微分中值定理与导数的应用.doc
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第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 中值定理（2课时）
要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件
（1）在闭区间],[b a 上连续；
（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =．
则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等
于零，即0)(='ξf ．
几何解释
设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，
AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个
端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．
例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．
)2
(2
4
2
)
(-
=
-
=
'x
x
x
f
且0
)3(
)1(=
=f
f
函数)
(x
f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得
)2
(2
)
(=
-
=
'ξ
ξ
f，
于是)3,1(
2∈
=
ξ．
故确实在区间)3,1(内至少存在一点2
=
ξ使得0
)2(=
'f，结论成立．
二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）
几何分析
拉格朗日中值定理设函数)
(x
f满足条件
（1）在闭区间]
,
[b
a上连续；
（2）在开区间)
,
(b
a内可导．
则在区间)
,
(b
a内至少存在一点)
(b
a<
<ξ
ξ，使得等式
)
)(
(
)
(
)
(a
b
f
a
f
b
f-
'
=
-ξ成立．
推论1如果函数)
(x
f在区间I上的导数恒为零，那么函数)
(x
f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．
例2．试证
2
cot
arctan
π
=
+x
arc
x)
(+∞
<
<
-∞x．
证明构造函数x
arc
x
x
f cot
arctan
)
(+
=，
因为函数)
(x
f在)
,
(+∞
-∞上可导，且
1
1
1
1
)
(
2
2
=
+
-
+
=
'
x
x
x
f
（2）在开区间)
,
(b
a内可导，且0
)
(≠
'x
F，)
,
(b
a
x∈
则在区间)
,
(b
a内至少有一点ξ，使等式
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ξ
ξ
F
f
a
F
b
F
a
f
b
f
'
'
=
-
-
成立．
说明
（1）公式
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ξ
ξ
F
f
a
F
b
F
a
f
b
f
'
'
=
-
-
中的ξ是同一值，即（
ξ
ξ
ξ
=
'
'
=
'
'
x
x
F
x
f
F
f
)
)
(
)
(
(
)
(
)
(
）；（2）当x
x
F=
)
(时，1
)
(
,
)
(
)
(=
'
-
=
-x
F
a
b
a
F
b
F，正是拉氏中值公式；
三个定理联系，罗尔定理
−
−
−−
←
−−→
−
=
特例
推广
)(
)
(b
f
a
f拉氏定理
−
−
−−
←
−
−→
−
=
特例
（
推广
x
X
F)
柯西定理．作业129
P习题4.1