对称，∴函数g（x）为奇函数，即，∴，∵m＞0，∴当k=﹣1时，m的最小值为，∴综上所述，实数m的最小值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【考点】LS ：直线与平面平行的判定；MK ：点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，只要证明MN ∥PA ，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离．【解答】解：（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC=90°，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…当M 为PC 的中点，即PM=MC 时，MN 为△PAC 的中位线， 故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ ．…（2）由（1）可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ﹣BMQ =V A ﹣BMQ =V M ﹣ABQ ， 取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，，…又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ． 又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，… 所以V P ﹣BMQ =V A ﹣BMQ =V M ﹣ABQ =.，… 则点P 到平面BMQ 的距离d=…21．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA 所成的角的正弦值为？证明你的结论．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O 的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量为，求出平面AB'C的法向量为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空间向量的距离公式求解即可．解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出即P为AB'的中点．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，…解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设平面B'OC的法向量为，可得设平面AB'C的法向量为，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为：．…（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点证明如下：设…又平面B'OA的法向量，依题意得…解得舍去）…解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P为AB'的中点…22．已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2，求出λ，然后求解比值．法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则，取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则，通过令，存在这样的定点N满足题意，则必为，然后证明即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m（3x﹣y）+（x+y﹣4）=0，令3x﹣y=0且x+y﹣4=0，得x=1，y=3∴直线l过定点A（1，3），（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，∴，得，∴由得m=﹣1，∴圆心到直线的距离为，∴最短弦长为．（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2∴（x+3）2+（y﹣4）2=λ2（x﹣t）2+λ2（y﹣4）2∴（x+3）2+4﹣x2=λ2（x﹣t）2+λ2（4﹣x2）整理得，（6+2tλ2）x﹣（λ2t2+4λ2﹣13）=0∵上式对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴6+2tλ2=0且λ2t2+4λ2﹣13=0解得或t=﹣3，λ=1（舍去，与M重合）综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则令，解得或t=﹣3（舍去，与M重合），此时若存在这样的定点N满足题意，则必为，下证：点满足题意，设圆上任意一点P（x，y），则（y﹣4）2=4﹣x2∴==，∴综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数．。
福建省莆田第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
福建省莆田第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1.若()()12z i i =+-，则复数z 的虚部是（ ） A. 1 B. 1- C. iD. i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，从而可得出复数z 的虚部. 【详解】由复数的乘法法则可得()()21223z i i i i i =+-=--=--，因此，复数z 的虚部为1-，故选：B.【点睛】本题考查复数虚部的概念，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2.设集合122xA x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A. ()1,2- B. [)1,2-C. (]1,2-D. []1,2-【答案】A 【解析】 【分析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，从而求出两集合的交集即可．【详解】∵集合A=122x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，解得x>-1，B=1|02x x x +⎧⎫≤=⎨⎬-⎩⎭{x|（x+1）（x ﹣2）≤0且x 2≠}={x|﹣1≤x ＜2}， 则A ∩B={x|1-＜x ＜2}， 故选：A ．【点睛】本题考查了集合的运算，考查解指数不等式及分式不等式问题，是一道基础题．3.下列说法中，错误．．的是（ ） A. 若命题:p x R ∀∈，20x ≥，则命题0:p x R ⌝∃∈，200x <B. “1sin 2x =”是“56x π=”的必要不充分条件 C. “若4a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题 D. x R ∀∈，22x x > 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可判断出选项A 中命题的真假；利用充分必要性判断出选项B 中命题的真假；将原命题改写出其逆否命题，利用不等式的性质可判断出选项C 中命题的真假；取特殊值来判断出选项D 中命题的真假.【详解】对于A 选项，由全称命题的否定可知该选项中的命题正确；对于B 选项，由1sin 2x =，可得()26x k k Z ππ=+∈或()526x k k Z ππ=+∈， 所以，“1sin 2x =”是“56x π=”的必要不充分条件，选项B 中的命题正确；对于C 选项，“若4a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于2”的逆否命题为“若2a <且2b <，则4a b +<”，由不等式的性质可知，命题“若2a <且2b <，则4a b +<”为真命题，则选项C 中的命题为真命题；对于D 选项，取4x =，则4224=，所以，选项D 中的命题错误.故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定、必要不充分关系的判断、逆否命题的真假以及全称命题的真假的判断，解题时可以利用逻辑推证法和特例法进行推导，考查逻辑推理能力，属于中等题.4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出关于的线性回归方程，则表中的值为( )34562.5 4 4.5A.B. C. D.【答案】B 【解析】由表格中数据可得3456 2.54 4.5114.5,444m mx y +++++++==== ，因为关于的线性回归方程是，所以110.7 4.50.354m+=⨯+ ，可得3m = ,故选B.5.若三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞，上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A. ()0-∞，B. ()1-∞，C. (]0-∞，D. (]1-∞，【答案】A 【解析】试题分析：因为三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞，上是减函数，所以有，得故选A.考点：利用导数研究函数的单调性.6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，则(2017)(2019)f f +的值为（ ） A. -1 B. 1C. 0D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()g x g x -=-，结合已知的等式，可以得到(1)()()(1)f x g x g x f x --=-=-=--，由()f x 是定义在R 上的偶函数，可得()()f x f x -=，可得(1)(1)0f x f x ++-=，最后求出(2017)(2019)f f +的值.【详解】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()g x g x -=-，(1)()()(1)f x g x g x f x ∴--=-=-=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=(1)[(1)](1)f x f x f x ∴+=-+=--，所以(1)(1)0f x f x ++-=，因此 (2017)(2019)f f +=0，故本题选C.【点睛】本题考查了抽象函数的性质，结合奇偶函数的性质，根据所给的式子进行变换是解题的关键.7.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. []1,2C. []0,1D. []1,3【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =在区间[]2,5上的单调性，可得出max min f -，然后再解不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()1111111x xf x x x x -+===+---Q ，该函数在区间[]2,5上单调递减， 所以，max min 25321514f -=-=--，由2max min 2f a a --≥-，得2324a a -≤-， 化简得24830a a -+≤，解得1322a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.函数()1,,x f x x π⎧=⎨⎩为有理数为无理数，下列结论不正确的是（ ）A. 此函数为偶函数B. 此函数是周期函数C. 此函数既有最大值也有最小值D. 方程()()1ff x =的解为1x =【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性、周期性的定义可判断出A 、B 选项的正误；由函数解析式可判断出C 选项命题的正误；解方程()()1ff x =可判断出D 选项命题的正误.【详解】对于A 选项，若x 为无理数，则x -也为无理数，此时()()f x f x π-==， 当x 为有理数时，x -也为有理数，此时()()1f x f x -==，所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，该函数为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，设T 是一个正数，当T 为无理数时，()01f =，()()0f T f T π+==， 所以，T 不可能是函数()y f x =的周期.当T 为有理数时，若x 为有理数，则x T +为有理数，有()()f x T f x +=， 若x 为无理数，则x T +为无理数，有()()f x T f x +=，综上可知，任意非零有理数都是函数()y f x =的周期，B 选项正确；对于C 选项，由于()1,,x f x x π⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则函数()y f x =的最大值为π，最小值为1，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，解方程()()1f f x =，则()1f x =，所以，x 为任意的有理数，D 选项中的命题错误.