电路原理2.2.1电阻的星形联结和三角形联结的等效变换 - 电阻星形连接与三角形连接的等效变换

i1Y i2Y i3Y 0
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电阻电路的等效变换
由式(2)解得：
i1Y
u12Y R3 u31Y R2 R1R2 R2 R3 R3 R1
i2Y
u23Y R 1 u12Y R1R2 R2 R3
R3 R3
R1
(3)
i3Y
u31Y R2 u23Y R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
1.5 (0.6 1.4)(1 1) 2.5 0.6 1.4 1 1
求得： i 10 10 4 R 2.5
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电阻电路的等效变换
＋
10V －
i1
3 2
2
1.4
3
图(a)
5 Y→△ ＋
4
10V
－
1
i1
3
2
1.4
R12 R23 R31
3
图(c)
法二： Y →△，将图(a)中的 5、2和1电阻构成 的Y 网络如等效变换为△网络，如图(c)所示。
R2 R3 R1
R3
R1
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
1
R12
R1 R31
R2 R3
2
R23
3
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电阻电路的等效变换
接Y接时：
R 相邻电阻乘积 R
例如：
R1
R12
R12 R31 R23
R31
R2
R12
R23 R12 R23
R31
R3
R12
R31 R23
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电阻电路的等效变换
i1
i1
3 ＋
10V 2 －
2 5 Y→△ ＋
3
4
10V 2
－
R12 R23 R31
1.4
1
1.4
3
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
R3
R1
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
3
R12
(5
2+2 1+1 1
G23G31 G31
G31G12
R3
R12
R31 R23 R23
R31
G3
G12G23
G23G31 G12
G31G12
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电阻电路的等效变换
简记方法：
Y接接时：
Y形电阻两两乘积之和 R Y形不相邻电阻
例如：
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
de
cf
b
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电阻电路的等效变换
（3）求Rah
d a
h e
c
g
b
f
3 Rah 4 R
（电桥平衡）
由电路对称性， 找出等电位点：
d、e等电位 c、f等电位
de
a b
h
g cf
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电阻电路的等效变换
思考与练习
1. 计算图(a)中ab端口的等效电阻Rab= ________ 。 2. 图(b)中的固定衰减器称为T形桥，使用Y变换证明：
+
–
i1 1
u12 R12
– i2 2
+
R23 u23
u31 R31
i3 + 3
–
+ i1Y 1 –
u12Y
– i2Y R2 2
+
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y +
3–
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电阻电路的等效变换
i1
1
u12 R12
i2 2
R23 u23
u31 R31
i3 3
i1Y 1
u12Y
G12
G1
G1G2 G2 G3
G23
G1
G2G3 G2 G3
G31
G1
G3G1 G2
G3
类似可得到由接Y接的变换结果：
R1
R12 R31 R12 R23
R31
G1
G12G23
G23G31 G23
G31G12
R2
R12
R23 R12 R23
R31
或
G2
G12G23
电阻电路的等效变换
§2-2 电阻星形连接与三角形连接的 等效变换 （Y－ 变换）
一. 三端无源网络
引出三个端钮，内部没有独立源的网络
无 源
三端无源网络的两个例子： ，Y网络：
型网络
R12
2
1
Y型网络
R31
3 R23
R2 2
1 R1
R3
3
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电阻电路的等效变换
，Y网络的变形：
型电路
T型电路
I3
I5
R13
4
R12
3
R42
R23
I
I2
I4
R6
2 ＋ 6V －
U12 R14I 1R42I2 1.6V
I5
U12 R12
1.6 A 80
0.02A
应用KCL可得：
I3 I1 I5 0.05 0.02 0.03A
I4 I2 I5 0.05 0.02 0.07 A
思考：若R42=8Ω时，请重新计算I5= 0
5 )
Baidu Nhomakorabea
17
R23
(5
2+2 1+1 5
5 )
3.4；
R31
(
5
2+2 1+1 2
5 )
8.5
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电阻电路的等效变换
i1
＋
10V －
3
2
17 8.5 3.4
1.4
3
R 3//17 3.4//1.4)//8.5 2.5
求得： i 10 R 10 4 2.5
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i2Y R2 2
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y
3
接： 用电压表示电流
i1
u12 R12
u31 R31
i2
u23 R23
u12 R12
(1)
i3
u31 R31
u23 R23
Y接： 用电流表示电压
u12Y R1i1Y R2i2Y
u23Y R2i2Y R3i3Y
(2)
u31Y R3i3Y R1i1Y
40
R2
R12 R23 R12 R23 R13
80 20 80 20 100
8
R3
R13 R23 R12 R23 R13
100 20 10 80 20 100 返回
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电阻电路的等效变换
I1 R41 40
4
R42 72
I
I2
R6 10
1
R1 40 R3 10
3
I
I2
R6 10
1
R1 40 R3 10
3
R2 8
2 ＋ 6V －
未等效部分的电流I、 I1、I2不变：
I 6 R43 10
6 50 10
由分流公式可知：
I1
I2
I 2
0.05A
注意：剩余部分的电流，即等效部分的电流必须
回到原电路求解。
