重庆一中高二期中数学
重庆市第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理(含解析)
重庆市第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.已知复数32i z =-（i 为虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数z 所对应的点为（ ） A. )2,3(- B. (3,2)C. )3,2(-D. )3,2(【答案】B 【解析】 【分析】由复数32i z =-，得到复数z 的共轭复数32z i =+，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数32i z =-（i虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数32z i =+所对应的点为(3,2)，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的几何意义和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知随机变量2(1,)X N σ，且(2)0.2P X >=，则(0)P X <=（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】A 【解析】 【分析】 由随机变量2(1,)XN σ，得正态分布曲线关于1X =对称，即可得到(0)(2)P X P X <=>，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，随机变量2(1,)XN σ，且(2)0.2P X >=，可得正态分布曲线关于1X =对称，可得((0)2)0.2P X P X >=<=，故选A ．【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.观察下列各式：22334455661,3,4,7,11,18,x y x y x y x y x y x y ⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=7729x y ⊗=…，根据以上规律，则88x y ⊗=（ ） A. 123 B. 76 C. 47 D. 40【答案】C 【解析】 【分析】由数字1,3,4,7,11,18,29,构成数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，即可求解，得到答案．【详解】根据题设条件，由数字1,3,4,7,11,18,29,构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，则876291847a a a =+=+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及数列的应用，其中解答中根据题设条件，得出构成数列的递推关系11,()n n n a a a n N *++=+∈是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；B. 该超市这五个月的利润一直在增长；C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ．【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A. 09.0 B. 9C. 1D. 0.9【答案】D 【解析】 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解．【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于6.为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为 （ ） A. 4.9 B. 5.25C. 5.95D. 6.15【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a=，得到回归直线的方程为0.7035ˆ.x y=+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a =⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为0.7035ˆ.x y =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.112B.16C.15D.56【答案】C 【解析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有3232A A ⋅种不同的排法，又由丙不能排最左端，只有3种方式，利用分步计数原理，即可求解．【详解】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有323212A A ⋅=种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式， 由分步计数原理可得，不同的排法共有12336⨯=种，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用“捆绑法”和“插空法”求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.已知二项式2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+++++++，且16a =，则12n a a a +++=（ ）A. 128B. 127C. 96D. 63【答案】D 【解析】 【分析】把二项式(2)n x +化为[1(1)]nx ++，求得其展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+，求得6n =，再令0x =，求得01264n a a a a ++++=，进而即可求解．【详解】由题意，二项式(2)[1(1)]n nx x +=++展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+， 令1=r ，可得112(1)n T C x =+，即16n C =，解得6n =，所以二项式为66(2)[1(1)]x x +=++，则0061a C ==，令11x +=，即0x =，则6012264n a a a a ++++==，所以1263n a a a +++=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式(2)[1(1)]nnx x +=++，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（ ） A.181 B.112C.19D.365 【答案】A 【解析】 【分析】由6份礼物分给6个人，共有66720A =种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，6份礼物分给6个人，共有66720A =种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为40172018P ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.已知在三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，2PB BC ==3PA =，且PA BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 15πB.C. 21πD. π227【答案】A 【解析】 【分析】由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，在}0,1{-中，得到AB PA ⊥，利用线面垂直的判定定理PA ⊥平面ABC ，在ABC ∆中得到AC =进而在直角PAC ∆中，求得PC = 【详解】由题意，设球的半径为R ，如图所示，由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，又由在}0,1{-中，3,PA PB AB ===，所以222PB PA AB =+，则AB PA ⊥，又由PA BC ⊥，且ABBC B =，所以PA ⊥平面ABC ，又由底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，所以AC ==在直角PAC ∆中，3,PA AC ==PC =,即2R =，所以R =所以球的表面积为221544()15S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟练应用组合的结构特征，以及球的性质求解求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈，若对区间[0,1]内的任意实数321,,x x x ，都有123()()()f x f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]2,1[ B. [,4]eC. [1,2)[,4]e D. [1,4]【答案】D 【解析】对任意实数[]123,,0,1x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，则()()2min max f x f x ≥，()()[],0,1x f x x e a x =--∈'，分类讨论：①1a ≤时，()0f x '≤恒成立，()f x 在[]0,1单调递减，()()()()()()1,01,2, 1.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≥ 1a ∴=.②a e ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在[]0,1单调递增，()()()()()()01,1,2, 4.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≤4.e a ∴≤≤③1a e <<时，()f x 在[]0,lna 单调递增，[],1lna 单调递减，()()()21,01,1,22a f lna aln a alna a f f =-+== (Ⅰ)()()10f f ≤即2a ≤时，()()2212,,1.1a 2.2min max f x f x a aln a alna a a e ≥∴≥-+∴≤≤∴≤≤(Ⅱ)()()10f f >即2a >时，()()212,2,2min max f x f x aln a alna a ≥∴≥-+ 令()()22112,022g a aln a alna a g a ln a =-+-∴=≥'恒成立，()2120,222e g e aln a alna a =-<∴≥-+在()2,a e ∈恒成立，2a e ∴<<,综上可得，实数a 的取值范围是[]1,4，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市一中高二数学上学期期中考试 文【会员独享】.doc
秘密★启用前重庆一中高高二上期半期考试 数 学 试 题 卷（文科） .11数学试题共3页。
满分150分。
考试时间1。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题。
（每小题5分，共50分） 1．抛物线y x 22=的焦点坐标为（ ）. A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C ．)1,0(D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,02．经过()()4,0,0,3两点的直线方程是（ ）A ．01243=-+y x B.01243=+-y x C.01234=+-y x D.01234=-+y x 3．直线01032=+-y x 的法向量的坐标可以是（ ）A.()3,2-B.()3,2C.()3,2-D.()3,2-- 4．圆02:221=-+x y x C 与圆04:222=-+y y x C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切5．1366422=-y x P 为双曲线左支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且171=PF ，则P 点到左准线的距离是（ ） A ．568 B ．5132 C ．54D ．586．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为( )A ．23B ．33C ．36D ．667．已知点()()0,3,2,021P P ,在线段21P P 上取一点P ，使得212PP P P =，则P 点坐标为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,23 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,218．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y xB ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x9．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于B A 、两点，若4=AB ，这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．21F F 、是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向M MF F 顶点21∆的外角平分线引垂线，垂足为P P 则,点的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、填空题。
数学-高二-重庆一中高二(上)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）2．经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=03．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）4．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切5．左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，则P点到左准线的距离是（）A．B． C．D．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．已知点P1（0，2），P2（3，0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．8．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=09．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是．15．已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=．三、解答题（16—18每小题13分，19—21每小题13分，共75分）16．已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，求直线AB的方程．（用一般式表示）17．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣3）x+ay+a=0（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．过点P（2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB|．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？20．已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．（1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）（1）求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有||=|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可得，x2=2py（p＞0）的焦点坐标（0，）可直接求解【解答】解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选B．2．经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y﹣12=0．故选D．3．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】先求出直线的斜率，可得其方向向量的坐标，再结合向量垂直即可得到结论．【解答】解：因为直线2x﹣3y+10=0，斜率为．∴其方向向量为：（1，）．设其法向量坐标为（x，y）由因为方向向量和法向量垂直，∴x+y=0；符合要求的只有答案C．故选：C．4．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1 圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B5．