故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数奇偶性、周期性、最值的定义，解题时应从分段函数的解析式出发，结合基本性质的定义出发求解，考查分析问题和解决问题的能力，属9.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 分别令1001,e,e ex =-，根据()f x 的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由四个选项的图像可知()11f =，令1e x =，()11e 11e f f ⎛⎫=-+>= ⎪⎝⎭，由此排除C 选项.令ex =，()()1e 111ef f =+>=，由此排除B 选项.由于()1001001e 1000ef -=->，排除D 选项.故本小题选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.10.设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是()f x 最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. [)1,2-B. []1,0-C. []1,2D.[)1,+∞【答案】C当1x =时，112+=，当1x >时，函数递单调增，()2f x >.当1a <时，2x a -在(),a -∞上递减，在(],1a 上递增，最小值为()f a ，且()()1f a f <不符合题意.当1a ≥时，2x a -在(],1-∞上递减， 最小值为()11122aa f --==，还需122a -≤，即11,2a a -≤≤，故[]1,2a ∈，选C .11.已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()()2,0,3-∞+∞UD.(]2,0,03⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->， 则函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-， 由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质()()f x f x =来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数()245,1,1x x x f x lnx x ⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 12⎛ ⎝B. 12⎛ ⎝C. 12⎛ ⎝⎭D.12⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，把方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根转化为()y f x =的图象与12y kx =-的图象有四个不同的交点，结合图象即可求解． 【详解】方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根转化为()y f x =的图象与12y kx =-的图象有四个不同的交点，如图所示，直线12y kx =-过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且过点()1,0时，函数()y f x =的图象与12y kx =-的图象有三个不同的交点，此时1012012k --==-；设直线12y kx =-与ln (1)y x x =>切于点()00,ln x x ，则过该切点切线方程为()0001ln y x x x x -=-把点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭代入切线方程，可得01ln 12x --=-，解得0x e =， 所以切点1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线的斜率为ee e=， 所以方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的函数零点问题，属于难题.已知函数有零点 (方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数2ln 1y x x =-________. 【答案】(]0,1 【解析】 【分析】利用对数真数大于零和偶次根式被开方数非负列不等式组，解出x 的取值范围，即为函数的定义域.【详解】由题意可得210x x >⎧⎨-≥⎩，解得01x <≤，因此，函数2ln 1y x x =-为(]0,1，故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见函数求定义域的方法，具体原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零； （3）对数真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切：tan y x =，2x k ππ≠+，k Z ∈；（6）已知函数()f x 的定义域为D ，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，只需()g x D ∈； （7）已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，求函数()f x 的定义域，只需(){}x y y g x ∈=，即()g x 的值域.14.已知函数2()21x x f x a =+-为奇函数，则实数a =________．【答案】12- 【解析】∵()221xx f x a =+-为奇函数∴()()110f f +-= 即2+a-1+a=0 ∴12a =-故答案为：12-15.若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =_________. 【答案】3或1-.【解析】 【分析】在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，利用导数得出()1f t '=得出t 的值，可求出切线的方程，再将该切线方程与二次函数()2g x x ax =+解析式联立，利用0∆=求出实数a 的取值范围.【详解】在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，()ln f x x =Q ，()1f x x'∴=， 由题意可得()11f t t'==，得1t =，切点坐标为()1,0，则所求切线方程为1y x =-. 由于直线1y x =-与函数()2g x x ax =+的图象相切，联立得21y x y x ax =-⎧⎨=+⎩， 消去y 并整理得()2110x a x +-+=，则()2214230a a a ∆=--=--=，解得1a =-或3，故答案为：3或1-.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线方程，在求解直线与二次函数图象相切的问题，可以将直线方程与二次函数解析式联立，利用判别式为零来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如221n +(n ＝2，3，4，…)的分数的分解：211211211,,531574289545=+=+=+，按此规律，221n +＝_____(n ＝2，3，4，…)． 【答案】()()111121n n n ++++ 【解析】 【分析】通过分析题目所给的特殊项的特点，归纳出221n +的通项公式.【详解】通过分析题目所给的特殊项，221n +的分解是由两个部分构成，第一个部分是11n +，第二部分是()()1121n n ++，故221n +＝()()111121n n n ++++.【点睛】本小题主要考查古代数学文化，考查合情推理，考查数据分析能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数()1f x a x=-. （1）若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()()42ttg t f t R =∈，求函数()g t 的值域.【答案】（1）(],3-∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由参变量分离法得出12a x x <+在()1,+∞上恒成立，构造函数()12h x x x=+，考查该函数在()1,+∞的单调性，利用单调性得出()3h x >，于此可得出实数a 的取值范围；（2）先得出()42t tg t a =⋅-，换元20t x =>，将问题转化为求函数2y ax x =-在()0,∞+上的值域问题求解，然后分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，可得出函数2y ax x =-在()0,∞+上的值域，即为函数()g t 的值域.【详解】（1）当1x >时，()11f x a a x x =-=-，由()2f x x <得12a x x-<，即12a x x<+， 构造函数()12h x x x =+，其中1x >，则()22212120x h x x x-'=-=>， 所以，函数()y h x =在区间()1,+∞上为增函数，则()()13h x h >=，由于不等式()a h x <在()1,+∞上恒成立，所以，3a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],3-∞；（2）由题意可得()14422tt t tg t a a ⎛⎫=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭，令20t x =>，则2y ax x =-，其中0x >.①当0a =时，0y x =-<，该函数的值域为(),0-∞；②当0a <时，由于二次函数2y ax x =-的图象开口向下，对称轴为直线102x a=<， 此时，函数2y ax x =-在()0,∞+上单调递减，所以，2000y a <⨯-=，此时，该函数的值域为(),0-∞；③当0a >时，由于二次函数2y ax x =-的图象开口向上，对称轴为直线102x a=>， 此时，该函数在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则2min111224y a a aa ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，此时，该函数的值域为1,4a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述：当0a ≤时，函数()g t 的值域为(),0-∞；当0a >时，函数()g t 的值域为1,4a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，同时也考查了函数值域的求解，解题的关键就是利用换元法将函数的值域进行转化，考查化归与转化思想，属于中等题.18.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 【答案】(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】 【分析】（I ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得：曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=- 即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-则12AB t t =-===23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.19.选修4-5：不等式选讲 设函数()=|+1|f x x .（1）若()+2>2f x x ，求实数x 的取值范围； （2）设()=()+()(>1)g x f x f ax a ，若()g x 的最小值为12，求a 的值. 【答案】（1）1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，； （2）2a =. 【解析】【分析】(1)代入()f x 解析式,结合x 的不同范围，去绝对值，计算x 的范围，即可。
福建省莆田六中、四中2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
a2
b2
sin
tan
b a
。属于中等题。
8.设 a 1 cos 6 2
3 2
sin
6 ,
b
2 1
tan17 tan 2 17
,c
1 cos 70 ，则有( 2
A. b c a
B. c b a
C. c a b
【答案】A
) D. a c b
【解析】
【分析】
根据题意，利用辅助角公式得 a sin 36 ，对于 b ，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公
方向上的投影恰好为
1 2
AB
1，
所以
AO·AB
=|
AO
|
|
AB
|=
1 2
|
AB
|2
=2.故选
C.
【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.
