2020年高考数学新题型汇总 人教版
新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化(不分文理)
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
2020年新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
2020高考数学必考题型归纳
2020高考数学必考题型归纳学习数学需要讲究方法和技巧，高考考生在复习数学时要掌握大题的题型。
接下来是小编为大家整理的2020高考数学必考题型归纳，希望大家喜欢!2020高考数学必考题型归纳一第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
2020高考数学必考题型归纳二一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误。
一着不慎，满盘皆输)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
高考数学新题型选编(共70个题)
高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈； （Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立 (其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ． 解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n nk k nk k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
2020-2023数学新高考全国卷总结
2020-2023年数学新高考全国卷总结随着高考制度的不断改革，数学新高考全国卷作为考生备战高考的一个重要参考资料，是考生备考的重要内容之一。
为了帮助考生更好地应对数学新高考全国卷，下面将对2020-2023年的数学新高考全国卷进行总结，从题型分布、命题特点、考点分析等方面进行详细的分析和总结。
我们来看一下2020-2023年数学新高考全国卷的题型分布情况。
一、题型分布1.选择题选择题一直是数学高考试卷中的重点和难点，2020-2023年数学新高考全国卷中的选择题依然占据了较大的篇幅。
选择题分为单选和多选两种类型，其中单选题主要考查基础知识和简单的计算能力，而多选题则更加注重考生的综合能力和解题技巧。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，选择题的数量保持了相对稳定的比例，考生需认真对待。
2.填空题填空题在数学新高考全国卷中也占据了一定的比重，主要考查考生的运算技巧和对数学概念的理解程度。
填空题的难度相对较大，需要考生具备较为扎实的基础知识和较强的计算能力。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，填空题数量相对较多，考生需要加强练习，提高解题速度和准确度。
3.解答题解答题通常是数学新高考全国卷中的重点和难点，涉及知识面较广，需要考生具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，解答题的数量虽然相对较少，但每道题目的难度都较大，需要考生耐心思考，掌握解题方法，准确理解题意。
通过以上对2020-2023年数学新高考全国卷的题型分布情况的分析，我们可以看出选择题、填空题和解答题各占一定比例，考生在备考时需全面准备，注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。
接下来，我们来看一下2020-2023年数学新高考全国卷的命题特点。
二、命题特点1.紧密围绕课程标准2020-2023年数学新高考全国卷的命题紧密围绕教育部颁布的最新课程标准，试图考查考生对数学知识的掌握程度和对数学概念的理解能力。
2020年高考数学新课标一卷
2020年高考数学新课标一卷一、选择题1.复数与模o题目：若z=1+i，则|z²–2z|=()o选项：A.0 B.1 C.（缺失）D.2o答案：Do解析：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解。
由题意，z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，2z=2(1+i)=2+2i，所以|z²–2z|=|2i-(2+2i)|=|-2|=2。
2.集合与不等式o题目：设集合A={x|x²-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a=()o选项：A.-4 B.-2 C.2 D.4o答案：Bo解析：本题主要考查交集的运算和不等式的解法。
由题意，A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≤-a/2}。
因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a/2=1，解得a=-2。
3.正四棱锥与比值o题目：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()o选项：（具体选项未给出，但可通过解析得出答案）o答案：可通过计算得出（具体答案未直接给出，但解析过程清晰）o解析：本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算。
设底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为l。
由题意，h²=(1/2)×a×l，即l=2h²/a。
又因为侧面三角形面积为(1/2)×a×l=h²，所以l/a=2h/a²，即l/a=2/√(a²/h²)。
由题意知a²/h²=4（因为以高为边长的正方形面积等于侧面三角形面积），所以l/a=1/√2的倒数，即√2/2的2倍，为√2（考虑到比值应为正数，且题目问的是“比值”，故直接给出√2作为答案的近似值或简化形式，实际计算中可能涉及更精确的数学表达式或数值）。
2020年新高考数题型详解：1.1 命题及关系(教师版)人教选修
专题1.1 命题及关系题型一命题及其真假的判断【例1】（2017·全国高二课时练习）给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R,则x2＋4x＋5>0.其中为命题的序号是________,为真命题的序号是________．【答案】①③⑤⑤【解析】①是命题,且是假命题,因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句,不是命题；③是命题,且是假命题,因为数0既不是正数,也不是负数；④该语句是感叹句,不是命题；⑤是命题,因为22＋＋＝＋＋恒成立,所以是真命题．45(2)10x x x【举一反三】1．给出下列语句,其中不是命题的有________．(填序号)①2是无限循环小数；②当x＝4时,2x>0；③垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？④一个数不是奇数就是偶数；⑤2030年6月1日上海会下雨．【答案】③⑤【解析】③为疑问句,故③不是命题；⑤不是命题,因为该语句无法判断其真假．2．给定下列命题：①若k>0,则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0,c>d>0,则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0,则x,y中至少有一个为0.其中真命题的序号是____________．【答案】①②④【解析】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0,故为真命题；②由不等式的性质知,显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等,但它不是矩形,故为假命题；④为真命题．题型二四种命题关系及真假【例2-1】（2017·全国高二课时练习）把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断真假．(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x2－2x－3＝0时,x＝－3或x＝1；(3)a<0时,函数y＝ax＋b的值随x值的增大而增大．【答案】(1) 真命题;(2) 假命题 ;(3) 假命题【解析】 (1)若一个函数是奇函数,则它的图像关于原点对称,是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0,则x ＝－3或x ＝1,是假命题．(3)若a <0,则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大,是假命题．【例2-2】（2019·赤峰二中高二月考）命题“若3a >,则6a >”以及它的逆命题、否命题中,真命题的个数为（）． A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】因为原命题”若3a >,则6a >”是假命题;所以其逆否命题也是假命题, 因为逆命题”若6a >,则3a >”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若3a >,则6a >”以及它的逆命题、否命题中,真命题的个数为2个. 故选B .【举一反三】1．（2019·宾阳县宾阳中学高二月考（文））已知命题“若a b <,则22ac bc <”,则该命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】由题意,命题“若a b <,则22ac bc <”,当0c =不成立,所以为假命题, 所以命题“若a b <,则22ac bc <”的逆否命题为假命题,又由原命题的逆命题为“若22ac bc <,则a b <”为真命题,所以原命题的否命题为真命题,所以命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,有两个真命题,故选B ．2．（2019·宁夏长庆高中高三月考（理））下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若1x =,则20x x -=”的否命题B ．命题“若x y >,则||x y >”的逆命题C ．命题“若21x ≤,则1x ≤”的否命题D ．命题“若a b >,则11a b<”的逆否命题 【答案】B【解析】A. 命题“若1x =,则20x x -=”的否命题为“若1x ≠,则20x x -≠”,假命题,因为0x =时,20x x -=。