左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，则P点到左准线的距离是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设P点到左准线的距离是d，则∵左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，∴∴d=故选A．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆的两准线间的距离、两焦点间的距离，利用两焦点三等分椭圆两准线间的距离，建立方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：两准线间的距离为，两焦点间的距离2c，∵两焦点三等分椭圆两准线间的距离，∴2c=•，即：6c2=2a2，e=，或e=﹣（舍去）故选B．7．已知点P1（0，2），P2（3，0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】设P（x，y），由题意知，得=（x，y﹣2），=（3﹣x，﹣y）利用向量相等的条件得列出关于x，y的方程组，解出点P坐标．【解答】解：设P（x，y），由题意知，得=（x，y﹣2），=（3﹣x，﹣y）因为，所以解得所以P点坐标为（2，）故选A8．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=0【考点】圆的一般方程．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．9．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段．【解答】解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y=±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选C．10．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO．根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．【解答】解：如图所示延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO，∵MP是∠F1MB的平分线，且PM⊥BF1∴△F1MB中，|MF1|=|BM|且P为BF1的中点由三角形中位线定理，得|OP|=|BF2|=（|BM|+|MF2|）∵由椭圆的定义，得|MF1|+|MF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|BM|+|MF2|=2a，∴|OP|=（|MF1|+|MF2|）=a，可得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2为以原点为圆心半径为a的圆故选：A二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：813．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，圆的圆心（2，0），半径为1，设，即kx﹣y=0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，解得k=，所求的最大值为：．故答案为：．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是且m≠±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立直线与曲线方程，由题意可得，方程有2个不等的实数根，由此能求出实数k 的取值的集合．【解答】解：由消去y得（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0．由题意可得1﹣m2≠0，且△=（2m）2+8（1﹣m2）＞0，解可得，且m≠±1故答案为且m≠±115．已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1，求出M（），进一步得到N点的坐标为（）．表示出，利用向量的数量积根式求出，根据已知列出方程求出k的值．【解答】解：设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1，所以M（），所以N点的坐标为（）．，，所以===﹣1=3因为，所以3=0所以k=故答案为：三、解答题（16—18每小题13分，19—21每小题13分，共75分）16．已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，求直线AB的方程．（用一般式表示）【考点】相交弦所在直线的方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l：x=3与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；（2）圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，线段AB即为两圆的公共弦．将两圆的一般方程的左边相减，得到二元一次方程，即为公共弦弦AB所在直线的方程．【解答】解：（1）∵圆C与直线l：x=3相切．∴圆心C（2，1）到直线l的距离等于圆的半径．因此半径r=|3﹣2|=1∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1（2）将圆C与圆O的方程联解，由两式相减得方程：2x+y﹣4=0，∵圆C与圆O相交于A，B两点，∴直线AB的方程即为2x+y﹣4=017．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣3）x+ay+a=0（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）先求出两直线的法向量，由l1∥l2所以得a2+2a﹣3=0，从而解得a的值．最后经检验满足l1∥l2 ．（2）由得a（2a﹣3）﹣a=0，即可求得a的值．【解答】解：（1）直线l1的法向量为，直线l2的法向量为因l1∥l2所以即a2+2a﹣3=0得a=﹣3或1经检验均符合题意，故a=﹣3或1（2）故a（2a﹣3）﹣a=0，∴a=0或2．18．过点P（2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB|．【考点】直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则⇒（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）由于直线的斜率存在，故，从而直线AB的方程为：y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．（2）⇒（2x﹣3）2=4x即4x2﹣16x+9=0，因△＞0，故于是．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，．20．已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．（1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由Q在椭圆上，知|QF1|+|QF2|=4．在△QF1F2中，，所以，由此能求出△F1QF2的面积．（2）设Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），，故．又Q点在椭圆上，所以，故．由Q点在抛物线上，能求出抛物线方程．【解答】解：（1）∵Q在椭圆上，∴|QF1|+|QF2|=4，∴=16，…①在△QF1F2中，∵∠F1QF2=60°，∴…②①﹣②，得：，∴．（2）设Q（x0，y0），（x0＞0，y0＞0）由（1）知，=，∵|F1F2|=2c=2=2，∴，故，又Q点在椭圆上，所以，即，故．又Q点在抛物线上，所以，∴，所以抛物线方程为．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）（1）求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有||=|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；轨迹方程．【分析】（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用P（x，2y）点在圆上，即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式得，欲求面积的最大值，只须考虑|x B|的最大值即可．由此求出直线l的方程；（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k 的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上所以x2+4y2=4，即（2）而|x B|≤2，故当x B=±2时，△OAB面积的最大值为1此时，直线l的方程为：x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）于是⇒（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞04k2﹣m2+1＞0…①而故从而而故k AQ•k=﹣1可得：3m=﹣4k2﹣1…②由①②得：﹣3＜m＜0 故2016年11月26日。
重庆一中2020-2021年高二第一学期期中考试数学试题【含答案】
重庆一中2020-2021年高二第一学期期中考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
四个选项中只有一项是符合题目要求。
1.椭圆上点P到左焦点的距离为4，则点P到右焦点的距离为A.5B.2C.4D.62.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数t=A. B.1 C.-2 D.3.如图，是的斜二测直观图，其中，斜边=2,则的面积是A. B.C. D.4.已知一个圆锥的表面积是底面积的3倍，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A. B. C. D.5.已知圆与直线相交于，两点，若为直角三角形，则实数的值为A.-10B.12C.-8D.106.已知直三棱柱中，，，且直线与平面所成的角为45°，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.7.过抛物线的焦点的直线(不平行于轴)交抛物线于，两点，线段的中垂线交轴于点，若，则线段的长度为A.1B.2C.3D.48.蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠（如图所示）最早系外包皮革、内实米糖的球。
因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、蹋皮球的活动，类似今日的足球运动。
2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。
已知一个半径为5的鞠，其表面上有两点，，且，鞠心（即球心）为，若点是该鞠表面上的动点，且二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分 9.已知是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论中正确的有 A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则10.已知正方体,则下列结论中正确的有 A. B.平面C.线段被平面分成两段，其长线段与短线段长度比为3:1D.正方体被平面分割为大小两个几何体的体积比为5:111.已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有A.点P 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1.B.cos ∠的最小值为C.若∠=，则的面积为D.直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值12.如图①，矩形的边，设，，三角形为等边三角形，沿将三角形折起，构成四棱锥如图②，则下列说法正确的有A.若为中点，则在线段上存在点，使得平面B.当时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面平面C.若使点在平面内的射影落在线段上，则此时该四棱锥的体积最大值为1D.若，且当点在平面内的射影点落在线段上时，三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2022年高二后半期期中考试理科数学试卷(重庆市第一中学)
2022-2022年高二后半期期中考试理科数学试卷（重庆市第一中学）解答题现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学(满分150分）、物理（满分110分）成绩如下表所示，数学、物理成绩分别用特征量表示，特征量1234567t101124119106122118115y74838775858783求关于t的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩(精确到个位).附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】（1）（2）该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩估计为90分【解析】试题分析：(1)由题意求得，则.(2)由(1)的结论可知随着数学成绩的提高，物理成绩会稳步增长，且该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩估计为90分试题解析：解：（1）设回归方程为,代人公式,经计算得，关于的回归方程为,随着数学成绩的提高，物理成绩会稳步增长当时,所以,该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩估计为90分填空题甲、乙两人轮流投篮，每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，规定：甲先投，若甲投中，则甲继续投，否则由乙投；若乙投中，则乙继续投，否则由甲投.两人按此规则进行投篮，则第五次为甲投篮的概率为______.【答案】【解析】如图所示，绘制树图，左子树表示投篮命中的结果，右子树表示投篮不中的结果，据此计算概率可得：解答题函数的最大值为______.【答案】【解析】由柯西不等式：，即函数的最大值为.填空题随机变量,且,则_________.【答案】【解析】,所以;而,所以,解得.故答案为.选择题齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别记为,田忌的三匹马分别记为，齐王与田忌赛马，其情况有：共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中则齐王获胜的概率为：.本题选择B选项.选择题若复数满足,其中是虚数单位,则的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得==,即,所以=2.故选A.解答题已知,函数.(Ⅰ)求在区间上的最小值;(Ⅱ)设,当时, 恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用得，判断函数的单调性，通过(i)当时；(ii)当时,(iii)当时，分别求解函数的最值；(Ⅱ) ，则，通过①当时，②当时，i当时，ii当时，利用函数的导数结合函数的单调性求解函数的最值，推出实数的取值范围.试题解析：(Ⅰ) ,由,得,当时, 为增函数;当时, 为减函数.(i)当时, 在区间上为减函数,;(ii)当时, 在区间上为增函数, ;(iii)当时, ,若时, ; 若时,.综上,当时, ; 当时, .(Ⅱ) ,则.①当时, 在上单调递增,则,∵,∴存在,使得,于是在区间上单调递减,当时, 与恒成立相矛盾,不符合题意.②当时, ),则,即在上单调递增,∴,即,∴.(i)当时, ,于是在上单调递增,∴恒成立,符合题意.(ii)当时, 在上单调递增,则,即在上单调递增,所以,∵,∴存在,使得,于是在区间上单调递减,当时, 与恒成立相矛盾,不符合题意.综上,实数的取值范围是.填空题若，则直线被圆所截得的弦长为______.【答案】4【解析】圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长为：.选择题已知定义在上的函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】恒成立,即恒成立;整理得恒成立;而,所以恒成立;构造函数=,则=, =,即在上单增;不等式转化为恒成立,所以;即实数的取值范围是.故选B.选择题古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰聘于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山，现有高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位组成重庆一中“口才秀”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）A. 8种B. 16种C. 20种D. 24种【答案】D【解析】共有,故选D.选择题某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由下图可得该几何体的体积为,故选C.