辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

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辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学(理)试卷Word版含答案

辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学（理）试题第I卷一、选择题。

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设R为实数集，集合=2．已知复数A．1 B．C．D．3．函数所对应的图象向左平移署个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为4．己知数列5．由所对应的曲线围成的封闭图形的面积为6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．408．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为A．48 B．72 C．144 D．264;9．下列四个命题：①己知服从正态分布②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题冉已知”是真命题④已知点则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知向量为单位向量，最大僮为（）A．B．4 C．D．211．抛物线，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交予A，B两点（A点在第一象限），且，则三角形AOB（O为坐标原点）的甄积为（）12．已知函数的一个零点，若，则符合条件的露的值有（）A．l个B．2个C．3个D．无数个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第1 3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应题号后的横线上13．的展开式中含有非零常数项，则正整数刀的最小值为．14．设{}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为____．15．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是____．16．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若则四棱锥P-ABCD的体积最大值为____三、解答题：本大题共6小题，共70分。

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试数学(理)试卷及答案

2014---2015学年度上学期高三期末考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A CD C D A B B D B C 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 014. 15. 181316.41[1-(31)n ] 三.解答题:17.(本小题满分12分)解：(1) 由题，则，化简得， …2分即，，所以 (4)分从而，故. ……………………………………………6分(2) 由，可得. 所以或. ………………………………………7分当时，,则,; ………8分当时，由正弦定理得.所以由，可知. ………………10分所以. 综上可知……………12分18．（本小题满分12分） (1)∵DE ∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE ∥平面PAB ……………………2分又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE ∥FG ……………………4分(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz ，则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C （2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)→CD =(-1,-1,0), →ED =(1,0,0) , →EF =(0,1,1)设平面α的法向量为→n =(x,y,z),由→n ·→ED =0且→n ·→EF =0得：y+z=0x=0,取y=-1得： =（0,-1, 1）设直线BC 与平面ABF 所成角为，则sin q ＝|cos 〈→n ，→CD 〉|＝|CD ＝21.因此直线CD 与平面α所成角的大小为6π.…………………………………………8分设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设→PH ＝λ→PC (0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为→n 是平面ABF 的一个法向量，所以→n ·→EH ＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝32，所以点H 的坐标为32.所以PH ＝24＝2. …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解： “顾客A 第i 次闯第一关成功”记作事件A i ,(i=1,2), “顾客A 第i 次闯第二关成功”记作事件B i ,(i=1,2), “顾客A 闯第一关成功”记作事件A, “顾客A 闯第二关成功”记作事件B,则P(A i )=P(B i )= 43，P(A)=1-P(-A1-A2)=1-41×41=1615, P(B)=1-P(-B1-B2)=1-41×41=1615…………2分(1)设事件C=“顾客A 只获得512元代金券”，则P(C)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615(或由P(A)=(1-41×41)×41×41求得，同样赋分）……………………………………………6分（2）X 的可能取值为：0，512，1024P(X=0)=P(-A1-A2)=41×41=161P(X=512)= P(A)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615P(X=1024)=P(AB)= 1615×1615=256225∴EX=0×161+512×25615+1024×256225=930(元）……………………………………………10分 ∴顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望为930(元）（3）由题意，Y ～B(4, 256225) ∴EY=4×256225=64225≈3.2(人）…………………………12分20.(本小题满分12分)解：（1）∵点P 在抛物线C 1上，∴（34）2=2p ·31 ∴ p=38 ∴抛物线C 1的方程为：x 2=316y又∵点P 在椭圆C 2上 ∴由椭圆定义可知：2a=21+21=2 ∴a=又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C 2的方程为：2x2+y 2=1 (6)分(2) (i)由x 2=316y 得：y=163x 2 ∴y ¢=83x 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2) 、B(x B ,y B ) 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=y¢|x=x 1=83x 1, k 2=y¢|x=x 2=83x 2 ∴直线l 1的方程为：y-y 1=83x 1 (x-x 1) 3x 1x-8y-3x 12+8y 1=0 又∵M 在抛物线上 ∴x 12=316y 1∴直线l 1的方程为：3x 1x-8y-8y 1=0 同理直线l 2的方程为：3x 2x-8y-8y 2=0∵直线l 1与直线l 2交于B 点 ∴3x2xB-8yB-8y2=03x1xB-8yB-8y1=0 ∴直线3x B x-8y B -8y=0过M 、N 两点即直线MN 的方程为：3x B x-8y B -8y=0 ∵直线MN 过点A(21,23) ∴3x B ×21-8y B -8×23 =0整理得是：3x B -16y B -24=0 即B 点在定直线3x-16y-24=0上。

辽宁省东北育才学校2015届高三联合考试数学(理)试题 Word版含答案

2014-2015学年度高三联合考试数学(理科)试卷时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 设全集}4,3,2,1,0{=U ，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则=⋃B A C U )(A ． φB ． }4,3,2{C ．}4,3,2,1{D ．{0,1,2,3,4}2. 已知集合{}11A =-，,{}10B x ax =+=,若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为 A ．{}1-B ．{}1C ．{}11-，D ．{}101-，，3. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于A ．64B ．100C ．110D ．1204. 已知函数)12(log 1)(21+=x x f ,则)(x f 定义域为A ．)0,21(-B ．]0,21(-C ．),21(+∞- D ．),0(+∞5. 已知2a1()12b >，12log 1c >，则A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>6.已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π37. 在正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别1BC 、1CD 的中点,则下列判断错误．．的是 A ． MN 与11B A 平行 B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行 D ． MN 与1CC 垂直 8. “232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 9. 已知1,0b a t >>>, 若x a a t =+,则x b 与b t +的大小关系为A ．x b <b t +B ．x b =b t +C ．x b >b t +D ．不能确定10. 已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,成公差为正的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

辽宁省锦州市2015届高三上学期期末考试数学(理)答案

2014-2015年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案及评分标准第I 卷一、选择题： DBCDB BCDAC AB第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）5 （14）8 （15）①②④ （16）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N*)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. ……………………6分(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6. ……………………12分(18)（本小题满分12分）己知向量，记. (I)若，求的值；( II)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(, 求函数的取值范围．解：（Ⅰ）==因为，所以…………………………………4分……………………6分（Ⅱ）因为由正弦定理得所以所以因为，所以，且所以……………………9分所以……………………10分又因为……………………11分故函数的取值范围是……………………12分(19)（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.【解析】（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，. -------2分设，则.∴，∴. -------------------4分又，∴平面.-------------------6分（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.-------------------8分由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，FEC1B1A1C BA由∴可取.-------------------10分设锐二面角的大小为，则cos |cos ,|||||m nm n m n θ=<>===. ∴所求锐二面角的余弦值为.-------------------12分(20)（本小题满分12分）我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.某市环保局对该市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.） (3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.解： (1)由题意，得，解得. ……………4分（2）个样本中空气质量指数的平均值为由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………8分（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则.的取值为，，，，. ……………10分 ∴的分布列为：∴. ……………12分（或者(21)（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.解：因为直线的方程为，令，得，即……1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为.………………………………………6分（2）存在点P，满足∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为.设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

