高斯光束的传播特

20为基模光束的发散角
由于高阶模的发散角是随着模的 阶次的增大而增大，所以多模振 荡时，光束的方向性要比单基模 振荡差。
3.3.2 高斯光束的相位分布
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umnx, y, z CmnHm
2
1
2

2 ws
x Hn
2
1
2

w2s相y位 因 子
exp
1
4

2
x2 y2
s2

——基模截面是高斯函数
2、光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径
(z) s
2
1 2 s
2
1

4z2 L2
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
1
4z2 L2




2z
z z0


1

L 2z L
2
x2 y2 L
2z0
L
1


2z0 L
2

x2
y2 L
2z0
x2 y2
1


L 2z0
2
3、等相位面的特点
2z
z z0


1

L 2z L
2

x2
z)

1 2
L [1 2 s
(
1 2
2z )2] L
L



(
z
)

0
1

(
z

2 0
)2

2 02

z2
(
2 0
)2
1
2

z2
1
02
(
2 0
)2
——光斑半径随z按照双曲线规律变化。
三、 模体积
1、定义：描述某一腔模在腔 内扩展的空间体积。


z1


LR2 L
R1 R2 2L
z2

LR1 L
R1 R2 2L
① 在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共 焦场分布不受影响。
②由于任一共焦腔有无穷多个等相位面，因此可以用这种方法逻辑地 建立起无穷多个新的谐振腔——稳定腔。
2.任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。
①等价的含义：二者有相同的行波场。
理解：若有焦 距为 f 的共焦 腔,则其任意 两等相面可构 成稳定腔.
(z)
L [1 ( 2z )2 ] 2 L
①当 z=0 时，z 达到最小值
0
1 2
s

1 2
L
——高斯光束的基模腰斑半径(腰粗)
②当 z f L 时，即在镜面上时，有： 2
z
20
L
3、 (z在) 纵截面上的表达式
( 0
2 2 2.3103 rad f
某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
2 5.2103 rad
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是表 明激光具有很好的方向性。
高阶横模的光束发散角

和
m
可以n 通过基模的光斑和发
散角求出来：
2m 2m 1 20 2n 2n 1 20
一般的稳定球面腔指的模式理论可以根据光腔的衍射积 分方程严格建立起来,但更为简明的研究方法是以共焦腔模式 理论为基础的等价共焦腔法.
思路： 共焦腔
等价的稳定球面腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔的模式理论
处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。
3.4.1 稳定球面腔的等价共焦腔
1. 将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由?


即证明了放置在z1、z2处的反射镜构成稳定腔
利用类似的方法可以证明，放置在图中C1，C３处或C２，C４
处的的反射镜都将构成稳定腔．即不同的z1 对应着不同的
R(z1),不同的 z2对应着不同的 R(z2);曲率半径和腔长可变,但 作用不变.
2、 由任一稳定球面腔求等价对称共焦腔:
如果一个球面满足稳定条件,则可以找到一个,而且也只能找 到一个共焦腔,其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两 个镜面相重合,从而,这两个腔的模式完全相同
exp

2
1
2

x2 y2 ws2

exp
i x,
y,
z
位相弯曲因子
附加相移因子
传播因子
(x, y, z) k[ L (1
2
2z 2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2

] (m n 1)(
L
2
)
———决定了共焦场的位相分布
arctan L 2z
L 2z
一、等相位面的分布
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程 x, y, z 0,0, z0
(x, y, z) k[ L (1
2
2z 2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2

] (m n 1)(
L
2
) (0,0, z0 )
3.3 高斯光束的传播特性
回顾 ——求解对称开腔中的自再现模积分方程,了解输 出激光的具体场的分布
前瞻 —— 研究高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
2 1
2

2 ws
x Hn
R’
L’
R2
L
共焦腔与稳定球面腔的等价性
R1
R(z1) (z1
f 2) z1
R2

R(z2) (z2

f 2) z2

L z2 z1
L f2zz
g 1
12
1
R z2 f 2
1
源自文库
1
L f2zz
g 1
12
2
R z2 f 2
2
2
0 g g 1 12
k

L 2
1
2z L


1

2z L 2z
2

x2
L
y
2



2



z



k

L 2
1
2z0 L



2


z0



L

若忽略由于z的变化而造成附加相移因子的微小变化，则在近轴情况下， z处的等相位面方程为：
结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波;
在z = 0处变成一个平面波;
在 z＞0处又变成发散球面波。
三.共焦场的等相位面的分布图
共焦场等相面的分布 可以证明： 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
z0 [1
(L 2z0
)2 ]

z0 [1
(
f z0
)2 ]
x2 y2 zz
0 2R(z)
5.当 z0 0 时，R(z) 0
z 0 0
R(z0) 0
zz 0 0
6.当 z0 0 时，R(z) 0
z 0 0
R(z0) 0 z z 0 0
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面
2 lim 2(z)
z z