2020高考数学新题型多项选择题专项训练《01 集合与常用逻辑用语》(解析版)
专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有( ) A ．A B B =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．()U A B =∅I ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Q Ü，A B A ∴=I ，A B B =U ，()U C A B =≠∅I ，()U A C B =∅I ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3-B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆Q ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC =I B ．B C C =U C ．B A B =ID ．A B C ==【分析】可看出，“小于90︒的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90︒的角里边有小于0︒的角，而小于0︒的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解：Q “小于90︒的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴=U ，B A B =I ；Q “小于90︒的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠I ．故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8-B ．5-C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +-<”，“ 22(23)30x k x k k -+++>”，根据2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +-<” 43x ⇔-<<． “22(23)30x k x k k -+++>” x k ⇔<，或3x k >+．Q “2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k -+…，解得：3k …，或7k -…，则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a -+<D ．已知空间向量(0a =r ，1，1)-，(b x =r ，0，1)-，:1p x =；q ：向量a r与b r 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断； C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断； 【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆，则703073m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件；B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a -…恒成立”必要不充分条件；:{}n C a Q 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =-时，满足0q <，但此时12111022a a +=-=>，则2120n n a a -+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a -+<，则2221110n n a q a q --+< 10a >Q ，22(1)0n q q -∴+<，即10q +<，则1q <-，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =r，1，1)-，(b x =r ，0，1)-， 则001a b =++r r g ，cos a ∴<r，1cos 32||||a b b a b π>====⨯r r r g r r， 解得1x =±，故“1x =”是“向量a r与b r 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y =；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r ．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立 即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r ．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y = 所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'u u u r u u u r．所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(-∞，1][3U ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x -+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件．【解答】解：函数2()43f x x x =-+， 由()0f x …，得2430x x -+…， 解得3x …或1x …． ()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)，故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <-或1x >D ．10x -<<【分析】不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <-． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <-，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( )A ．x R ∀∈，120x ->B ．*x N ∀∈，2(1)0x ->C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案． 【解答】解：Q 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x ->成立，故A 项正确；Q 当*x N ∈时，1x N -∈，可得2(1)0x -…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x ->不成立，故B 项不正确；Q 当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；Q 正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解：Q 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A -∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，利用元素与集合的关系能判断正确结果．【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-， 0A ∴∈，1A -∈，{0}A ⊂，{1}A -⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}A x x x =-=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A -∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A =Q ，2}，A ∴∅⊆，2A -∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =IB ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅I ðD ．U A B =∅I ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A =I ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A =I ，故选项A ，A B A =I 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件．