【点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握求体积和表面积的技巧.选择题若曲线的切线斜率都是正数,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】满足题意时：在定义域上恒成立，即：在定义域上恒成立，二次函数，由恒成立的条件可得实数的取值范围是.本题选择D选项.解答题已知椭圆的焦距为2,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作圆的切线,切点分别为,直线与轴交于点,过点作直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得、、、四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大，就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值.试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得;所以椭圆的标准方程为.(Ⅱ)由题意,得四点共圆,该圆的方程为,又圆的方程为,故直线的方程为,令,得,即点的坐标为,则点关于轴的对称点为.设,则,因此最大,就最大,由题意直线的斜率不为零,可设直线的方程为,由得,所以,又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,,令,则,令,则函数在上单调递增,即当时, 在上单调递增,因此有；所以,当时取等号.故面积的最大值为3.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.解答题如图，在四棱锥中，，，四边形是平行四边形，且，是线段的中点．(1) 求证：；（2）是否存在正实数，满足,使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在实数，使得二面角的大小为【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理可证得，然后由线面垂直的定义可得.(2)建立空间直角坐标系，由题意可得存在实数，使得二面角的大小为.试题解析：（1）证明: ，四边形是平行四边形四边形是矩形.,又是线段的中点, , , ,,建立如图所示空间直角坐标系,, ,由，得平面BCD的法向量设平面MBD的法向量则可解得故存在实数，使得二面角的大小为选择题设曲线及直线所围成的封闭图形为区域,不等式组所确定的区域为,在区域内随机取一点,则该点落在区域内的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线及直线所围成封闭图形的面积= ;而不等式组所确定区域的面积所以该点落在区域内的概率= .故选D.选择题已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限),若,则直线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得抛物线焦点,而直线过点,排除A,C;画出直线与抛物线的图像,如图所示, ,由图可得直线的斜率,选项D中, 的斜率,排除D.故选B.选择题设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】结合不等式组表示的可行域，分类讨论：(1)当时，有：，解得：；(2)当时，，此时不合题意，舍去.综上可得，.本题选择C选项.选择题已知，，,….,若, 则（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】,则：从而有方程：，解得：.本题选择B选项.解答题已知函数.(Ⅰ)当时,解关于的不等式;(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)将的值代入，分三种情况讨论讨论的范围，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果集即可；(Ⅱ)根据绝对值的性质，问题转化为恒成立，求出的范围即可.试题解析：(Ⅰ)当时, .当时, ,∴,∴;当时, ,∴;当时, ,∴.故所求不等式的解集为.(Ⅱ)由得恒成立,即恒成立,∴,故实数的取值范围为.解答题已知数列满足，.(1)求值;(2)归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用递推关系可求得；(2) 猜想，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.试题解析：解:(1)计算得猜想证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，则当时，，即时猜想成立由①②得对任意，有选择题对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：附：，参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C. 没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”【答案】C【解析】由题意计算可得：，则没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”.本题选择C选项.选择题随机变量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.。
2022-2023学年重庆市第一中学高二下学期期中数学试题
2023年重庆一中高2024届高二下期期中考试数学测试试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题：，，则为（ ）p R x ∀∈e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ， R x ∃∈e 1x x ≥+R x ∀∈e 1x x <+C. ，D. ，R x ∃∈e 1x x <+R x ∀∈e 1≤+x x 2. 设，则（ ）9290129(12)x a a x a x a x -=++++ 1a =A. B. C. D.2-18-2183. 下图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分布直方图，由直方图得到的中位数为（ ）A. B. C.D.6572.57321534. 某学校为举行校园艺术节活动，共有个节目，要求节目不排在最后且节目相6A ,C D 邻，则节目安排的方法总数为（ ） A.B.C.D.48961922405. 已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为2:4G y x =l ,A B AB ，则直线斜率为（）()3,2l A.B.C. D.1214126. 已知函数有两个极值点， 则实数的取值范围是（ ） ()2ln f x k x x x =-+k A.B.C.D.1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),1-∞-10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知，则的最小值是（ ）0x y >>222x y xy y +-A. B.2+2+C.D.228. 已知随机变量的分布列服从，记X ()~,X B n p ()()(),1f n p P X n P X n ==-+=，在上的最大值为，若正整数满足，则(),f n p 10,2p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()F n ,a b 2003a b >>和的大小关系是（ ）()F a ()F b A. B. ()()F a F b <()()F a F b =C.D. 无法确定()()F a F b >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论中，所有正确的结论是（ ）A. 当 0x >2≥B. 若时，a b <a b <C. 若，则 ,0x y z x y z <<++=xz yz >D. 当时，的最小值为 3x >-13y x x =++1-10. 下列说法中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，，则ξ()2N 2,δ(4)0.84P ξ<=(24)0.16P ξ<<=B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方e kx y c =ln z y =程为，则 的值分别是和0.3 ˆ0.34zx =+,c k 4e C. 8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法D. 若样本数据的方差为2，则数据，，的方差为129,,,x x x 1132x +2132x +91...,32x +411. 已知某一物品的单件回收费为，根据以往回收经验可得，随机变量0,,2X a =02a <<的分布列如图所示，其中结论正确的是（ ）X X 0a2 P1214bA 14b =B. 若该物品4件，其中2件单件回收费为2的概率为9256C. 若该物品4件，单件回收费不为0的件数为，则 Y ()2E Y =D. 当时，取得最小值 23a =()D X 12. 小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E 处，小兵在如图的街道F 处，科技博物馆位于如图的G 处，则下列说法正确的是（ ）A. 小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条B. 小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条C. 小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F 处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为1021D. 小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A ：小明经过F ；事件B ：从F 到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则()29P B A =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个袋子中装有大小和质地均相同的3个黑球和和2个白球，则从中摸出2个球恰好是1个黑球和1个白球的概率为________．14. 若随机变量，且，则的值是________． (),0.8X B n ()4E X =()1P X =15. 有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的列联表：x y 22⨯1y2y 总计1xa10a -102x10a -20a +30 总计103040其中均为大于的整数，则________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提,10a a -3=a 下为“和之间有关系”.附： x y ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87916. 某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分,A B ,A B 别为.现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射1,314,A B ,A B 击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，则________.X ()5P X ==四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合和非空集合 {}2870A x x x =-+≤{}121B x m x m =+≤≤-（1）若，求；5m =A B ⋂（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. x A ∈x B ∈m 18. 根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下：年份编号 x 12345年份2018 2019 2020 2021 2022新生儿数量（单位：万人） y 1523 1465 1200 1062 956（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请y x 用相关系数说明相关关系的强弱；（，则认为与线性相关性很强） r 0.751r ≤≤y x （2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量. y x 参考公式及数据：rn∑i =1x i y i ‒nx ⋅yb n∑i =1x i y i ‒nx ⋅ya y ‒bx ,5∑i =1y i=6206,5∑i =1y i =6206, i ≈1564.19. 已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,F F ，点在双曲线上，且.30 M 12MF MF -=（1）求双曲线的标准方程；C （2）若直线交于两点，若，求正实数的值. :l y x m =+C ,A B AOB m 20. 已知正项数列满足：；为数列为的前项{}n a 22111230,3n n n n a a a a a ++--==n T {}n b n 和，，对任意的自然数，恒有. 222b a =-n 23n n T nb n =+（1）求数列的通项公式及其前项和；{}n a n n S（2）证明：数列是等差数列，并求其通项公式.{}n b 21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，[)100,110，，， ，得到如下频率分布直方图．规定：口[)110,120[)120130,[)130140,[]140,150罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的方差；ξξ（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；ηη（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口,A B ()2,Nn n n *≥∈罩构成．假定甲、乙两人在 两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记,A B 2πnπ2cosn n甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数X X ()E X n 的值．22. 已知函数. ()()()3211e R ,e 23axx f x x a g x x mx =+∈=-+（1）讨论函数在上的单调性；()f x ()0,∞+（2）若，当时，判断函数的零点个数.()()()h x f x g x =-1,0a m =≥()h x2023年重庆一中高2024届高二下期期中考试数学测试试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题：，，则为（ ）p R x ∀∈e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ， R x ∃∈e 1x x ≥+R x ∀∈e 1x x <+C. ， D. ，R x ∃∈e 1x x <+R x ∀∈e 1≤+x x 【答案】C2. 设，则（ ）9290129(12)x a a x a x a x -=++++ 1a =A. B. C. D.2-18-218【答案】B3. 下图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分布直方图，由直方图得到的中位数为（ ）A. B. C.D.6572.5732153【答案】D4. 某学校为举行校园艺术节活动，共有个节目，要求节目不排在最后且节目相6A ,C D 邻，则节目安排的方法总数为（ ） A. B.C.D.4896192240【答案】C5. 已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为2:4G y x =l ,A B AB ，则直线斜率为（）()3,2l A.B.C. D.121412【答案】C6. 已知函数有两个极值点， 则实数的取值范围是（ ）()2ln f x k x x x =-+k A. B.C.D.1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),1-∞-10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D7. 已知，则的最小值是（ ） 0x y >>222x y xy y+-A. B.2+2+C. D.22【答案】C8. 已知随机变量的分布列服从，记X ()~,X B n p ()()(),1f n p P X n P X n ==-+=，在上的最大值为，若正整数满足，则(),f n p 10,2p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()F n ,a b 2003a b >>和的大小关系是（ ）()F a ()F b A. B. ()()F a F b <()()F a F b =C. D. 无法确定()()F a F b >【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论中，所有正确的结论是（ ）A. 当 0x >2≥B. 