微分中值定理与导数的应用.doc
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。
证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，故当0x ∆>时，00()()0f x x f x x +∆-≤∆； 当0x ∆<时，00()()0f x x f x x+∆-≥∆， 由保号性 00000()()()()lim 0x f x x f x f x f x x++∆→+∆-''==≤∆，()00000()()()lim 0x f x x f x f x f x x--→+∆-''==≥∆，故0()0f x '=。
罗尔定理（Rolle ）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导，（3）()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，故在[,]a b 上()f x 有最大值M 和最小值m 。
第三章 微分中值定理与导数的应用
第3章 导数的应用学习了导数的概念后，本章将介绍微分学中值定理、利用导数求极限的方法 洛必达法则、利用导数研究函数的单调性、凹凸性等性质及函数的作图等方面的知识．3.1 中值定理目的要求：1. 理解罗尔定理的内容，会求定理中的；2. 理解拉格朗日中值定理的内容，会求定理中的，能利用其证明一些不等式；3. 了解柯西中值定理。
重点：柯西中值定理。
难点：中值定理的应用。
3.1.1 罗尔定理定理3.1 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导； (3) ()()f a f b =．那么，在(, )a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．这就是罗尔(Rolle )定理．图3-1这个定理的几何解释如图3-1所示，如果连续曲线()y f x =在开区间(, )a b 内的每一点处都存在不垂直于x 轴的切线，并且两个端点A 、B 处的纵坐标相等，即连结两端点的直线AB 平行于x 轴，则在此曲线上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线()y f x =在点C 处的切线与x 轴平行．例1 验证函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理，并求出相应的ξ点．解 函数234y x x =--为初等函数，在闭区间[1, 4]-上连续，且导数'23y x =-在开区间(1, 4)-内存在，且(1)(4)0f f -==，所以函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理的三个条件．因此，在开区间(1, 4)-内一定存在ξ点，使得()0f ξ'=．事实上，令()230f x x '=-=，解得32x =，且3(1, 4)2∈-，即32ξ=，使得 (3())02f f ξ''==．3.1.2 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导．那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． （3-1）也可以写成()()()()f b f a f b a ξ'-=-．这就是拉格朗日(Lagrange )中值定理．在此定理中，如果区间[, ]a b 的两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理．也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况． 拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若()y f x =是闭区间[, ]a b 上的连续曲线弧段AB ，连接点(, ())A a f a 和点(, ())B b f b 的弦AB 的斜率为()()f b f a b a--，而弧段AB上某点(, ())C f ξξ的斜率为()f ξ'．定理3.2的结论表明：在曲线弧段AB 上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线在点C 处的切线与曲线的两个端点连线AB 平行．图3-2拉格朗日定理有两个推论：推论1 如果在区间(, )a b 内，函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，那么在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．证明 在区间(, )a b 内任取两点1212, ()x x x x <，在12[, ]x x 上，用拉格朗日中值定理，有2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 12()x x ξ<<．由于函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，所以21()()f x f x =．这说明在区间(, )a b 内，函数()y f x =的在任何两点处的函数值都相等．故在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．推论2 如果在区间(, )a b 内，()()f x g x ''≡，则在区间(, )a b 内，()f x 与()g x 只相差一个常数，即()()f x g x C =+ (C 为一常数)．证 令()()()h x f x g x =-，则'()'()'()0h x f x g x =-=，由推论1知，()h x 为一常数，于是有()()f x g x C =+ (C 为常数)．例2 对于函数()ln f x x =，在闭区间[1, e]上验证拉格朗日定理的正确性． 解 对于函数()ln f x x =在闭区间上[1, e]连续，在区间(1, e)内可导，又1(1)ln10, (e)ln e 1, ()f f f x x'=====，由拉格朗日中值定理，存在(1, e)ξ∈，使得ln e ln11e 1ξ-=-，从而解得1(1, )e e ξ=-∈．例3 若0a b <<，证明ln b a b b ab a a--<<． 证 设()ln , [, ]f x x x a b =∈．因为()ln f x x =在区间[, ]a b 上连续，在(, )a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，于是()()()()f b f a f b a ξ'-=-，而1()ln , ()ln , ()f a a f b b f x x'===， 代入上式为1ln ln ln() ()b b a b a a b a ξξ-==-<<． 又因为111b aξ<<， 所以ln b a b b ab a a--<<． *3.1.3 柯西中值定理定理3.3 设函数()f x 与函数()g x 满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续；(2) 在开区间(,)a b 内可导； (3) 在区间(, )a b 内()0g x '≠． 那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-． （3-2）这就是柯西(Cauchy )中值定理．在此定理中，若()g x x =，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况．课堂练习：1．验证函数sin y x =在区间3, 44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 2．验证函数lnsin y x =在区间5, 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 3．验证函数arctan y x =在区间[]0, 1上满足拉格朗日定理，并求出ξ值．3.2 洛必达法则学时：2学时 目的要求：1. 理解并掌握洛必达法则；2. 能够用洛必达法则求00或∞∞型极限。
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用
一、本章重难点分析
第一节微分中值定理
教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义
教学难点：构造辅助函数
第二节洛必达法则
教学重点：洛必达法则
教学难点：洛必达法则的其应用
第三节泰勒公式
教学重点：泰勒中值定理
教学难点：麦克劳林展开式
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
教学重点：函数的单调区间，函数的凹凸区间
教学难点：极值点；拐点；渐近线
第五节函数的极值与最大值最小值
教学重点：函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件；最大值最小值问题
教学难点：函数类的最值问题和应用类的最值问题
第六节函数图形的描绘
教学重点：利用导数作函数图形
教学难点：渐近线；图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点
第七节曲率
教学重点：弧微分；曲率的定义；曲率圆
教学难点：曲率和曲率半径的计算
二、教与学的建议
理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理，掌握用洛必达法则求未定式极限的方法，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用，会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形，了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
本章应强化中值定理和洛必达法则的讲解练习，因为中值定理应用于证明的题型是学生的薄弱环节，尤其是在思路和书写逻辑上，而洛必达法则应用很容易出错。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