对于选项B ，由S S A B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S S A B ⊇痧，故S S A B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ=I ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ=I ð，故S B A φ=I ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ=I ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ=I ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( ) A ．集合B N N =UB ．集合A B I 可能是{1，2，3}C ．集合A B I 可能是{1-，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可．【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N =U ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B I 可能是{1，2，3}正确．1-不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件转化为(1-，2)(2-Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =IB ．M N N =UC ．M M N ⊆ID ．M N N ⊆U【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解：Q 集合M N ⊆，∴在A 中，M N M =I ，故A 正确；在B 中，M N N =U ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆I ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆U ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅U B ．()U UU A B A B =U U 痧?C ．A B B A =I ID ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅=U ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B =U I 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A =I I 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2-C ．3-D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-， 若22334x x =+-，即220x x +-=， 2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+-，即260x x +-=， 2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅I【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =-=-+-； 2a b -、2a -均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+-（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A -⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A -⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =-==-，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A -⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =-<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( )A ．AB =∅IB ．{|23}A B x x =-U 剟C ．{|1R A B x x =-U …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =<I …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：{|13}A x x =-<Q …，{|||2}{|22}B x x x x ==-剟?，{|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=-<-=-<I I 剟剟，故A 不正确；{|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =-<-=-U U 剟剟?，故B 正确；{|2R B x x =<-Q ð或2}x >，{|13}{|2R A B x x x x ∴=-<<-U U …ð或2}{|2x x x >=<-或1}x >-，故C 不正确；{|13}{|2R A B x x x x =-<<-I I …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x --<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈C ．“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>”D ．设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x --<，解得26x -<<，可得“26x <<”是“24120x x --<”的充分不必要条件； B 由tan20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =-，则32110x x -+=-<，即可判断出；:sin D x x a =化为sin()32a x π+=，由于常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x --<，解得26x -<<，因此“26x <<”是“24120x x --<”的充分不必要条件，A 不正确；由tan20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =-，则32110x x -+=-<，因此“x R ∀∈，3210x x -+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32a x π+=，由于常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =33x ππ+=，3ππ-，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( )A ．AB =∅I 的充要条件是()card A B card =U （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅I 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确 A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C 错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +< C ．0x ∀…，a b x <+ D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+Q ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+，0x Q …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ⌝”为假的充分不必要条件D ．“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确；“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确；“p q ∧”为真是“p ⌝”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ⌝”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确．故选：ACD ．。
高考数学新题型归纳
高考数学新题型归纳（一）解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中显现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都显现了运动问题。
即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。
因此考生需要把握在运动过程中关于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直截了当变量与间接变量的关系、以及专门值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。