若时，a b <a b <C. 若，则 ,0x y z x y z <<++=xz yz >D. 当时，的最小值为 3x >-13y x x =++1-【答案】AD10. 下列说法中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，，则ξ()2N 2,δ(4)0.84P ξ<=(24)0.16P ξ<<=B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方e kx y c =ln z y =程为，则 的值分别是和0.3 ˆ0.34zx =+,c k 4e C. 8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法D. 若样本数据的方差为2，则数据，，的方差为129,,,x x x 1132x +2132x +91...,32x +4【答案】BC11. 已知某一物品的单件回收费为，根据以往回收经验可得，随机变量0,,2X a =02a <<的分布列如图所示，其中结论正确的是（ ）X X 0a2 P1214bA. 14b =B. 若该物品4件，其中2件单件回收费为2的概率为9256C. 若该物品4件，单件回收费不为0的件数为，则 Y ()2E Y =D 当时，取得最小值 23a =()D X 【答案】ACD12. 小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E 处，小兵在如图的街道F 处，科技博物馆位于如图的G 处，则下列说法正确的是（ ）A. 小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条B. 小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条C. 小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F 处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为1021D. 小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A ：小明经过F ；事件B ：从F 到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则()29P B A =【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个袋子中装有大小和质地均相同的3个黑球和和2个白球，则从中摸出2个球恰好是1个黑球和1个白球的概率为________． 【答案】## 350.614. 若随机变量，且，则的值是________． (),0.8X B n ()4E X =()1P X =【答案】## 46250.006415. 有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的列联表：x y 22⨯1y2y 总计1xa10a -102x10a -20a +30 总计103040其中均为大于的整数，则________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提,10a a -3=a 下为“和之间有关系”.附： x y ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879【答案】616. 某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分,A B ,A B 别为.现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射1,314,A B ,A B 击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，则________. X ()5P X ==【答案】772四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合和非空集合 {}2870A x x x =-+≤{}121B x m x m =+≤≤-（1）若，求；5m =A B ⋂（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. x A ∈x B ∈m 【答案】（1）{}67A B x x ⋂=≤≤（2） []2,4【解析】【分析】（1）解集合A 中的不等式，得到集合A ，求出时集合B ，再求； 5m =A B ⋂（2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m 的取值范围． B A 【小问1详解】不等式解得，则有， 2870x x -+≤17x ≤≤{}17A x x =≤≤当时，，. 5m ={}69B x x =≤≤{}67A B x x ∴⋂=≤≤【小问2详解】因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，x A ∈x B ∈B A 则有，由于等号不能同时成立，故，21111217m m m m -≥+⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩24m ≤≤所以实数的取值范围.m []2,418. 根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下：年份编号 x 12345年份2018 2019 2020 2021 2022新生儿数量（单位：万人） y 1523 1465 1200 1062 956（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请y x 用相关系数说明相关关系的强弱；（，则认为与线性相关性很强） r 0.751r ≤≤y x （2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量. y x 参考公式及数据：rn∑i =1x i y i ‒nx ⋅yb n∑i =1x i y i ‒nx ⋅ya y ‒bx ,5∑i =1y i =6206,5∑i =1y i =6206, i ≈1564.【答案】（1）答案见解析；（2），472.7万人. 153.71702.3y x =-+【解析】【分析】（1）求出相关系数即得解；（2）利用最小二乘法求出关于的回归方程，再预测我国2025年的新生儿数量. y x 【小问1详解】，15370.981564r -=≈≈-，故与的线性相关性很强..0.75r > y x 从而可以用线性回归模型拟合与的关系. y x 【小问2详解】，()51111123453,62061241.2555i i x y y ==++++===⨯=∑.52222222215123455310ii xx =-=++++-⨯=∑故， 51522151537ˆ153.7105i ii ii x y xybxx ==--===--∑∑所以， ()ˆˆ1241.2153.731702.3ay bx =-=--⨯=所以关于的回归方程为，y x 153.71702.3y x =-+将2025年对应的年份编号代入回归方程得 8x =153.781702.3ˆ472.7y=-⨯+=所以我国2025年的新生儿数量约为472.7万人.19. 已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,F F ，点在双曲线上，且.30M 12MF MF -=（1）求双曲线的标准方程；C （2）若直线交于两点，若，求正实数的值.:l y x m =+C ,A B AOB m 【答案】（1）2213x y -=（2）2【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程. （2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案. 【小问1详解】 由条件知，，2tan 30b a a ==︒=故.1a b ==即双曲线标准方程为.2213x y -=【小问2详解】设，到直线的距离为，()()1122,,,A x y B x y O l h 联立得，2213x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩2226330x mx m +++=由，解得， ()2223683312240m m m ∆=-+=->22m >又，故，0m>m >而又由，21212333,2m x x m x x ++=-=故弦长，AB ==h 又12AOB S AB h == 解得，， 42280m m --=24m =又，故.m >2m =20. 已知正项数列满足：；为数列为的前项{}n a 22111230,3n n n n a a a a a ++--==n T {}n b n 和，，对任意的自然数，恒有. 222b a =-n 23n n T nb n =+（1）求数列的通项公式及其前项和；{}n a n n S（2）证明：数列是等差数列，并求其通项公式. {}n b 【答案】（1） 1133,322nn n n a S +==⨯-（2）证明见解析， 41n b n =-【解析】【分析】（1）由题目条件可得，即可得是以为首项，公()()1130n n n n a a a a ++-+={}n a 3比为3的等比数列，代入公式即可求得通项公式和前项和；n n S （2）由利用等差中项性质即可得，即可得数列是23n n T nb n =+212n n n b b b --+={}n b ，公差的等差数列，所以.13b =4d =41n b n =-【小问1详解】由题意可知，，且()()1130n n n n a a a a ++-+=0n a >即可得，即 13n n a a +=13n na a += 所以是首项为，公比为3的等比数列， {}n a 13a =所以，即数列的通项公式为111333n n n n a a q--==⨯={}n a ,3N n n a n +=∈由等比数列前项和公式可得; n ()13131331322nn n S +⨯-==⨯--【小问2详解】在中,令得，，又23n n T nb n =+1n =13b =2227b a =-=由得： 23n n T nb n =+()()112131,2n n T n b n n --=-+-≥两式相减得：()1213n n n b nb n b -=--+即 ()()()1213,2n n n b n b n --=--≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅①当时，由①可得： 3n ≥()()12323,n n n b n b ---=--⋅⋅⋅⋅⋅⋅② 可得对任意的都成立， ①-②212n n n b b b --+=3n ≥ 故是等差数列，首项是，公差是{}n b 13b =214d b b =-=从而，11(41)n b n b n d +-=-=所以数列的通项公式为{}n b 41,N n b n n +-∈=21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，[)100,110，，， ，得到如下频率分布直方图．规定：口[)110,120[)120130,[)130140,[]140,150罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的方差；ξξ（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；ηη（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口,A B ()2,Nn n n *≥∈罩构成．假定甲、乙两人在 两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记,A B 2πnπ2cosn n甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数X X ()E X n 的值．【答案】（1）1.5 （2）分布列见解析，34（3）6 【解析】【分析】（1）由题可知，抽到一级口罩的频率为0.25，且，根据二项分布(8,0.25)B ξ 的方差公式，计算结课；（2）根据题意知，可能的值有，计算对应概率，写出分布列和期望即可； η0,1,2（3）设甲乙抢购成功的订单总量为，由题可知，可能为，计算出对应概率，求Y Y 0,1,2出，结合，化简，最后用导数找出最大值，求解即可． ()E Y X nY =()E Y 【小问1详解】（1）由题知，抽到一级口罩的频率为，则， ()0.020.005100.25+⨯=(8,0.25)B ξ 故． ()(1)80.250.75 1.5D np p ξ=-=⨯⨯=【小问2详解】按分层抽样抽取8个口罩，则其中一级、二级口罩个数分别为，0.2582⨯=，()10.2586-⨯=故可能的取值为0，1，2，η，，，306238C C 5(0)C 14P η===21623815(1)28C C P C η===1262383(2)28C C P C η===的分布列为 η η012P 514 1528 328． 15()0114533228284E η+⨯⨯+⨯==【小问3详解】设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2,Y Y ， 2232cos2cos 2cos(0)(1)(11ππππππn n n P Y n n n n n ==--=--+， 22232cos2cos 2cos 4cos(1)(1(1)ππππππππn n n n P Y n n n n n n n ==-+-⋅=+-，32cos(2)ππn P Y n ==所以232332cos2cos 2cos 4cos 2cos ()0(1)1(2ππππππππππn n n n n E X nn n n n n n =⨯--++⨯+-+⨯，2π2cos πn n n=+因为，所以， X nY =22cos()()()2cos ππππn E X nE Y n nn n n==+=+令，设， 11(0,]2t n =∈()2cos f t πt πt =+则，()()E X f t =因为， 1()2sin 2(sin )2f t πππt ππt '=-=-所以当时，；当时，； 10,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f t '>11,62t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f t '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()f t 10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭故当，即时，取最大值， 16t =6n =()f t 所以，所以取最大值时，正整数． ()max 1π66f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭()E X 6n =22. 已知函数. ()()()3211e R ,e 23axx f x x a g x x mx =+∈=-+（1）讨论函数在上的单调性； ()f x ()0,∞+（2）若，当时，判断函数的零点个数.()()()hx f x g x =-1,0a m =≥()h x 【答案】（1）答案见解析；（2）只有1个零点. 【解析】【分析】（1）求出，再对分和两种情况讨论得解； ()f x 'a 0a ≥a<0（2）求出，再对分三种情况讨论，得到每一种情(),()h x h x 'm 111,,0222m m m =>≤<况下，在上都只有1个零点，综合即得解. ()h x R 【小问1详解】，因为()f x '()e e e 1ax ax axax ax =+=+0x >故当时，在上恒成立,所以函数的增区间为；0a ≥()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令得，令得， a<0()0f x ¢>1x a<-()0f x '<1x a>-综上当时，的增区间为；当时，的增区间为，减0a ≥()f x ()0,∞+a<0()f x 10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭区间为. 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】，定义域为.