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第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 微分中值定理一、教学目的与要求：1．掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调定理的条件是充分而非必要的；2．会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法（关键是构造辅助函数）；3．理解三个中值定理之间的关系。
二、重点、难点：中值定理的应用三、主要外语词汇：Fermat ，Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium valueaxioms,Lead a reason,shut zone,open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x ,0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x ,所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得 f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,xx xx <+<+)1ln(1.证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用§1 微 分 中 值 定 理一、 罗尔定理1. 费马定理:设f (x )在U (x 0)内有定义,且在x 0处可导,若∀x 0∈U (x 0),有f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)], 则 f ′(x 0)=0.证明:不妨设x ∈U (x 0)时,有f (x )≤f (x 0).则对x 0+∆x ∈U (x 0),有f (x 0+∆x )≤f (x 0)即 当∆x >0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≤0; 当∆x <0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;从而:f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+→∆0limx xx f x x f ∆-∆+)()(00≤0;f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+-→∆0limx xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;于是 f ′(x 0)= 0定义:称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点,或临界点). 2. 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足：1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b ) 3) f (a )=f (b )那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b ),使得: f ′(ξ)=0.证明:因为f (x )∈C [a ,b ],所以f (x )在[a ,b ]内存在最大值M 和最小值m . 以下分两种情形讨论: 1) M =m .此时f (x )在[a ,b ]上必然取得相同的值f (x )=M .此时有f ′(x )=0,即 对∀ξ∈(a ,b ),有f ′(ξ)=0. 2) M >m .由于f (a )=f (b ),所以M 和m 中至少有一个不等于f (x )在[a ,b ]上的函数值.不妨设:M ≠f (a ).则在(a ,b )内必有ξ使得f (ξ)=M . 即∀x ∈[a ,b],有f (x )≤f (ξ). 有费马定理得: f ′(ξ)=0.例1. 验证罗尔定理对函数y =lnsin x 在区间[π/6,5π/6]上的正确性.证明:显然函数在区间[π/6,5π/6]上连续,在(π/6,5π/6)上可导,且有:y (π/6)=y (5π/6)=ln1/2.令y ′=cot x =0,则有:x =π/2,因此存在ξ=π/2∈(π/6,5π/6),使得y ′(ξ)=0.例2. 不求函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数,说明方程f ′(x )=0的根的个数,并指出根所在的区间.解：由于f (1)=f (2)=0,且f (x )在[1,2]上连续,可导,且当x ∈(1,2)时f (x )≠0从而存在点ξ1∈[1,2]使得f ′(ξ1)=0;同理存在ξ2∈[2,3],ξ3∈[3,4]使得f ′(ξ2)= f ′(ξ3)=0.例3. 证明无论C 为何实数值,方程x 3-3x +C =0在[0,1]上至多有一个实数根.证明:(反证法)假设方程x 3-3x +C =0在[0,1]上有两个实数根ξ1,ξ2,且ξ1<ξ2.则f (x )= x 3-3x +C 在[0,1]上连续,可导且f (ξ1)=f (ξ2)=0,于是 f (x )在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理的条件, 从而存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,1)使得f ′(ξ)=0.但f ′(x )=3(x -1)(x +1)=0只有两个根-1和1,且此两个根显然不在(ξ1,ξ2)⊂(0,1)内,矛盾.所以原命题正确. 二、 拉格朗日中值定理 拉格朗日定理: 如果函数y =f (x )1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b )那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b ),成立等式:f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a )此公式称为拉格朗日中值公式.此公式称为拉格朗日中值公式. 定理的几何解释:ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率.f ′(ξ)为曲线点C 处的斜率.几何意义:如果曲线y =f (x )在弧AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线,那么在这弧上至少存在一点C ,使曲线在C 点处的切线平行于弦AB . 辅助函数的建立:有向线段NM 的值是x 的函数,记为φ(x ),则显然有φ(a )=φ(b )=0. 由于直线AB 的方程为:L (x )=f (a )+ab a f b f --)()((x -a )又点N 、M 的纵坐标分别为L (x )、f (x ),因此有向线段NM 的值的函数为:φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a )此函数满足罗尔定理的全部条件.证明:作辅助函数: φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a )则该函数在[a ,b ]内满足罗尔定理的条件,从而在(a ,b )内存在一点ξ,使得φ′(ξ)=0. 又φ′(x )=f ′(x ) -ab a f b f --)()(所以:f ′(ξ)=ab a f b f --)()(.注:拉格朗日公式对a >b 也成立. 拉格朗日公式的其它形式:当x ,x +Δx ∈[a ,b ]时,则在区间[x ,x +Δx ](x >0)或区间[x +Δx ,x ](Δx <0)上有:f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).或 Δy = f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).此公式表明当Δx 有限时，Δy 有精确值，定理也称为有限增量定理.定理: 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零,那么f (x )在区间I 上时一个常数.证明:在区间I 上任取x 1,x 2 (x 1<x 2),则有:f (x 2)-f (x 1)=f ′(ξ)( x 2-x 1) (x 1<ξ<x 2)由假定:f ′(ξ)=0,所以: f (x 2)-f (x 1)=0.即: f (x 2)=f (x 1).例4. 证明等式:arcsin x +arccos x =π/2.证明:设f (x )= arcsin x +arccos x ,则f ′(x )=0,从而f (x )=C =f (0)=π/2.例5. 验证拉格朗日定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0,1]上的正确性.证明:函数在[0,1]上显然连续可导.令y ′=12x 2-10x +1=0,得:x =12135-∈(0,1).例6. 证明:当x >0时,xx +1<ln(1+x )<x .证明:设f (x )=ln(1+x ),则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有: f (x )-f (0)=f ′(ξ)(x -0), (0<ξ<x ). 由于f (0)=0,f ′(x )=x+11, 所以上式为:ln(1+x )=ξ+1x又 0<ξ<x ,所以: xx +1<ξ+1x<x .即:xx +1<ln(1+x )<x .例7.设a >b >0,证明:ab a -< ba ln <bb a -.证明:设f (x )=ln x ,则f (x )在[b ,a ]上满足拉格朗日定理的条件,从而 ∃ξ∈(b ,a ) 使得:ba b a --ln ln =ξ1,由于a1<ξ1<b1,所以结论成立.三、 柯西中值定理：柯西中值定理:如果函数f (x )和F (x )满足 1) f (x ),F (x )∈[a ,b ]2) f (x ),F (x )∈(a ,b ),且F ′(x )≠0,∀x ∈(a ,b )则在(a ,b )内至少存在一点ξ,成立等式:)()()()(a F b F a f b f --=)()(ξξF f ''.