在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的专门多思想，加上题目中所给信息相融合。
在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。
（二）新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要明白得坐标系中坐标差的原理，关于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清晰就行了。
近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，但是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情形下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。
比如2021年压轴题，关于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情形均相同，故只需考虑一个位就行了。
在大题具体解题中笔者会详细叙述。
（三）新名词关于题目中显现了新名词新性质，考生完全能够从新性质本身动身，从数学思维角度明白得新性质所代表的数学含义。
此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。
新课标数学追求对数学思维的自然描述，即可不能给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2021届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于专门规思路）。
比如2009年北京卷文科填空压轴题，确实是让学生直观形象的去明白得什么叫做孤立元，如此肯快就能够得到答案。
（四）知识点性质结合此类题型要紧结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一样只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。
比如2021年高考北京卷填空压轴题，需要考生把握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。
2020年高考数学考点题型全归纳(理)
2020年高考数学考点题型全归纳随着2020年高考的结束，我们不禁要对其中的数学考点题型进行一个全面的总结和归纳。
数学作为高考中的一门重要科目，其考点题型的总结对于备战高考的同学们具有重要的指导意义。
本文将对2020年高考数学考点题型进行全面的归纳，希望能够对广大学生提供帮助。
一、选择题2020年高考数学选择题考点主要集中在以下几个方面：1.函数与导数函数与导数作为数学的基础知识，在高考中占据了相当重要的地位。
在2020年高考中，函数与导数的选择题主要涉及函数的性质、导数的运算和应用等方面。
2.数列与数学归纳法数列与数学归纳法同样是高考中的热门考点。
2020年高考数学选择题涉及了等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式，同时还出现了一些利用数学归纳法证明结论的题型。
3.平面向量平面向量是高考数学的难点之一，但也是一大考点。
2020年高考选择题中的平面向量题主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的运用。
4.平面几何平面几何一直是高考数学的重要考点，2020年高考选择题中的平面几何题型主要涉及了三角形、圆、直线与圆的性质和应用等方面。
5.概率统计概率统计是高考数学中的另一个热门考点，2020年高考选择题中的概率统计题目主要涉及了基本概率，包括事件的概率、概率的计算和概率分布等内容。
二、计算题2020年高考数学计算题的考点主要集中在以下几个方面：1.导数与微分导数与微分是高考数学计算题中的热门考点，包括了函数的求导、高阶导数、微分中值定理等内容。
在2020年高考中，导数与微分题型的难度也较大，考查了考生对导数与微分的灵活应用能力。
2.几何向量几何向量题型的难度适中，主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的灵活运用。
在2020年高考中，几何向量题型的难度相对较大，需要考生具备较强的解题能力。
3.平面解析几何平面解析几何是高考数学计算题中的重要考点，涉及了平面直角坐标系、直线和圆的方程等内容。
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题1-5题-(解析版)
变式题5巩固
27．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 ，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 时， （）
3．B
【分析】观察法直接写出A与B的交集．
【详解】∵A={2，4，5，6}，
∴A∩B={2}，
故选B．
【点睛】本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.．
4．B
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，B＝{x|﹣8≤x≤8}；
A． B． C． D．
变式题5巩固
34．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
变式题6提升
35．已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（）
A．20°B．40°
C．50°D．90°
变式题1基础
23．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 ，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬 纬线的长为（）
人教A版 2020届高考数学一轮专题复习之创新型问题(含解析)
创新型问题A 组一、选择题1. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2。
则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（ ）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法） A. -1B. 1C. 6D. 12解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。
2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f(x)＝xB ．f(x)＝x 2C ．f(x)＝tan xD ．f(x)＝cos(x ＋1) 解析：对于函数f （x ），若存在常数a≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f （x ）=f （2a-x ），则称f （x ）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a ，a≠0， 选项A 函数没有对称轴；选项B 、函数的对称轴是x=0，选项C ，函数没有对称轴． 函数f （x ）=cos （x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D 正确． 故选： D3、给出函数的一条性质：“存在常数M ，使得对于定义域中的一切实数均成立。
”则下列函数中具有这条性质的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．D 正确4、设)(x f ，)(x g 都是定义在实数集上的函数，定义函数))((x g f ο：R x ∈∀，)(x f |||)(|x M x f ≤x x y 1=2x y =1+=x y x x y sin =))(())((x g f x g f =ο．若⎩⎨⎧≤>=.0 ,,0 , )(2x x x x x f ，⎩⎨⎧>≤=.0 ,ln ,0 , )(x x x e x g x ，则A ．)())((x f x f f =οB ．)())((x f x g f =οC ．)())((x g x f g =οD ．)())((x g x g g =ο解析：对于A ，因为⎩⎨⎧≤>=.0 ,,0 , )(2x x x x x f ，所以当x ＞0时，f （f （x ））=f （x ）=x ；当x≤0时，f （x ）=x 2≥0，特别的，x=0时x=x 2，此时f （x 2）=x 2，所以()()f f x =o ⎩⎨⎧≤>=.0 ,,0 , )(2x x x x x f ，故A 正确； 对于B ，由已知得（f•g ）（x ）=f （g （x ））=2, 0,(ln ), 0<1ln ,x 1x e x x x x ⎧≤⎪≤⎨⎪>⎩，0<x 1≤显然不等于f（x ），故B 错误；对于C ，由已知得（g•f ）（x ）=g （f （x ））=2ln , 0,1, 0ln ,x 0x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，显然不等于g （x ），故C 错误；对于D ，由已知得（g•g ）（x ）= , 1,ln(ln ), 1.x x x x ≤⎧⎨>⎩，显然不等于g （x ），故D 错误．故选A ．5、x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x ∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.二、填空题6、现定义一种运算“⊕”： 对任意实数b a ,，⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a 。