()()()()32111e 32x h x f x g x x x mx =-=-+-+R()h x '()2e 2e 2x xx x mx x x m =+-=+-令，()e 2xt x x m =+-当时，,故在上单调递增， 12m =()e 1,xt x x =+-()e 10x t x '=+>()t x R 又()00e 010t =+-=故当时， 恒成立，0x >()e 10,xt x x =+->()(e 1)0x h x x x '=+->当时， 恒成立，且0x <()e 10,xt x x =+-<()(e 1)0x h x x x '=+->()00h '=综上，在上单调递增， ()h x R 又，故在上只有1个零点 ()()11010,1023h h =-+=()h x R 当时，在上单调递增，12m >()e 2x t x x m =+-R()()0120,e m t m t m m =-<=-令，则在上恒成立()x φ1e ,2xx x =->()x φ'e 10x =->12x >所以在上单调递增，故，故 ()x φ1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1()()2x φφ>102=->()0t m >所以存在唯一，使得，即 ()10,x m ∈()10t x =()10h x '=当时，，故, 0x <()0t x >()(e 2)0x h x x x k '=+->当时，，故 10x x <<()0t x <()(e 2)0x h x x x k '=+-<当时，，故,1x x >()0t x >()(e 2)0x h x x x k '=+->所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ()h x (),0∞-()10,x ()1,x +∞因为 ()()()()3111010,331e 022m h x h h m m <=-+=-+所以当时，在上只有1个零点， 12m >()h x R当时，在上单调递增102m ≤<()e 2xt x x m =+-R 因为()()10120,1120t m t e m -=->-=--<所以存在唯一，使得，即 ()21,0x ∈-()20t x =()20h x '=当时，，故 2x x <()0t x >()(e 2)0x h x x x k '=+->当时，，故 20x x <<()0t x <()(e 2)0x h x x x k '=+-<当时，，故，0x >()0t x >()(e 2)0x h x x x k '=+->所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ()h x ()2,x -∞()2,0x ()0,∞+因为 ()()111010,10232h h m =-+=-+所以当时，恰有1个零点， ()0,x ∈+∞()h x 当时， (),0x ∈-∞()()()2322222max 111e 32xh x h x x x mx ==-+-+，令，解得：2()h x '22222e 2x x x mx =+-2()0h x '=22e 2x x m +=所以 ()()()222322322222222e 11111e 22e 132223x x x x h x x x x x x x +⎡⎤=-+-⋅+=--++-⎢⎥⎣⎦令，则 ()()()23122e 1,1,03x x x x x x φ=-++-∈-()x φ'()2e 10x x =+≥所以在上单调递增， 故 ()x φ()1,0-()(1)x φφ>-5154154e 10e 3e 33e -=--=-=>所以()20h x <故当时，无零点(),0x ∈-∞()h x 当时，在上只有1个零点 102m ≤<()h x R 综上，当时，函数在上只有1个零点1,0a m =≥()h x R 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的零点问题，常用的方法是：（1）方程法，直接解方程得解；（2）图象法，直接画出函数的图象分析得解；（3）方程+图象法，令()f x 得到，再画出函数的图象分析得解. ()0f x =()()g x h x =(),()g x h x。
重庆市第一中学2022_2022学年高二数学下学期期中试题理含解析
天数 〔天〕
3
4
5
6
繁殖个数 〔千个〕
2.5
3
4.5
由最小二乘法得 与 的线性回归方程为 ，那么当 时，繁殖个数 的预测值为〔〕
A. 4.9B. 5.25C. 5.95D. 6.15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，求得样本中心为 ，代入回归直线方程，求得 ，得到回归直线的方程为 ，即可作出预测，得到答案．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：
1月份的利润为 万元；2月份的利润为 万元；
3月份的利润为 万元；4月份的利润为 万元；
5月份的利润为 万元，
所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，应选B．
重庆市第一中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题 理〔含解析〕
考前须知：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题：此题共12小题，每题5分，共60分
1.复数 〔 为虚数单位〕，那么在复平面内 的共轭复数 所对应的点为〔 〕
3.观察以下各式：
…，根据以上规律，那 〔 〕
A. 123B. 76C. 47D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】
由数字 构成数列 ，可得数列 满足 ，即可求解，得到答案．
重庆市第一中学2022_2022学年高二数学上学期期中试题理含解析
重庆市第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理〔含解析〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．抛物线方程，那么该抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是A．假设，，那么 B．假设，那么C．假设，，那么 D．假设,，，那么4．某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，那么圆锥的全面积为A． B． C． D．5．椭圆上的点到直线的最大距离是A．3 B．C．D．6．三棱锥，过点作面为中的一点，，，那么点为的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心7．是以为焦点的双曲线上的动点，那么的重心的轨迹方程为A． B．C． D．8．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为A． B． C． D．9．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，其中分别为的中点，那么三棱锥的体积为A． B． C． D．10．抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，那么实数取值范围是A． B．C． D．11．点，假设圆上存在点(不同于)，使得，那么实数的取值范围是A． B． C． D．12．如图在正方体1111ABCD A B C D-中，点O为线段BD的中点. 设点P在线段1CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为α，那么sinα的取值范围是A．3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．6,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．622,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题13．数列满足：，且对任意的，都有成等差数列.〔1〕证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项和.14．在直三棱柱中， ,点是的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕求异面直线与所成角的余弦值．15．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.(1)求椭圆的焦距；(2)如果，求椭圆的方程16．在直三棱柱中，分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点．〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值．17．如图，椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>3x轴被曲线22:C y x b=-截得的线段长等于1C的长半轴长。
2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的通径长为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．14【答案】C【分析】抛物线22y x =，即212x y =，利用通经长公式2p 即可求得通经长． 【详解】解：抛物线22y x =，即212x y =，可得122p =，因此通径长为：12．故选：C ．2．和椭圆22195x y +=有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）A ．22122x y -=B221= C ．22144x y -=D ．2211616x y -=【答案】A【分析】求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可． 【详解】椭圆22195x y +=，22119,5a b ==，则222114c a b =-=，可得2c =， 设等轴双曲线方程为22221x y a b -=，其中a b =，可得224a b +=，解得222a b == 所求的双曲线方程为22122x y -=． 故选：A3．已知数列{}n a 满足()2*sin N 4n n a n π=∈，则{}n a 的前10项的和为（ ） A ．132B ．6C ．5D ．112【答案】D【分析】根据数列的周期性，结合特殊角的三角函数值，以及二倍角公式，即可求得结果. 【详解】由题可知11cos 222n a n π=-，又*11cos ,N 222y n n π=-∈的周期242T ππ==，且123411,1,,022a a a a ====，故该列数列的前10项的和为()123312111222122a a a a a a ⨯+++++=⨯++=.故选：D.4．在△ABC 中，“222cos cos sin A C B ->”是“△ABC 为钝角三角形”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据正、余弦定理求得222cos cos sin A C B ->的等价条件，再从充分性和必要性定义即可判断.【详解】在△ABC 中，222cos cos sin A C B ->，等价于()2221sin 1sin sin A C B --->，即222sin sin sin C B A >+，由正弦定理可得222c b a >+，由余弦定理可得cos 0C <，又()0,πC ∈，故可得C 为钝角； 即△ABC 中，222cos cos sin A C B ->等价于△ABC 是以C 为钝角的钝角三角形； 显然，充分性成立，但若△ABC 为钝角三角形，不一定是C 为钝角，故必要性不成立. 故“222cos cos sin A C B ->”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B.5．已知等比数列{}n a 的前n 项和23nn S a =⋅-，数列(0)nb ab a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若数列{}n T 是等差数列，则实数b 的值是（ ） A ．9 B ．3C ．13D ．1【答案】B【分析】根据1n n n a S S -=-求出{}n a 通项公式，利用11a S =可求出a ，再由等比数列求和公式求出n T ，分13=b 、13≠b讨论根据等差数列的定义可得答案. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和23nn S a =⋅-，则当2n ≥时，11123232---=-=⨯--⨯+=⨯n n n n n n a S S a a a ，则011232==-=⨯a S a a ，解得3a =，又因为0ab >，所以0b >， 则3 ⎛⎫=⎪⎛⎫⎭⎝⎪⎭⎝n n b b a ，当2n ≥时，1333-=⎛⎭⎛⎫⎪⎫ ⎝⎭⎪⎝n nb b b ，即3⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭nb 是以3b 为首项，3b为公比的等比数列，当13=b 即3b =时，13⎛⎫⎪⎝⎭=nb ，所以n T n =，2n ≥时，111--=-+=n n T T n n ， 所以{}n T 是首项为1，公差为1的等差数列； 当13≠b即3b ≠时， 则113333111333nn nb b b b T b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==----，当2n ≥时，1331133n n b b T b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=---， 所以1111333333333111111333333n nnn nn n n b b b b b b b bb T T b b b b b b ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=--+=== ⎪⎝⎭------，因为0b >，3b ≠，所以3nb ⎛⎫⎪⎝⎭不是常数，即{}n T 不是等差数列.综上所述，3b =. 故选：B.6．已知直线12:20,:20l x y l x y -=-=，若双曲线C 与12,l l 均无公共点，则C 可以是（ ） A ．22132x y -=B ．22143x y -=C ．22182-=y xD ．22132y x -=【答案】C【分析】根据双曲线渐近线与12,l l 之间的位置关系，即可容易判断. 【详解】12,l l 的斜率分别是121,22k k ==；对A ：该双曲线是焦点在x轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为y =，又12k <<，故曲线C 与1l 有两个公共点，不满足题意，A 错误； 对B ：该双曲线是焦点在x轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为y =又12k <<，故双曲线C 与1l 有两个公共点，不满足题意，B 错误； 对C ：该双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为2y x =， 又122k k <≤，故双曲线与12,l l 都没有公共点，满足题意，C 正确；对D ：该双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为y =，又12k <<，故双曲线C 与1l 没有公共点，与2l 有两个公共点，不满足题意，D 错误. 故选：C.7．已知复数z 满足23z z -=，则2i z -（i 为虚数单位）的最大值为（ ）A ．3BCD ．【答案】B【分析】设复数i z b a =+，利用已知求出a 与b 的关系，代入原式表示为b 的二次函数求最大值即可.【详解】设复数()i,,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，所以23i 3z z a b -=-+=， 所以2299a b +=， 所以2299a b =-.2i (2)i z a b -=+-===. 故选：B.8．若数列{}n a 满足：()1*1152n n n a a n N ++⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，其中12211,n n aa a -=≤且221n n a a +≤，若2n a M ≤对任意*n ∈N 成立，则实数M 的最小值是（ ） A ．296B ．4C ．256D ．236【答案】D【分析】由已知去绝对值得()111152n nn n a a ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫-=-- ⎪⎣⎦⎝⎭，即()111512n n n n a a --⎛⎫-=⋅-+- ⎪⎝⎭，采用叠加法求出n a ，分n 为奇偶讨论求出n a 的分段函数，结合极限即可求解M 的最小值.【详解】因为()1*1152n n n a a n N ++⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，221nn aa -≤且221n n a a +≤，所以()111152n nn n a a ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫-=-- ⎪⎣⎦⎝⎭，即()111512nn n n a a --⎛⎫-=⋅-+- ⎪⎝⎭， ()12121512n n n n a a ----⎛⎫-=⋅-+- ⎪⎝⎭，，()12121512a a ⎛⎫-=⋅-+- ⎪⎝⎭，累加得()()()2312111511121212nn n a a -⎛-⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎣⎡⎤-=+-++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝+⎦⎭()()1111111111115225111242612n n n n ----⎛⎫⎛⎫----⎡⎤⎪ ⎪-⨯--⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯+⨯=-⨯--+⎣⎦+，又11a =，所以()11451113262n n n a --⎛⎫=-+--⋅- ⎪⎝⎭，即1*1*711,21,6622311,2,662n n n n m m N a n m m N --⎧⎛⎫-⋅-=-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--⋅-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当n 为奇数时，{}n a 单调递增，0n a >，7lim 6n n a →∞=， 当n 为偶数时，{}n a 单调递减，0n a <，23lim 6n n a →∞=-， 要使2n a M ≤对任意*n ∈N 成立，则2236n a ≤，实数M 的最小值是236.故选：D二、多选题9．已知空间中两个不同的平面,αβ，两条不同的直线,m n 满足,m n αβ⊂⊂，则以下结论正确的是（ ）A ．