分析:在参数方程:⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b )表示的曲线上,弦AB 的斜率为:)()()()(a F b F a f b f --.曲线上点(X ,Y )处的切线的斜率为: dXdY =)()(x F x f ''.当x =ξ时,则点C 处的切线平行于弦AB . 证明:因为F (b )-F (a )=F ′(η)(b -a ) (a <η<b ), 由假设:F ′(η)≠0,所以F (b )-F (a )≠0. 所以AB 的方程为:Y -f (a )=)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )].于是:N 点的纵坐标为:Y =f (a )+)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )],M 的纵坐标为f (x ).于是:NM 的方程为:φ(x )=f (x )-f (a )-)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )]此函数满足罗尔定理的条件,即:存在ξ∈(a ,b ),使得:f ′(ξ)-)()()()(a F b F a f b f --F ′(ξ)=0.即:)()()()(a F b F a f b f --=)()(ξξF f ''.当F (x )=x 时,即为拉格朗日中值定理.例8. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数,且f (0)=f ′(0)=…=f(n -1)(0)=0.证明:nxx f )(=!)()(n x fn θ(0<θ<1)证明:设F (x )=x n ,则f (x )和F (x )在[0,x ](或[x ,0])上满足柯西中值定理.即: ∃θ1∈(0,x ),使得nxx f )(=)0()(--nx f x f =111)(-'n n f θθ.在[0,θ1]上,函数f ′(θ1)和n θ1n -1满足柯西中值定理,即:∃θ2∈(0,θ1)使得111)(-'n n f θθ=)0()(111-'-'-n n f f θθ=212)1()(--''n n n f θθ同理:nxx f )(=nn n n fθθ!)()(.由于θn =θx ,(0<θ<1)所以:nxx f )(=!)()(n x fn θ(0<θ<1)§2 洛必达法则当x →a (或x →∞)时,f (x ),F (x )→0(或f (x ),F (x )→∞), 称极限)()(lim )(x F x f x ax ∞→→为未定式.记为:00或∞∞.一、未定式00或∞∞的求法.定理:设1) x →a 时,f (x )和F (x )→0;2) 在点a 的某个去心邻域内,f ′(x )和F ′(x )存在,且F ′(x )≠0;3) ax →lim)()(x F x f ''存在(或为∞).那么ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''.证明:定义f (a )=F (a )=0.则f (x )和F (x )在[x ,a ]或[a ,x ]上满足柯西中值定理的条件,于是)()(x F x f =)()()()(a F x F a f x f --=)()(ξξF f '' (ξ在a 与x 之间).令x →a ,则有ξ→a ,于是: ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''.当f ′(x )和F ′(x )满足定理的条件时,可以继续使用.即:ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''=ax →lim)()(x F x f ''''.对x →∞时的未定式00及x →a 或x →∞时的未定式∞∞,有相应的结论.例1. 求下列极限:1)lim→x bxax sin sin (b ≠0)解：原式=0lim →x bxb ax a cos cos =ba 2)1lim→x123233+--+-x x x x x解：原式=1lim→x 1233322---x x x =1lim→x 266-x x =233)lim→x 3sin xx x - 解:原式=0lim →x 23cos 1xx -=0lim→x xx 6sin =0lim→x 6cos x =614)+∞→x limx (xarctan 2-π)解:原式=+∞→x limxx 1arctan 2-π=+∞→x lim22111xx -+-=+∞→x lim221xx+=1.5)+∞→x limnxx ln (n >0)解:原式=+∞→x lim 11-n nxx =+∞→x limnnx1=0.6)+∞→x limxnex λ(n 为正整数,λ>0)解:原式=+∞→x limxn enxλλ1-=…=+∞→x limxn en λλ!=0.7)2limπ→x2)2(sin ln x x -π解: 原式=2lim π→x )2(4cot x x --π=2lim π→x 8csc 2x-=-818)lim→x xx x cos sec )1ln(2-+解:原式=0lim→x x x x x xsin tan sec 122++=0lim→x )1)(1(secsin 222x x x x++=19)1lim→x 13)1()1()1)(1(-----n nx x x x解:原式=1lim→x xx--11•1lim→x x x--113•…•1lim→x x xn--11=1lim→x 121--x•1lim→x 13132---x •…•1lim→x 111----nn xn=!1n二、 未定式0·∞;∞- ∞; 00; 1∞; ∞0的求法. 例2. 求下列极限: 1)lim+→x x n ln x (n >0)解:原式=0lim +→x nxx 1ln =0lim+→x 111+-n xnx =0lim +→x -nxn=02)2limπ→x (sec x -t a n x );解: 原式=2lim π→x xx cos sin 1-=2lim π→x xx sin cos --=03)lim+→x x x ;解:原式=0lim +→x xx eln =xx x e1ln lim+→=211limxx x e-+→=14)lim→x x x x x sin tan 2-解:原式=0lim→x 3tan xxx -=0lim→x 2231secxx -=0lim→x xx x 222cos 3cos 1-=315)0lim →x 21arctan xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解:设y =21arctan xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛则ln y =xxxarctan ln12=2ln arctan ln xxx -由于0lim →x 2ln arctan ln x x x -=0lim →x xx x x 21arctan 112-+=0lim→x xxxx 21arctan )1(12-+=0lim→x xx x x x x arctan )1(2arctan )1(222++-=0lim→x 211x+•0lim→x 322arctan )1(xxx x +-=0lim→x 222611)1(arctan 21xxx x x ++--=0lim→x 2262xx -=-31所以,原式=31-e .6)lim +→x )1(-xx x解:设y =)1(-xx x⇒ln y =(x x -1)ln x由于0lim +→x x ln x =0lim +→x xx 1ln =0lim+→x 2/1/1xx -=0所以当x →0时,e x ln x -1～x ln x ,从而lim+→x (x x -1)ln x =0lim +→x x ln x •ln x ==0lim+→x xx1ln2=0lim+→x 2/11ln 2xx x -∙=0lim +→x -2xx 1ln =0. 即: 0lim +→x )1(-xxx =1例3. 求常数a 和n ,使当x →0时,ax n 与ln(1-x 3)+x 3为等价无穷小.解:0lim→x naxx x )1ln(33-+=0lim→x 1322133---+n naxxx x =0lim →x -)1(136x naxn --6=n当n =6时, 0lim→x naxx x )1ln(33-+=-a61例4. 求下列极限:1) ∞→n lim nn解:xx=xxe ln 1 由于 +∞→x limxx ln =+∞→x limx1=0； 所以+∞→x limxx=+∞→x lim xxe ln 1=1从而 ∞→n limnn=11)∞→n lim nnnnc b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++3(a ,b ,c 均为正数)解:n nnnc b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++3=)3ln(111nn n c b a n e++因为:+∞→x lim )3ln(111xx xc b ax ++t x=1+→0lim t tc b a tt t 3ln )ln(-++=+→0limt tt t tttcb a cc b b a a ++++ln ln ln =3)ln(abc所以∞→n lim )3ln(111nnncban ++=3)ln(abc即:∞→n lim nnnnc b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++3=3)ln(abc e =3abc例5. 求下列极限:1) 0lim→x xx x sin 1sin2解：此题不能用洛必塔法则，因为0lim→x xx x x cos 1cos1sin2-不存在原式=0lim →x )1sin (sin x x x x ∙=0lim→x x xsin •0lim →x x x 1sin =0 2) +∞→x lim xxx cos -解:此题也不能用洛必塔法则,因为:+∞→x lim 1sin 1x-不存在原式=+∞→x lim (1-xxcos )=1例6. 讨论函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+-0,0,])1([2111x e x ex x x 在x =0处的连续性. 