10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 0 的始边为 x 轴的非负半轴，终边与单
位圆的交点为 A ，将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 至 OB ，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 Q ．记 2
线段 BQ 的长为 y ，则函数 y f 的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
BQ
yQ
sin( ) 2
cos
，所以选 B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据向量平行交叉相乘相减等于 0 即可。
2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。
2018-2019学年福建省莆田一中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.sin15°cos45°-sin75°sin45°=（）A. B. - C. D. -2.半径为cm，中心角为120°的弧长为（）A. cmB. cmC. cmD. ，cm3.△ABC中，=（，1），=（0，1），则与的夹角大小为（）A. B. C. D.4.已知sinα•cosα=，且＜α＜，则sinα-cosα=（）A. -B.C.D. -5.下列函数的周期为π的是（）①y=sin2x+2|sin2x|；②y=|1+3sin（2x+）|；③y=sin|2x|；④y=sin2x-cos2x+1．A. ①④B. ①③④C. ②③④D. ①②④6.设f（x）=sin（x+θ），（|θ|＜），若f（x+）是偶函数，则f（）=（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（）A. [kπ，kπ+]（k∈Z）B. [kπ-，kπ+]（k∈Z）C. [kπ+，kπ+]（k∈Z）D. [kπ-，kπ+]（k∈Z）8.已知函数f（x）=A tan（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜），y=f（x）的部分图象如图所示，则=（）A. 3B.C. 1D.9.已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=1，||=2，与夹角为60°，则||=（）A. B. C. D.10.给出下列四个命题：①函数y=2sin（2x-）的一条对称轴是x=；②函数y=tan x的图象关于点（，0）对称；③若sin（2x1-）=sin（2x2-）=0，则x1-x2=kπ，其中k∈Z；④函数y=cos2x+sin x的最小值为-1；以上四个命题中错误的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 311.将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在（π，）上单调递减，则φ的取值范围为（）A. （，）B. （，）C. [，]D. [，）12.在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A. B. [5，9] C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知cos（）=，则sin（）=______．14.函数f（x）=sin2x-cos2x在x∈（0，）的值域为______．15.已知角α终边上的一点P（m，-2m）（m≠0），则2+sinα•cosα-cos2α的值为______．16.某同学利用描点法画函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜）的图象，列出的部分数据如表：x01234y101-1-2经检查发现表格中恰有一组数据计算错误，请你推断该函数解析式是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知：α∈（-，0），β∈（0，），cosα=，且cos（α-β）=，（Ⅰ）求sin（α+）的值；（Ⅱ）求cosβ的值．18.已知平面内三个向量：=（3，2），=（-2，1），=（2，1），（Ⅰ）若（+k）∥（k-），求实数k的值；（Ⅱ）设=（x，y），且满足（+）⊥（-），|-|=，求．19.函数f（x）＝A sin（ωx）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．20.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（Ⅰ）如果点A、B纵坐标分别为、，求cos（α+β）；（Ⅱ）若∠AOB=90°，M为x轴上异于O的点，且MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．21.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点，且P点坐标为（，1），||=2，（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[-1，2]时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的最值．22.某企业一天中不同时刻的用电量y（万千瓦时）关于时间t（小时，0≤t≤24）的函数y=f（t）近似满足f（t）=A sin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如图是函数y=f（t）的部分图象（t=0对应凌晨0点）．（Ⅰ）根据图象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g（t）（万千瓦时）与时间t（小时）的关系可用线性函数模型g（t）=-2t+25（0≤t≤12）模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．-------- 答案及其解析 --------1.答案：B解析：【分析】利用诱导公式把sin75°转化为cos15°，进而利用两角和公式求得答案．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的运用．属基础题．【解答】解：sin15°cos45°-sin75°sin45°=sin15°cos45°-cos15°sin45°=sin（15°-45°）=sin（-30°）=-，故选：B．2.答案：D解析：解：∵圆弧所对的中心角为120°，即为弧度，半径为π，∴弧长为l=|α|•r=×π=，故选：D．先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式l=|α|•r进行求解即可．本题主要考查了弧长公式l=|α|•r，主要圆心角为弧度制，掌握好其公式并能熟练应用，属于基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．根据平面向量的夹角公式求出与的夹角，再求出与的夹角大小．【解答】解：△ABC中，=（，1），=（0，1），∴•=×0+1×1=1，||==2，||=1，∴cos＜，＞===，∴与的夹角为，∴与的夹角为．故选A．4.答案：C解析：解：sinα•cosα=，且＜α＜，∴sinα＞cosα，∴sinα-cosα====．故选：C．根据同角的三角函数关系，计算即可．本题考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．5.答案：D解析：解：①函数y=sin2x+2|sin2x|=的周期为π；②y=|1+3sin（2x+）|的周期，即y=3sin（2x+）的周期，为π；③y=sin|2x|没有周期性；④y=sin2x-cos2x+1=sin（2x-）+1的周期为=π，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，求得各个函数的周期，可得结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．6.答案：D解析：解：f（x）=sin（x+θ），（|θ|＜），若f（x+）是偶函数，可得f（x+）=sin（x++θ）为偶函数，即有+θ=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z，|θ|＜，可得θ=，f（）=sin（+）=（+）=，故选：D．由题意可得f（x+）=sin（x++θ）为偶函数，即有+θ=kπ+，k∈Z，求得θ=，代入计算可得所求值．本题考查三角函数的求值，注意运用诱导公式和三角函数的奇偶性，考查运算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2×+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ-，k∈Z，又0＜φ＜π，所以φ=，所以f（x）=cos（2x+）；令2x+∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，解得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）；则f（x）的单调递减区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）．故选：D．由若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，再根据余弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．本题主要考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，其中解题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是基础题目．8.答案：A解析：【分析】本题考查正切函数的图象与性质，确定的值是难点，考查分析、运算能力，属于中档题．由图可知，于是可求得ω，再由图象过，可求得，最后由图象过（0，1），可求得A，于是可得答案．【解答】解：由题知，∴，∴，又∵图象过，∴，,∴，，∵，∴，又∵图象过（0，1），∴，∴，∴，∴，故选：A．9.答案：B解析：解：△ABC中，D是AB边上的一点，且=λ（+），∴CD是△ABC的角平分线，如图所示：又||=1，||=2，与夹角为60°，==+-2||•||•cos60°=1+4-2×1×2×=3，∴||=，∴△ABC是直角三角形；∴==cos30°，∴CD==，即||=．故选：B．根据=λ（+）知CD是△ABC的角平分线，利用余弦定理求出||，判断△ABC是直角三角形，从而求出||的值．本题考查了平面向量的线性运算和余弦定理的应用问题，是基础题．10.答案：B解析：解：对于①，x=时，y=2sin（2×-）=2，∴函数y=2sin（2x-）的一条对称轴是x=，①正确；对于②，根据正切函数的图象与性质知，函数y=tan x的图象关于点（，0）对称，②正确；对于③，若sin（2x1-）=sin（2x2-）=0，则（2x1-）-（2x2-）=2（x1-x2）=kπ，∴x1-x2=，k∈Z，③错误；对于④，函数y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1=-+，sin x=-1，y取得最小值为-1，∴④正确；综上，以上四个命题中错误的是③，只有1个．故选：B．①，计算x=时y的值，即可判断x=是否为三角函数y的一条对称轴；②，根据正切函数的图象与性质，可以判断y=tan x的对称中心；③，根据正弦型函数的图象与性质，求出x1-x2的值；④，根据三角函数与二次函数的图象与性质求得y的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．11.答案：C解析：解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到f（x）的图象，则f（x）=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），由2kπ+≤2x+2φ+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+-φ≤x≤kπ+-φ，k∈Z，若f（x）在（π，）上单调递减，则，得-，即kπ-≤φ≤kπ-，k∈Z，当k=1时，≤φ≤，即φ的取值范围为[，]，故选：C．利用辅助角公式先进行化简，结合函数图象关系，以及函数单调性的性质求出φ的取值范围即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．12.答案：A解析：解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，则N（2-，），M（2-，），∴=（2-）（2-）+=a2-5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．故选：A．建立坐标系，设AN=a，用a表示出，得出关于a的函数，从而得出范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13.答案：-解析：解：∵cos（-α）=，且（-α）+（α-）=-，∴sin（α-）=sin[--（-α）]=-sin[+（-α）]=-cos（-α）=-．故答案为：-．观察得，（-α）+（α-）=-，结合题意，利用诱导公式即可求得sin（α-）．本题考查诱导公式，观察得到（-α）+（α-）=-是关键，考查观察与转化的能力，属于中档题．14.答案：（-，2]解析：解：f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），由于x∈（0，），2x-∈（-，），故当2x-=-时，函数取得最小值为，当2x-=时，函数取得最大值为2，故函数的值域为（-，2]，故答案为：（-，2]．根据x的范围求得2x的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得该函数的值域．本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于中档题．15.答案：解析：解：∵角α终边上的一点P（m，-2m）（m≠0），∴tanα==-，则2+sinα•cosα-cos2α=2+=2+=2-=，故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得2+sinα•cosα-cos2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.