若m n ⊥，则αβ⊥B ．若αβ∥，则m n ∥C ．若,m n 相交，则,αβ相交D ．若m β⊥，则αβ⊥【答案】CD【分析】利用空间中线线、线面关系逐项判断即可.【详解】A 选项，如图所示：,m n αβ⊂⊂，m n ⊥，α与β有可能只是相交，故A 错误；B 选项，如图所示：若,m n αβ⊂⊂，αβ∥，m 与n 有可能异面；C 选项，若,m n αβ⊂⊂，,m n 相交，则,αβ一定相交，故C 正确；D 选项，由面面垂直的判定定理即可得若m β⊥， m α⊂，则αβ⊥， 故D 正确. 故选：CD.10．已知平面上点()()2,0,2,0A B -，动点(),M x y ，以下叙述正确的是（ ） A ．若22||||3MA MB -=，则M 的轨迹是一条直线 B ．若4MA MB -=，则M 的轨迹是双曲线的一支C ．若MA k MB =（k 为正常数，且1k ≠），则M 的轨迹一定是圆D ．若8MA MB +=，则M 的轨迹是椭圆 【答案】ACD【分析】根据椭圆，双曲线的定义，结合题意，对每个选项逐一判断，即可选择.【详解】对A ：根据题意可得：()()2222223x y x y ⎡⎤++--+=⎣⎦，整理可得：38x =， 故M 的轨迹是一条直线，A 正确；对B ：4MA MB -=AB =，故点M 的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，B 错误；对C ：MA k MB =(1,0)k k ≠>，即()()2222222x y k x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理可得： ()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥-+=-⎢⎥-⎣⎦，其表示圆心为()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭，半径为241kk -的圆，C 正确；对D ：8MA MB +=AB >，故其轨迹是以,A B 为焦点，且长轴长为8的椭圆，D 正确. 故选：ACD.11．单增数列{}()*N n a n ∈满足11a =，点()1,,,02n n n n A a n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于任意*n ∈N 都有12n n A A +A ．数列{}n a 的通项公式为n a n =B ．数列42n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为52C ．n n A OBD ．四边形11n n n n A A B B ++的面积为222n n ++ 【答案】ABD【分析】A选项根据1n n A A +{}n a 的递推关系确定为等差数列求出通项判断为正确；B 选项利用作差法判断数列42n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，得最大值为首项，计算判断为正确；C 选项利用向量法的坐标表示计算三角形的面积判断为不正确；D 选项利用同样的方法计算1n n A OB +和1n n A OB +两三角形面积相减得到四边形11n n n n A A B B ++的面积判断为正确. 【详解】A选项，因为1n n A A +== 又数列{}n a 为单增数列，所以11n n a a +-=， 即数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列， 所以1(1)1n a n n =+-⨯=，A 正确；B 选项，4422n n n a n ++=，1111114454283022222225n n n n n n n n n a a n n n n n +++++++++++---=+-=-=<所以数列42n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故当1n =时，数列42n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值最大，为114522+=，B 正确；C 选项，()1,,,02n n n A n n B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1sin 2n n A OB n n n n S OA OB A OB =⋅⋅∠12n n OA OB =⋅21)2n n n n OA OB OA OB ⋅=⋅ 2()n n OA OB =⋅ 12n n +=D 选项，四边形11n n n n A A B B ++的面积为11n nn n A OB A OB S S++-2221111()()()2n n n n n n OA OB OA OB OA OB +++=⋅-⋅-⋅ =12222122222222n n n n n n n n n n ++++++++=-=-= D 正确.故答案为：ABD.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，且122F F =，点P 是双曲线第一象限内的动点，12F PF ∠的平分线交x 轴于点2,M F E 垂直于PM 交PM 于E ，则以下正确的是（ ） A ．当点2F 到渐近线的距离为12B．当13PF a =时，点M 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．当12PF PF ⊥时，三角形12F PF 的面积1S =D ．若1,FE 则a <【答案】ABD【分析】对A ：根据点到直线的距离，结合已知条件求得,,a b c ，即可求得离心率；对B ：根据角平分线定理，结合12F F 的长度，即可容易求得M 的坐标；对C ：根据双曲线的定义，结合已知条件，即可求得焦点三角形的面积；对D ：做辅助线，构造全等三角形，求得OE ，再根据OE 与渐近线之间的关系，建立,a b 的不等式，即可求得a 的范围.【详解】对A ：易知点2F 的坐标为()1,0，又双曲线的一条渐近线为0bxay -=，根据题意可得12b c ==， 又1c =，故12b =，则a =c a =A 正确； 对B ：因为13PF a =，点P 为双曲线上一点，由其定义可得：2PF a =，由角平分线定理可得：1212PF PF F MMF =，即123F M F M=，又122FM F M +=，故132F M =， 又1F 的坐标为()1,0-，故M 点的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，B 正确；对C ：由题可知22124PF PF +=，又122PF PF a -=，则222121224PF PF PF PF a +-=，故21222PF PF a =-，则△12PF F 的面积2121112S PF PF a ==-<，故C 错误； 对D ：延长2F E 交1PF 于点H ，连接OE ，如下所示：易知△PEH ≅△2PEF ，即2PH PF =，由122PF PF a -=，可得12F H a =，则112OE F H a ==， 故可得2222211211||16cos cos 22OF OE F E a b F OE FOE OF OEa+-+-∠=-∠=-=-； 又点P 在第一象限，故直线OE 的斜率必小于渐近线by x a=的斜率， 不妨设渐近线b y x a =的倾斜角为θ，由tan b a θ=，可得22cos a a bθ==+， 则2cos F OE a ∠>，即22162a b a a+-->，整理得223610a b -+<，又221b a =-， 则259a <，解得5a ⎛∈ ⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率，焦点三角形面积，以及双曲线中参数范围的求解；其中D 选项中，充分挖掘几何关系，建立,a b 的不等式，是解决问题的关键，属中档题.三、填空题13．双曲线2214x y -=的离心率等于____________.5. 【详解】试题分析：415c e a +==【考点定位】双曲线及其离心率.14．已知等比数列{}()*N n a n ∈满足26788a a a =，那么{}n a 的公比q =__________．【答案】2【分析】利用公式法列方程求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=⋅，因为26788a a a =，所以56721118()a q a q a q ⋅⋅⋅=，化简得38q =， 解得2q.故答案为：2.15．已知点,M N 分别是抛物线2:8C y x =和圆22:(3)1D x y ++=上的动点，M 到C 的准线的距离为d ，则MN d +的最小值为__________．【答案】4【分析】将M 到抛物线的准线的距离d 转化为M 到抛物线焦点的距离MF ，再根据三角形三边关系将MN MF +的最小值表示为NF ，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减去半径求NF 的最小值即可.【详解】抛物线的焦点为(2,0)F ，则d MF =， 圆D 的圆心为(3,0)D -，半径为1r =所以514MN d MN MF NF DF r +=+≥≥-=-=. 故答案为：4.16．设等差数列{}()*n a n N ∈的公差为d （0d >为常数），且251118,n a a a d S ++=是数列{}n a 的前n 项和，则数列()11n n n n S S +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前2022项和2022T =__________．（用d 表示） 【答案】21011506d 【分析】由251118a a a d ++=求得1a d =，得到()12n d S n n =+，化简得()21141112n n n n S S d n n ++⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，结合累加法即可求解2022T .【详解】由251111831518a a a d a d d ++=⇒+=，即1a d =，所以n a nd =，()()()11222n na a n d nd n d S nn ++===+，所以()()221124n n d S S n n n +⋅=++，()()()()()()2122211414111241212n n n n n n S S d n n n d n d n n n +++⎛⎫===- ⎪++++⎝++⎭， 所以20222224111111411101123342023202422024506T d d d ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：21011506d四、解答题17．已知数列{}n a 满足：115,232n n n a a a +==+⨯+(1)证明：数列{}3nn a -是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项的和n S ． 【答案】(1)证明见解析； (2)1213322n n S n n +=⋅++-.【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知条件，即可容易证明；（2）根据（1）中所证即可求得n a ，结合等比数列的前n 项和以及等差数列的前n 项和即可求得结果.【详解】（1）1232nn n a a +=+⨯+，故可得()11332n n n n a a ++---=，故数列{}3nn a -为首项2，公差为2的等差数列.（2）根据（1）中所求，故可得32n n a n -=，故32nn a n =+；故n S ()2333332123n n =+++++++++()()31312132n n n -+=+⨯-1213322n n n +=⋅++-. 故数列{}n a 的前n项和为1213322n n S n n +=⋅++-.18．锐角ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC 的面积为53，其外接圆半径为7，求ABC 的周长． 【答案】(1)π3(2)921+【分析】（1）由正弦定理边化角，结合二倍角公式即可求解；（2）由正弦面积公式求出ac ，结合正弦定理外接圆公式求出b ，最后联立余弦定理可整体求出a c +，进而得解.【详解】（1）由3sin cos2b A a a B =-得3sin sin sin sin cos2B A A A B =-， 因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,sin 0A B ≠，同时除以sin A 得()223sin 1cos2112sin 2sin B B B B =-=--=，即3sin 2B =，π3B =；（2）因为1sin 532ABC S ac B ==△，即20ac ， 又322sin 2721sin 2b r b r B B =⇒=⋅=⋅⋅=， 由余弦定理可得()222222cos 2ac B a c b a c ac b =+-=+--， 即()22061a c =+-，9a c ， 所以ABC 的周长为921a b c ++=+.19．如图，斜三棱柱ABC DEF -中，点D 在底面ABC 上的射影恰好是AB 的中点，且90,ABC AB BC AD ∠===．(1)证明：平面DBC ⊥平面ABED ；(2)求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，及面面垂直的判定定理即可得证； （2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接DO ，即点D 在底面ABC 上的射影为O ，DO ∴⊥平面ABC 又BC ⊂平面ABC ，DO ∴⊥BC又AB BC ⊥，,,DO AB O DO AB ⋂=⊂平面ABED ，则BC ⊥平面ABED 又BC ⊂平面DBC ，所以平面DBC ⊥平面ABED （2）取AC 的中点M ，连接OM ，以O 为原点，分别以,,OA OM OD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB = 则()1,2,0C -，()0,0,3D ，()1,0,0B -，()2,2,3F -，()2,0,3E - 则()1,2,3CD =-，()0,2,0BC =，()1,0,3BE =- 设平面BCFE 的法向量为(),,n x y z = 则2030n BC y n BE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()3,0,1n =设直线CD 与平面BCFE 所成角为θ， 则2336sin cos ,4214322CD n θ====⨯++20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F F 到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为1．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过动点(),0A a 作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程． 【答案】(1)28x y =；(2)()290x y x =≠.【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，和抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求得p 以及抛物线方程；（2）设出切线方程，联立抛物线方程，根据相切关系，求得参数之间的关系，再结合点D 的坐标求解，消去参数，即可求得点D 的轨迹方程.【详解】（1）双曲线2213y x -=0y -=，又抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，1p=，解得4p =，故抛物线方程为：28x y =.（2）设过点(),0A a 与抛物线C 相切的直线方程为(),0y k x a k =-≠， 联立抛物线方程28x y =可得2880x kx ka -+=，则264320k ka =-=，又0k ≠，则2a k =，且4B x k =，22B y k =，设点D 的坐标为(),x y ，则203,22B B a x y x k y k ++====，即3xk =，代入2y k =， 可得29x y =，又0k ≠，故0x ≠；则点D 的轨迹方程为：()290x y x =≠.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0D ，左､右焦点分别为12,F F ，直线12y x m=+与椭圆C 交于,A B ，当A 与D 重合时，点B 在x 轴上的射影为1F (1)求椭圆C 的标准方程； (2)当01m ≤≤时，求2211F A F B-的最值． 【答案】(1)22143x y += (2)2211F A F B -的最小值为13【分析】（1）当A 与D 重合时，把()0,B c y -代入椭圆方程可得0y ，直线12y x m =+过D 可得m ，求出直线112y x =-，令x c =-时得,12⎪---⎛⎫ ⎝⎭c B c ，结合222b a c =-可得答案；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由椭圆方程与直线方程联立得由韦达定理可得1212,x x x x +，利用两点间的距离公式求出21122=-F A x ，22122=-F B x ，故2211-=F A F B，代入1212,x x x x +， 令2m t +=，转化为2211-=F AF B ()=f t 出最值即可.