辽宁省丹东市五校协作体高三数学上学期期末试卷理(含

辽宁省丹东市五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{3} B．{4，5} C．{4，5，6} D．{0，1，2}2．（5分）已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a=[（sin）2﹣]dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）抛物线y2=2px与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．210．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f （﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1） C．D．11．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π12．（5分）过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=．14．（5分）已知M（x，y）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为．（5分）已知G点是△ABC的重心，过G点作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，设，15．，则=．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则△ABC的面积是．三、解答题：（共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a n≠0，a1=，a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：是等差数列；（2）证明：a12+a22+…+a n2＜．18．（12分）如图，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB1=2，．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．19．（12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生 A B C D E数学（x分）899193 9597物理（y分）878989 9293（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．（附：回归方程中，，）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：﹣．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．选修4-4：极坐标与参数方程23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．辽宁省丹东市五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{3} B．{4，5} C．{4，5，6} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出集合A的补集，再求出交集即可解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4，5}，∴（∁U A）={4，5，6}，∴（∁U A）∩B={4，5}点评：本题考查了集合的交，补运算，属于基础题2．（5分）已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．3．（5分）已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．分析：通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．解答：解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当S=2059，k=4时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=0S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=3，k=2满足条件S＜100，S=11，k=3满足条件S＜100，S=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可．解答：解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体，上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥，该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：=．故选：D．点评：本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键．6．（5分）设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出θ的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可．解答：解：由题意得，f（x）=2[sin（）﹣cos（）]=2sin（﹣），∵图象关于y轴对称，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，又∵|θ|＜，∴当k=﹣1时，θ=满足题意，∴f（x）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣2cos，由2kπ﹣π≤≤2kπ可得4kπ﹣2π≤x≤4kπ，∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣2π，4kπ]，k∈Z，当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为[﹣2π，0]，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为[2π，4π]，所以A、B、D不正确；C正确，故选：C．点评：本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式，诱导公式，以及正弦、余弦函数的性质，属于中档题．7．（5分）已知a=[（sin）2﹣]dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：二项式定理；微积分基本定理．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得关于x的一次项的系数．解答：解：已知a=[（sin）2﹣]dx=[\frac{1﹣cosx}{2}﹣]dx= dx=（﹣sinx）=﹣，则（ax+）9 =﹣，故它的展开式的通项公式为 T r+1=﹣••x﹣r=﹣•2r﹣9•x9﹣2r．令9﹣2r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为﹣×2﹣5=﹣，故选A．点评：本题主要考查求定积分的值，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）抛物线y2=2px与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，和AF的长，设双曲线的左焦点为F'，则AF'=2a+p，再由勾股定理，可得2a，由离心率公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由于AF⊥x轴，则AF=p，由题意可得，双曲线的2c=p，设双曲线的左焦点为F'，则AF'=2a+p，由于△AF'F为等腰直角三角形，则AF'=p=2a+p，则2a=（﹣1）p，则双曲线的离心率为e===+1．故选D．点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．解答：解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故选：C．点评：本题考查函数的导数，导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f （﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1） C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．12．（5分）过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．解答：解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，|CD|==∴=+==，故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：化简可得复数z，进而可得其共轭复数，然后再计算即可．解答：解：化简得z=======，故=，所以z•=（）（）==故答案为：点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，化简复数z是解决问题的关键，属基础题．14．（5分）已知M（x，y）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为4．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，得出A（，1），若M（x，y），则=+y，化为y=﹣+z，由图可知，当直线y=﹣+z过B（，2）时，z有最大值为：．故答案为：4．点评：本题考查了简单的线性规划，体现数形结合的解题思想方法，还融合了平面向量的数量积的简单计算．（5分）已知G点是△ABC的重心，过G点作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，设，15．，则=3．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由G为三角形的重心，可得=（），结合，，根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，整理后即可得到答案．解答：解：∵G为三角形的重心，∴=（），∴==（）﹣=（），==﹣（）=+（y﹣），∵与共线，∴存在实数λ，使得=λ，即（）=λ[+（y﹣）]，由向量相等的定义可得，消去λ可得x+y﹣3xy=0，两边同除以xy整理得=3故答案为：3点评：本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，属中档题．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则△ABC的面积是．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求出角A的大小，然后通过数量积化简求出三角形的面积．解答：解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，所以，化简可得：b2=a2+bc﹣c2，可得cosA=，A=．又，abcosC=﹣5，即ab×=﹣5，25+a2﹣c2=﹣10，又b2=a2+bc﹣c2，25=bc﹣35，bc=60．S===15．故答案为：点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：（共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a n≠0，a1=，a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：是等差数列；（2）证明：a12+a22+…+a n2＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过已知条件推出，即可判断是等差数列；（2）利用放缩法以及裂项法求解数列的和，即可证明a12+a22+…+a n2＜．解答：证明：（1）∵a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2）∴（n≥2）∴是以3为首项，2为公差的等差数列．…（6分）（2）由（1）知：∴…（8分）∴=，∴=．…（12分）点评：本题考查数列与不等式的综合应用，等差数列的判断，放缩法以及裂项法的应用，考查分析问题解决问题的能力．18．（12分）如图，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB1=2，．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．考点：梅涅劳斯定理；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明：AB⊥BC1，BC⊥BC1，即可证明C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1E 的法向量，平面BEB1的一个法向量，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求λ的值．解答：（1）证明：因为侧面AB⊥BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，…（2分）在△BCC 1中，，由余弦定理得，故，所以BC⊥BC1，…（4分）而BC∩AB=B，∴BC1⊥平面ABC…（6分）（2）解：由（1）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，1，0），B1（﹣1，0，），C（1，0，0），C1（0，0，）．∴=（﹣1，0，），∴=（﹣λ，0，λ），∴E（1﹣λ，0，λ），则=（1﹣λ，﹣1，λ），=（﹣1，﹣1，）．设平面AB1E的法向量为，则，∴=（，，）是平面AB1E的一个法向量．∵=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，∴平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的余弦为||=．两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，∴λ=1或（舍去）…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19．（12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生 A B C D E数学（x分）899193 9597物理（y分）878989 9293（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．（附：回归方程中，，）考点：离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）由已知求出x，y的平均数，从而求出物理分y对数学分x的回归方程．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望E（X）．解答：解：（1）由已知得，…（2分）∴，∴．∴物理分y对数学分x的回归方程为；…（6分）（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，，，，…（9分）故X的分布列为：X 0 1 2P∴．…（12分）点评：本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP 与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．解答：解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣1，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↓极小值↑由上表知，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣1，）内单调递减；当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增．∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），对∅（x）求导，得∅′（x）==．当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）﹣＞0，∴．同理可证ln（x+1）＜x，∴．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题；立体几何．分析：（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．解答：证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．点评：本题考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分线的性质，属于中档题．选修4-4：极坐标与参数方程23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．分析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．解答：解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2x，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．解答：解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．点评：1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。

辽宁省锦州市2015届高三上学期期末考试数学文理

2014-2015年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案及评分标准第I 卷一、选择题： DBCDB BCDAC AB第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）－3 （14）8 （15）①②④ （16）m ∈()2,2,2⎡-⎣三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2，以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. ……………………6分(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6. ……………………12分(18)（本小题满分12分）己知向量23sin,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =⋅. (I)若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；( II)在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足((2)cos cos a c Bb C -=, 求函数()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x + 111cos sin 2222262x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭ …………………………………4分 21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos cos 332x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………6分（Ⅱ）因为()2cos bcos a c B C -=由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -= 所以()2sin cos sin A B B C =+因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠ 所以1cos ,23B B π==12562A 42A 6,2C 0,C 32A ,32C A π<π+<ππ<<ππ<<-π=π=+ ……………………9分所以426)62A (sin 22+<π+<……………………10分又因为()f A 1sin 262A π⎛⎫=++⎪⎝⎭ ……………………11分故函数()f A 的取值范围是），（4226212+++ ……………………12分 (19)（本小题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A BC -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥ 平面ABC ，M 、N 是AB,1CC 的中点． (I)求证：CM//平面1A BN ．( II)求证：1AC ⊥BN ；证明：（Ⅰ）取1A B 的中点P ，连接PM ,PN . 因为 M ,P 分别是AB ,1A B 的中点，所以 PM ∥1AA ,112PM AA = ………2分又因为1AA ∥1CC ,所以 PM ∥CN 且=PM CN 所以四边形PMCN 为平行四边形，所以 PN ∥CM ．………………………………………………………………4分又因为 CM ⊄平面1A BN ，PN ⊂平面1A BN ，所以CM ∥平面1A BN ． ………………………………………………………6分（Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，ON . 由题意知 BO ⊥AC ，又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 BO ⊥平面11A ACC ． …………………………………………8分因为 1AC ⊂平面11A ACC 所以1BO AC ⊥因为四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥所以 1AC ⊥平面BON ，又 BN ⊂平面BON …………………………10分所以 1AC BN ⊥． ……………………………………………12分(20)（本小题满分12分）（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. 17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为61305=∴男生应该抽取12045⨯=人 …………………………４分（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试数学(理)扫描版

2014---2015学年度上学期高三期末考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A CD C D A B B D B C 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 014. 15. 181316. 41[1-(31)n ] 三.解答题:17.(本小题满分12分)解：(1) 由题，则，化简得， …2分即，，所以 (4)分从而，故. ……………………………………………6分(2) 由，可得. 所以或. ………………………………………7分当时，,则,; ………8分当时，由正弦定理得.所以由，可知. ………………10分所以. 综上可知……………12分18．（本小题满分12分） (1)∵DE ∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE ∥平面PAB ……………………2分又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE ∥FG ……………………4分(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz ，则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C （2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)→CD =(-1,-1,0), →ED =(1,0,0) , →EF =(0,1,1)设平面α的法向量为→n =(x,y,z),由→n ·→ED =0且→n ·→EF =0得：y+z=0x=0,取y=-1得： =（0,-1, 1）设直线BC 与平面ABF 所成角为，则sin q ＝|cos 〈→n ，→CD 〉|＝|CD ＝21.因此直线CD 与平面α所成角的大小为6π.…………………………………………8分设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设→PH ＝λ→PC (0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为→n 是平面ABF 的一个法向量，所以→n ·→EH ＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝32，所以点H 的坐标为32.所以PH ＝24＝2. …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解： “顾客A 第i 次闯第一关成功”记作事件A i ,(i=1,2), “顾客A 第i 次闯第二关成功”记作事件B i ,(i=1,2), “顾客A 闯第一关成功”记作事件A, “顾客A 闯第二关成功”记作事件B,则P(A i )=P(B i )= 43，P(A)=1-P(-A1-A2)=1-41×41=1615, P(B)=1-P(-B1-B2)=1-41×41=1615…………2分(1)设事件C=“顾客A 只获得512元代金券”，则P(C)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615(或由P(A)=(1-41×41)×41×41求得，同样赋分）……………………………………………6分（2）X 的可能取值为：0，512，1024P(X=0)=P(-A1-A2)=41×41=161P(X=512)= P(A)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615P(X=1024)=P(AB)= 1615×1615=256225∴EX=0×161+512×25615+1024×256225=930(元）……………………………………………10分 ∴顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望为930(元）（3）由题意，Y ～B(4, 256225) ∴EY=4×256225=64225≈3.2(人）…………………………12分20.(本小题满分12分)解：（1）∵点P 在抛物线C 1上，∴（34）2=2p ·31 ∴ p=38 ∴抛物线C 1的方程为：x 2=316y又∵点P 在椭圆C 2上 ∴由椭圆定义可知：2a=21+21=2 ∴a=又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C 2的方程为：2x2+y 2=1 (6)分(2) (i)由x 2=316y 得：y=163x 2 ∴y ¢=83x 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2) 、B(x B ,y B ) 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=y¢|x=x 1=83x 1, k 2=y¢|x=x 2=83x 2 ∴直线l 1的方程为：y-y 1=83x 1 (x-x 1) 3x 1x-8y-3x 12+8y 1=0 又∵M 在抛物线上 ∴x 12=316y 1∴直线l 1的方程为：3x 1x-8y-8y 1=0 同理直线l 2的方程为：3x 2x-8y-8y 2=0∵直线l 1与直线l 2交于B 点 ∴3x2xB-8yB-8y2=03x1xB-8yB-8y1=0 ∴直线3x B x-8y B -8y=0过M 、N 两点即直线MN 的方程为：3x B x-8y B -8y=0 ∵直线MN 过点A(21,23) ∴3x B ×21-8y B -8×23 =0整理得是：3x B -16y B -24=0 即B 点在定直线3x-16y-24=0上。