答案：y=2sin（x+）解析：解：由题意可知（0，1），（2，1）关于对称轴对称，且对称轴x=1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最大值，且过（1，A），从而可得第二组（1，0）错误由表格知函数的最小值是-2，则A=2，又f（0）=2sinφ=1，即sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，则y=2sin（ωx+），又（2，1），（3，-1）关于（，0）对称，则而函数的周期T=4×（-1）=6，根据周期公式T==6，得ω==，则函数的一个解析式为y=2sin（x+），故答案为：y=2sin（x+）先由（0，1），（2，1）两组的数据的对称轴可知对称轴x=1，且可排除（1，0），然后根据数据建立条件关系求出A，ω和φ的值即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，利用正弦函数的对称性（轴对称、中心对称）求解函数的解析式，解决本题的关键是熟练掌握三角函数性质，要灵活运用三角函数的性质．17.答案：解：（Ⅰ）∵α为第四象限角，cosα=，∴sinα=-=-，∴sin（α+）=sinα+cosα=-×+×=；（Ⅱ）∵α∈（-，0），β∈（0，），∴α-β∈（-π，0），∵cos（α-β）=，∴sin（α-β）=-=-，∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=×+×=．解析：（Ⅰ）由α为第四象限角，利用同角三角函数的基本关系求出sinα，再利用两角和的正弦函数公式计算得答案；（Ⅱ）由α，β的范围，求出α-β的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，然后由cosβ=cos[α-（α-β）]利用两角差的余弦函数公式化简后，代值即可求出cosβ．本题考查了两角和与差的公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）∵=（3，2），=（-2，1），=（2，1），∴=（2k+3，k+2），k=（-2k-3，k-2），∵（+k）∥（k-），∴（2k+3）（k-2）-（-2k-3）（k+2）=0，解得k=0或k=-，∴实数k的值为0或-．（Ⅱ）=（1，3），=（x-2，y-1），∵（+）⊥（-），|-|=，∴，解得x=-1，y=2或x=5，y=0，∴=（-1，2）或=（5，0）．解析：（Ⅰ）利用平面向量坐标运算法则先求出=（2k+3，k+2），k=（-2k-3，k-2），再由（+k）∥（k-），能求出实数k的值．（Ⅱ）利用平面向量坐标运算法则先求出=（1，3），=（x-2，y-1），再由（+）⊥（-），|-|=，能求出．本题考查实数值的求法，考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T=π，∴ω=2．所以f（x）=2sin（2x-）+1令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为[，]．（Ⅱ）依题意得g（x）=f（x-）-1=2sin（2x-），列表得：x0π2x--0πf（x）-020-2-描点（0，-），（，0），（，2），（，0），（，-2），（π，-），连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．解析：（Ⅰ）根据条件求出A，ω的值，即可求函数f（x）的解析式，结合函数的单调性即可求当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，利用五点法进行作图即可．本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．20.答案：解：（Ⅰ）∵点A、B纵坐标分别为、，∴sinα=，sinβ=，∵α为锐角，β为钝角，∴cosα==，cosβ=-=-，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-×-×=-，（Ⅱ）依题意得A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），∵∠AOB=90°，即β=α+90°，∴B（-sinα，cosα），设M（x，0），（x≠0），则=（-x+cosα，s inα），=（-x-sinα，cosα），∵MA⊥MB，∴（-x+cosα）（-x-sinα）+sinα•cosα=0，整理得x2+x（sinα-cosα）=0，（x≠0），∴x=cosα-sinα=cos（α+），（x≠0），∵α∈（0，），，∴α+∈（，），∴cos（α+）∈（-1，1），所以x∈（-1，0）∪（0，1）．解析：本题主要考查三角函数两角和差的余弦公式的应用，以及向量垂直的坐标公式的应用，利用相应的定义和公式是解决本题的关键．（Ⅰ）利用三角函数的定义，结合两角和差的余弦公式进行计算即可；（Ⅱ）若∠AOB=90°，利用向量垂直的坐标公式进行求解即可．21.答案：解：（Ⅰ）∵P点坐标为（，1），||=2，∴A=1，T==4（2-）=6，则ω=，则f（x）=sin（x+φ）．由f（）=sin（+φ）=1，0＜φ＜，得+φ=，即φ=，得f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=f（x-1）=sin（x-+）=sin x，所以h（x）=f（x）+g（x）=sin（x+）+sin x=sin x+cos x+sin x=sin x+cos x=（sin x+cos x）=sin（x+），∵x∈[-1，2]，∴x+∈[-，]，∴当x+=-，即x=-1时，h（x）取得最小值-；当x+=，即x=1时，h（x）取得最大值．解析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数解析式．（Ⅱ）根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式求得函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得h（x）的最值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.答案：解：（Ⅰ）由图知，∴．（1分），．（3分）∴．代入（0，2.5），得，又0＜φ＜π，∴．（5分）综上，，，，B=2．即．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令h（t）=f（t）-g（t），设h（t0）=0，则t0为该企业的停产时间．易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数．由h（11）=f（11）-g（11）＜0，h（12）=f（12）-g（12）＞0，又，则t0∈（11，11.5）．即11点到11点30分之间（大于15分钟）又，则t0∈（11.25，11.5）．即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．（11分）答：估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．（12分）解析：（Ⅰ）根据图象最值求A，B，根据周期求出ω，利用特殊点求出φ的值；（Ⅱ）h（t）=f（t）-g（t），设h（t0）=0，则t0为该企业的停产时间．易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数，确定t0∈（11.25，11.5）．即可得出结论．本题考查三角函数图象与性质，考查三角函数解析式的确定，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2018-2019高一下学期期中考试数学试卷(20201013195936)
2
D.
2
3．已知
，则
1
的值为
cos
sin
6
3
3
A. 1 3
B. 1 3
C. 2 2 3
4．设 a ， b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是 ( )
A．若 |a ＋b| ＝ |a |－ | b |，则 a ⊥ b
B．若 a ⊥b，则 |a ＋b| ＝ |a |－ |b |
C．若 |a ＋ b|＝ |a |－ | b| ，则存在实数 λ ，使得 a＝ λ b
其中真命题的序号为 ________． ( 写出所有真命题的序号 )
15. 函数 y 1 的图象与函数 y 2 sin x( 2 x 4) 的横坐标之和等于 ______． 1x
16． 设 D , E 分别是△ ABC的边 AB，BC上的点，AD= 1 AB，BE= 2 BC，若 DE
2
3
1 AB
2 AC
（ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期及函数 f (x) 的单调递增区间；
0, （II ）求函数 f ( x) 在 2 上的最值。
20. 已知 | a | 2 ， |b | 1 ， a 与 b 的夹角为 ． 4
( Ⅰ) 求 | a 2b | ；
( Ⅱ ) 若 a b 与 a b 的夹角为钝角，求实数 的取值范围 .
1
∵ a 与 b 不共线，∴
得
1，
∵ a b 与 a b 的夹角为钝角，
∴3 5 2
35
且
1，
2
即3 5 2
1或 1
35
． …… 12 分
2
21. 解：
所以
．………３分 的最大值为 1，最小正周期为
2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题解析版
2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题一、单选题1．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >【答案】D【解析】代入特殊值可探究A,B,C 三个选项是否正确，通过作差法得()23321324a b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，结合已知条件，即可判断33,a b 的大小关系.【详解】A ：例如当0,1,0,1a b c d ==-==-，,a b c d >>成立，但是ac bd >不成立，故A 错误.B ：当0c时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：当2,1a b =-=-时，0a b <<成立，但11112a b-=>=-，故C 错误. D ：()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为a b >，所以()0a b ->，又2213024a b b ⎡⎤⎛⎫++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以330a b ->，即33a b >.故选:D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}2|230B x x x =--<，则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0--【答案】B【解析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可. 【详解】由B 中不等式变形得：()()310x x -+<，解得：13x，即()1,3B =-，∵{}2,1,0,1,2,3A =--， ∴{}0,1,2AB =，故选：B . 【点睛】此题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3．在ABC 中，若BC =sin 2sin C A =，则(AB = )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由sin 2sin C A =利用正弦定理可得2AB BC =，结合BC =可得结果．【详解】利用正弦定理化简sin 2sin C A =，得：2AB BC =，5BC =AB ∴=A ．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4．在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（ ） A ．22 B ．-22C ．16D ．-16【答案】C【解析】由数列的递推关系，带入1a ，2a ，即可求出3a ，再将23,a a 带入，即可求出4a ． 【详解】令2n =，则32120a a a ++=，又12a =，24a =，所以310a =-；再令3n =，则43220a a a ++=，所以416a =，故选C【点睛】本题考查数列的递推公式，对n 赋值，求解数列中的项，属于简单题．5．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2A π=，从而可得结果.详解：ABC ∆中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥， 则()sin 1sin A B B A ⎡⎤-+=≥⎣⎦，sin 1A ∴=， 2A π=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. 7．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．13【答案】A【解析】由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以4561116a q a q a q =+，化简整理可求出q 的值．【详解】由题意知56723a a a =⨯+，又{}n a 为正项等比数列，所以4561116a q a q a q =+，且0q >，所以260q q +-=，所以2q或3q =-（舍），故选A本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．8．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞【答案】A【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出,a b 的值，故不等式20x bx a --<即为2560x x -+<，从而可求其解，从而得到正确的选项． 【详解】∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩.∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<， ∴不等式的解集为()2,3. 故选：A . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.本题属于基础题． 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ） A ．