基于ANSYS的共振频率分析及实验研究

基于 ＡＮＳＹＳ 的共振频率分析及实验研究
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２ 实验测量及计算
见图 １ꎮ
图 １ 实验装置图
试样 铜杆
截面直 ｄ / １０－３ ｍ ７.９８９
长度 Ｌ / ｍ ０.１８
实验中ꎬ分别用螺旋测微计、电子天平等工具 测量得到细铜杆材料棒基本参数如表 １ 所示ꎮ
表 １ 铜杆模型的参数
质量 ｍ / ｋｇ ０.０７５ ４
图 ２ 铜制细长棒模型
采用 Ｂｌｏｃｋ ｌａｎｃｚｏｓ 方法进行模态分析[９] ꎬ求 解铜制细长棒的前三阶共振频率ꎮ 施加约束进 行求解ꎮ 通过后处理器 ＰＯＳＴ１ꎬ查看铜杆的各阶 振动频率及振型如图 ３(ａ) ~ (ｃ) 所示ꎬ细长棒的
前三阶共振频率分别为７９２.１７６ Ｈｚ、２ １６２.４７ Ｈｚ、 ４ １８０.８１ Ｈｚꎬ对应的铜制细长棒的前三阶振型如 图 ３ 所示ꎮ
关 键 词: ＡＮＳＹＳꎻ杨氏模量ꎻ共振频率ꎻ有限元分析
中图分类号: Ｏ ４￣３４
文献标志码: Ａ
ＤＯＩ:１０.１４１３９ / ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１８.０２.００５
动态法测量固体材料杨氏模量实验中[１] ꎬ基 于细长棒横振动偏微分方程求解ꎬ建立了共振频 率( 固有频率) 与杨氏模量的关系ꎬ提出了共振法 测量杨氏模量的实验思想ꎮ 整个实验最终归结为 材料棒共振频率的测量ꎮ 实验中需首先根据测量 的材料棒外形尺寸参数及杨氏模量与共振频率关 系式ꎬ进行共振频率的估算ꎮ 作者在测量部分不 锈钢材料棒截面直径时ꎬ发现两端直径有偏差ꎮ 对于复杂截面和变截面材料ꎬ惯性矩不再是常数ꎬ 理论估算将无法进行ꎬ导致测量共振频率困难ꎮ 文献 ２ 通过 Ｍａｔｌａｂ 基于图解法分析获得了杆横 振动一阶、二阶、三阶共振频率及相应振型[２] ꎬ计 算过程繁琐复杂ꎮ 借助通用有限元分析软件 ＡＮ￣ ＳＹＳ１４.０ꎬ基于有限元的思想ꎬ通过对材料棒的物 理建模及网格划分ꎬ进行了振动模态分析ꎬ获得了 材料棒的前三阶共振频率及相应的振型ꎻ通过谐 响应分析得到的前三阶的共振峰ꎬ与实验结果对 比表 明ꎬ 在 误 差 允 许 范 围 内 是 一 致 的ꎮ 通 过 ＡＮＳＹＳ 的有限元建模及其模态分析ꎬ可获得相应 共振频率ꎬ对于理论分析和实验具有一定的指导 作用ꎮ
测 量 值 分 别 为: ７８７. ９０ Ｈｚ、 ２ １１７. ５１ Ｈｚ、 ４ １５２.８２ Ｈｚꎮ
３ 基 于 ＡＮＳＹＳ 的 模 态 及 谐 响 应 分析
如图 ２(ａ)所示为实验采用的细长铜棒ꎬ通过 ＡＮＳＹＳ[６￣８] 前处理器 ＰＲＥＰ 定义单元类型为 ｂｅａｍ 单元ꎬ按照表格 １ 设置模型的密度、泊松比、杨氏 模量等参数ꎬ建立与实验试样相同的铜制细长棒 模型ꎮ
( 中国石油大学ꎬ山东 青岛 ２６６５８０)
摘
要: 由共振法测量杨氏模量的实验思想ꎬ采用有限元分析软件 ＡＮＳＹＳ１４.０ 对铜质细长棒进行
了模态分析及谐响应分析ꎬ获得了前三阶振动模态的共振频率及振型ꎻ通过施加载荷后的谐响应曲线ꎬ