辽宁省丹东五校协作体2015届高三期末考试数学理科试题 Word版含答案

2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（理科）时间：120分钟分值：150分命题、校对：宽甸一中高三数学组一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A)=B（）.A {}3 .B {}4,5 .C {}4,56， .D {}0,1,2 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= （）.A 43 .B 34 .C 34- .D 34±4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（） .A 3 .B 4 .C 5 .D 65.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）.Aπ .B π .Cπ .Dπ（第4题图）（第5题图）6.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是（）主视图左视图俯视图.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的一次项系数为（） .A 6316-.B 6316 .C 638- .D 6388. 抛物线22y px =F ，点A 是两曲线交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（）.A.B .C 1+ .D 19. 若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a = （）.A 2- .B 12.C 1 .D 210.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->-，()1732a f a+-=-，则实数a 的取值范围为（） .A 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .B ()2,1- .C 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11.平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）.A .B 3π .C .D 2π 12.过抛物线()240y x p =>的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+= .A 2 .B 4 .C 12 .D 14（）二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=___________.14. 已知(,)M x y为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点)A，则z OM OA =⋅的最大值为___________.15.已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则11x y +=___________.16.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 1sin sin b Ca c A B=-++，且5,5b CA CB =⋅=-，则ABC △的面积是___________.三、解答题：（共6小题，共70分）17. （12分）已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈.（1）求证：1n a ⎛⎫⎪⎝⎭是等差数列；（2）证明：2221214n a a a ++⋅⋅⋅+<. 18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.(1)求证：1C B ABC ⊥平面；(2)设1CE CC λ= (0≤λ≤1)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如下表所示：(1)根据表中数据，求物理分y 对数学分x 的回归方程：(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X . （附：回归方程ˆˆˆybx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-） 20.(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率．．之积等于13-. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax a x =-++，其中0a >.（1）当0x >时，证明不等式()ln 11xx x x<+<+；（2）设()f x 的最小值为()g a ，证明()10g a a-<<.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E . （1）求证：EBD CBD ∠=∠；（2）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4—4已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (1)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；(2)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OAOB+的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()110,02a m n m n+=>>，求证：24m n +≥. 2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1.B2.A3.B4.B5.D6.C7.A8.D9.C 10.D 11.A 12.D 二、填空题：13. 1414. 4 15. 3 16.三、解答题： 17.证明：（1）112n n n n a a a a ---=⋅()2n ≥∴1112n n a a --=()2n ≥ ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列. ………………6分（2）由（1）知：()131221nn n a =+-⋅=+ 121n a n ∴=+ …………8分 ()222114421n a n nn ∴=<++ ()11114141n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴22212n a a a ++⋅⋅⋅+11111111141242341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111412231n n ⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1111414n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ . ………………12分 18. 解：（1）因为侧面AB ⊥11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥, ………………2分在1BCC △中, 1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥, ………………4分而1,BCAB B BC ABC =∴⊥平面………………6分（2）由（1）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则1(0,0,0),(0,1,0),(B A B -，(1,0,0)C,1C .所以1(CC =-,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则1(1,1,3),(1,AE AB λλ=--=--. 设平面1AB E 的法向量为(),y,z n x =，则由1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,得100n AE nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1-)00x y z x y λ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩（，令z =，则333333,,(,2222x y n λλλλλλ--==∴=----是平面1AB E 的一个法向量.AB ⊥侧面11BB C C ,(0,1,0)BA =是平面1BEB 的一个法向量，cos ,n BA n BA n BA⋅〈〉==∴两边平方并化简得22-5+3=0λλ，所以λ=1或32λ=（舍去） ………………12分19.解：（1）8991939597935x ++++==，8789899293905y ++++== ………………2分()()()252222214202440ii x x =∴-=-+-+++=∑，()()()()()()()51432101224330iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑30ˆˆˆ0.75,20.2540ba y bx ∴===-=. 所以，物理分y 对数学分x 的回归方程为ˆ0.7520.25yx =+; ………………6分（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2()2224106C P X C ===;()112224213C C P X C ===;()2224126C P X C === …………9分故X 的分布列为()0121636E X ∴=⨯+⨯+⨯= ………………12分20.解：（1）点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± ………………5分（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,y M N y ，则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++，直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--. 令3x =，得0000004323,y 11M N y x y x y x x +--+==+-，于是PMN △的面积()()20002031y 321PMNM N x y x S y x x +-=--=-△，………………8分直线AB 的方程为0x y +=，AB =，点P 到直线AB 的距离d于是PAB △的面积PAB S △0012AB d x y =⋅=+， ……………10分当PAB S △PMN S =△时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =，因为220034x y +=，所以0y =，故存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等，此时点P 的坐标为5,3⎛ ⎝ ……………12分21.证明：（1）设()()ln 1,(0,)1xx x x xϕ=+-∈+∞+，则()()()2211111xx x x x ϕ'=-=+++，当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上是增函数； ………2分∴当0x >时，()()00x ϕϕ>=，即()ln 101xx x+->+， ∴()ln 11xx x<++成立， ……………4分同理可证()ln 1x x +<，所以，()ln 11xx x x<+<+. ……………6分（2）由已知得函数()f x 的定义域为()1,-+∞，且()()101ax f x a x -'=>+，令()0,f x '=得1x .a= ……………8分当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以，()f x 的最小值()()1111ln 1g a f a a a ⎛⎫⎛⎫==-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分将1x a =代入()ln 11xx x x<+<+，得111ln 11a a a ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ 即()1111ln 11a a a ⎛⎫<++<+ ⎪⎝⎭；所以()1111ln 10a a a ⎛⎫-<-++< ⎪⎝⎭，即()10g a a -<<……………12分22. （1）∵BE 为圆O 的切线∠EBD =∠BAD ………………2分又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD =∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD ………………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分∴BE BDAE AB= ∴AB •BE =AE •BD ………………9分又∵AD 平分∠BAC ∴BD =DC 故AB •BE =AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ………3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的一条直径∴90POQ ∠= 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥EDOACB,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=即221154OA OB+=. ……………10分 24. 解：（1）当a=2时，不等式为214x x -+-≥，不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； ……………5分（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得a=1,所以()1110,02m n m n +=>>所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭. ……………10分。

2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学(理科)参考答案

高三年级数学（理）科试卷第页共6页1 2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学（理科）试卷参考答案一、选择题：CABDC DBCAD CB 二．填空题：13. 5 14. 4 15.112π- 16.269三、解答题： 17.解：（Ⅰ）()2f x T πω=∴=的最小正周期5(,0)24π为f(x)的对称点 520242212k πππφπφπφ∴⨯+=+<<∴=且()2cos(2)12f x x π∴=+-----------------------------------4分22212k x k ππππ-≤+≤令132424k x k ππππ-≤≤- 故132424k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦f(x)单调递增区间为：，………………………6分（Ⅱ）2()2cos()2cos()212122A f A A ππ-=-=∴-=111212121243A A A ππππππ-<-<∴-=∴=………………………………9分 22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-22()9393()2b c b c bc +∴+=+≤+ 6b c ∴+≤当且仅当3b c ==时取等号故b c +的最大值为6……………………………………12分高三年级数学（理）科试卷第页共6页218．解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． ..............3分（Ⅱ）在，，成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，现要按分层抽样抽取8人，则在，，成绩分组中各抽取3人，4人，1人 ...............................6分（Ⅲ）0,1,2,3X =454851(0)7014C p X C ==== 315348303(1)707C C p X C ⋅==== 225348303(2)707C C p X C ⋅==== 13534851(3)7014C C p X C ⋅====分布列为： X0 1 2 3p11437 37 114.....................................10分.3()2E X =............................................12分 19.解：（1）,2,22,,2,22BC CD BC CD BD EA ED EA ED AD ⊥===⊥===由可得由且可得又4,AB BD AD =⊥所以又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面,ADE ABCD AD ⋂=平面 ,BD ABCD BD ⊂⊥平面所以平面ADE .....................................4分（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -(0,0,0),(0,22,0),(2,2,0),(2,0,2)D B C E - (2,22,2),(2,0,2),(2,2,0)BE DE DC =-==- 设平面CDE 的法向量(,,)n x y z =220(1,1,1)220x z n x y ⎧+=⎪∴=-⎨-+=⎪⎩ 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得z yxABCDE高三年级数学（理）科试卷第页共6页3 2sin cos ,3BE n BE n BE nα⋅=<>==⋅ 即直线BE 与平面CDE 所成的角的正弦值为23...................................8分 (3)设[],0,1,DC (2,2,0),(22,2,2),(0,22,0)CF CE CE DB λλ=∈=-=-=得所以2(21,1,)DF DC CF DC CE λλλλ=+=+=--+ 设平面BDF 的法向量(,,)m x y z =22012(1,0,)(21)(1)0y m x y z λλλλλ⎧=-⎪∴=⎨-+-++=⎪⎩ ...................................10分平面CDE 的法向量(1,1,1)n =- 因为平面BDF CDE ⊥平面所以0m n ⋅=所以[]10,13λ=∈故在线段CE 上存在一点F(靠近C 点处的三等分点处)，使得平面.BDF CDE ⊥平面 ......................................12分20.解：（Ⅰ） 1l ：x y 33=，2l ：x y 3-=， ),(11y x P 在直线1l 上运动，),(22y x Q 在直线2l 上运动，1133x y =∴,223x y -=， …………………… 2分由已知得直线21l l ⊥，且2=PQ得4)()(22222121=+++y x y x ，即44342221=+x x ，亦即 132221=+x x ，由12122333,3,323x x y x x x x y ==⇒== 所以动点(,)M x y 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1 …………………… 4分（Ⅱ）解法一：当直线l ⊥x 轴时，得A (－1，32)、B (－1，－32)，S △AOB ＝12·|AB |·|OF 1|＝12×3×1＝32，不符合题意． ………………………………5分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，高三年级数学（理）科试卷第页共6页4 则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.又|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝ 1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋k 264k 4(3＋4k 2)2－4(4k 2－12)3＋4k 2，即|AB |＝ 1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2. ………………………8分又圆O 的半径r ＝|k ×0－0＋k |1＋k 2＝|k |1＋k2，所以S △AOB ＝12·|AB |·r ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·|k |1＋k2＝6|k |1＋k 23＋4k 2＝627. 化简得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k 21＝1，k 22＝－1817(舍)， …………………………………10分所以r ＝|k |1＋k2＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12. ……………………………………12分解法二：设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0.因为Δ＞0恒成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1·y 2＝－94＋3t 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2. (8)分所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627.化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍)． …………………………………………10分又圆O 的半径为r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝11＋t 2＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12………………………………………12分高三年级数学（理）科试卷第页共6页5 21.解：（Ⅰ）2()1ln()F x ax bx ex =++-1()2F x ax b x'=+-()1F x x =在处取极值(1)210F a b '∴=+-=212122(12)1(21)(1)()011122ax a x ax x F x x x x x x x a a +--+-'====-=≠∴≠-，且1210()2a b a ∴+-=≠-为,a b 所满足的关系. ............4分（Ⅱ）2()(12)ln F x ax a x x =+--①当(0,2)a ∈时，[]1,2x ∈且(()()0x a F x +≥()0F x ∴≥[](](21)(1)()0()1,2()(1)100,1ax x F x xF x F x F a a +-'=≥∴∴≥=-≥∴∈在增即可 .................................6分 ②当()1202a a ∈-≠-，且时， 12112x x a=-=ⅰ）若111222a a -<-<<-即时，()F x 在[]12，单调递减 02ln 2()101F x ax a a x a ∴<-≤≤-∴+≥≥-≥-即可得故可得 11,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭...........................8分ⅱ）若11112224a a <-<-<<-即时 11()(1,)(,2)22F x a a--在增，减()(1)10,()(2)2ln 20F x F a F x F ≥=->≥=->11()()0(,)24x a F x a ∴+≥∴∈--恒成立 .......................10分ⅲ）若112024a a -≥-≤<即时高三年级数学（理）科试卷第页共6页6 []()1,2F x 在增，且1()()0,04x a F x a ⎡⎫+≥∴∈-⎪⎢⎣⎭恒成立..............11分综上：(]111,,00,122a ⎡⎫⎛⎫∈--⋃-⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.............................12分22.解：（1）连接 AF OE OF 、、则A F G H 、、、四点共圆 EF 是切线知OF EF ⊥F G E B A F E F E F E G∴∠=∠=∠∴=………………..5分（2）22222OE OH HE OF EF =+=+ 222222238548EF OH HE OF ∴=+-=+-= 43EF EG ∴==843GH EH EG ∴=-=-…………….10分23.解：（1）121C y mx m =--：222:40(0)C x y y y +-=≠…………………4分(2)当直线与圆相切时 222152121m d m m ---∴==∴=-+……………7分当直线过（0,0）点时1212m m ∴-=∴=-……………………………9分综上：51122m m =-=-或……………………………10分24.解：（1）设15,21()()()2,1236,1x x F x f x g x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩由图象可知，()0F x <的解集(0,2)x ∈ ………………………5分（2）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1()()f x a f x g x =+≤不等式可化为13a x +≤+2x a ∴≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，42123a a a ∴-≥--<≤故………………10分H G DEFO CBA。

辽宁省五校协作体高三数学上学期期中试卷理(含解析)

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．25．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，．则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．对称轴方程是B．C．最小正周期是πD．在区间上单调递减7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．9．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}，N={（x，y）|y≤，y≥0}，则集合M∩N中的点所构成的平面区域的面积为（）A．B．1 C．D．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．7811．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第项．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共6小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△A BC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．19．（12分）已知函数f（x）=ax+（a＞0）．（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a+1）e x，g（x）=（x2﹣2）e x+2．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y=2ex+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在[﹣3，1]上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个不同极值点m，n（m＜n），且|m+n|≥|mn|﹣1，记F（x）=e2f（x）+g （x），求F（m）的最大值．辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：集合．分析：根据绝对值和对数函数求出集合A和B，然后由交集的定义求出结果．解答：解：∵|x|＜3∴﹣3＜x＜3故A=（﹣3，3）∵y=lg（x﹣1）∴x﹣1＞0，解得x＞1故B=（1，+∞）∴A∩B=（1，3）故选：C．点评：本题考查交集的定义的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用函数的周期性排除C，D，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A，从而可得答案．解答：解：A：令g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，则g（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣g（x），∴g（x）=cos（2x+）为奇函数，故可排除A；B：∵y=f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴其周期T==π，f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），∴y=sin（2x+）是偶函数，∴y=sin（2x+）是周期为π的偶函数，故B正确；C：∵y=sin（x+）其周期T=2π，故可排除C；D：同理可得y=cos（x﹣）的周期为2π，故可排除D；故选：B．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．分析：利用全称命题与特称命题的否定关系判断A的正误；充要条件判断B的正误；回归直线方程判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以A不正确．对于B，“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，正确，前者推出后者，后者不能说明前者一定成立，所以B正确；对于C，线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不正确，一定经过样本中心，所以C不正确；对于D，若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题，不正确，所以D不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及全称命题特称命题的否定关系，回归直线方程的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，平面向量、共线且反向，求m的值，即可得出||．