1y=x+xB ．1πy=cosx+(0<x<)cosx 2C．2D ．xx4y=e +2e －【解析】试题分析：时，，故A 错；∵，∴，∴中等号不成立，故B 错；∵，∴22x +22x +2≥中等号也取不到，故C 错；故选D.【考点】基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅【答案】A【解析】先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】解：∵()*12n n n a S n N n++=∈，∴12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，111n n n a S n --=+，② ①－②有1121n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时21113261a S a =+==，故21232a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，∴121n na n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】对任意正整数n ，都有n k a a ≥，k a 为数列{}n a 中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前n 项和公式，即可得出结论. 【详解】等差数列{}n a 中，1202010101021102020200()1010()2S a a a a ==+>+12021202111010100111011112021()0,20210,02a a S a a a a +>==<+<∴，∴101010101011min 101100,||n a a a a a >>->=，，所以对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为1011 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.12．在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A ．B C D ．32【答案】B【解析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯，当且仅当tan B =时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】【详解】试题分析：1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=，()13133121334345555555x y x y x y y x y x⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 【考点】基本不等式14．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．【答案】52-. 【解析】分离参数，将问题转化为求函数()1f x x x=--最大值的问题，则问题得解. 【详解】不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，等价于1a x x ≥--对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立．设1()f x x x=--，则max ()a f x ≥． 因为函数()f x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以max 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-． 故答案为：5—2. 【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.15．在ABC 内角,,A B C 的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为______.【答案】3【解析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，由22223a b c +=得：22223a b c +=由余弦定理得222222222223cos 22663a b a b a b c a b C ab ab ab ab ++-+-+===≥= 当且仅当222a b =，即b =时取等号故答案为3【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______.【答案】2020-【解析】用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=⋅，变形可得1111n n S S +-=-，说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值. 【详解】11n n n a S S ++=-，1111111n n n n nS S a S S ++⎛⎫∴-== ⎪-⎝⎭，整理可得11n n n n S S S S ++-=⋅， 则111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n n S S +-=-， 所以，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111nn n S ∴=-+-⋅-=-+，则201912020S =-. 故答案为：2020-. 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. （1）求B 的大小．（2）若a =，5c =，求b . 【答案】（1）π6B =；（2）b =【解析】（1）由正弦定理，可得sin 2sin sin A B A =，进而可求出sin B 和角B ； （2）利用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即可求出b . 【详解】（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，因为sin 0A ≠，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以π6B =． （2）由余弦定理，可得2222cos 272525524572b ac ac B =+-=+-⨯⨯=-=，解得b =． 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =-；（2）21n n T =-.【解析】（1）求{}n a 的通项公式，可先由22a =，58a =求出公差首项，再出通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，利用等比数列的通项公式可求首项1b 及公比q ，代入等比数列的前n 项和公式可求n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵22a =，58a =，∴12a d +=，148a d +=解得10a =，2d =. ∴数列{}n a 的通项公式()1122n a a n d n =+-=-. （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 由（1）知22n a n =-，11b =，223466b b a q q +==⇒+=，∴1q ≠， ∴2q或3q =-（舍去），∴{}n b 的前n 项和122112nn n T -==--.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n 项和的求解，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，*n N ∈. （1）求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析，12n na ；（2）n T =21nn +. 【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，① 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，② ①－②得：12n n a a -=. 由于0n a ≠，当1n =时，11121a S a ==-，即11a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n na .（2）22log 21n n b a n ==-，则：111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+11111111112335212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且3AD =，6CD =，2cos 3B =.（1）求ACD △的面积； （2）若6AB =，求BC 的长. 【答案】（1）45（2）429+【解析】（1）根据2cos 3B =，0B π<<，sin B ，再根据2D B ∠=∠，求得sin D ，然后结合3AD =，6CD =，由1sin 2ACD S AD CD D ∆=⋅⋅求解.（2）由（1）求得cos D ，然后利用余弦定理求得AC ，设BC x =，结合6AB =，利用余弦定理，由222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅求解.【详解】 （1）2cos 3B =，0B π<<， 5sin 3B ∴=， 又2D B ∠=∠，45sin sin22sin cos D B B B ∴===1145sin 364522ACD S AD CD D ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=. （2）由（1）得221cos cos2cos sin 9D B B B ==-=-， 由余弦定理可得2212cos 93623679AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=，设BC x =，6AB =，222222672cos 2263AB BC AC x B AB BC x +-+-===⋅⨯⨯∴，整理得28130x x --=， 解得429x =+或429x =-（舍去）.BC ∴的长为429+.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？【答案】（1）2412(1)x y x -=-（x ＞ 1）；（2）74x =时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低． 【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式24122x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞.(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.试题解析：（1）在BCF ∆中,,30,CF x FBC CF BF =∠=︒⊥,所以2BC x =.在ABC ∆中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠， 即 222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-⋅⋅︒，所以 24122x y x -=-（. 由AB AC BC -<， 得121,2x x >>. 又因为241022x y x -=>-（，所以1x >.所以函数24122x y x -=-（的定义域是(1,)+∞. (2)30(21)40y x =⋅-+ .因为24122x y x -=-（（1x >）， 所以24130(21)4022x M x x -=⋅⋅-+-（即 212310(4-1)1x M x x -=⋅+-（）.令1,t x =-（则. 于是，由基本不等式得，当且仅当34t =（，即74x （=时取等号. 答：当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()122n n S a n N *=-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围. 【答案】（1）22n n a -=，21n b n =-；（2）()132322n n T n -=+-；（3）(,22-∞. 【解析】（1）由1n =求得112a =，当2n ≥时，通过122n n S a =-与11122n n S a --=-作差，进而整理可知数列{}n a 是首项为112a =、公比为2的等比数列，通过将点()1,n n P b b +代入直线20x y -+=计算可知120n n b b +-+=，进而整理可求得数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法可求得n T ；（3）通过（1）及作商法计算可知数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，进而问题转化为求12λλ+的最小值，利用基本不等式计算即得结论.【详解】（1）对任意的n *∈N ，122n n S a =-. 当1n =时，11122S a =-，即112a =； 当2n ≥时，由122n n S a =-可得11122n n S a --=-， 两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，12n n a a -∴=，则12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为112a =，公比为2的等比数列，121222n n n a --∴=⨯=. 又点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，120n n b b +∴-+=，12n n b b +∴-=，又11b =，所以，数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，()12121n b n n ∴=+-=-；（2）()()2*212n n n n c a b n n N -=⋅=-∈，()21113252212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-，()()2212112325223221n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，两式相减得：()()2211212222212n n n T n ---=++++⋅⋅⋅+-- ()()111112322212322122n n n n n ----=+⨯--=-+--， ()132322n n T n -=+-； （3）由（1）知当1n ≥，222212n n n b n a --=，则()()()12212212112122n n n n n b n a ++-++-+==，12222222121210221421n n n n n nb a n n b n n a +-+++=⋅=⋅>--， 令()2122121212121n n n x n n n -++===+---，则数列{}n c 为单调递减数列，103n c c ∴<≤=，则1222121314214n n n nb a n b n a +++=⋅≤<-， 所以，数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，当1n ≥时，1221n n b b a a ≤=，即2n n b a 最大值为1， 由2221k λλ-+>可得221k λλ<+，12k λλ<+，而当0λ>时，12λλ+≥=λ=时取等号，k ∴< 因此，实数k的取值范围是(,-∞. 【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.。
