第07讲(三次函数的导数问题)(原卷版)

第07讲（三次函数的导数问题）

【目标导航】

运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。

【例题导读】

例1、若13

x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．

例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13

－kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围．

例4、已知函数f (x )＝14

x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程；

(2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；

(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．

例5、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R .

(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；

(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；

例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ．

（1）若20a b +=，

① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；

② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；

例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：33b a >；

（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72

-，求a 的取值范围．

例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R .

(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；

(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；

(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．

【反馈练习】

1、若函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x 在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．

2、已知函数f (x )＝14x 4＋a 3x 3＋12

x 2(a ∈R ，a ≠0)有且仅有3个极值点，则实数a 的取值范围 是________．

3、若函数f (x )＝a 3x 3－12(a ＋1)x 2＋x －13

(a ＞0)在[0,2]上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．

4、设函数f (x )＝x 3－92

x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求实数m 的最大值；

(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．

5、已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R .

(1)若函数g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；

(2)当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，求满足条件的正整数a 的取值集合．

6、已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．

(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；

(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b a

的值； (3) 当a ＝0时，若f (x )

7、若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．

设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．

(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；

(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；

(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．

8、已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)

(1) 求b 关于a 的函数关系式；

(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73

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