解答：解：∵平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，∴m（2m+1）﹣3×2=0，解得m=﹣2，或m=；验证m=时不满足题意，∴=（2，﹣2）；∴||==2．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的坐标表示求向量共线问题，是基础题．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣考点：函数的周期性．专题：计算题．分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时， f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，．则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．对称轴方程是B．C．最小正周期是πD．在区间上单调递减考点：正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：结合图象求得f（x）=sin（x+），由此判断A、B、C都不正确；令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，可得函数的单调减区间为，故D 正确，从而得出结论．解答：解：结合图象可得A=1，周期T==2[]=2π，∴ω=1，故函数解析式为f（x）=sin（x+φ）．由五点法作图可得﹣+∅=0，∴∅=，故f（x）=sin（x+）．故由x+=kπ+，k∈z，可得函数的对称轴为x=kπ+，k∈z；且∅=，最小正周期为2π，故A、B、C都不正确．令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，故函数f（x）在区间上单调递减，故D正确，故选D．点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，对称性和周期性，由由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．点评：本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积的运算，结合题意，求出的模长．解答：解：∵向量=（2，1），•=10，|+|=5，∴||==，∴=+2•+=+2×10+=；解得=25，∴||=5．故选：A．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积，求向量的模长，是基础题．9．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}，N={（x，y）|y≤，y≥0}，则集合M∩N中的点所构成的平面区域的面积为（）A．B．1 C．D．考点：定积分在求面积中的应用；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出图象，然后转化为定积分求得答案．解答：解：由M={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}，N={（x，y）|y≤，y≥0}，则集合M∩N={（x，y）|，x≥0，y≥0}，图象如图，∴集合M∩N中的点所构成的平面区域的面积为S===．故选：D．点评：本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，考查了定积分，体现了数学转化思想方法，是中档题．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．78考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，可得a n=n ﹣，即可得到数列{a n}的前13项和．解答：解：∵点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，∴（m+3）n﹣（2m+4）a n﹣m﹣9=0，∴a n=n﹣．∴数列{a n}的前13项和S13==39．故选C．点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．11．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：先确定d=，可得S n=，对称轴n=，利用S n≥S10对一切n∈N*都成立，可得9.5≤≤10.5，即可求出首项a1的取值范围．解答：解：∵sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，∴2sina5cosa5=2sin cos•2cos sin，∴sin4d=1，∴d=，∴S n=．对称轴n=．∵S n≥S10对一切n∈N*都成立，∴9.5≤≤10.5，∴﹣π≤a1≤﹣．故选：D．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．考点：数列的求和．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．再由导数的积的运算法则和二倍角公式，得到f（x）cosx的单调性和极值，由条件可得，k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n ﹣1，再运用错位相减法，即可得到前n项和．解答：解：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．由于当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），则有f′（x）（1+cos2x）﹣f（x）sin2x＞0，即有2cosx（f′（x）cosx﹣f（x）sinx）＞0，则2cosx•（f（x）cosx）′＞0，则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，）递增，cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（，π）递减，由于方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，即有k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，则k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，k3=﹣f（2π）cos2π=，k4=﹣f（3π）cos3π=﹣，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n﹣1，令S=1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，则2S=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减得，﹣S=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n则S=（n﹣1）•2n+1．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点问题，考查等比数列的通项和求和公式，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=1．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sin（B+C）=sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=sinB，利用正弦定理化简得：a=b，则=1．故答案为：1．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于满足||=1，||=，||=1，•=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．解答：解：∵满足||=1，||=，||=1，•=0，如图所示，∴A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．∴=（1﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=﹣cosθ（1﹣cosθ）﹣sinθ（）=﹣cosθ﹣+1=﹣2sin （）+1≤3，当且仅当θ=时取等号．∴•最大值是3．故答案为：3．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可求sinA的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵cosC=，∴sinC=，∵，∴，即．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcos⁡C，∴，即2b2﹣3b﹣2=0，解得b=2，∴三角形的面积S=．点评：本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）求出f（x）的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合余弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；（2）先表示出f（α），然后分子分母同时除以coa2α，并将tanα的值代入即可．解答：解：f（x）=•=2cos2x﹣2sinxcosx=1+cos2x﹣sin2x=1+2cos（2x+）…（3分）（1）当2kπ﹣π≤2x+≤2kπ时，f（x）单调递增，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣ k∈Z ∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]k∈Z …（7分）（2）f（α）=2cos2α﹣2sinαcosα===…（12分）点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的值，考查学生计算能力，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）=ax+（a＞0）．（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）在（0，）上是单调递减的，在（，+∞）上单调递增的．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；（2）讨论当0＜≤1即a≥1时，当＞1即0＜a＜1时，运用函数的单调性即可得到最小值．解答：解：（1）f（x）=ax+﹣f（x）在（0，）上是单调递减的，在（，+∞）上单调递增的；理由如下：设x1，x2是（0，）上的任意两个值，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，△y=f（x2）﹣f（x1）=ax2+﹣ax1﹣=a（x2﹣x1）+﹣=a（x2﹣x1）+=（x2﹣x1）（a﹣）=（x2﹣x1）•∵0＜x1＜，0＜x2＜∴0＜x1x2＜∴0＜ax1x2＜1，ax1x2﹣1＜0 又△x=x2﹣x1＞0，ax1x2＞0，∴△y=f（x2）﹣f（x1）＜0∴f（x）在（0，）上是单调递减，同理可证f（x）在（，+∞）上单调递增；（2）当＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，1]上单调递减，∴f min（x）=f（1）=a；当0＜≤1即a≥1时，f（x）在（0，]单调递减，在[，1]单调递增，∴f min（x）=f（）=2﹣∴g（a）=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据递推公式分别求出{a n}和{b n}的通项公式；（2）由错位相减求和法求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）①当n=1时，a1+S1=1∴a1=②当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1）=a n﹣1﹣a n，∴a n=a n﹣1∴数列{a n}是以a1=为首项，公比为的等比数列；∴a n=•（）n﹣1=（）n∵b n+1=3b n﹣2∴b n+1﹣1=3（b n﹣1）又∵b1﹣1=3∴{b n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列∴b n﹣1=3n、∴b n=3n+1（2）∵c n=（）n•log332n﹣1=（2n﹣1）•（）n∴S n=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n∴S n=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1∴（1﹣）S n=1×+2[（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣4×（）n+1﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣（2n+3）（）n+1∴S n=3﹣点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a+1）e x，g（x）=（x2﹣2）e x+2．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y=2ex+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在[﹣3，1]上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个不同极值点m，n（m＜n），且|m+n|≥|mn|﹣1，记F（x）=e2f（x）+g （x），求F（m）的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数的几何意义，即可求出切线的斜率，故求出a，b的值，（2）需要分两种情况讨论，单调递增和单调递减，采用分离参数法，求出参数的最值即可，（3）先求出a的范围，再求出m的范围，化简F（x），根据导数求出F（m）的最大值．解答：解：（1）f′（x）=（x2+2x﹣a+1）e x由题意：f′（1）=（4﹣a）e=2e，解得：a=2，∴f（x）=（x2﹣1）e x∴b=﹣2e（2）若函数f（x）在[﹣3，1]上是单调递增函数则f′（x）=（x2+2x﹣a+1）e x≥0在[﹣3，1]上恒成立，即x2+2x﹣a+1≥0，∴a≤x2+2x+1=（x+1）2在[﹣3，1]上恒成立，∴a≤0，若函数f（x）在[﹣3，1]上是单调递减函数则f′（x）=（x2+2x﹣a+1）e x≤0在[﹣3，1]上恒成立，即x2+2x﹣a+1≤0，a≥x2+2x+1=（x+1）2在[﹣3，1]上恒成立，∴a≥4，综上，若函数f（x）在[﹣3，1]上是单调函数，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）；（3）令f′（x）=0得：x2+2x﹣a+1=0由题意：△=4﹣4（1﹣a）=4a＞0，即a＞0，且：m+n=﹣2，mn=1﹣a（m＜n），∵|m+n|≥|mn|﹣1，∴|a﹣1|≤3，∴0＜a≤4，∵f′（m）=（m2+2m﹣a+1）e m=0，∴a=m2+2m+1，∴0＜m2+2m+1≤4∴﹣3≤m≤1且m≠﹣1，又∵m＜n，∴﹣3≤m＜﹣1∴F（x）=（x2﹣a+1）e x+2+（x2﹣2）e x+2=（2x2﹣a﹣1）e x+2∴F（m）=（2m2﹣a﹣1）e m+2=（m2﹣2m﹣2）e m+2∴F′（m）=（m2﹣4）e m+2∴F（m）在[﹣3，﹣2]上单调递增，在[﹣2，﹣1）上单调递减∴F max（m）=F（﹣2）=6．点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．同时考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．。