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电阻电路的等效变换
I1 R41
1
a
求以下端口等效电阻：
h e
Rag, Rab, Rah
c
g
b
简化电路遵循的原则：
f
若能判断某两点等电位，则将该两点短路； 若某一支路电流为零，则将该支路拿掉/开路。
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电阻电路的等效变换
解： （1）求Rag
d
h
a
e
c
g
由电路对称性， 找出等电位点：
b、d、e等电位 c、f、h等电位
d
h
b
f
a
e
c
g
b
f
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电阻电路的等效变换
d
将等电位点短接，
a
e
画出等效电路：
h
c
g
b
f
b de a
cf h
Rag
R 3
R 6
R 3
g
5
R
6
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电阻电路的等效变换
（2）求Rab
d
由电路对称性，
h
找出等电位点：
a c
b
a
e
d、e等电位
c、f等电位
g
7
f
Rab 12 R
hg
电阻电路的等效变换
例8. 如图所示桥式电路，已知各电阻值分别为：
I1 R41
1
I3
I5
R13
4
R12
3
R42
R23
I
I2
I4
R6
2 ＋ 6V －
R12=80Ω,R23=20Ω, R13=100Ω, R41=40Ω, R42=72Ω, R6=10Ω
求：（1）节点3、4之间的等效电阻； （2）所示各支路电流。
G12
G1
G1G2 G2 G3
G23
G1
G2G3 G2 G3
G31
G1
G3G1 G2
G3返回
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电阻电路的等效变换
由Y接 接的变换结果：
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
R3
R1
或
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
1/3k 1/3k
1k 1k 1k
Y变换 E
1/3k 1k R
E
1k R
1k
Y变换 E
3k 3k
R 3k
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电阻电路的等效变换
例7: 求图(a)电路中电流 i。
i1
i1
3 ＋ 10V 2
5 △→Y ＋
2
3
10V 2
R2
－
－
1.4
1
1.4
R1 R3
3
1
4
4
解：
图(a)
图(b)
法一： △→Y，将图(a)中的 3、5和2电阻构成
如果R=RL，则Rab=RL。 3. 求图(c)中电流 I = ________ 。
a
2
ba
2
4
1 2
b
4
图(a)
R
RR R
c
＋
2V RL － 2
8 I
4
8 4 2
d
固固固固固
图(b)
图(c)
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R23 R31
1
R12
R1 R31
R2 R3
2
R23
3
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电阻电路的等效变换
特例：若三个电阻相等（对称），则有
R 3RY ( 外大内小 )
1 3
注意： (1)等效对外部（端钮以外）有效，对内不成立。 (2)等效电路与外部电路无关。
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电阻电路的等效变换
例6. 桥T电路的简化应用
i1
u12 R12
u31 R31
i2
u23 R23
u12 R12
(1)
i3
u31 R31
u23 R23
由等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
R3
R1
或
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
4
35 R1 3 2 5 1.5
32 R2 3 2 5 0.6
R3
3
2 2
5
5
1
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电阻电路的等效变换
＋
10V －
i1
1.5
0.6 1
2
3
1.4
1
再用电阻串联和 并联公式，求出连接 到电压源两端单口的 等效电阻：
4
R 1.5 (0.6 1.4)//(1 1)
R2 8
2 ＋ 6V －
（1）节点3、4之间 的等效电阻为：
R43
(40 (40
40) (72 8) 40) (72 8)
50
（2）所示各支路电流：
由“对外等效” 可知，未等效部分的电压、 电流不变，即I、I1、I2不变。
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电阻电路的等效变换
I1 R41 40
4
R42 72
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电阻电路的等效变换
R1
4
R2
＋
1
R3 I5
R5
3
R4
2
U
－
补充：电桥平衡现象 当 R1 R3
R2 R4
或 R1 R3 R2 R4 时
电桥平衡
I5 0A 1,2节点等电位
“开路”处 理 “短路”处 理
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电阻电路的等效变换
例9. 如图所示电路图，
d
已知每个电阻均为R，试
二. Y－ 等效变换的条件
要点：当 ,Y电路的电阻满足一定关系时， 两者之间能够相互等效。
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电阻电路的等效变换
复习等效的概念:当电路中某一部分用其等效电路替代后， 未被替代部分的电压和电流均应保持不变。
等效的条件： i1 =i1Y，i2 =i2Y，i3 =i3Y， u12 =u12Y，u23 =u23Y，u31 =u31Y
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电阻电路的等效变换
解：
I1 R41
4
R42
I
I2
R6
1
I3
I5
R13
R12
3
R23 I4 2 ＋ 6V －
△→Y
I1 R41 40
4
R42 72
I
I2
R6 10
1
R1 R3
3
R2
2 ＋ 6V －
Y变换
R1
R12 R13 R12 R23 R13
80 100 80 20 100
的△网络如等效变换为Y网络，如图(b)所示。
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电阻电路的等效变换
i1
i1
3
5
＋
2
△→Y ＋
R2
10V 2
3
10V 2
－
－
1.4
1
1.4
R1 R3
3
1
4
R1
R12
R12 R31 R23
R31
R2
R12
R23 R12 R23
R31
R3
R12
R31 R23
R23 R31