【详解】（1）因为右顶点为()2,0D ，所以2a =，当A 与D 重合时，点B 在x 轴上的射影为1F ，故此时()0,B c y -，所以220221y c a b +=，可得2,2⎛⎫ ⎪--⎝⎭b B c ，直线12y x m =+过()2,0D ，所以1022=⨯+m ，得1m =-，直线112y x =-，当x c =-时，112=--y c ，即,12⎪---⎛⎫ ⎝⎭c B c ，所以2122=---c b ，得22+=c b ，由222242=-=-=+b a c c c ，解得1c =或2c =-舍去，故23b =，椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）得()21,0F ，椭圆C 的标准方程为22143x y +=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， 因为01m ≤≤，所以()222431230m m m ∆=--=->，且21212,3x x m x x m +=-=-，因为2==F A而[]12,2x ∈-，[]111,12∈-x ，所以21122=-F Ax ，因为2===F B而[]22,2x ∈-，[]211,12∈-x ，所以22122=-F B x ，故()()212212*********111642222--=-=+-+--x x F A F B x x x x x x()()()()2222122122121224324234164163429--+--===+-++-+++m m x x x x m x x x x m mm ，令2m t +=，则[]2,3t ∈，2m t =-，则2222112349--=+t t F A F B t ， 令()2249-=+t t f t t ，[]2,3t ∈，则()()32222691894--+'=+-t t t f t t t t ，令()326918=--+h t t t t ，()()2231293221'=--=--h t t t t ，其对称轴为2t =，当[]2,3t ∈时，()h t '单调递增，而()327369180'=--=-<h ， 所以()h t 在[]2,3t ∈上单调递减，从而()()2824160≤=-=-<h t h ， 即3269180--+<t t t ，而()222940+->t t t ，所以()0f t '<，所以()f t 在[]2,3t ∈上单调递减，从而()()()32≤≤f f t f ，即()321813≤≤f t ，可得2232342232318913-⨯≤≤⨯+t t t ，可得221234433913-≤≤+t t t ， 故2211143313≤-≤F A F B ，所以2211F A F B -的最小值为13，最大值为4313.【点睛】关键点点睛：在第二问中，求出21122=-F A x 、22122=-F B x ，以及令()24-=t tf t 利用导数判断单调性和求最值是解题的关键点，考查了向上分析问题、解决问题以及运算能力. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意*N n ∈，总存在*N k ∈，使得n k S a =，则称{}n a 是“K 数列”．(1)若数列()*5N n n a n =∈，判断{}n a 是不是“K 数列”，并说明理由；(2)设{}n b 是等差数列，其首项11b =，公差*N d ∈，且{}n b 是“K 数列”， ①求d 的值；②设数列133113nn bn b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，若n n T mb ≤对任意*N n ∈成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)不是，理由见解析； (2)①1d =；②5m ≥【分析】（1）理由等比数列求和公式求得n S ，再举反例可求解；（2）①利用等差数列的通项公式及求和公式可求得k ，再利用新定义即可得解；②化简()()14331nn n nc -⨯+--=，再利用放缩法求得数列{}n c 的前n 项和为nT ，进而求得实数m 的取值范围．【详解】（1）数列{}n a 不是“K 数列”，理由如下：5nn a =，5(15)5(51)154n n n S -∴==⨯--当2n =时，25(51)304n S =⨯-=，此时找不到*N k ∈，使得n k S a =所以数列()*5N n n a n =∈，不是“K 数列”.（2）①{}n b 是等差数列，且首项11b =，公差*N d ∈， 则1(1)n b n d =+-， (1)2-=+n n n S n d 故对任意*N n ∈，总存在*N k ∈，使得(1)1(1)2n n d k d n -+=+-成立， 则1(1)12n n k n d --=++，其中(1)12n n -+为非负整数， 要使*N k ∈，需要1n d-恒为整数，即d 为所有非负整数的公约数， 又*N d ∈，所以1d =②由①知，1(1)n n b d n =+-=，则()()()()()()()11333113113313131343411nn n n n n n n nn n n n n n c +⎛⎫+- ⎪⨯---+--⎝⎭====+------⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎡⎤+⨯⎣⎦⨯令()()()()()1120144423133133331314n n nn n nn n n d ---=⨯=+++-≤==------， 则数列{}n c 的前n 项和为n T ， 且101113311111113322333333113n n n n T n n n ----⨯⎛⎫+⨯++++⨯+-⎪⎝=⎭≤=-则11331331353n n n nn T b n n n --+-+=-≤⋅≤由n n T mb ≤对任意*N n ∈成立，即nnT m b ≥恒成立，即maxn n T m b ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ 故实数m 的取值范围为5m ≥。
重庆市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
秘密★启用前【考试时间：2021年5月21日下午2:30-4:30】2021年重庆一中高2022届高二下期期中数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．命题“[2,),31x x ∀∈-+∞+≥”的否定为（ ）A ．“[2,),31x x ∀∈-+∞+<”B ．“[2,),31x x ∀∈-+∞+>”C ．“00[2,),31x x ∃∈-+∞+≥”D ．“00[2,),31x x ∃∈-+∞+<”2．“220x x +-=”是“1x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设随机变量~(2,)X B p ，若5(1)9P X ≥=，则p 的值为（ ）A ．13 B ．23 C ．3 D ．494．设随机变量X 服从正态分布()280,5N ，则(7590)P X ≤<等于（ ）附：若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=；(22)0.9545P X μσμσ-<<+=．A ．0.6827B ．0.8413C ．0.8186D ．0.95455．欧拉公式：cos sin ()i e i R θθθθ=+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当θπ=时，得到一个令人着迷的优美恒等式：10i e π+=．这个恒等式将数学中五个重要的数：自然对数e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数单位1和0完美地结合在一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，34i eπ在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．一个盒子中有5个白球3个红球，从中任意取2个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（ ）A ．16 B ．15 C ．27 D ．377．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）A ．90B ．120C ．210D ．216 8．随机变量X 的分布列如下：其中0,1,2,,12k =，则()E X =（ ）A ．6B ．12C ．62 D ．122二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,a b ∈R ，则2a b +≥ 10．下列说法正确的是（ ）A ．采用分层抽样的方法从某校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6: 5: 5: 4，则应从一年级中抽取90名学生；B ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件C ．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12； D ．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差22s <；11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中(2,3,4,5)k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（ ）A ．X 服从二项分布B ．8(1)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()3D X = 12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若在犯错误概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．25B ．40C ．45D ．60三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知集合{}2{13},230=-<=+-<A x x B x x x ，则A B ⋂=____________14．若复数202121z i =+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为_____________15．若21nx ⎫+⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的个数共有___________个16．如图，在某城市中，M N 、两地之间有整齐的方格形道路网，其中1234A A A A 、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M N 、处的甲、乙两人分别要到N M 、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N M 、处为止则甲乙两人相遇的概率是___________四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）集合31,,{2,}2⎧⎫=<∈=-<∈⎨⎬+⎩⎭A xx R B x x a x R x ．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若R x C A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求a 的范围．18．（本小题满分12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得()()()()2020202020221111180,4000,80,8000,700ii i i i i i i i i i xy x x y y x x y y =======-=-=--=∑∑∑∑∑（1）请用相关系数r 说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（当||0.75r ≥时，认为两变量的线性相关性很强）（2）求y 关于x 的线性回归方程，并用所求回归方程预测该市100万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑(),(1,2,3,,)i i x y i n =，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1211ˆˆˆ,nili n i x x yy b ay bx x x ==--==--∑∑． 19．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//,1,2,AB CD AD AB BC CD E ====为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的正弦值20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点⎭．过(4,0)的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若以PQ 为直径的圆过椭圆右焦点F ，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(.)B Pascal 提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(.)C Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N>∈局，谁便赢得全部赌注a 元．每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注．（1）甲、乙赌博意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．（注意：纯粹数学讨论，珍爱生命，远离赌博） 22．（本小题满分12分）设2()sin cos ,()4f x x x x g x x =+=+．（1）讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（2）令()()4()h x g x f x =-，试判断()h x 在R 上的零点个数，并加以证明．命题人：杨雅兰 审题人：谢凯 蔚虎2021年重庆一中高2022届高二下期期中数学答案一、选择题1-5 DBACB 6-8 ACA 9．AC 10．ACD 11．ABC 12．CD二、填空题13．(2,1)- 14．1 15．4 16．41100三、解答题17．（1）由312x <+得102xx -<+即(1)(2)0x x -+<，解得2x <-或1x >，所以{2A x x =<-或1}x >；当2a =时，{|22,}B x x x R =-<∈∣由|2|2x -<得222x -<-<，即04x <<，所以{04}B x x =<<，所以{2A B x x ⋃=<-或0}x >．（2）{21}R C A x x =-≤≤R x C A ∈是x B ∈的充分不必要条件221021R a C AB a a -<-⎧∴∴∴-<<⎨+>⎩18．（1）由题意知，相关系数()()2070.8758iix x y y r --====∑．因为y 与x 的相关系数大于0.75，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得，()()()2012021700ˆ8.7580lii l i x x y y bx x ==--===-∑∑， 400080ˆˆ8.752008.7541652020ay bx =-=-⨯=-⨯=，所以8.75165y x =+． 当100x =时，ˆ8.751001651040y=⨯+=．所以该市100万人口的县城年垃圾产生总量约为1040吨． 19．（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，1,2AB CE AB CE CD ==∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，AE BC AD DE ∴===，,ADE ABE ∴为等边三角形，,OD AE OB AE ∴⊥⊥，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥，又 OP OB O ⋂=AE ∴⊥平面POB ，又PB ⊂平面,POB AE PB ∴⊥．（2）在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBO π∠=，又,,OP OB OP OB O Q =∴⊥∴、两点重台，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1,,0,0,2P E C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，131,0,,,2222PE EC ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则110n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10221022x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x =1(3,1,1)n =-，又OB ⊥平面2,(0,1,0)PAEn ∴=为平面PAE 的一个法向量，设二面角A EP C --为α，则1212121|cos ||cos ,55n n n n nn α⋅=<>===∣， 所以sin α=20．