(z) 0
1 (
z
)2

2 0

2 2 2 2 L 0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2 2 2 2 L 0
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
束腰处的等相位面为平面， 曲 率中心在无穷远处
无穷远处等相位面为平 面，曲率中心在z=0处
光束可近似为一个 由z=0点发出的半径 为z的球面波。
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
R02 x2 y2 z z0 R0 2
R0

2、意义：模体积大。对激活 介质能量的提取就大，对模 式振荡作贡献的粒子数越多， 就有可能获得大的输出功率。
3、对称共焦腔基模的模体 积：看成底半径为ω0，高 为L的圆柱体。
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
决定一个模式能否振荡，能 获得多大的输出功率，与其 它模式的竞争情况等。
V000
y2 L
2z0
L
1


2z0 L
2
x2
y2 L
2z0
x2 y2
1


L 2z0
2




在近轴情况下，等相位面是顶点位于z0的旋转抛物面，抛物面的焦距为：
f ' z0 f 2 2 2z0
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z0处的等相位面近 似为球面，其曲率半径为：
共焦腔与稳定球面腔的等价性
求证:任一对称共焦腔( f )等价于无穷多个稳定球面腔
R1
R’
L’
R2
L
共焦腔与稳定球面腔的等价性
焦距f、中心在z=0的对称共焦腔(R’， R’ ，L’ ）
则 ( z1 , z2)处等价稳定球面腔参数( R1 , R2 , L)为
R1

R(z1) (z1
R0

2
f
'

z0 [1
(L 2z0
)2 ]

z0 [1
(
f z0
)2 ]
(3 38)
则有：
z

z0


x2 y2 2R0
R0
x2 y2 1 R02 R0

R02 x2 y2 R0
R02 x2 y2 z z0 R0 2
球面方程

1 2
L
2 0s

L2
2
高阶模：
Vm0n

1 2
L ms ns

（2 m
1）（ 2n
1）L2
2
（2m 1）（ 2n 1）V000
3.3.3 高斯光束的远场发散角
一、定义：
基模远场发散角 2：双曲线两根渐近线之间的夹角：
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
2 1
2

2 ws
y


exp

1
2
2

x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
1
Hm

2 1
2

2 ws
x Hn

2 1
2

2 ws
y


exp

2 1
2

x2 y2 ws2
行波场横向振幅分布因子
小结：高斯光束的基本性质
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯 球面波，
2.在其传播过程中曲率中心不断改变 3.其振幅在横截面内为一高斯光束 4.强度集中在轴线及其附近 5.等相位面保持球面
3.4 稳定球面腔的光束传播特性
一般的稳定球面腔指曲率半径不同的球面镜、腔长按任 意间距构成但腔的g 参数满足稳定条件 0<g1 g2 <1的谐振腔.
2 1
2

2 ws
y


exp

2 1
2

x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
二、振幅分布和光斑尺寸
1、振幅分布
对基横模TEM00
U 00

Cmn
exp
1

2

2
x2 y2
s2

基横模TEM00的光强
I 00

U
2 00

Cm2 n
f2 )
z1

R2


R(z2) (z2

f2 )
z2

L z2 z1

f——对称共焦腔焦距(唯一参数)
(因 L' R1' R2' 2 f ) R1 , R2 , L ——等价稳定球面腔参数,
z1 , z2——等价稳定球面腔二镜至z原点
(对称共焦腔中心)距离(含符号).
R1
—厄米—高斯函数
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从 中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2 exp ix, y, z：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
umn x, y, z CmnHm
2 1
2

2 ws
x Hn
(1) 任一稳定球面腔（R1，R2 ， L）
等价于唯一的一个对称共焦腔f.
f =2L
(2)由稳定球面腔的( R1 , R)2, , L
R1
R2
L
求出 ( z1 ,)z及2 等价对称共焦腔参数
( f )为
R1

z1
[1 ( f )2 ] z1

R2

z2
[1

(
f z2
)2
]

z1 z2 L
——等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二.讨论 R02 x2 y2 z z0 R0 2
R0

z0 [1
L ( 2z0
)2 ]

z0 [1
(
f z0
)2 ]
注：高斯光束等相面的曲率中 心并不是一个固定点，它要随 着光束的传播而移动。
1.当 z0 0 时，R(z0 ) 2.当 z0 时，R(z0 ) 3.当 z0 f 时，R(z0 ) z0 4.当 z0 f 时，R(z0 ) L 2 f