2020年山东省新高考数学试卷(新高考)含解析
2020年⼭东省新⾼考数学试卷⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．（5分）＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天7．（5分）已知P是边⻓为2的正六边形ABCDEF内的⼀点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
2020年新高考数题型详解：7.3 组合(学生版)人教选修
7.3组合题型一 组合数及其运用【例1】（1）（2020·浙江高三专题练习）已知2330!4mA C -+=,则m =（）A ．0B ．1C ．2或3D ．3（2）（2019·广东高二期末（理））0121834521C C C C ++⋯++的值等于（ ）A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315（3）（2019·上海财经大学附属北郊高级中学高二期末）满足方程221717xx C C +=的解为__________．(4)设k ,n *∈N ,且2n ≥,求证：11k k n n kC nC --=；(5)求满足1212100n n n n n C C C n n n++<⋯+的正整数n 的最大值；【举一反三】1．（2019·云南省泸西县第一中学高二期中（理））若2213n n A C -=,则n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．72．（2019·上海高二期末）已知n ,*m N ∈,n m ≥,下面哪一个等式是恒成立的（ ） A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111mm m n n n C C C --++=D ．111mm m n nn C C C -+++=3．（2019·上海市延安中学高二期末）计算：01220181232019C C C C ++++=L ______．4．（2019·林芝市第二高级中学高二期末（理））若C 9x =C 92x−3,则x 的值为______． 5．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）（1）已知531333435n n n C C C ---+=,求n 的值. （2）已知211,11,3x xn n x x n n C C C C +-⎧=⎪⎨=⎪⎩求,x n 的值.题型二组合概念的判断【例2】给出下列问题：(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法？(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法？(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场？(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种？在上述问题中,哪些是组合问题？哪些是排列问题？【举一反三】1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1,a2,a3,…,a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法？题型三组合的运用--有限制条件【例3】（2020·全国高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种？【举一反三】1．（2019·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.（1）任选5人（2）男运动员3名,女运动员2名（3）至少有1名女运动员（4）队长至少有一人参加（5）既要有队长,又要有女运动员题型四分组分配【例4-1】（2019·固镇县第一中学高二月考（理））按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【例4-2】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．【举一反三】1（2018·青海高二月考（理））按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.2.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种3．（2018·黑龙江鹤岗一中高二月考（理））按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.1．（2020·云南师大附中高三月考（理））在高中阶段,我们学习的数学教材有必修1～5,选修2系列3册,选修4系列2册,某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习,则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ） A ．13B ．29C ．59D ．152．（2017·上海华师大二附中高三期中）若组合数7765321mC ⨯⨯=⨯⨯,则实数m =________.3．（2019·江苏启东中学高一期中）计算：012341617234561819C C C C C C C +++++⋯++=______．4．（2019·上海高二期末）推广组合数公式,定义()()11!m x x x x m C m --+=L ,其中x ∈R ,m N *∈,且规定01x C =． （1）求315C -的值；（2）设0x >,当x 为何值时,函数()()321xxC f x C =取得最小值？5．（2019·辽河油田第二高级中学高二期中（理））计算：（1）()2973100100101CC A +÷ （2）3333410C C C +++L .6．（2019·湖北高二月考）10双互不相同的袜子混装在一只口袋中,从中任意抽取4只,求各有多少种情况出现如下结果．（1）4只袜子没有成双；（2）4只袜子恰好成双；（3）4只袜子2只成双,另两只不成双．7．（2019·周口市中英文学校高二期末（理））一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法？8．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?9．（2017·天津高二期末（理））从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问：(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法？10．（1）计算：①59998899100C C C +⋅；②012345555555C C C C C C +++++；③11n n n n C C -+⋅的值； （2）某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本,10元钱刚好用完）,则不同买法的种数是（用数字作答）．11．（2019·江西高安中学高二期中（理））如图,一个正方形花圃被分成5份.（1）若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花,求有多少种不同的种植方法?（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法?12．（2019·北京高二期末）把6本不同的书,全部分给甲,乙,丙三人,在下列不同情形下,各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本,其余两人各1本．13．（2019·江西景德镇一中高二期中（理））一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组两人。
高三数学一轮复习【新高考新题型】
故周长为(4＋2 3)x＝4＋2 3，解得 x＝1.
从而 BC＝AC＝2，AB＝2 3.
索引
设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得 cos B＝AB2＋2·ABBD·B2－DAD2＝12＋41－3AD2＝ 23， 解得 AD＝ 7.故 BC 边上的中线长为 7. 选③，设 BC＝AC＝2x，则 AB＝2 3x， 故 S△ABC＝12·2x·2x·sin 23π＝ 3x2＝343， 解得 x＝ 23，从而 BC＝AC＝ 3，AB＝3.
索引
【对例称3，】写(出1)(一20个21符·北合京题卷意)若的θP(值cos_51_θπ2_，_θ_s＝_in_51_θπ2_)＋与__k_Qπ_，_c_ok_s∈_θ_＋Z_，_π6_答_，_案__s不 _in_唯 _θ_＋_一_π6_.关于 y 轴
解析 由题意知，点 P，Q 都在单位圆上，且 θ＋θ＋π6＝π＋2kπ，k∈Z，所以 θ ＝51π2＋kπ，k∈Z.
y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(CD )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
解析 ∵－y＝n1(y1＋y2＋…＋yn)＝n1(x1＋x2＋…＋xn)＋c， ∴－y＝x－＋c 且 c≠0，因此 A 错误； 显然第一组数据与第二组数据的中位数相差c，B错误；
图(3)
图(4)
索引
因为正方体的棱长为 2，故 PQ＝12AC＝ 2，OQ＝ AO2＋AQ2＝ 1＋2＝ 3，PO ＝ PK2＋OK2＝ 4＋1＝ 5，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO 不是直角，故 PO，MN 不垂直，故 D 错误.故选 BC.