辽宁省五校协作体2015届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．（5分）已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）如图，若f（x）=log x3，g（x）=log2x，输入x=0.25，则输出h（x）=（）A．0.25 B．2log32 C．﹣log23 D．﹣24．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题5．（5分）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s=t2米，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米6．（5分）在△ABC中，（+）•=||2，则三角形ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）抛物线x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N*，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A．64 B．42 C．32 D．219．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞b＞0）的左右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（设M，N均在第一象限），当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为（）A．（1，）B．（）C．（）D．（2，3）10．（5分）设k是一个正整数，（1+）k的展开式中第四项的系数为，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=，设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为（）A．1 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于（）A．2 B．4 C．8 D．12二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．（5分）在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者．三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有种（用数字作答）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为．15．（5分）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为．16．（5分）定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程h（x）=[f（x）]2+bf（x）+﹣，有五个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5．设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，且x1，x2，x3，x4，x5构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A1B1，∠BAD=60°（1）证明：BB1⊥AC；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．（球体体积公式：V=πR3，R是球半径）20．（12分）设抛物线C1：y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2两点，与椭圆C2交于B1、B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞）（a是实数），g（x）=+1．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（2）是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；（3）若数列{x n}满足x1=，x n+1=g（x n）﹣1，求证：++…+＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若=，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}考点：并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．解答：解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．点评：本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可．解答：解：因为复数z=1+i，所以===﹣=2i．故选A．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，常考题型．3．（5分）如图，若f（x）=log x3，g（x）=log2x，输入x=0.25，则输出h（x）=（）A．0.25 B．2log32 C．﹣log23 D．﹣2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出h（x）取f（x）与g（x）中的较小值．解答：解：h（x）取f（x）与g（x）中的较小值，即h（0.25）=min{f（0.25），g（0.25）}，g（0.25）=log20.25=﹣2，f（0.25）=（）2=．g（0.25）=﹣2＜f（0.25）=故输出结果为：﹣2故选：D．点评：分析流程图后，易得程序的功能是计算并输出分段函数的值，则可以转化为一个数学问题，将入x=0.25代入计算出f（x）=x2，g（x）=log2x的函数值，代入分段函数即可得到答案．4．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．解答：解：对于A，命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．5．（5分）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s=t2米，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为﹣25+6t，汽车在时间t内的位移为s=t2，从而设相对位移为ym；从而得到y=﹣25+6t﹣t2=﹣（t﹣6）2﹣7；从而求解．解答：解：以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为﹣25+6t；汽车在时间t内的位移为s=t2；故设相对位移为ym；则y=﹣25+6t﹣t2=﹣（t﹣6）2﹣7；故不能追上汽车，且当t=6时，其间最近距离为7米．故选D．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，（+）•=||2，则三角形ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的运算法则得到，据向量的数量积为0两向量垂直得三角形为直角三角形．解答：解：由，，∴∴，∴∠A=90°．故选项为C点评：本题考查向量模的性质；向量的运算法则；向量垂直的充要条件．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx 的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．解答：解：由题意可得×=﹣=，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，故选A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换，属于中档题．8．（5分）抛物线x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N*，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A．64 B．42 C．32 D．21考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2=4a i（x﹣a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．解答：解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2=4a i（x﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．点评：本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．9．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞b＞0）的左右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（设M，N均在第一象限），当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为（）A．（1，）B．（）C．（）D．（2，3）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点M，再与双曲线的方程联立，求得交点N，再与两直线平行的条件：斜率相等，得到方程，注意结合a，b，c的关系和离心率公式，得到e03+2e02﹣2e0﹣2=0，令f（x）=x3+2x2﹣2x﹣2，运用零点存在定理，判断f（1），f（），f（），f（2），f（3）的符号，即可得到范围．解答：解：双曲线的c2=a2+b2，e0=，双曲线的渐近线方程为y=x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线方程联立，解得交点N（，），即为N（，），直线MF1与直线ON平行时，即有=，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，即有e03+2e02﹣2e0﹣2=0，令f（x）=x3+2x2﹣2x﹣2，由于f（1）＜0，f（）＞0，f（）＞0，f（2）＞0，f（3）＞0，则由零点存在定理可得，e0∈（1，）．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查两直线平行的条件，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）设k是一个正整数，（1+）k的展开式中第四项的系数为，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．专题：概率与统计．分析：先利用二项式定理求出k值，再利用积分求阴影部分的面积，那积分的上下限由求方程组得到．然后利用几何概型的概率公式解答．解答：解：根据题意得，解得：k=4或 k=（舍去）解方程组，解得：x=0或4∴阴影部分的面积为=，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应区域面积为4×16=64，由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为；故选C．点评：本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率求法，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=，设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为（）A．1 B．C．D．考点：棱柱的结构特征．专题：解三角形；空间位置关系与距离．分析：根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°根据条件运用余弦定理求解即可．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=，∴AD1=，D1C=2，∠AD1C1=90°，∵设点A关于直线BD1的对称点为P，∴在△AD1C中，∠AD1C=30°，∴∠PD1C=30°，AD1=PD1=，即∠PD1C1=30°，∵在△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°，∴根据余弦定理得出：C1P==1，故选：A点评：本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于（）A．2 B．4 C．8 D．12考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的表达式f（x）=3x+c，得到3c+c=4，求出c的值，由f（x）+f（﹣x）=3x+c+3﹣x+c≥2+2c，将c=1代入即可求出答案．解答：解：任意的x属于R都有有 f （ f （x）﹣3x）=4，而函数是单调的，所以对任何的x，f （x）﹣3x为定值c，即f（x）=3x+c，f（f（x）﹣3x）=f（c）=4而f（c）=3c+c，所以3c+c=4，解得：c=1，而f（x）+f（﹣x）=3x+c+3﹣x+c≥2+2c=2+2=4，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了函数的最值问题，是一道中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．（5分）在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者．三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有10种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，做出树状图，分析查找可得答案．解答：解：根据题意，做出树状图，注意第四次时，花不在甲那里．分析可得，共有10种不同的传递方式；故答案为：10点评：本题考查分类加法计数原理，解本题时，注意转化思想，利用树状图分析、解题，属于中档题．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，6）．此时z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即（a，b）在直线2x+3y﹣5=0上，a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为d2=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离公式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，画出图形，求出它的侧视图的面积来．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，如图所示；∴BD=5，∴Rt△ABD与Rt△CBD的高相等，即CE=AF==，∴侧视图是腰长为的等腰三角形，面积为××=．故答案为：．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征是什么．16．（5分）定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程h（x）=[f（x）]2+bf （x）+﹣，有五个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5．设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，且x1，x2，x3，x4，x5构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为35．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：分类讨论求得：①当x=1时，f（x）=1，1=0，即b=，b=，②当x≠1时，t=＞0，可得出m（t）=t2，或m（t）=t2t，利用零点定义，解方程求解t的值，求得五个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5．求得数列的首项，公差即可的出前10项和．解答：解：∵定义域为R的函数f（x）=h（x）=[f（x）]2+bf（x）+﹣，∴分类讨论求得：①当x=1时，f（x）=1，1=0，即b=，b=，②当x≠1时，t=＞0，h（x）=[f（x）]2+bf（x）+﹣，得出：m（t）=t2，或m（t）=t2t，即t2=0或t2t=0求解得：t=1，t=﹣（舍去），t=即=1，或=，x=0，或x=2或x=﹣1，或x=3，∴有五个不同的零点x1=﹣1，x2=0，x3=1，x4=2，x5=3，∵x1，x2，x3，x4，x5构成一个等差数列的前五项，∴该数列的前10项和为=10×（﹣1）×1=35，点评：本题考查函数与方程的综合应用，根的存在性及根的个数判断，关键是通过对x分x=1与x≠1讨论，由方程f2（x）+bf（x）+b2=0分别求得x1、x2、x3、x4、x5，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=1+sin（2x+），从而可求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）由题意，，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．解答：本小题满分（12分）解：（Ⅰ）=．∴函数f（x）的最大值为2．当且仅当，即，即时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为．…（6分）（Ⅱ）由题意，，化简得．∵A∈（0，π），∴，∴，∴．在△ABC中，根据余弦定理，得．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，不等式的解法，属于中档题．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）从茎叶图分别求出甲、乙班的平均分和方差，从而得到甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B，由此利用条件概率公式能求出有人及格的条件下乙班同学不及格的概率．（3）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．解答：本小题满分（12分）解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为：=（72+75+77+84+87+88+95+98+106+108）=89分，乙班平均分为：=（78+79+86+87+88+91+92+93+95+101）=89分．甲班的方差=[（72﹣89）2+（75﹣89）2+（77﹣89）2+（84﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（95﹣89）2+（98﹣89）2+（106﹣89）2+（108﹣89）2]=142.6，乙班的方差=[（78﹣89）2+（79﹣89）2+（86﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（91﹣89）2+（92﹣89）2+（93﹣89）2+（95﹣89）2+（101﹣89）2]=44.4，所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．…（4分）（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B则…（8分）（3）X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P期望EX==．…（12分）点评：本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A1B1，∠BAD=60°（1）证明：BB1⊥AC；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．（球体体积公式：V=πR3，R是球半径）考点：与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）底面平行四边形ABCD中，AB=AD，可得四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，可得DD1⊥AC，因此AC⊥平面BDD1，即可证明．（2）四边形ABCD为平行四边形，可得．由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1∥DO，且D1B1=DO，可证：边四形D1B1OD为平行四边形，得到DD1∥B1O．可得B1O⊥平面ABCD，即B1O⊥AO，B1O⊥BO．由（1）知AC⊥BD于点O，即AO⊥BO，以DB，AC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，设B1（0，0，h），则D1（﹣1，0，h）；设A1（a，b，h）（h＞0）．则=（1，﹣，0），=（a+1，b，0），设平面A1AB的一个法向量为，则，可得，又已知平面ABC的一个法向量由二面角A1﹣AB﹣C大小为60°，可得，解得h．利用三棱锥B1﹣ABO外接球的直径就是以OA，OB，OB1为三条棱的长方体的体对角线，求出即可得出．解答：（1）证明：底面平行四边形ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD=O，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，又∵四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点，∴BB1⊂平面BDD1，∴AC⊥BB1．即BB1⊥AC．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴．由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1∥DO，且D1B1=DO，∴边四形D1B1OD为平行四边形，∴DD1∥B1O．∵DD1⊥平面ABCD，∴B1O⊥平面ABCD，即B1O⊥AO，B1O⊥BO．由（1）知AC⊥BD于点O，即AO⊥BO以DB，AC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），设B1（0，0，h），则D1（﹣1，0，h）；设A1（a，b，h）（h＞0）则=（1，﹣，0），=（a+1，b，0），∵=，∴a=﹣，b=．即A1（﹣，，h）．∴，设平面A1AB的一个法向量为，则，即取y=，则x=﹣3，z=即，又已知平面ABC的一个法向量，由二面角A1﹣AB﹣C大小为60°，可得，解得：h=即棱台的高为∵B1O⊥AO，B1O⊥BO，AO⊥BO，∴三棱锥B1﹣ABO外接球的直径就是以OA，OB，OB1为三条棱的长方体的体对角线，长为，∴外接球半径R=，∴外接球体积为V===．点评：本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、长方体外接球的体积计算公式、平行四边形与菱形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）设抛物线C1：y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2两点，与椭圆C2交于B1、B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆C2的方程为=1（a＞b＞0），由题意得，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当直线l与x轴垂直时，，不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|．（3）存在定圆N，使得M与N恒相切，由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4，由此得到两圆相内切解答：解：（1）∵抛物线C1：y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2，∴椭圆C2的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），设椭圆C2的方程为=1（a＞b＞0），由题意得，解得a=2，c=1，b=，∴椭圆的标准方程为．（2）当直线l与x轴垂直时，，又F1（﹣1，0），此时≠0，∴以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∵焦点在椭圆内部，∴恒有两个交点，设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则，x1x2=，∵以B1B2为直径的圆经过F1，∴=0，又F1（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1）•（﹣1﹣x2）+y1y2=0，∴，∴（1+k2）•+（1﹣k2）•（﹣）+1+k2=0，解得k2=，由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∵直线l与抛物线有两个交点，∴k≠0，设A（x3，y3），B（x4，y4），则x3+x4==2+，x3x4=1，∴|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．（3）存在定圆N，使得M与N恒相切，定圆N的方程为：（x+1）2+y2=16，圆心是左焦点F（﹣1，0），由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4，∴|MF1|=4﹣|MF2|，∴两圆相内切．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，考查使得⊙M与⊙N恒相切的⊙N 的方程是否存在的判断与求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞）（a是实数），g（x）=+1．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（2）是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；（3）若数列{x n}满足x1=，x n+1=g（x n）﹣1，求证：++…+＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，再分类讨论，当a≥0时，当a＜0时，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；（2）根据函数的单调性，求出函数f（x1）的值域，在根据导数求出g（x2）的值域，根据条件继而求出a的范围；（3）先求出x n的范围，再利用基本不等式求出x n+1﹣x n＜，利用裂项求和法，以及放缩法证明即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞），。