福建省莆田第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理
福建省莆田第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数1a iz i+=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为 （ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法，将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数a 的值.【详解】()()()()()()11111111222a i i a a i a i a az i i i i +-++-++-====+++-Q ， 由于复数z 的实部与虚部相等，则1122a a+-=，解得0a =，故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念，解题的关键在于将复数利用四则运算法则将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，考查运算求解能力，属于基础题.2.用数学归纳法证明等式()21*111,1nn a a a a a n N a--++++=≠∈-L ，在验证1n =成立时，左边需计算的项是（ ） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D.231a a a +++【答案】A 【解析】 【分析】将1n =代入等式左边可得出结果.详解】当1n =时，等式左边1=，故选：A.【点睛】本题主要考查数学归纳法证明等式的问题，考查对数学归纳法基本概念的理解，属3.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（ ） A.5960B.35C. 12D.160【答案】B 【解析】 【分析】计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的概率.【详解】记事件:A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为:A 三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得()11121113455P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由对立事件的概率公式可得()()231155P A P A =-=-=，故选：B. 【点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.4.某校“数学月”活动记录了4名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间x （分钟）与月考成绩增加分数y （分）的几组对应数据：根据表中提供的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为0.80.35y x =+$，则表中m 的值为（ ） A. 4.8 B. 4.35C. 4.15D. 4【答案】A【分析】计算出样本数据的中心点(),x y 的坐标，将该点的坐标代入回归直线方程可解出m 的值. 【详解】由表格中的数据得3456 4.54x +++==，2451144m m y ++++==，所以，样本数据的中心点为114.5,4m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，将该点坐标代入回归直线方程得110.8 4.50.354m +=⨯+，解得 4.8m =，故选：A. 【点睛】本题考查利用回归直线方程计算原始数据，解题的关键就是利用回归直线过样本的中心点这一结论，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知随机变量8X η+=，若()~10,0.6X B ，则随机变量η的均值()E η及方差()D η分别为（ ） A. 6和2.4 B. 2和2.4C. 2和5.6D. 6和5.6【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用数学期望和方差的基本性质求出()E η和()D η的值.【详解】()10,0.6X B Q :，由二项分布的数学期望公式得()100.66E X =⨯=， 由二项分布的方差公式得()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=，8X η+=Q ，8X η∴=-，则()()()88862E E X E X η=-=-=-=，()()8 2.4D D X DX η=-==，故选：B.【点睛】本题考查二项分布的数学期望与方差的计算，同时也考查了数学期望与方差的性质，解题的关键在于利用二项分布的期望与方差的公式进行计算，属于中等题. 6.设()()()()52501252111x a a x a x a x -=+++++++L ，则125a a a +++=LA. 275-B. 211-C. 211D. 275【答案】C 【解析】 【分析】先令1x =-得出0a 的值，再令0x =得出0125a a a a ++++L ，于此得出()12501250a a a a a a a a +++=++++-L L 的值.【详解】()()()()52501252111x a a x a x a x -=+++++++Q L ，()550123243a ∴=--=-=-，令0x =，可得()50125232a a a a ++++=-=-L ， 因此，()()1250125032243211a a a a a a a a +++=++++-=---=L L ，故选：C.【点睛】本题考查二项式系数之和的计算，常利用赋值法来求解，常用的赋值如下： 设()2012nn f x a a x a x a x =++++L .则（1）()00a f =；（2）()0121n a a a a f ++++=L ；（3）()()1210n a a a f f +++=-L .7.设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A. 都小于2 B. 至少有一个不大于2 C. 都大于2 D. 至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112226x y z x y z≥⋅+⋅+⋅=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n 个图形是由()2n n N *+∈边扩展而来，则第n 个图形的顶点个数为（ ）A. ()()2122n n ++B. ()()23n n ++C. ()251n n +D. ()322n +【答案】B 【解析】 【分析】设第n 个图形的顶点个数为n a ，根据图形计算出1a 、2a 、3a 、4a ，然后归纳出数列{}n a 的通项公式可得出结果.【详解】设第n 个图形的顶点个数为n a ，由图形可知11234a ==⨯，22045a ==⨯，33056a ==⨯，44267a ==⨯， 猜想()()23n a n n =++，因此，第n 个图形的顶点个数为()()23n n ++，故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时就是要通过写出前几项来归纳出一般规律，这类问题一般要求从特殊到一般，考查推理能力，属于中等题.9.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（）A. 38B.49C.916D.932【答案】C【解析】【分析】先求出3名教师去4个国家的总的可能性，再求2名教师选择同一国家的可能性，代入公式，即可求解。
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2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题.1．若直线x＝2019的倾斜角为a，则a（）A．等于0°B．等于180°C．等于90°D．等于2019°2．如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝1，则△AOB的边OB上的高为（）A．4√2B．4C．2√2D．24．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．05．已知三点A（1，2，1）、B（1，5，1）、C（1，2，7），则（）A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形6．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（﹣4，2）作圆O两条切线，切点分别为A，B，则圆O 上有（）个点到直线AB的距离为1．A．1B．2C．3D．47．已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A ．14B ．√24C ．√34D ．12 8．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10√6B ．20√6C ．30√6D ．40√69．平行于直线2x ﹣y +1＝0且与圆x 2+y 2＝5相切的直线的方程是（ ）A ．2x ﹣y +5＝0B ．2x ﹣y ﹣5＝0C ．2x +y +5＝0或2x +y ﹣5＝0D ．2x ﹣y +5＝0或2x ﹣y ﹣5＝010．已知S ﹣ABC 三棱锥，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，SB ＝SC ＝2，该三棱锥的外接球半径是32，则三棱锥S ﹣ABC 四个表面中最大的面积是（ ） A ．2 B ．1 C ．2√6 D ．√611．已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上动点，P 是x 轴上动点，则|PN |﹣|PM |的最大值是（ ）A ．5√2+4B ．√2C ．5√2D ．√2+412．已知长方形的四个顶点：A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1）．一质点从点A 出发，沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3、P 4（入射角等于反射角）．设P 4的坐标为（x 4，0），若1＜x 4＜2，则tan θ的范围是（ ）A ．(13，12)B ．(13，25)C ．(25，12)D ．(25，23) 二、填空题（共有4个小题，每题3分，共12分）13．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为 ． 14．若直线mx ﹣（m +2）y +2＝0与3x ﹣my ﹣1＝0互相垂直，则点（m ，3）到y 轴的距离为 ．15．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围 ．16．如图，四面体OABC 的三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，OA ＝OB ＝2，OC ＝3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是．三、解答题（共6个小题，共52分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.）17．△ABC的边AB边上的中线CM所在直线的方程为x+y＝0，AC上的高所在直线方程分别为2x﹣3y+1＝0，顶点A（2，1）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求顶点C的坐标．18．求过A（0，5）与直线x﹣2y＝0和2x+y＝0都相切的圆．19．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为AB，AD的中点，现△ADE 将沿DE折起，得四棱锥A﹣BCDE．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FACE的体积．20．已知点P（2，﹣2），圆C：x2+y2﹣8x＝0，过P的动直线l与⊙C交A，B两点，线段AB中点为M，O为坐标原点．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程以及△POM面积．21．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1＝1：2．（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）22．已知圆C经过点A（3，3）、B（2，4），并且直线m：2x﹣y﹣1＝0平分圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点D（2，0），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（i）求实数k的取值范围；（ⅱ）若OM→⋅ON→=13，求k的值．参考答案一、选择题（共有12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有项符合题意）1．若直线x＝2019的倾斜角为a，则a（）A．