2024年高考数学新模式新题型数学与阅读理解及答案
2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．2(镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y 1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．3(合肥一中期末)19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若m a-b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n，其中a1<a2<a3<⋯<a n．①若b n=a n+1-a n(n∈N*)，数列b n的前n项和为S n，求S2024；②若c n=tan a2n+1⋅tan a2n-1(n∈N*)，求数列c n的前n项和T n．4(北京西城)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x1,y1,⋅⋅⋅,x m,y m,x2,y2满足如下三个性质：①x i,y i∈1,2,⋅⋅⋅,N，且x i≠y i i=1,2,⋅⋅⋅,m；③p,q与；②x i+1=y i i=1,2,⋅⋅⋅,m-1q,p不同时在数对序列A中.(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x1=1的数对序列A；(2)当N=6时，证明：m≤13；(3)当N为奇数时，记m的最大值为T N ，求T N .5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α =(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α 称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β =(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α =(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ =(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ =(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm 线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 (k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k m l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.8(高考仿真)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{a n}具有性质P，a i(i=1，2，⋯，k)是{a n}中的任意一项，证明：a k-a i一定是{a n}中的项；(3)若数列{a n}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a n}是等差数列．9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQ MP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BS DS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x 是f x 的导函数，f''x 是f'x 的导函数，则曲线y=f x 在点x,f x处的曲率K=|f (x)|1+[f (x)]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为ba．【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．。
2020年新高考数题型详解：1.5 本章题型总结(学生版)人教选修
1.5 本章题型总结题型一 命题真假判断1.（2019·安徽高三月考（理））已知命题:2p x ∀>,22x x >,命题:q x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））设命题:53p ≥,命题{}{}:11,2,3q ⊆,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∨3．（2017·安徽高考模拟（理））已知命题p ：(0,)x ∀∈+∞,144x x+>；命题q ：0(0,)x ∃∈+∞,00ln 2x x +>,则下列命题是真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝4．（2018·山西高二期末（文））设命题p ：22≥,命题q ：{1}{0,1,2}⊆,则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝D.p q ⌝∨⌝题型二 充分、必要条件1．（2019·辽宁高二期末（理））设0a >,0b >,则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2019·贵州高二期末）设0x >,y R ∈,则“x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（2018·湖南长郡中学高考模拟（文））“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·黑龙江大庆一中高考模拟（文））已知p:|x +1|>2 ,q:x >a ,且¬p 是¬q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是（ ） A.a ≤1B.a ≤−3C.a ≥−1D.a ≥1题型三 存在与恒成立问题1.．（2019·内蒙古高二期末（理））设命题P ：对任意x ∈[0,1],不等式2x −2≥m 2−3m 恒成立,命题q:存在x ∈[−1,1],使得不等式x 2−x +m −1≤0成立. （1）若P 为真命题,求实数m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,求实数m 的取值范围.2．（2018·重庆市江津中学校高二月考（文））已知命题:p “1,,420x x x R m R m +∀∈∃∈-+=”,:q “[]1,2x ∃∈,()212log 11x mx -+<-成立”.如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求实数m 的取值范围.3．（2018·福建省厦门第二中学高二月考（文））已知命题p ：“[]1,2x ∀∈,20x a -≥”,命题q ：“x R ∃∈,2220x ax a ++-=”,若命题“p q ⌝∧”是真命题,求实数a 的取值范围.1．（2019·山东济南外国语学校高三月考）命题“[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤2．（2019·江西高考模拟（文））已知命题:p x R ∀∈,45x x <；命题:q x ∃∈R,sin cos x x +=则下列形式的命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q 刭C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2019·天津实验中学高考模拟（理））设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·天津高考模拟（理））不等式10x x->成立的充分不必要条件是（ ） A.1x >B.1x >-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >5．