【解析版】辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中联考数学理试题Word版含解析

2014-2015学年度上学期省五校协作体高三期中考试数学(理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x||x|<3}，B={x|y=lg(x-1)}，则集合A ∩B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1]【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：A={x|-3<x<3},B={x|x>1}.所以A ∩B=(1,3)，故选C. 【思路点拨】化简集合A 、B ，然后由交集意义得A ∩B. 2.下列函数中周期为且为偶函数的是A ．y=cos(2x-2)B ．y=sin(2x+2)C ．y=sin(x+2)D ．y=cos(x-2)【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；诱导公式. B4 C2【答案】【解析】B 解析：因为y=sin(2x+2)=cos2x 是偶函数，且周期T= 22ππ=，故选B.【思路点拨】先用诱导公式化简函数解析式，再用弦周期公式2T πω=，求相应函数的周期.3.下列有关命题的说法正确的是A.命题“∀x R, 均有x 2-x+1>0”的否定是：“∃x R, 使得x 2-x+1<0”B.“x=3”是“2x 2-7x+3=0”成立的充分不必要条件C.线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点(x 1,y 1), (x 2,y 2),…，(x n ,y n )中的一个点D.若“p (q)”为真命题，则“p q ”也为真命题【知识点】命题真假的判定；充分条件；必要条件；含一个量词的命题的否定；.线性回归方程的性质. A2 A3 I4【答案】【解析】B 解析：命题“∀x R, 均有x 2-x+1>0”的否定是：“∃x R, 使得x 2-x+1≤0”故A 不正确；因为x=3时2x 2-7x+3=0成立，而2x 2-7x+3=0时x 不一定等于3，所以“x=3”是“2x 2-7x+3=0”成立的充分不必要条件是正确的.故选 B. 【思路点拨】依次分析各命题，直到得到正确命题为止.【题文】4.已知平面向量a →=(2m+1,3), b →=(2,m)，且a →与b →反向，则|b →|等于A.1027 B. 52或2 2 C.52D. 2 2 【知识点】向量共线的意义；向量的运算. F1 F2【答案】【解析】D 解析：因为a →与b →反向，所以a →与b →共线，所以()21230m m +-⨯=22602m m m ⇒+-=⇒=-或32m =，当m=-2时a →=（-3,3），b →=（2，-2），a →与b →反向，此时|b →|=22；当32m = 时，a →=（4,3），b →=（2，32）a →与b →同向.故选D.【思路点拨】由a →与b →反向，得a →与b →共线，所以()21230m m +-⨯=，解得m 值后，代入向量a →、b →的坐标，分析a →与b →是否反向，得出使a →与b →反向得m 值后，再求|b →|. 【题文】5.设偶函数f(x)对任意x R 都有f(x+3)=-1f(x),且当x [-3,-2]时，f(x)=4x,则f(107.5)=A.10 B.110 C.-10 D.-110【知识点】抽象函数的奇偶性；周期性. B4 【答案】【解析】B 解析：由f(x+3)=-1f(x) 1(6)()(3)f x f x f x ⇒+=-=+，所以函数f(x)的周期为6，又f(x)是偶函数，所以f(107.5)=f(617 5.5⨯+)=f(5.5)=-1(2.5)f()111( 2.5)4 2.510f =-=-=--.故选 B.【思路点拨】由f(x+3)=-1f(x)得函数的周期为6 ，所以f(107.5)=f(617 5.5⨯+)=f(5.5) =-1(2.5)f ，又函数f(x)是偶函数，所以f(107.5) ()111( 2.5)4 2.510f =-=-=--. 【题文】6.函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,||<2)的图象如下图所示，则下列说法正确的是A ．对称轴方程为x=3+2k(kZ) B ．=-6C.最小正周期是 D ．f(x)在区间(-32,-56)上单调递减【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4-6 56O【答案】【解析】D 解析：5222166T T ππππω⎛⎫=+=⇒==⎪⎝⎭,A=1，所以2266k k ππϕπϕπ-+=⇒=+,因为||<2，所以=6 ，所以f(x)=sin(x+6)，其对称轴方程为x=3+k(kZ)，所以A 、B 、C 都不正确，故选D.【思路点拨】根据图像求得A 、ω、ϕ的值，进一步得函数解析式，从而确定正确选项. 【题文】7.已知f(x)=sin(2014x+6)+cos(2014x-3)的最大值为A ，若存在实数x 1,x 2,使得对任意实数x 总有f(x 1)f(x)f(x 2)成立，则A|x 1-x 2|的最小值为（）A ．1007 B ．2014 C ．21007 D．21007【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的性质. C4【答案】【解析】A 解析：f(x)=sin(2014x+6)+cos(2014x-3)=2 sin(2014x+6)，所以A=2，周期T=1007π,而|x 1-x 2|的最小值为半周期，所以A|x 1-x 2|的最小值=T=1007π,故选A. 【思路点拨】由诱导公式得f(x)= 2 sin(2014x+6),从而得A=2，周期T= 1007π，因为存在实数x 1,x 2,使得对任意实数x 总有f(x 1)f(x)f(x 2)成立，所以f(x 1)是函数的最小值，f(x 2)是函数的最大值，所以|x 1-x 2|的最小值为半周期，进而得A|x 1-x 2|的最小值. 【题文】8.已知向量a →=（2，1），a →·b →=10，|a →+b →|=52,则|b →|=A ．5B ．25C ． 5D ．10【知识点】向量数量积的坐标运算；向量模的坐标运算. F2 F3【答案】【解析】A 解析：设(,)b x y =，则()()222102150x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩或50x y =⎧⎨=⎩，所以|b →|=5，故选A.【思路点拨】设(,)b x y =，根据题意得关于x 、y 的方程组，解得b 的坐标，从而求得b . 【题文】9.已知集合M={(x,y)|x+y-20,x 0,y0},N={(x,y)|yx,y0},则集合M ∩N 中的点所构成的平面区域的面积为（）A ．79B ．1C ．34D ．76【知识点】二元一次不等式表示的平面区域；定积分的几何意义. E5 B13【答案】【解析】D 解析：如图，集合M ∩N 中的点所构成的平面区域为曲边三角形AOB ，其面积312012121711|232326S x =+⨯⨯=+=+=⎰.故选D.【思路点拨】在坐标系中画出两集合的交集，把它分成一个直角三角形和一个曲边三角形面积的和来求，其中曲边三角形面积用定积分求出.【题文】10.已知数列{a n },定直线l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,a n )在直线l 上，则数列{a n }的前13项和为（）A ．10B ．21C ．39D ．78 【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】C 解析：因为(n,a n )在直线(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0上，所以392424n m m a n m m ++=-++，即数列{a n }是等差数列, 所以131639(13)132242424m m S m m m ++=-+⨯-⨯+++=39.故选C.【思路点拨】由(n,a n )在一条直线上得数列{a n }是等差数列，然后由等差数列的前n 项和公式求解.【题文】11.已知{a n }为等差数列,0<d<1,a 5≠k 2,sin 2a 3+2sina 5cosa 5=sin 2a 7,S n 为数列{a n }的前n 项和，若S nS 10对一切nN *都成立，则首项a 1的取值范围是（）A ．[-98π,-π）B ．[-98π,-π]C ．（-54π,-98π]D ．[-54π,-98π]【知识点】等差数列的性质. D2【答案】【解析】D 解析：由sin 2a 3+2sina 5cosa 5=sin 2a 7,得3751cos 21cos 2sin 222a a a --+=()()537552sin 2cos2cos2cos22cos22a a a a d a d ⇒=-=--+ 52sin 2sin 4a d =因为a 5≠k2,所以sin4d=1，所以42,228k d k d k Z ππππ=+⇒=+∈，又因为0<d<1，所以8d π=. 因为S n S 10对一切nN *都成立，所以11101111990081001008a d a a a a d a ππ⎧+=+≤⎪≤⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪+=+≥⎪⎩119854a a ππ⎧≤-⎪⎪⇒⎨⎪≥-⎪⎩，即首项a 1的取值范围是[-54π,-98π].故选D.【思路点拨】根据等差数列的性质和已知条件求得公差8d π=，再由S n S 10对一切n N*都成立，得关于首项a 1的不等式组求解.【题文】12.已知函数f(x)在[0,+∞)上可导，其导函数记作f (x)，f(0)=-2,且f(x+)=12f(x),当x[0,)时，f(x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x),若方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，则数列{nk 2n}的前n 项和为A.(n-1)·2n+1 B.(n-1)·2n+1+2 C.n ·2n-1D.(2n-1)·3n+14【知识点】函数性质及应用；导数的综合应用；数列求和. B1 B12 D4【答案】【解析】A 解析：由f(0)=-2,f(x+)=12f(x)得，f(π)=-1，f(2π)=- 12，f(3π)= - 14，11,()2n f n π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由当x [0,)时，f (x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x)得2()(cos 21)()sin 2()2cos ()2sin cos f x x f x x f x x f x x x ''+>⇒>cos [()cos ()sin ]0x f x x f x x '⇒-> cos [()cos ]0x f x x '⇒>所以(0,)2x π∈时，h(x)=f(x)cosx 是增函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h(x)=f(x)cosx 是减函数. 由于方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，即()cos n k f x x =-在[0,+∞)上有n 个解，则()()()12310cos02,cos 1,2cos 22k f k fk f ππππ=-==-=-=-=，，((1))cos(1)n k f n n ππ=---. 则有11221,22n n n nnk n k --⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭. 令23112232422n S n -=+⋅+⋅+⋅++⋅，则2321222322n S n =⋅+⋅+⋅++⋅两式相减得23112122222212nn nn S n n ---=+++++-⋅=-⋅-则()121nS n =-⋅+.故选A.【思路点拨】由f(0)=-2,f(x+)=12f(x)得11()2n f n π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由当x [0,)时，f(x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x)得(0,)2x π∈时，h(x)=f(x)cosx 是增函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h(x)=f(x)cosx 是减函数. 由于方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，即()cos n k f x x =-在[0,+∞)上有n 个解.所以()()()12310cos02,cos 1,2cos 22k f k f k f ππππ=-==-=-=-=，，((1))cos(1)n k f n n ππ=---. 则有11221,22n n n nnk n k --⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭.再用错位相减法求数列{nk 2n}的前n 项和. 【题文】第Ⅱ卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