解:当x >0时,ln f (x )=ln x xex 11])1([+=x1·[x1ln(1+x )-ln e ]=2)1ln(xxx -+所以0lim +→x ln f (x )=0lim+→x 2)1ln(xxx -+=0lim +→x xx2111-+=0lim+→x )1(21x +-=-1/2.从而: 0lim +→x f (x )=e -1/2.由0lim -→x f (x )=f (0)=e -1/2=0lim +→x f (x ),所以函数在x =0处连续.例7. 设f ′′(x 0)存在,证明20000)(2)()(limhx f h x f h x f h --++→=f ′′(x 0).解: 0lim→h 2000)(2)()(h x f h x f h x f --++=0lim→h hh x f h x f 2)()(00-'-+'= f ′′(x 0).§3 泰 勒 公 式一、 泰勒公式设函数f (x )在x 0处可导,则由微分公式有:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0)这表明在x 0处f (x )可以用一个一次多项式来近似表示.但这种表示存在缺陷:函数的表示不够精确,且误差不易估计.为了解决此问题,用一个高次多项式来近似表示函数,且使其误差容易估计,这就是泰勒公式.设函数f (x )在含有x 0的开区间内具有直到(n +1)阶导数, 下面找出(x -x 0)的n 次多项式:p n (x )=a 0+a 1(x -x 0)+ a 2(x -x 0)2+...+ a n (x -x 0)n (1)使其近似表示f (x ),要求1) p n (x )与f (x )之差是比(x -x 0)n 高阶的无穷小; 2) 给出误差|f (x )-p n (x )|的具体表达式.假设p n (x )在x 0处的函数值及n 阶导数在x 0处的值满足:p n (x 0)＝f (x 0), p ′n (x 0)= f ′(x 0), p n ′′(x 0)=f ′′(x 0),… ,p n (n )(x 0)=f (n )(x 0). 下面确定多项式的系数a 0,a 1，a 2 …，a n 为此， 对(1)式求各阶导数,然后分别代入以上等式,得:a 0=f (x 0),a 1=f ′(x 0), 2!a 2=f ′′(x 0),…, n ! a n =f (n )(x 0),即得:a 0=f (x 0), a 1=f ′(x 0), a 2=！21f ′′(x 0),… a n =！n 1f (n )(x 0).从而p n (x )= f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…+!)(0)(n x fn (x -x 0)n .泰勒中值定理:如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ,b )内具有直到(n +1)阶的导数,则∀x ∈(a ,b ),f (x )可以表示为关于(x -x 0)的一个n 次多项式与p n (x )一个余项R n (x )之和:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x fn (x -x 0)n +R n (x ). (2)其中R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1, (3)这里ξ是x 0与x 之间的某个值.证:记 R n (x )=f (x )-p n (x ).只需证明R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ(x -x 0)n +1,(ξ在x 0与x 之间).由假设可知,R n (x )在(a ,b )内具有直到(n +1)阶导数,且R n (x 0)=R n ′(x 0)=R n ′′(x 0)=…=R n (n )(x 0)=0.则R n (x )和(x -x 0)n +1在[x 0,x ]或[x ,x 0]满足柯西中值定理,即有:10)()(+-n n x x x R =0)()()(100---+n n n x x x R x R =nnx n R ))(1()(011-+'ξξ (ξ1在x 0与x 之间),同样函数R n ′(x )与(n +1)(x -x 0)n 在[x 0,x ]或[x ,x 0]满足柯西中值定理,即:nnx n R ))(1()(011-+'ξξ=))(1()()(0101--+'-'x n x R R n nξξ=1022))(1()(--+''n nx n n R ξξ(ξ2在x 0与ξ1之间).余此经过n +1次后,得:10)()(+-n n x x x R =)!1()()1(++n R n nξ,(ξ在x 0与ξn 之间,从而在x 0与ξ之间) 由于R n (n +1)(x )=f (n +1)(x ) ;[因为p n (n +1)(x )=0]所以R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1, 这里ξ是x 0与x 之间的某个值.(2)称为泰勒公式,余项(3)称为拉格朗日余项.对某个固定的n 值,如果∃M >0,使得|f (n +1)(x )|≤M ,则有余项估计式:|R n (x )|=|)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1|≤)!1(+n M |x -x 0|n +1.且limx x →10)()(+-n n x x x R =0, 因此R n (x )=o [(x -x 0)(n )].特别当n =0时,有:f (x )=f (x 0)+f ′(ξ)(x -x 0) (ξ在x 与x 0之间)此为拉格朗日中值定理.当不需要余项的精确表达式时,则n 阶泰勒公式为:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x fn (x -x 0)n +o [(x -x 0)(n )].此式称为Peano 公式R n (x )= o [(x -x 0)(n )] 称为Peano 余项公式 特别当x 0=0时,即为麦克劳林公式:f (x )=f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n+)!1()()1(++n x fn θx n +1. (0<θ<1).或 f (x )=f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n+o (x n ). 于是 f (x )≈f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n.且|R n (x )|≤)!1(+n M|x |n +1.二、 求函数的泰勒公式: 例1. 求函数f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式.解: 由于 f ′(x )=f ′′(x )=…=f (n )(x )=e x . 所以f (0)=f ′(0)=f ′′(0)=…=f (n )(0)=1.|R n (x )|=|)!1(+n exθxn +1|<|)!1(||+n ex |x |n +1.当x =1时,则有: e =1+1+！21+…+！n 1其中|R n (1)|=|)!1(+n eθ|<|)!1(3+n .例2. 求函数f (x )=sin x 的n 阶麦克劳林公式.解: 由于 f (n )(x )=sin(x +n π/2). 所以 f (0)=0, f ′(0)=1, f ′′(0)=0, f ′′′(0)=-1, f (4)(0)=0, 即有: f (2m )(0)=0, f (2m -1)(0)=(-1)m -1. m =0,1,2,…. 因此:其中R 2m (x )=)!12(]2)12(sin[+++m m x πθx 2m +1.(0<θ<1).当m =1时, sin x ≈y =x , |R 2|=|!3)23sin(πθ+x x 3|≤|x |3/6.当m =2时,sin x ≈y =x -！33x,|R 4|≤|x |5/5!.当m =2时, sin x ≈y =x -！33x +！55x|R 6|≤|x |7/7!例3.求函数f (x )=cos x 的麦克劳林公式.π解:其中R 2n +1(x )=)!22(])1(cos[+++n n x πθx 2n +2.例4.其中: R n (x )=11)1)(1()1(++++-n n nxx n θ (0<θ<1)其中: R n (x )=)!1())(1()1(+-+--n n n αααα (1+θx )α-n -1x n +1 (0<θ<1)例5.求函数f (x )=t a n x 的二阶麦克劳林公式. 解:f (0)=0,f ′(0)=sec 2x |x =0=1;f ′′(0)=2sec 2x tan x |x =0=0. f ′′′(x )=4sec 2x tan 2x +2sec 4x =2·xx42cos sin21+所以 tan x =x +!32)(cos )(sin 2142x x θθ+x 3=x +)(cos 3)(sin 2142x x θθ+x 3 (0<θ<1).例6. 用Talor 公式求极限1)+∞→x lim(3233x x +-4342x x -)解:3233xx +=331x x +=x [1+x 331∙+2)3(!2)131(31x-∙+2)3(x o ]=x +1-x 1+)1(x o 4342x x -=421x x -=x [1-x 241∙+2)2(!2)141(41x--∙+2)2(x o ]=x -21-x 83+)1(x o3233x x +-4342x x -= x +1-x1+)1(xo -[ x -21-x 83+)1(xo ]=23-x85+)1(xo+∞→x lim(3233x x +-4342x x -)=+∞→x lim [23-x85+)1(xo ]=232)lim→x xe x xx xsin )(cos 1211222-+-+解:21x +=1+221x +4!2)121(21x -+o (x 4);221211xx +-+=481x +o (x 4);cos x =1-！21x 2+！