（2019·安徽高三月考（理））设集合11{|()8}22xA x =<<,{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =,求A B U ；（2）设命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,若p 是q 成立的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．6．（2019·湖北高二期末（理））已知:p x R ∀∈,230ax x -+>,:[1,2]q x ∃∈,21n a ⋅≥. （1）若p 为真命题,求a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题,且p q ∧为假命题,求a 的取值范围.7．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（理））已知函数2f x ax =-（）,不等式4f x ≤（）的解集为{}|26x x -≤≤．（1）求实数a 的值；（2）设3g x f x f x =++（）（）（）,若存在x R ∈,使2g x tx -≤（）成立,求实数t 的取值范围．8．（2019·湖北荆州中学高二期末（文））若命题p ：∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0；命题q ：∃x 0∈[−1,1],2x 0>a ,若(¬q)∧p 为真命题,求实数a 的取值范围.9．（2018·河南高二月考（理））已知m ∈R ,命题p ：对∀x ∈[0,8],不等式log 13(x +1)≥m 2−3m 恒成立；命题q ：对∀x ∈(−∞,−1),不等式2x 2+x >2+mx 恒成立． (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围； (2)若p ∧q 为假,p ∨q 为真,求实数m 的取值范围．10．（2018·湖南高二期中（理））已知命题p ：∀x ∈(0,+∞),(12)x +m −1<0；命题q ：∃x ∈(0,+∞),mx 2+4x −1=0.若“p 且q ”为真命题,求实数m 的取值范围．11．（2019·敦煌中学高考模拟（理））已知命题P :[1,2]x ∀∈,20x a -≥;命题Q :0x R ∃∈,使得200(1)10x a x +-+<.若“P 或Q ”为真,“P 且Q ”为假,求实数a 的取值范围.12．已知命题p ：“⊥x⊥[1,2], x 2－lnx －a≥0”与命题q ：“⊥x⊥R,x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题,求实数a 的取值范围．13．（2018·江西省樟树中学高二月考（文））已知a⊥R,命题p ：⊥x⊥[－2,－1],x 2－a≥0,命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围；（2）若命题“p⊥q”为真命题,命题“p⊥q”为假命题,求实数a 的取值范围．14．（2018·安徽淮北一中高二月考（文））已知a R ∈,命题[]:2,1p x ∀∈--,20x a -≥,命题:q x R ∀∈,()2220x ax a +--=.（1）若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题,命题“p q ∧”为假命题,求实数a 的取值范围.15．（2018·江苏高二期中（文））已知函数2()21,f x x x a R =-+∈,命题:[0,2]p x ∃∈,()f x a <；命题:[0,2],()0q x f x a ∀∈+<.(1)若p 为真命题,求a 的取值范围； (2)若q 为真命题,求a 的取值范围；(3)若“p q ∧”为假命题,“p ⌝”为假命题,求a 的取值范围.16．（2018·吉安县第三中学高二期中（文））已知a⊥R,命题p ：“⊥x⊥[1,2],x 2﹣a≥0”,命题q ：“⊥x⊥R,x 2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围；（2）若命题“p⊥q”为真命题,命题“p⊥q”为假命题,求实数a 的取值范围．17．（2018·江西九江一中高二期末（理））已知命题:P (1,2)x ∃∈使不等式2(1)0x a x a -++≤成立；命题:Q 函数22()log ()f x x ax =-在[2,)+∞上单调递增.求使P 且Q 为真命题的实数a 的取值范围．18．（2019·江苏省镇江中学高一月考）命题2:03x p x ->-,命题22:3210q x ax a b +++->. （1）若6b =,223210x ax a b +++->在x ∈R 上恒成立,求实数a 的取值范围： （2）若b a =,p 是q 的必要不充分条件,求出实数a 的取值范围.19．（2019·河北省隆化存瑞中学高二月考）设:22p a x a -≤≤+(0a >)；:q ()()320x x +-≤. （1）若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围； （2）若1a =,且p 与q 一真一假,求实数x 的取值范围.20．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在(0,＋∞)上单调递增,函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ⊥[1,2)时,记f (x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,设p ：x ⊥A ,q ：x ⊥B ,若p 是q 成立的必要条件,求实数k 的取值范围．21．（2019·贵州省铜仁第一中学高二期末（理））已知a >0,设p ：实数x 满足x 2−4ax +3a 2<0 ,q ：实数x 满足|x −3|<1．（1）若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．22．（2019·新疆兵团二中高二月考（理））设:p 实数x 满足22540x ax a -+<（其中0a >）,:q 实数x 满足25x <≤。
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2020年高考数学新题型汇总1、已知函数y ＝f(x)的定义域为[a ，b]，}0|),{(}),(|),{(=⋂≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集，则（ ）A 、ab ＞0B 、ab ≥0C 、ab ＜0D 、ab ≤0答：A 依题意φ==⋂≤≤=}0|),{(}),(|),{(x y x b x a x f y y x ，故函数y ＝f(x)（x ∈ [a ，b]）与y 轴不相交，所以ab ＞0。
2、坐标平面上一点P 到点A （12,0）,B(a,2)及到直线x=12-的距离都相等。
如果这样的点P 恰好只有一个，那么实数a 的值是 （ ）A 12B 32C 12或32D 12或-12答：D 平面上到点A （12,0）及到直线x=12-的距离相等的点的轨迹是抛物线y 2=4x 。
本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A （12,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB 的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴平行。
可得结果实数a 的值为12或-12。
3、定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为（ ） （A ）-1 (B) 0 (C) 1 (D)2答：D 由对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，所以函数f(x)是R 上的减函数， 由不等式| f(x-t)+2|<4，得-4<f(x-t)+2<4, 得 -6<f(x-t)<2,又 f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6）， 所以-6<x-t<2,得t -6<x <2＋t ，又不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)， 所以t ＝2.4、直线y = a (a 为常数)与正切曲线y = tan x ω(ω为常数，且ω＞0) 相交的相邻两点间的距离是( )． A ．π B ．ωπ2 C ．ωπD ．与a 值有关答：C 利用图象，直线y = a 与正切曲线y = tan x ω相交，知两相邻交点的距离，就是此正切曲线的一个周期，因此可得ωπ。