获得前三阶共振峰ꎬ将数值仿真结果与理论求解及实验结果进行对比ꎬ结果是一致的ꎮ
ω
＝
２πｆ
＝
éëêê
Ｋ４ ＥＪ ρＳ
ùûúú
１ ２
(３)
因圆棒试样不能满足 ｄ<<Ｌꎬ考虑修正系数ꎬ
则 ｆ修正 ＝ 获得ꎮ
１ ｆꎬ Ｔ１ 可 通 过 查 阅 文 献 １ 表 ３￣９￣１
Ｔ１
由式( ３) 可知ꎬ对于铜质细长棒试样ꎬ只要测
量出固有频率 ( 共振频率) ｆ 就可获得杨氏模量
Ｅꎻ因 而 整 个 实 验 的 关 键 归 结 为 共 振 频 率 ｆ 的 测量[３￣５] ꎮ
杨氏模量 Ｅ / Ｇｐａ １１０
泊松比 ０.３４
密度 ρ / ｋｇ / ｍ３ ８ ３５６
根 据 表 １ 中 参 数ꎬ 将 ＫｎＬ ＝ ４. ７３０ꎬ ７. ８５３ꎬ １０.９９６( ｎ ＝ １ꎬ２ꎬ３) 代入式(３) 进行计算ꎬ可获得前 三阶 共 振 频 率 分 别 为: ７９２. ４３ Ｈｚ、 ２ １８４. ３２ Ｈｚ、 ４ ２８２.６６ Ｈｚꎮ 整个实验装置如图 １ 所示:材料棒 采用激振换能器、拾振换能器支撑ꎬ利用信号发生 器产生正弦波信号加载到激振换能器产生机械振 动ꎬ拾振换能器取出振动信号显示于数字示波器ꎻ 当施加信号频率与固有频率相等时ꎬ则示波器显 示幅度拉伸到最大的共振信号ꎮ 根据上面理论计 算的结果ꎬ对激振换能器施加可调正弦信号ꎬ在计 算出的频率附近寻找ꎬ并精确判断出共振状态ꎬ读 出信号频率ꎬ可得到前三阶对应共振频率的实验
利用分离变量法求解微分方程ꎬ得到方程的解
ｙ( ｘꎬｔ)＝ ( ａ１ｃｈＫｘ ＋ａ２ｓｈＫｘ ＋ａ３ｃｏｓＫｘ ＋ａ４ｓｉｎＫｘ)
������ｂｃｏｓ( ωｔ＋φ)
(２)
其中
ω
＝
éëêê
Ｋ４ ＥＪ ρＳ
ùûúú
１ ２
ꎬ因材料棒截面为圆形ꎬ其
惯性矩
Ｊ
＝
１ ６４
πｄ
４
ꎬｄ
为材料棒直径ꎬ本征值
Ｋ
和棒
长 Ｌ 满足 ＫｎＬ ＝ ０ꎬ４. ７３０ꎬ７. ８５３ꎬ１０. ９９６ꎬ１４. １３７������ 等ꎬ则
收稿日期: ２０１７￣１２￣０６ 基金项目: 中国石油大学( 华东) 大学生创新训练计划项目(２０１６１３９０) :中国石油大学( 华东) 青年教师教学改革项目( ＱＮ２０１６２３) ꎻ
教育部高等学校大学物理课程教学指导委员会教学研究项目( ＤＷＪＺＷ２０１５２２ｈｄ) ꎻ山东省教学改革项目(２０１５Ｍ０２２) ∗通讯联系人
１ 理论分析
一根细长棒ꎬ其长度 Ｌ 远远大于直径 ｄ( Ｌ>>
ｄ) ꎬ作微小横振动动力学方程( 横振动方程) 为
∂４ ｙ ∂ｘ４
＋ρＳ∂２ ｙ ＥＪ∂ｔ２
＝
０
(１)
棒轴线沿 ｘ 方向ꎬ式中 ｙ 为棒截面的 ｙ 方向
位移ꎬＥ 为杨氏模量ꎬρ 为材料密度ꎬＳ 为棒的截面
积ꎬＪ 为截面的惯性矩ꎮ 根据自由振动边界条件ꎬ
第 ３１ 卷 第 ２ 期 ２０１８ 年 ４ 月
大学物理实验
ＰＨＹＳＩＣＡＬ ＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴ ＯＦ ＣＯＬＬＥＧＥ
文章编号:１００７￣２９３４( ２０１８) ０２￣００１８￣０４
Ｖｏｌ.３１ Ｎｏ.２ Ａｐｒ.２０１８
基于 ＡＮＳＹＳ 的共振频率分析及实验研究
张语晗ꎬ王世鹏ꎬ鲁 妮ꎬ王雨思ꎬ李书光ꎬ王 龙∗