41x 4+o (x 4);2xe=1+x 2+4!21x+ o (x 4);cos x -2xe =-23x 2-42411x + o (x 4); 0lim→x xe x xx xsin )(cos 1211222-+-+=0lim→x )](241123[)(81442244x o x x x x o x +--+=0lim→x )](23)(814444x o x x o x +-+=-121§4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、 函数单调性的判定法定理:(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )∈C [a ,b ], f (x )∈D (a ,b ).1) 如果:∀x ∈(a ,b ),f ′(x )>0, 则y =f (x )在[a ,b ]上单调增加; 2) 如果:∀x ∈(a ,b ),f ′(x )<0, 则y =f (x )在[a ,b ]上单调减少.yf ′(x )>0,图形上升图 f ′(x )<0图形下降证明1)由于f (x )∈C [a ,b ],f (x )∈D (a ,b ),在(a ,b )内任取两点x 1、x 2(x 1<x 2),由拉格朗日中值定理,得f (x 2)－f (x 1)=f ′(ξ)(x 2－x 1) (x 1<ξ<x 2)由于x 2－x 1>0,且f ′(x )>0,从而有f ′(ξ)>0,于是f (x 2)－f (x 1)=f ′(ξ)(x 2－x 1)>0, 即 f (x 2)>f (x 1).例1. 判定函数y =x －sin x 在[0,2π]上的单调性. 解: 因为在(0,2π)内y ′=1－cos x >0,所以函数y =sin x 在[0.2π]上单调增加. 例2. 讨论函数y =e x -x -1的单调性. 解: y ′=e x -1.y =e x -x -1的定义域为(-∞,+∞),因为在(-∞,0)内y ′<0,所以函数y =e x -x -1在(-∞,0)上单调减少; 因为在(0,+∞)内y ′>0,所以函数y =e x -x -1在[0,+∞]上单调增加.例3. 讨论函数y =32x 的单调性.解 这函数的定义域为(－∞,+∞).当x ≠0时,这函数的导数为y ′=332x,当x =0时,函数的导数不存在,∀x ∈(-∞,0), y ′<0, 函数y =32x 在(-∞,0)上单调减少,∀x ∈(0,+∞), y ′>0,函数y =32x 在[0,+∞]上单调增加.例4. 确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间.解:函数的定义域为(-∞,+∞), 函数的导数为:f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2).令f ′(x )=0,即解6(x -1)(x -2)=0.得x 1=1、x 2=2,这两个根把(-∞,+∞)分成三个部分区间(-∞,1)、[1,2]及(2,+∞).∀x ∈(-∞,1)U (2,+∞), f ′(x )>0, 函数单调上升; ∀x ∈(1,2), f ′(x )<0, 函数单调下降.例5. 讨论函数y =x 3的单调性.解: 函数定义域为(－∞,+∞).且y ′=3x 2≥0,函数单调上升. 例6. 证明:当x >1时,2x >3－x1证: 令f (x )=2x －(3－x 1),则 f ′(x )=-x 121x=21x(x x －1).f (x )∈C [1,+∞],∀x ∈(1,+∞),f ′(x )>0, f (x )在 [1,+∞]上单调增加,从而 当x >1时, f (x )>f (1)=0. 即: 2x －(3－x1)>0,亦即2x >3－x 1(x >1).例7. 证明当0<x <π/2时,t a n x >x +x 3/3. 证: 设f (x )=x +x 3/3-t a n x .则f ′(x )=1+x 2-sec 2x =x 2-t a n 2x =(x -t a n x )(x +t a n x )<0. 所以 f (x )<f (0)=0. 即: t a n x >x +x 3/3. [这里用了:x <t a n x ].例8. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根? 解:设f (x )=ln x -ax ,则令f ′(x )=x 1-a =0得: x =1/a .当0<x <a 时, f ′(x )>0, 函数单调上升, 当a <x <+∞时, f ′(x )<0, 函数单调下降. 又+→0lim x f (x )=-∞, +∞→x lim f (x )=+∞→x lim x [xx ln -a ]=-∞.因此f (1/a )=-ln a -1为函数的最大值. 当 f (1/a )=-ln a -1>0,即0<a <1/e 时, 在(-∞,1/a )内存在唯一点ξ1,使f (ξ1)=0. 在(1/a ,+∞)内,存在唯一点ξ2,使f (ξ2)=0,此时函数f (x )有两个零点,从而方程有两个根. 当f (1/a )=-ln a -1=0,即a =1/e 时,此时x =1/a 为函数的唯一零点,从而方程只有唯一根. 当f (1/a )=-ln a -1<0时,即:1/e <a <+∞时 函数无零点,从而方程没有根.y=lnx-ax (a=1/e) y=lnx-ax(0<a<1/e)y=lnx-ax(a>1/e)例9. 设α>β>e ,证明αβ<βα. 证明:设f (x )=xx ln ,(x ≥e )则f ′(x )=2ln 1xx -<0.因此函数在(e ,+∞)上单调下降.从而当α>β时,f (α)<f (β),即:ααln <ββln ,于是βln α<αln β,从而有: αβ<βα.例10.比较e π和πe 的大小.解: 由于πe =e e ln π.于是只要比较e π和e e ln π的大小.从而只要比较π和e ln π的大小. 设 f (x )=x -e ln x (x >1)令f ′(x )=1-e x 1=0得:x =e .当1<x <e 时,f ′(x )<0,函数单调下降, 当e <x <+∞时,f ′(x )>0,函数单调上升.所以f (e )=0为函数的最小值.从而f (π)>f (e )=0.即:π-e ln π>0. 从而: e π>πe .二、 曲线的凹凸性与拐点定义:设f (x )在区间I 上连续,如果对I 上的任意两点x 1和x 2有:)2(21x x f +<2)()(21x f x f +称f (x )在I 上的图形是向上凹的(或凹弧); )2(21x x f +>2)()(21x f x f +称f (x )在I 上的图形是向上凸的(或凸弧);另一定义为:定义:设f (x )在区间I 上连续,如果对∀x 1,x 2∈I 及实数t (0<t <1)有:f [tx 1+(1-t )x 2]<tf (x 1)+(1-t )f (x 2),称f (x )在I 上的图形是向上凹的(或凹弧); f [tx 1+(1-t )x 2]>tf (x 1)+(1-t )f (x 2),称f (x )在I 上的图形是向上凸的(或凸弧); 凹凸性的判断定理:定理:设f (x )∈C [a ,b ],在(a ,b )内具有连续的一阶和二阶导数,则: 1) 若在(a ,b )内有f ′′(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是向上凹的; 2) 若在(a ,b )内有f ′′(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是向上凸的; 证明:1)∀x 1,x 2∈[a ,b ],记x 0=(x 1+x 2)/2.则由泰勒公式有:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ′′(ξ1)(x -x 0)2/2< f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)(ξ1在x 与x 0之间)从而: f (x 1)< f (x 0)+f ′(x 0)(x 1-x 0); f (x 2)< f (x 0)+f ′(x 0)(x 2-x 0); 所以: f (x 1)+f (x 2)<2 f (x 0)+f ′(x 0)(x 1+x 2-x 0)=2f (x 0). 同理可证明2).例11. 判断函数y =ln x 的凹凸性.解:由于y ′=1/x ,y ′′=-1/x 2<0 (x >0),所以函数在(0,+∞)内是向上凸的. 例12. 判断函数y =x 3的凹凸性 解:由于:y ′=3x 2,y ′′=6x ,当x ∈(-∞,0)时,y ′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x ∈(0,+∞)时,y ′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的. 拐点的定义:定义:曲线由凹变凸(或由凸变凹)的分界点称为曲线的拐点. 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点为曲线的拐点. 例13. 判断函数y =3x 的凹凸性. 解:y ′=3231x;y ′′=-3292xx.当x ∈(-∞,0)时, ,y ′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x ∈(0,+∞)时,y ′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的.函数在x =0处的一阶和二阶导数不存在,但(0,0)为函数图形的拐点. 例14. 判断函数y =x 4的凹凸性.解:由于y ′′=12x 2>0 ,∀x ∈(-∞,+∞),所以函数在(-∞,+∞)内是向上凹的. 这里y ′′(0)=0,但(0,0)不是曲线的拐点. 拐点的求法:1) 求f ′′(x )=0的根;2) 求f ′′(x )不存在的点;3) 对上面求出的每一个点x 0,判断f ′′(x )在点(x 0,f (x 0))的左右两侧的符号,当两侧符号相反时,点(x 0,f (x 0))为拐点,当两侧的符号相同时,点(x 0,f (x 0))不是拐点. 例15. 求函数y =(x -1)3x 的凹凸区间和拐点. 解:函数的定义区间为:(-∞,+∞).y ′=32313134--xx, y ′′=35329294--+xx=359)12(2x x +当x例16. 证明曲线y =112+-x x 有三个拐点在同一直线上. 