5、连接平行四边形ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，研究性学习小组在几何画板上拖动平行四边形的顶点时动态观察发现： ①AR =RT =保持不变；②EF =21（AB +）③△BRT 是等边三角形上述观察对任意平行四边形成立的是（ ）A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答：A不论平行四边形的形状如何改变，①②对任意平行四边形均成立，③不成立6、一条走廊宽2m 、长6m ，用6种不同颜色、大小均为11⨯2m 的整块单色地砖来铺设，要求相邻的两块地砖颜色不同，假定每种颜色的地砖都足够多，那么不同的铺设方法共有 ( ) A ．630种 B ．53025⨯种 C ．53021⨯种 D ．53020⨯种答:C 若与第一列两块颜色均相同，只有1种，故铺第二列共有128121++=种方法；铺第三列只需考虑与前一列(即第二列)的关系，同样有21种方法，以此类推，以后每一列有21种方法，故铺设完毕总共有53021⨯种.7、已知f(x)=321,0,3x x ax m a -++>其中如果存在实数t 使导函数12()0,(2)()3tf x f t f +'''<+则的值（A ）比为正数 (B)比为负数 (C) 可能为零 (D)可正 答:B2121212()2,0(0)0()1,(0)(2)0()0,02,()0,,f x x x a a f f x x f f a f x x x x x t f t x t x '''''=-+>∴>=∴==>''<<<<∴<<Q Q 又的对称轴为设＝的二根为则存在使1212t 12t 12t(2)(2)0,()0(2)()0333f t f x x f f t f +++'''''+>><<∴<+<Q 又故所有选（B ）8、设函数f(x )＝|x －a |－|x －a 2|，若f(1)＜0，则f(0)的范围是( )Α.(－∞，－2)∪(0， 1 4) Β.(－∞， 14) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(0，14) 答:D 由f(1)＜0得|1－a |－|1－a 2|＜0，所以1－|1＋a |＜0且a ≠1，即有a ＜－2或a ＞0且a ≠1，则|a |＞0且a ≠1．因f(0)＝|a |－|a |2＝－(|a |－ 1 2)2＋ 1 4，则f(0)∈(－∞，0)∪(0， 14)．9、设x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤2y ≥04x ＋3y ≤12 且z ＝|2x ＋ay ＋6|取得最大值的最优解有无数个，则a= ( )Α.2 B. 3 2 C. 2 3 D. 12F A BCD ERTxyO－1 －3 2432x +ay+6＝0 4x +3y ＝12 y －2x ＝2答:B z=|2x +ay +6|4+a 2·4+a 2表示可行域内的点到直线2x ＋ay ＋6＝0的距离的4+a 2倍．而直线2x ＋ay ＋6＝0过（0，－3），由最大值的最优解有无数个（如右图）知，直线2x ＋ay ＋6＝0平行直线4x ＋3y ＝12，所以a ＝ 3 2．10、如右图所示的几何体ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且AE ∥CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是 ( ) Α.45 B.42 C.39 D.36答:C 每个三棱锥中有三对异面直线，则异面直线的对数是3(C 46－2)＝39．11、如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=+6cos 6sinθθ.答：-1 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量OA 绕点O 旋转了3π-（注意OA 绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量OA 绕点O 旋转了32π-，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量OA 绕点O 旋转了π-.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量OA绕点O共旋转了π6-，即πθ6-=，因而1)sin()cos(6cos 6sin-=-+-=+ππθθ。
12、一杯浓度为b a 的糖水，加一点糖m ，其浓度会变大，即b a ＜mb ma ++感觉会甜一点；如果将两杯浓度不一样甜的糖水b a ＜d c倒在一起，甜度会怎样？请你写出一个不等关系说明其甜度关系_________ABCD EF甜度在原来两种甜度之间，即b a ＜d bc a ++＜dc ， 答案：b a ＜d b c a ++＜d c ，此题具有开放性问题答案也可以是b a ＜dc bd ca ++＜d c 或b a ＜bd bc ad 2+＜dc等 13、P(x,y)是由y=x ，y=－x ，x=2三条直线所围成的三角形内部一个动点，且P 到这三条直线的距离依次为|PE|、|PF|、|PH|，且|PE|·|PF|=|PH|2，则P 的轨迹方程是____________. 解：设P 点的坐标为P(x,y)，依题意|PE|=2||y x - ∵P(x,y)在直线y=x 的下方∴x －y>0 ∴|PE|=2y x -；同理|PF|=2y x +，|PH|=2－x又|PE|·|PF|=|PH|2∴2))((y x y x +-=(2－x)2，整理得y 2+(x －4)2=8(4－222≤≤x )14、（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式B E '+=。
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是边AB 上的一点，4=BFBA，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且FQ PF λ=，求实数λ的取 值范围。
解答：(1)建立如图所示坐标系，设E(0,t),B ’(x 0,2)，M(x,y),则在'AB E ∆中可求得lEDB 'C 'CBA'21AB t =-，∴021x t =-()()'(,),0,,21,2EM x y t EB t EB t t =-=-=--u u u r u u u u r u u u r又B E EB EM '+=，代入可得：()21122x t t y t⎧=-⎪≤≤⎨=-⎪⎩消去t 得：1412+-=x y （0≤x ≤2）（8分）(2)如图，显然PQ 与x 轴垂直时不符合题意，故可以设直线PQ 的方程为：12y kx =+，()()1122,,,P x y Q x y由211412y x y kx ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2420x kx +-=* ∴12124,2x x k x x +=-=-（1）且21680k ∆=+>又1211221211,,,112222x x PF x y FQ x y y y λλ=-⎧⎪⎛⎫⎛⎫=--=-∴⎨⎛⎫ ⎪ ⎪-=-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎩u u u r u u u r ，即12x x λ=-（2）代入（1）得：()222142x k x λλ-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，消去2x ，得()2218k λλ-= 又根据图像可知，当且仅当1144x -≤≤时，直线与曲线C 有两个交点，∴21016k ≤≤，∴()2211082k λλ-≤=≤，解之得21≤λ≤2（6分） 14、邻居老李今年45岁，因精简机构被裁员买断。
按规定，凡买断者根据工龄及业绩一次性给予补贴。
若有返聘者，则给予原工资的 0070 薪酬，其余福利一概不计。
已知老李月工资3000元，这次买断可一次性补贴10万元，家中原有积蓄5万元。