等于0°B．等于180°C．等于90°D．等于2019°【分析】由直线x＝2019垂直于x轴，即可得到直线的倾斜角．解：∵直线x＝2019垂直于x轴，∴直线的倾斜角为：90°，故选：C．【点评】本题主要考查了与x轴垂直的直线的倾斜角，是基础题．2．如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直线Ax+By+C＝0化为：y=−AB x−CB．由AC＜0，BC＞0，对C分类讨论即可得出．解：直线Ax+By+C＝0化为：y=−AB x−CB．∵AC＜0，BC＞0，假设C＞0，则B＞0，A＜0．∴−AB＞0，−CB＜0．则直线Ax+By+C＝0不通过第二象限．假设C＜0，则B＜0，A＞0．∴−AB＞0，−CB＜0．则直线Ax+By+C＝0不通过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了直线斜率与截距的意义、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝1，则△AOB的边OB上的高为（）A ．4√2B ．4C ．2√2D ．2【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2√2，列方程求出结果． 解：在x ′o ′y ′坐标系下△A ′O ′B ′的面积为S ′=12O ′B ′•O ′A ′=12O ′B ′； 根据水平放置的平面图形的直观图画法知，在xOy 坐标系下△ABC 的面积为S =12OB •h ；由S ＝2√2S ′，且O ′B ′＝OB ，所以h ＝2√2，即OB 边上的高为2√2．故选：C ．【点评】本题考查了平面图形的直观图画法与有关计算问题，熟记平面图形的直观图与原图形的面积比，是解题的关键．4．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n ．其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【分析】根据空间中平面平行的判定方法，平面平行的性质定理，线面平行的性质定理，我们逐一对已知中的三个命题进行判断，即可得到答案．解：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m ，故①错误；②中l 与m 也可能异面，故②错误；③中{l ∥yl ⊂ββ∩γ}⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，故③正确．故选：C ．【点评】本题考查的知识点是平面与平面 之间人位置关系判断，及空间中直线与平面之间的位置关系判断，熟练掌握空间中线面之间关系判定的方法和性质定理是解答本题的关键．5．已知三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7），则（ ）A ．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形【分析】先利用两点间距离公式分别求出AB，AC，BC的长，再由勾股定理得到三点构成直角三角形．解：∵三点A（1，2，1）、B（1，5，1）、C（1，2，7），∴AB=√(1−1)2+(2−5)2+(1−1)2=3，AC=√(1−1)2+(2−2)2+(1−7)2=6，BC=√(1−1)2+(5−2)2+(1−7)2=3√5，∴AB2+AC2＝BC2，∴三点构成直角三角形．故选：B．【点评】本题考查三点构成的三角形的形状的判断，考查两点间距离公式、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（﹣4，2）作圆O两条切线，切点分别为A，B，则圆O 上有（）个点到直线AB的距离为1．A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可得切点AB的坐标，进而求出直线AB的方向，求出圆心到直线AB的距离小于半径的一半，所以由4个点到直线AB的距离为1．解：已知圆O：x2+y2＝4，过点P（﹣4，2）作圆O两条切线，切点分别为A，B可得A （0，2），设B的坐标为：（a，b），则a2+b2＝4，且ba⋅b−2a+4=−1，解得a=−85，b=−65，即B（−85，−65），所以直线AB的方程y=2+6585x+2，即2x﹣y+2＝0，所以圆心到直线AB的距离d=2√51，半径为2，所以2﹣d＞1，所以有两条平行线到直线AB的距离为1，且两条平行线与圆有都有2个交点，所以圆上有4个点到直线的距离为1，故选：D．【点评】本题考查过一点与圆相切的直线切点坐标及点到直线的距离公式，属于中档题． 7．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．12 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．解：如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做AF ∥CD ，过点E 做EF ⊥AE ，连接BF ，∵AE ⊥l∴∠EAC ＝90°∵CD ∥AF又∠ACD ＝135°∴∠FAC ＝45°∴∠EAF ＝45°在Rt △BEA 中，设AE ＝a ，则AB ＝2a ，BE =√3a ，在Rt △AEF 中，则EF ＝a ，AF =√2a ，在Rt △BEF 中，则BF ＝2a ，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF ，∴cos ∠BAF =AB 2+AF 2−BF 22AB⋅AF =(2a)2+(√2a)2−(2a)22×2a×2a =√24． 故选：B ．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．8．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10√6B ．20√6C ．30√6D ．40√6【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝2√52−12=4√6，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |=12×10×4√6=20√6． 故选：B ．【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．9．平行于直线2x ﹣y +1＝0且与圆x 2+y 2＝5相切的直线的方程是（ ）A ．2x ﹣y +5＝0B ．2x ﹣y ﹣5＝0C ．2x +y +5＝0或2x +y ﹣5＝0D ．2x ﹣y +5＝0或2x ﹣y ﹣5＝0【分析】根据两条直线平行的条件设出所求直线的方程，然后根据直线与圆相切利用圆心到直线的距离等于半径列出关于m 的方程，解出m 的值即可得到所求直线的方程． 解：设圆切线为2x ﹣y +m ＝0，则圆心（0，0）到2x ﹣y +m ＝0的距离d =√2+(−1)=r =√5，即|m |＝5，解得m ＝5或m ＝﹣5，所以所求切线方程为2x ﹣y +5＝0或2x ﹣y ﹣5＝0故选：D ．【点评】此题考查学生掌握两直线平行时解析式的关系及直线与圆相切时的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．10．已知S ﹣ABC 三棱锥，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，SB ＝SC ＝2，该三棱锥的外接球半径是32，则三棱锥S ﹣ABC 四个表面中最大的面积是（ ） A ．2 B ．1 C ．2√6 D ．√6【分析】如图所示，设SA ＝x ，根据SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，SB ＝SC ＝2，该三棱锥的外接球半径是32，可得2+22+22=2×32，解得x ．进而判断出：三棱锥S ﹣ABC 四个表面中最大的面积是侧面△ACB ．利用三角形面积计算公式即可得出．解：如图所示，设SA ＝x ，∵SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，SB ＝SC ＝2，该三棱锥的外接球半径是32， ∴√x 2+22+22=2×32，解得x ＝1． 可得：三棱锥S ﹣ABC 四个表面中最大的面积是侧面△ACB ．S △ACB =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6， 故选：D ．【点评】本题考查了三棱锥、长方体的性质、外接球，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上动点，P 是x 轴上动点，则|PN |﹣|PM |的最大值是（ ）A ．5√2+4B ．√2C ．5√2D ．√2+4【分析】分别求出圆C 1，圆C 2的圆心和半径，由于|PN |﹣|PM |≤（|PC 2|+3）﹣（|PC 1|﹣1）＝4+|PC 2|﹣|PC 1|≤|C 1C 2|+4求解．解：圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1的圆心为C 1：（2，3），半径等于1，C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝9的圆心C 2（3，4），半径等于3，则|PN |﹣|PM |≤（|PC 2|+3）﹣（|PC 1|﹣1）＝4+|PC 2|﹣|PC 1|．则4+|PC 2|﹣|PC 1|≤|C 1C 2|+4＝4+√(3−2)2+(4−3)2=4+√2．故选：D ．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，考查求直线上的动点与与两定点距离差的最值问题，属于中档题．12．已知长方形的四个顶点：A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1）．一质点从点A 出发，沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3、P 4（入射角等于反射角）．设P 4的坐标为（x 4，0），若1＜x 4＜2，则tan θ的范围是（ ）A ．(13，12)B ．(13，25)C ．(25，12)D ．(25，23) 【分析】本题可以画出图形，由∠P 1AB ＝θ，利用对称性得到角的关系∠P 1P 2C ＝∠P 3P 2D ＝∠AP 4P 3＝θ，然后利用三角函数来解答，可以设P 1B ＝a ，得到这些角的三角函数值关于a 的关系式，再由P 4的坐标为（x 4，0）以及1＜x 4＜2，可解得tan θ的取值范围． 解：设P 1B ＝a ，∠P 1AB ＝θ，则CP 1＝1﹣a ，∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，∴tan θ=P 1B AB =a 2， 又tan θ=CP 1CP 2=1−a CP 2=a 2， ∴CP 2=2−2a a=2a −2． 而tan θ=DP3DP 2=DP 32−(2a −2)=DP 34−2a=a 2， ∴DP 3＝2a ﹣1．又tan θ=AP 3AP 4=1−(2a−1)AP 4=2−2a AP 4=a 2， ∴AP 4=4−4a a=4a −4． 依题设1＜AP 4＜2，即1＜4a−4＜2， ∴5＜4a＜6， 即有23＜a ＜45，则13＜tan θ＜25， 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的概念以及利用三角函数解答相关问题的能力，轴对称图形的应用，对解不等式及不等式思想的考查等内容，属于中档题．二、填空题（共有4个小题，每题3分，共12分）13．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为 34 ．【分析】确定底面圆的半径之比，可得圆柱与圆锥的底面积之比，即可求出圆柱与圆锥的体积之比．解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥＝1：2，所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4．故答案为：3：4．【点评】本题考查圆柱与圆锥的体积之比，圆柱体积公式和圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．若直线mx ﹣（m +2）y +2＝0与3x ﹣my ﹣1＝0互相垂直，则点（m ，3）到y 轴的距离为 0或5 ．【分析】对m 的值分两种情况讨论，分别求出m 的值，而点（m ，3）到y 轴的距离为|m |，从而求解此题．解：直线mx ﹣（m +2）y +2＝0与3x ﹣my ﹣1＝0互相垂直，①当m ＝0时，直线方程为：y ＝1与x =13，两直线互相垂直，符合题意；②当m ≠0时，两直线方程可化为：y =m m+2x +2m+2 与y =3m x −1m ， ∵两直线互相垂直，∴m m+2⋅3m =−1，解得：m ＝﹣5，综上所求，m ＝0或﹣5，∴点（m ，3）到y 轴的距离为|m |＝0或5，故答案为：0或5．【点评】本题主要考查了两直线互相垂直的位置关系，是基础题．15．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围 (43，2] ．【分析】将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，﹣2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x ＝1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k 的变化，再结合计算即可得到实数k 的取值范围．解：直线kx ﹣y ﹣2＝0化成y ＝kx ﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2），而曲线C ：√1−(y −1)2=x −1，可变形整理为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1） ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x ＝1右侧的部分设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k 1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k 2．可得当直线kx ﹣y ﹣2＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k 满足k 1＜k ≤k 2． 由点（1，1）到直线kx ﹣y ﹣2＝0的距离d =√k +1=1，解得k 1=43， 而k 2=−2−00−1=2，由此可得43＜k ≤2． 故答案为：（43，2]．