解: y ′=222)1(12+++-x x x ,y ′′=3223)1(2662++--x x x x =32)1()32)(32)(1(2+--+--x x x x可以判断点A (-1,-1)、B (2-3,)32(431--)、C (2+3,)32(431++)为拐点.k AB =)1(32)1()32(431-------=41=k AC .例17. 试确定k 的值,使曲线y =k (x 2-3)2的拐点处的法线通过原点. 解:由于 y ′=2k (x 2-3)2x =4kx 3-12kx , y ′′=12k (x -1)(x +1). 显然x 1=-1和x 2=1为拐点的横坐标. 当x 1=-1时,y 1=4k ,点(-1,4k )处有: y ′(-1)=8k , 所以法线方程为:y -4k =-k81(x +1).由法线通过原点有:32k 2=1,即: k =±82.当x 2=1时, y 1=4k ,点(1,4k )处有:y ′(1)=-8k , 所以法线方程为:y -4k =k81(x -1).由法线通过原点有:32k 2=1,即: k =±82.因此当k =±82时,曲线在拐点处的法线通过原点.例18. 设y =f (x )在x =x 0的某一邻域内具有三阶连续的导数,如果f ′(x 0)=0, f ′′(x 0)=0而f ′′′(x 0)≠0,问x =x 0是否为极值点?(x 0, f (x 0))是否为拐点?为什么?解:由f ′′′(x 0)≠0,不妨设f ′′′(x 0)>0.由于f ′′′(x )在U (x 0)内连续,从而存在区间I ⊂U (x 0),对∀x ∈I ,有f ′′′(x )>0.于是由泰勒公式有: f (x )= f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+！21f ′′(x 0)(x -x 0)2+！31f ′′′(ξ)(x -x 0)3 ,ξ在x 与x 0之间.即: f (x )- f (x 0)=！31f ′′′(ξ)(x -x 0)3 ,由于f ′′′(ξ)>0,所以当x >x 0时,有f (x )>f (x 0); 当x <x 0时,有f (x )<f (x 0);从而x 0非极值点. 又f ′′(x )-f ′′(x 0)=f ′′′(ξ1)(x -x 0), ξ1在x 与x 0之间.即: f ′′(x )=f ′′′(ξ1)(x -x 0),所以当x <x 0时,有f ′′(x )<0, 当x >x 0时,有f ′′(x )>0. 所以点(x 0,f (x 0))为拐点.一般地:如果f (x )在U (x 0)内具有n 阶连续的导数,且f ′(x 0)= f ′′(x 0)=…= f (n -1)(x 0)=0,f (n )(x 0)≠0,当n 为奇数时,x =x 0为曲线拐点的横坐标; 当n 为偶数时,x =x 0为极值点,且当f (n )(x 0)>0时x =x 0为极小值点; 当f (n )(x 0)<0时x =x 0为极大值点. 例19. 证明不等式:1)21(x n +y n )>ny x)2(+ (x >0,y >0,x ≠y ,n >1).2) x ln x +y ln y >(x +y )ln2y x +(x >0,y >0,x ≠y ).证明:1)设f (x )=x n (x >0,n >1).则f ′′(x )=n (n -1)x n -2>0.从而f (x )在(0,+∞)内是向上凹的,于是对∀x ≠y ∈(0,+∞)有:21(x n +y n )>ny x)2(+2)设f (x )=x ln x ,则f ′(x )=1+ln x ,f ′′(x )=1/x >0.从而f (x )在(0,+∞)内是向上凹的,于是对∀x ≠y ∈(0,+∞)有:21(x ln x +y ln y )>21(x +y )ln2y x +,即: x ln x +y ln y >(x +y )ln 2y x+.§5 函数的极值与最大值最小值一、 极值及求法1. 定义: 设函数f (x )在区间(a ,b )内有定义, x 0是(a ,b )内的一个点,如果存在点x 0的一个去心邻域Ů(x 0,δ),对于∀x ∈Ů(x 0,δ),有f (x )<f (x 0), 称f (x 0)是函数f (x )的一个极大值;∀x ∈Ů(x 0,δ),有f (x )>f (x 0),称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值. 2. 极值存在的必要条件:定理(必要条件)设f (x )在点x 0处可导,且在x 0处取得极值,则 f ′(x 0)=0. 证明:设函数f (x )在x 0处取得极大值f (x 0).由于f ′(x 0)=00)()(limx x x f x f x x ---→≥0; f ′(x 0)=00)()(limx x x f x f x x --+→≤0.所以f ′(x 0)=0.驻点: 方程f ′(x )=0的点 (或导数为零的点). 3. 驻点与极值点的关系:可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点. 例如y =x 3有驻点x =0,但不是极值点. 4. 极值存在的充分条件定理(第一种充分条件)设函数f (x )在x 0连续,在Ů(x 0,δ)可导,且f ′(x 0)=0. 1) 若∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )>0, ∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )<0, f (x )在x 0处取极大值; 2) 若∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )<0, ∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )>0, f (x )在x 0处取极小值; 3) 若∀x ∈ Ů(x 0,δ) f ′(x )不变号,则 f (x )在x 0处没有极值. 证明:1) 当∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )>0 函数是单调上升的;当∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )<0 函数是单调下降的; 所以f (x 0)为函数的极大值. 同理可证明2)和3). 5. 求极值的方法:如果函数f (x )在定义区间内可导,则求极值步骤为: 1) 求函数的导数f ′(x );2) 求出f ′(x )=0的全部实根(即函数的所有驻点);3) 对每个驻点讨论f ′(x )在其左、右两边的符号,确定是否为极值. 例1. 求函数f (x )=x 3-3x 2-9x +5的极值.解:f ′(x )=3x 2-6x -9=3(x +1)(x -3); 令f ′(x )=0得 驻点:x 1=-1 ;x 2=3.当x <-1时,f ′(x )>0,当-1<x <3时,f ′(x )<0,所以x 1=-1为函数的极大值点; 当x >3时,f ′(x )>0,从而x 2=3为函数的极小值点; 所以函数的极大值为:f (-1)=10;极小值为f (3)=-22. 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时,有定理3(第二充分条件)设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且f ′(x )=0, f ′′(x )≠0, 那末1) f ′′(x 0)<0时,函数f (x )在x 0处取得极大值; 2) f ′′(x 0)>0时,函数f (x )在x 0处取得极小值.证明:1)由于f ′′(x 0)=0limx x →00)()(x x x f x f -'-'<0.由保号性定理,存在Ů(x 0,δ),对x ∈Ů(x 0,δ),有00)()(x x x f x f -'-'=0)(x x x f -'<0.即f ′(x )与x -x 0异号.所以在Ů(x 0,δ)内, 当x <x 0时,f ′(x )>0;当x >x 0时,f ′(x )<0,由第一充分条件得f (x 0)为函数的极大值.同理可证2).注:当f ′′(x 0)=0时,f (x )在x 0处可能有极值,也可能没有极值.例如y =x 3和y =x 4在x =0处有f ′(0)=f ′′(0)=0,但x =0不是y =x 3的极值点,而x =0是y =x 4的极小值点.例2. 求函数f (x )=(x 2-1)3+1的极值.解:由于：f ′(x )=6x (x 2-1)2=6x (x -1)2(x +1)2, 所以驻点： x 1=-1, x 2=0, x 3=1. 又 f ′′(x )=6(x 2-1)(5x 2-1)f ′′(0)=6>0,所以x =0为函数的极小值点,极小值为f (0)=0. 而f ′′(-1)=f ′′(1)=0.不能用第二充分条件判断.但当x <-1时,f ′(x )<0,当-1<x <0时,f ′(x )<0,所以x =-1不是极值点. 同理x =1也不是极值点.例3. 求函数f (x )=1-(x -2)2/3的极值.解:当x ≠2时,f ′(x )=-3232-x .当x <2时, f ′(x )>0, 当x >2时,f ′(x )<0,所以x =2为函数的极大值点,且极大值为f (2)=1.注:函数在x =2处不可导.函数的极值可能在导数不存在的点处取得. 但导数不存在的点处函数也可能没有极值,例如函数y =3x 在x =0处不可导,函数在x =0处没有极值.由此可得求函数极值的方法如下:1) 求出函数的所有驻点和导数不存在的点;2) 对上述每一个点讨论其左、右两边f ′(x )的符号,判断是否为极值点. 3) 求出极值. 例4.求函数f (x )=⎩⎨⎧≤+>0,202x x x x x ，的极值.解:当x >0时, f ′(x )=2x 2x (1+ln x ); 当x <0时, f ′(x )=1. f ′+(0)=+→0limx xxx22-=-∞;f ′-(0)=-→0limx xx 22-+=0所以函数在x =0处不可导.令f ′(x )=0得驻点:x =1/e .当0<x <1/e 时,f ′(x )<0,当1/e <x <+∞时,f ′(x )>0,所以f (1/e )=e -2/e 为函数的极小值.当x =0时,由于f (0-0)=2=f (0);f (0+0)=+→0lim x x 2x =+→0lim x e 2x ln x =1,所以函数在x =0处间断.