辽宁省重点高中协作校高三(上)期末数学试卷(理科).docx

则该儿何体的体积为（辽宁省重点高中协作校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则复数轧的共辘复数为（）4-1 A. 4+i B. 4 ・ iC ・-4+i D ・・ 4 ・ i2. 设集合A={X |X 2-9<0}, B={X |2X EN},则AAB 的元素的个数为（） A. 3 B. 4 C ・ 5 D. 63. 设向量 a, b 满足 | a |=2V2> I b I 二血，且则 | |二（） A. 2V3B. 12 C ・ 2血D. 84. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP 累计A. 2015年前三个季度中国GDP 累计比较2014年同期增速有上升的趋势B. 相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP 的贡献率明显增加C. 相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP 的贡献率明显增加D. 相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP 的贡献率明显增加]3 5. （V2x-y ）的展开式中常数项为（）X A.・ 6 B. - 2 C. 2 D. 6 6.如图，网格纸上小止方形的边长为4粗实线画出的是某几何体的三视图,同比贡献率，以下结论正确的是（-r <kA. jB. 4C. 8 D・ 8>/27.抛物线y2=4X±有两点A, B到焦点的距离之和为7,则A, B到y轴的距离之和为()A. 8B. 7 C・ 6 D. 5&若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N三n (bmodm),例如10 三2(bmod4)・下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》•执行该程序框图，则输出的i等于( )A. 4B. 8C. 16D. 32(2x+y - 6< 09. 设x, y满足约束条件x-y-l<0 ,若z=ax+y仅在点(*, #)处取得最大值,则a的取值范围是( )A. (一8, - 1)B. (2, +oo) c. (0, 2) D・(-1, +8)10. 已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，当x>l时，f (x) =2X - 8x - f (2),则当x< - 1时，f (x)的表达式为( )A. f (x) = -2 x-8x-6 B・ f (x) =-2x-8x+6 C・ f (x) =2x+8x+6 D. f(x) =-2 x+8x - 6•飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，己知飞机的高度为海拔15000m, 速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18。

2014-2015学年度辽宁省五校协作体高三上学期期末试卷(含答案).

2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷命题学校：鞍山一中命题人：杨静校对人：杨静第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|320}M x x x =++<，集合1{|()4}2xN x =≤，则MN = （）（A ）{|2}x x ≥- （B ）{|1}x x >- （C ）{|1}x x <- （D ）{|2}x x ≤- 2. 已知复数z=1+i,则z 2-2zz-1= ( )（A ） -2i （B ） 2i （C ） -2 （D ） 23. 如图，若()log 3x f x =，2()log g x x =，输入x ＝0.25，则输出h(x)＝ ( )（A ）0.25 （B ）2log 32 （C ）－12log 23（D ）－24. 下列选项中，说法正确的是（）（A ）命题“2,0x x x ∃∈-≤R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ”（B ）命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件（C ）命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题（D ）命题“在△ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 5. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人（）（A ）可在7秒内追上汽车（B ）可在9秒内追上汽车（C ）不能追上汽车，但其间最近距离为14米（D ）不能追上汽车，但其间最近距离为7米6. 在△ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则三角形ABC 的形状一定是 ( ) （A ）等边三角形（B ）等腰三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形 7. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（）（A ）向右平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度8. 抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i N *∈，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于（ )（A ）64 （B ）42 （C ）32 （D ）219. 已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N （设点M,N 均在第一象限），当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为e 0，则e 0所在的区间为（）（A ）(（B）（C ）)2 （D ）()2,310. 设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数y=x 2与y=kx的图像所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为（）（A ）1796 （B ）5327题正视图（C ）16 （D ）74811. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，BB 1。

【恒心】2015届辽宁省实验中学等五校协作体高三上学期期中联考数学(理科)试题与参考答案【名师透析版

1 2 14即： sinA =7 ∴sinA= 8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4（ 2〕由余弦定理得： c 2=a 2+b 2-2abcosC232(2b+1)(b-2)=0即： 2=1+b -2b×2b -3b-2=04∴b=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分1 1 7 7∴S △ABC =2absinC= 2×1×2×4 = 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分【思路点拨】〔1〕根据正弦定理及同角三角函数关系求解；〔2〕根据余弦定理和三角形面积公式求解 .【题文】 18. (本小题总分值12 分 )向量→ → 设函数 f(x)= → → a =(2cosx, 3sinx), b =(cosx,-2cosx) a ·b（ 1〕求 f(x) 的单调增区间；（ 2〕假设 tan = 2,求 f( )的值．【知识点】向量数量积的坐标形式；二倍角公式；两角和与差的三角函数；三角函数的单调性；三角函数的求值 .F2 F3 C5C6 C3C7【答案】【解析】 (1) [k -22-2 63 ,k -6] ,k Z ；〔 2〕3 .→ →23sin2x=1+2cos(2x+ 3) ⋯⋯⋯3分解析： f(x)=a ·b =2cos x-23sinxcosx=1+cos2x-2x+3 2k2 -6(1) 当 2k -时， f(x) 单调递增，解得： k - 3 x k k Z∴f(x) 的单调递增区间为 [k - 2 -6]3 ,k k Z ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分2 2cos 2 -2 3sin cos 2-2 3tan 2-2 6(2)f( )=2cos -2 3sincos =sin 2 +cos2=1+tan 2=3⋯⋯ 12分【思路点拨】〔 1〕利用向量数量积的坐标公式化简f(x) 得，f(x)= 1+2cos(2x+3),再用余弦函数的增区间求 f(x) 的增区间；〔 2〕把 f(x) 中的弦函数化为正切函数，再把 tan α代入即可 .【题文】 19. (本小题总分值 12 分 )1-x函数f(x)=ax+ ax (a>0)（ 1〕用单调性的定义判断函数f(x) 在 (0,+ ∞)上的单调性并加以证明；（ 2〕设 f(x) 在 0<x 1 的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的解析式。

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2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷命题学校：鞍山一中命题人：杨静校对人：杨静第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|320}M x x x =++<，集合1{|()4}2xN x =≤，则MN = （）（A ）{|2}x x ≥- （B ）{|1}x x >- （C ）{|1}x x <- （D ）{|2}x x ≤- 2. 已知复数z=1+i,则z 2-2zz-1= ( )（A ） -2i （B ） 2i （C ） -2 （D ） 23. 如图，若()log 3x f x =，2()log g x x =，输入x ＝0.25，则输出h(x)＝ ( )（A ）0.25 （B ）2log 32 （C ）－12log 23（D ）－24. 下列选项中，说法正确的是（）（A ）命题“2,0x x x ∃∈-≤R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ” （B ）命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件（C ）命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题（D ）命题“在△ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 5. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人（）（A ）可在7秒内追上汽车（B ）可在9秒内追上汽车（C ）不能追上汽车，但其间最近距离为14米（D ）不能追上汽车，但其间最近距离为7米6. 在△ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则三角形ABC 的形状一定是 ( ) （A ）等边三角形（B ）等腰三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形 7. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（）（A ）向右平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度8. 抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i N *∈，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于（ )（A ）64 （B ）42 （C ）32 （D ）219. 已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N （设点M,N 均在第一象限），当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为e 0，则e 0所在的区间为（）（A ）()1,2 （B ）()2,3 （C ）()3,2 （D ）()2,310. 设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数y=x 2与y=kx 的图像所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为（）（A ）1796 （B ）532 （C ）16 （D ）74811. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，BB 1=2。

设点A 关于直线BD 1的对称点为P ，则P 与C 1两点之间的距离为（）（A ） 1 （B ） 2 （C ）33 （D ）3212. 已知函数f(x)是定义在R 上的单调增函数，且满足对任意的实数x 都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则f(x)+f(-x) 的最小值等于（）7题俯视图433正视图4 （A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共4个小题,每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13. 在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者。

三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种(用数字作答)．14. 设实数x,y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10，则22a b +的最小值为。

15. 把矩形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C-ABD 的正视图和俯视图如右图所示，则侧视图的面积为。

16.定义域为R 的函数1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程h(x)=[f(x)]2+bf(x)+12b 2-58，有五个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,x 5。

设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5,且x 1,x 2,x 3,x 4,x 5构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若3(),2f A =b+c=2。

求实数a 的取值范围。

甲乙2 5 7 7 8 94 7 8 8 6 7 85 8 9 1 2 3 56 8 10 118. （本小题满分12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格。

（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较。

（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望。

19. （本小题满分12分）如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=AD=2A 1B 1,60BAD ∠=（1）证明：BB 1⊥AC ；（2）若AB=2，且二面角A 1-AB-C 大小为60，连接AC,BD ，设交点为O ，连接B 1O 。

求三棱锥B 1-ABO 外接球的体积。

（球体体积公式：343V R π=,R 是球半径）20. （本小题满分12分）设抛物线C 1:y 2=4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2；以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2（1）求椭圆的标准方程；（2）直线L 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点。

当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|长。

（3）若M 是椭圆上的动点，以M 为圆心，MF 2为半径作圆M ,是否存在定圆N ,使得M 与N 恒相切？若存在，求出N 的方程，若不存在，请说明理由。

F 1 F 2 OxB 1A 2 A 1yB 2ABCD OC 1B 1A 1D 121. （本小题满分12分）已知函数1()ln ,(0,)f x x ax x x =++∈+∞(a 是实数)，22()1x g x x =++1。

（1）若函数f(x)在[1，+∞）上是单调函数，求a 的取值范围；（2）是否存在正实数a 满足：对于任意[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使得f(x 1)=g(x 2)成立，若存在求出a 的范围，若不存在，说明理由。

（3）若数列{}n x 满足111,()12n n x x g x +==-，求证：()()()2221223112231516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =，求FDAF的值。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为22,42.x t y t ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）。

直线l 与曲线C 分别交于M N 、.若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（1）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．ABCDEFO2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C D C A B A C A B二．填空题13. 10 14. 2513 15. 722516. 35三．解答题17、本小题满分12分解（Ⅰ）2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+-- 311+sin 2cos 21+sin(2)226x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6x π+=即22()62x k k Z πππ+=+∈ ，即,6x k k Z ππ=+∈时取到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……（6分）（Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。