【点评】本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k 的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16．如图，四面体OABC 的三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，OA ＝OB ＝2，OC ＝3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是③④．【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB＝AD＝BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD＝AB，AD＝BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等；对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD＝r，可判定④的真假．解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝3，∴AC＝BC=√13，AB=2√2当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD＝3，AD＝BD＝2，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确；对于②，由①知AC＝BC=√13，AB=2√2，使AB＝AD＝BD，此时存在点D，CD=√13，使四面体C﹣ABD是正三棱锥，故②不正确；对于③，取CD＝AB，AD＝BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；对于④，先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD＝r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故答案为：③④．【点评】本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共52分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.） 17．△ABC 的边AB 边上的中线CM 所在直线的方程为x +y ＝0，AC 上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y +1＝0，顶点A （2，1）．（Ⅰ）求AC 边所在的直线方程；（Ⅱ）求顶点C 的坐标．【分析】（Ⅰ）利用互相垂直的直线的斜率关系，求出AC 边所在的直线的斜率，再利用点斜式即可得到AC 边所在的直线方程；（Ⅱ）联立中线CM 所在直线的方程与AC 边所在的直线方程，即可求出顶点C 的坐标． 解：（I ）∵AC 上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y +1＝0，∴AC 边所在的直线的斜率为−32，又顶点A （2，1），∴AC 边所在的直线方程为：y ﹣1=−32（x ﹣2），即3x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）∵中线CM 所在直线的方程为x +y ＝0，AC 边所在的直线方程为3x +2y ﹣8＝0；联立方程{x +y =03x +2y −8=0，解得{x =8y =−8， ∴顶点C 的坐标（8，﹣8）．【点评】本题主要考查了互相垂直的直线的斜率关系，以及直线方程的点斜式，考查了两直线的交点坐标，是中档题．18．求过A （0，5）与直线x ﹣2y ＝0和2x +y ＝0都相切的圆．【分析】由题意，设圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，则有{ a 2+(5−b)2=r 25=r 5=r ，从而解出即可．解：设圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，则由题意可得，{ a 2+(5−b)2=r 2|a−2b|√5=r|2a+b|5=r ，解得， {a =1b =3r =√5或{a =5b =15r =5√5，则圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝5，或（x ﹣5）2+（y ﹣15）2＝125．【点评】本题考查了圆的标准方程的应用，属于中档题．19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，现△ADE 将沿DE 折起，得四棱锥A ﹣BCDE ．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积．【分析】（1）取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB ，推导出四边形BEFM 为平行四边形，从而EF ∥BM ，由此能证明EF ∥平面ABC ．（2）推导出CE 为三棱锥C ﹣EFD 的高，由此能求出四面体FACE 的体积V =13×S △EFA ×CE ．由此能求出结果． 【解答】证明：（1）取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB ，∵F 是AD 的中点，∴MF ∥CD ，且MF =12CD ， 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴BE ∥CD ，且BE =12CD ，∴MF ∥BE ，且MF ＝BE ，∴四边形BEFM 为平行四边形，故EF ∥BM ，又EF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ．解：（2）在折叠前，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2√2，又∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝90°，又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C﹣EFD的高，∵F为AD的中点，∴S△EFA=12×12×AD×AE=14×2×2=1，∴四面体FACE的体积V=1×S△EFA×CE=13×1×2√2=2√23．3【点评】本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．已知点P（2，﹣2），圆C：x2+y2﹣8x＝0，过P的动直线l与⊙C交A，B两点，线段AB中点为M，O为坐标原点．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程以及△POM面积．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），求出圆心C的坐标，利用CM→⋅MP→=0即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由（I）可知M的轨迹是以点N（3，﹣1）为圆心，以√2为半径的圆，显然P在圆N上，利用ON⊥PM，得到直线l的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理，即可求出△POM面积．解：（I）圆C的方程可化为：（x﹣4）2+y2＝16，所以圆心C（4，0），半径为4，设M（x，y），则CM→=（x﹣4，y），MP→=(2−x，2−y)，则由条件知，CM→⋅MP→=0，故（x﹣4）（2﹣x）+y（2﹣y）＝0，即（x﹣3）2+（y+1）2＝2．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣3）2+（y+1）2＝2；（Ⅱ）由（I）可知M的轨迹是以点N（3，﹣1）为圆心，以√2为半径的圆．又|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，显然P在圆N上，从而ON⊥PM，又K ON=−13，所以直线l的斜率为3，故直线l的方程为3x﹣y﹣8＝0，又|OP|=|OM|=2√2，O到l的距离为0−0−810=4√105，由勾股定理可得|PM|=4√105，所以△POM面积是12×4√105×4√105=165．【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与圆的位置关系，是中档题．21．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1＝1：2．（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）【分析】（Ⅰ）连结A1C1，推导出B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，从而B1D1⊥平面A1C1C，由此能证明B1D1⊥A1F．（Ⅱ）当AE ：EB ＝1：2时，过点F 在平面BCC 1B 1作FG ∥BC ，交BB 1于点G ，连结A 1G ，交B 1E 于点H ，推导出A 1G ⊥B 1E ，FG ⊥B 1E ，从而B 1E ⊥面A 1FG ，B 1E ⊥A 1F ，再由B 1D 1⊥A 1F ，能证明A 1F ⊥平面B 1D 1E ．（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面A 1B 1C 1D 1上运动，总能使BP 与A 1F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度为√23． 【解答】证明：（Ⅰ）连结A 1C 1，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1是正方形， ∴B 1D 1⊥A 1C 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∵A 1F ⊂面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1F ．解：（Ⅱ）当AE ：EB ＝1：2时，直线A 1F ⊥平面D 1B 1E ．证明如下：过点F 在平面BCC 1B 1作FG ∥BC ，交BB 1于点G ，连结A 1G ，交B 1E 于点H ，∵CF ：FC 1＝1：2，∴BG ：GB 1＝1：2，在Rt △A 1B 1G 与Rt △B 1BE 中，B 1G ＝BE ，A 1B 1＝B 1B ，∴△A 1B 1G ≌△B 1BE ，∠B 1A 1G ＝∠BB 1E ，又∠B 1A 1G +∠A 1GB 1＝90°，∴∠BB 1E +∠A 1GB 1＝90°，∴∠B 1HG ＝90°，∴A 1G ⊥B 1E ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CB ⊥面ABB 1A 1，∴FG ⊥B 1E ，又A 1G ∩FG ＝G ，∴B 1E ⊥面A 1FG ，∴B 1E ⊥A 1F ，又B 1D 1⊥A 1F ，B 1D 1∩B 1E ＝B ，∴直线A 1F ⊥平面B 1D 1E ．（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面A 1B 1C 1D 1上运动，总能使BP 与A 1F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度为√23．【点评】本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查轨迹长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知圆C 经过点A （3，3）、B （2，4），并且直线m ：2x ﹣y ﹣1＝0平分圆C ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若过点D （2，0），且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ． （i ）求实数k 的取值范围；（ⅱ）若OM →⋅ON →=13，求k 的值．【分析】（1）由已知求出AB 的中垂线方程，再由圆C 经过A 、B 两点，可得圆心在线段AB 的中垂线上．联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可求；（2）写出直线l 的方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离．（i ）由得到直线的距离小于半径即可求得k 的范围；（ⅱ）令m =1k，则直线方程可写成：x ＝my +2．联立直线方程与圆的方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量的数量积运算求解k 值．解：（1）线段AB 的中点E(52，72)，k AB =4−32−3=−1， 故线段AB 的中垂线方程为y −72=x −52， 即x ﹣y +1＝0．∵圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又∵直线m ：2x ﹣y ﹣1＝0平分圆C ，∴直线m 经过圆心．联立{x −y +1=02x −y −1=0，解得圆心的坐标为C （2，3），而圆的半径r ＝|CB |＝1， ∴圆C 的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．（2）直线l 的方程为kx ﹣y ﹣2k +1＝0．圆心C 到直线l 的距离d =√k +1． （i ）由题意得，当d =|2k−3+1−2k|√k +11，两边平方整理得：k 2＞8，即k ＜−2√2或k ＞2√2．∴k 的取值范围为：(−∞，−2√2)∪(2√2，+∞)；（ⅱ）令m =1k，则直线方程可写成：x ＝my +2．联立{x =my +2(x −2)2+(y −3)2=1，得：（1+m 2）y 2﹣6y +8＝0， 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则由根与系数的关系可得：y 1+y 2=81+m 2，y 1y 2=61+m 2， 而x 1x 2=(my 1+2)(⋅my 2+2)=(1+m 2)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4，∴OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=12+2m 1+m 2， 故有12+2m 1+m 2=13， 整理（m ﹣1）2＝1，解得m ＝1．经检验知，此时有△＞0，∴m ＝1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。