由于f (0+0)=1,所以对ε=1/2,存在δ>0,当0<x <δ时,有|f (x )-1|<1/2,即有f (x )<f (0)=2.而当x <0时,f ′(x )=1>0,所以f (x )<f (0)=2,于是f (0)=2为函数的极大值. 例5. 求函数f (x )=x 2/3-(x 2-1)1/3极值.解:f (x )的定义域为(-∞,+∞).f ′(x )=xx x2)1(313232231∙----=3223134322)1()1(32---x x x x令f ′(x )=0得驻点x 1=-1/2,x 2=1/2.设函数f (x )∈C [a ,b ],则在[a ,b ]上f (x )有最大值和最小值,求法如下: 1) 求出函数在[a ,b ]上的驻点x 1,x 2,…,x n .2) 求出函数在[a ,b ]上的导数不存在的点y 1,y 2,…,y m .3) 求出函数值:f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b ). 4) m =min{ f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b )} M =m ax { f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b )} 特别情形:1) 当函数在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x 0,且此驻点x 0为函数的极值点,那么当f (x 0)为极小值时,则它为最小值;当f (x 0)为极大值时,它为最大值.2) 由实际问题可以断言函数的最值存在并在区间的内部取得,且只有唯一的一个驻点时,可以不必判断此驻点是否为极值,直接断定f (x 0)是最大值或最小值.例6. 求函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)的最大值和最小值. 解:令 y ′=6x 2-12x -18=6(x +1)(x -3)=0 得驻点 x =3. 又 y (1)=-29; y (3)=-61,y (4)=81.例7. 如图，从南到北的铁路干线经过A ，B 两城，两城之间的距离为150公里，某工厂位于B 城正西20公里处，今要从A 城把货物运往工厂C ，已知。
4微分中值定理与导数的应用
f (x) g( x)
f ( x) f ( x0 ) g( x) g( x0 )
f ( g(
) )
(在x0与x之
间)
x0
x
x0
x
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因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 只要 +x∈(a,b),总有 f( + x)-f()≤0．
当x＞0时, f ( x) f ( ) 0
x
根据极限的保号性及f()的存在知
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
lim
a
x
a
1
x
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二、 型未定式
定理2 设f(x),g(x)
(1)lim f(x)=∞, limg(x)=∞
x x0
xo x0
(2) f(x)和g(x)在U( x0 ) 内可导,且g(x)≠0；
(3)lim f ( x)存在(或为∞)． 则 x x0 g( x)
从而有
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
返回 上页 下页
例 设0 a b,函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,
试证: 至少存在一点 (a, b),使得
f ( ) -f ( ) bf (a) af (b) .
ba
将F'( ) xf ( x) f ( x) ,G'( ) 1 代入得
x2
x2
f ( ) - f ( ) bf (a) af (b)
微分中值定理及导数的应用
积分因子法
通过引入一个积分因子，将微分方程转化为可解的一 阶线性方程组。
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微分中值定理及导数的应用
目录
• 微分中值定理 • 导数的定义与性质 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步研究
01
微分中值定理
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
导数与积分的关系
牛顿-莱布尼兹公式
用导数和积分相互转化的方式，将定积分转化为求和的 形式，从而简化计算。
微积分基本定理
定积分可以表示为被积函数的一个原函数在积分上下限 的函数值的差，即牛顿-莱布尼兹公式的特殊形式。
导数与微分方程
微分方程
描述一个变量关于另一个变量的导数等于某个给定函 数的方程。
初值问题
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数在数值分析中有着广泛的应用，例如在求解微分方程、 积分方程和线性代数方程时，导数可以帮助我们找到近似 解。
图像处理
在图像处理中，导数可以帮助我们进行边缘检测、图像滤 波和图像增强等操作，从而提高图像的清晰度和质量。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来分析信号的变化趋势和频率 特征，例如在音频处理和图像处理中，导数可以帮助我们 提取信号中的重要信息。
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0， 则该函数在此区间单调递增；如果导 数小于0，则函数单调递减。
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
第三章微分中值定理导数的应用word资料9页
第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6． 了解方程近似解的二分法及切线法。
一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f满足：（1）在[]b ,a 连续.（2）在()b ,a 可导.（3）()()b f a f= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ使()0f/=ξ例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。
证： 设()()x xf x F=在[a,b]可导，()()1F 0F =∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,证明存在η ()()0F F /=η+η 。
解: 设()()x f e x Fx =，且()()1F 0F = 由罗尔定理存在η 使()0F/=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f/=η+η例 习题6设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理如()x f满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。
高数(1)第四章微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。
Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.驻点、奇异点和临界点(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。
Stationary Point, Singular Point, and Critical Point(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .罗尔定理 (Rolle's Theorem)如果函数()f x 满足 :(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。
理学微分中值定理与导数的应用
lim
x2 6x 4 2
注意: 如果
lim
f ( x)仍为 0
型未定式,且f(x),g(x)满足
x x0 g( x)
0
定理条件，则可继续使用洛必达法则.
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例2
求 lim x0
sin 2
x
x sin x4
x
cos
x
.
解
sin2 x x sin x cosx
lim
x0
x4
lim
x0
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导，
对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,
f(x)-f(0)=f′( x)x,
即
x
ln(1+x)= 1 x
由于
x 1 x
＜
x
1
＜x,lt;<1 ),
(0< <1)．
x
1 x ＜ln(1+x)＜x．
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x 0
x
x 0
x
返回 上页 下页
因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 总有
f( + x)-f()≤0．
当x＞0时, 当x<0时,
f ( x) f ( ) 0
x
f ( x) f ( ) 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
x 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
(3) lim f ( x) 存在(或为∞) x g( x)
lim f ( x) lim f ( x) x g( x) x g( x)
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结 论将不一定成立.
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
高数)第3章：微分中值定理与导数的应用共91页
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
9
3.将拉罗 格尔 朗日定(L理ag条 ran件 gfe(中 )a中)去 值f(定b掉 )理,得到
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函f数 (x)在(a,b)内一x0取 点得 最值 且f(x)在x点 0可 导 ， f(x则 0)0.
费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共 同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。
1
2
y
几何解释:
曲线在最高点和最低点 显然有水平切线，其斜
率为 0，当切线沿曲线连 o
续滑动时，就必然经过 位于水平位置的那一点 .
yf(x)
1
2
x
3
证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 要
就f有 (x0x)f(x0), 即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 ,
从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ; x
f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; x
这 f(x 样 0 0 ) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
中值定理与导数的应用(全
导数在不等式证明中的常见方法
构造法
根据题意，通过构造适当的函数， 利用导数研究该函数的性质，从 而证明不等式。
放缩法
通过放缩技巧，将需要证明的不 等式转化为更容易处理的形式， 再利用导数进行证明。
参数法
引入参数，通过调整参数的值， 利用导数研究函数的变化规律， 从而证明不等式。
导数在不等式证明中的实例分析
详细描述
柯西中值定理进一步揭示了函数之间的内在关系，为研究函数的性质提供了更多的理论支持。同时，柯西中值定 理也在解决一些复杂问题时发挥了重要的作用。
02
导数的几何意义及应用
导数的几何意义
导数表示函数在某一点的切线斜率
对于可导函数，其在某一点的导数即为该点处的切线斜率，反映了函数在该点的变化率。
03
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的基本思想
利用导数研究函数的单调性
01
通过求导判断函数的单调性，从而在不等式证明中利用函数的
增减性进行推导。
利用导数研究函数的极值
02
通过求导找到函数的极值点，利用极值点处的函数值进行不等
式的比较和证明。
导数与不等式的转化
03
将不等式问题转化为求导数问题，通过求解导数来证明不等式。
速度与加速度
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要参数。导数可以用于计算速度和加速 度，帮助我们理解物体的运动规律。
弹性与应变
在弹性力学中，导数可以用于描述物体的弹性性质和应变状态，帮助我们分析物体的受 力情况和变形规律。
导数在经济问题中的应用
供需关系
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重 要因素。导数可以用于分析供需函数的变化 趋势，帮助我们理解市场价格的变动。
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第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。
了解柯西中值定理。
重点：理解中值定理及简单的应用。
难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf，于是)3,1(2∈=ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导．则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立．推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零，那么函数)(xf在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导，且1111)(22=+-+='xxxf（2）在开区间),(ba内可导，且0)(≠'xF，),(bax∈则在区间),(ba内至少有一点ξ，使等式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明（1）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值，即（ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）；（2）当xxF=)(时，1)(,)()(='-=-xFabaFbF，正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理．作业129P习题4.1（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，导数)(0x f '恒为正或恒为负，那么函数)(x f 在点0x 处没有极值．例1．求函数593)(23+--=x x x x f 的极值． 解 （1）函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，导数为)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，（2）令0)(='x f ，得3,1=-=x x ，（3）列表如下x)1,(--∞1- )3,1(-3 ),3(+∞ )(x f '符号+ 0—+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下，（1）求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（2）求出函数)(x f 的全部驻点（即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根）；（3）用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得)(x f 的全部极值． 例2．求函数32)1(x x y -=的极值．解 （1）函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -='，（2）令0='y ，得解 由导数0)1(222=-=-='x x y ，得1=x ．因为02>=''y ，所以1=x 为函数的极小值点，即有极小值2|1-==x y ． 又因为函数在开区间),(+∞-∞内只有一个极小值，故为最小值2|1-==x y ．二．最优化问题建立模型：建立拉格朗日函数()y f x =及相应的区间；利用求最值的方法求出函数的最值．例3．铁路线上AB 段的距离为km 100，工厂距离A 处为km 20，AC 垂直于AB ，为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3，为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？解 1）建立模型总费用与D 的选择有关，设x AD =，总费用y 与x 有关， 因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53，因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数），则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35=)100(340052x k x k -++（1000≤≤x ）， 2）现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为)34005(2-+='xx k y ，令0='y ，解方程得)(15km x =．又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，2100511500|+==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省．说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值，而且一定在区间内部取得，若0)(='x f 只有一个根，那么不必讨论)(0x f 是否作业 129P 习题4.4第五节 曲线的凹凸性与拐点（1课时）要求：会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。
会求函数图形的水平与垂直渐近线，会利用导数作函数的图形。
重点：曲线的凹凸性与拐点，函数的作图。
难点：复杂函数的作图。
问题提出 前面已经研究了函数的单调性与极值，这对于描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些还不能比较准确地描绘函数的图形，例如见图中有两条曲线弧，虽然它们都是单调递增的，但图形却有显著的不同．曲线ACB 是向上凸的曲线， 曲线ADB 是向下凸的曲线，它们的凹凸性不同，下面来研究曲线凹凸性及判别法．一、凹凸性的概念及判别法定义 设函数)(x f 在区间I 上连续，（1）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凹的（或凹弧）；（2）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凸的（或凸弧）．如 正弦函数x y sin =在区间],0[π上为凸的，在区间]2,[ππ上为凹的， 问题：如何判别函数的凹凸性？如果用定义判别太繁琐，由图形判别，一般用描点法不能准确的画出函数的图形，所以用函数二阶导数的符号判别，由图中容易看出：当导数)(x f '单调增加时，曲线是凹的；当导数)(x f '单调减少时，曲线是凸的，那么这种情况是否具有一般性？下面给出判别定理．定理 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数， （1）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(>''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；（2）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图形是凸的；例1．判别曲线x y arctan =的凹凸性． 解 因为211xy +='，22)1(2x x y +-='', 所以，当0<x 时，0>''y ，y 在区间)0,(-∞内的图形为凹的；当0>x 时，0<''y ，y 在区间),0(+∞内的图形为凸的； 在本例中，点)0,0(是曲线凹与凸的分界点——拐点．二、曲线的拐点连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点． 讨论曲线凹与凸及拐点，相当于讨论导函数的单调性及极值．因此，如果函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，我们就可以按下列步骤来判定曲线)(x f y =的拐点：（1）求出二阶导数)(x f ''；（2）令0)(=''x f ，解出这个方程在区间),(b a 内的实根；（3）对每一个点i x ，检查二阶导数)(x f ''在点i x 左、右两侧符号（),,2,1n i ⋯=，若)(x f ''在i x 两侧符号相反时，点))(,(i i x f x 是拐点；若)(x f ''在i x 两侧符号相同时，点))(,(i i x f x 不是拐点．例2．求函数32)1(x x y -=的凹凸区间及拐点． 解 因为3323)1(2xx x y -+='， 349)15(2xx y +=''，令0=''y ，得51-=x ，当0=x 时，y ''不存在．列表如下，x （51,-∞-） 51-（0,51-） 0),0(+∞ y '' — 0 + 不存在+凹凸性与拐点凸拐点)25165,51(3-- 凹 不是拐点 凹注意 二阶导数不存在的点也可能称为拐点．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。