解：（1）由题意可知22222123314c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解之可得2243a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆方程为22143x y += （2）由题意可知直线l 斜率必然存在，设为k ，故直线l 方程为：(4)y k x =-．设()()1122,,,P x y Q x y由22(4)143y k x x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k x k x k +-+-=其中()()()22223243464120k k k ∆=--+-> 1122k ∴-<<由韦达定理可知：22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++ ∵以PQ 为直径的圆过点()121212(1,0)010F FQ FP x x x x y y ∴⋅=∴-+++=而22222122222366412323610,7290,343434344k k k k y y k k k k k k -=∴-++=∴-=∴=±++++ 故直线l方程为(4)4y x =±- 21．（1）设赌博再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X =时，甲以4: 1赢，所以224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当3X =时，甲以4: 2赢，所以122228(3)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯=⎪⎝⎭； 当4X =时，甲以4:3赢，所以2132224(4)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭所以，甲赢的概率为48424892727279++==． 所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元． （2）设赌博继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-； 当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-； 所以，乙赢得全部赌注的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-， 于是甲赢得全部赌注的概率3()1(13)(1)f p p p =-+-， 求导，322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-， 因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 于是min 4608()5625f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件． 22．()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()0f x '=，则0x =或2x π=±，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调增，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减．（2）()h x 在R 上有3个零点，证明如下：2()44sin 4cos ,(0)0,0h x x x x x h x =+--=∴=是()h x 的一个零点，22()()44()sin()4cos()44sin 4cos ()h x x x x x x x x x h x -=-+-----=+--=， ()h x ∴是偶函数，∴要确定()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可．①当0x >时，()24cos 2(12cos )h x x x x x x '=-=-， 令()0h x '=，即1cos ,223x x kx π==+或2()3kx k π-+∈N ， 0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()h x h x '<单调递减，03h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，5,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()h x h x '>单调递增，252520393h ππ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， ()h x ∴在50,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点．②当53x π≥时，由于sin 1,cos 1x x ≤≤， 222()44sin 4cos 4444()h x x x x x x x x x t x =+--≥+--=-=，而()t x 在5,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 5()0,()03t x t h x π⎛⎫≥>∴> ⎪⎝⎭恒成立，故()h x 在5,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，()h x ∴在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，()h x ∴在(,0)-∞有一个零点，而(0)0,()h h x =∴在R 上有且仅有3个零点．。
重庆市第一中学2024_2025学年高二数学下学期期中试题文
重庆市第一中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题 文留意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．已知集合{}=1,0,1,2M -,{}230N x x x =-<,则MN =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}1,2-2．当1m <时，复数2(1))m i i +-（为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p q ∨为真，p ⌝为真，则下列说法正确的是（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假4．设函数()241,0,log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．1 C ．12-D．25．设,x R ∈则2x ≤“”是11x +≤“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．依据如下样本数据：得到的回来方程为,y bx a =+若样本点的中心为(3,0.1)，则b 的值为（ ） A ．0.8 B ．0.8- C ．2.3 D ． 2.3-7．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线与圆()2224a x a y ++=相切，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2338．下列函数中，既是奇函数，又在0+∞（，）上是增函数的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()x x f x e e -=+C ．3()f x x x =+ D. ()ln f x x x = 9．如右图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．6432π+ B ．6464π+C ．25664π+D ．256128π+10．已知函数1,0(=2,0xx x f x x +<⎧⎨≥⎩（））（），则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(1,4)C ．(0,2)D ．4(1,]311．函数()f x 对于随意实数，都有()()f x f x -=与(1)(1)f x f x +=-成立，并且当01x ≤≤时，2()f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019 C ．1010 D ．1009 12．已知函数()g x 满意121()(1)(0),2x g x g eg x x -'=-+且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．2∞（-,] D ． 3∞（-,] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数()f x 的定义域为[2,3],-则函数(2)f x 的定义域是__________．14．若函数3()(1)2f x a x x a =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．15. 直线(1)y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若4,AB =则弦AB 的中点到抛物线的准线的距离为__________．16．在正三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且2,PA PB PC ===则正三棱锥P ABC -的内切球的半径为__________．解答题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17．（本小题满分12分）已知函数21lg(43)x y x x x-=+-+的定义域为M . （1）求M ；（2）当[0,1]x ∈时，求()42x x f x =+的最小值．18．（本小题满分12分）某校开展了学问竞赛活动．现从参与学问竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的竞赛成果（满分为100分）分为6组：[)40,50,[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100,得到如右图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成果不低于80分为 “优秀”，竞赛成果低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为“竞赛成果是否优秀与性别有关”？(结果精确到0.001）优秀 非优秀 合计 男生 40女生 50 合计100参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++19．（本小题满分12分）如右图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，四边形11A B BA 为正方形.（1）求证：1AC //平面1AB D ； （2）若ABC ∆为等边三角形, 4BC =，求点B 到平面1AB D 的距离.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）斜率为12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，求点P 横坐标的取值范围．21．（本小题满分12分）已知215(),(=122xf x eg x x x =--）（为自然对数的底数）． （1）记()ln (),F x x g x =+求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值； （2）若,k Z ∈且()()0f x g x k +-≥对随意x R ∈恒成立，求k 的最大值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线14:23x tl y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22).4πρθ=+（1）求直线l 的一般方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(1,2),-直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值. 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =+--（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若0a >,不等式()1f x <对x R ∈都成立，求a 的取值范围．。
重庆市一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
重庆市一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于A. 6B. 4C. 3D.2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b等于A. B. 6 C. D. 93.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为A. B. 2 C. 3 D.4.已知直线：与：平行，则与的距离为A. B. C. D.5.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，且，则A. 2B.C. 4D.6.椭圆上一点M到左焦点的距离是2，N是的中点，O为坐标原点，则的值为A. 4B. 8C. 3D. 27.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为A. B.C. D.8.若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围A. B. C. D.9.若点O与点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 810.过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点在B的上方，且l与准线交于点C，若，则A. 2B.C. 3D.11.设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为A. B. C. D.12.设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知1，，2，且，则______．14.已知定点，点P是圆上的动点，则AP的中点C的轨迹方程______．15.在正方体中，E分别为的中点，则AE与所成角的余弦值为______16.设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若，则直线l的方程为______．三、解答题（本大题共6小题）17.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．求A．若，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与AB的中点．证明：平面；求与平面AEF所成角的正弦值．19.已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切．求圆M的标准方程；若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ求BE的长；Ⅲ若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．21.设抛物线C：的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点．求抛物线C的方程；若直线与抛物线C交于R，S两点，点N为曲线E：上的动点，求面积的最小值．22.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．求椭圆C的方程；如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：等差数列的公差d为2，且是与的等比中项，可得，即，则，故选：B．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，，由正弦定理，可得．故选：C．由已知利用正弦定理即可求解b的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，，即，，离心率．故选D．4.【答案】D【解析】解：直线：与：平行，可得，则由两平行直线的距离公式可得，则与的距离为，故选：D．直线：与：平行，即可得到a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，注意定义法解题，属于基础题．抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，解方程即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，即有，可得，解得，解得．故选：D．6.【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义得：，由于中N、O是、的中点，根据中位线定理得：，故选：A．首先根据椭圆的定义求出的值，进一步利用三角形的中位线求得结果．本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理．7.【答案】A【解析】解：以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，，可得，，相减可得，且，，则弦所在直线的斜率，可得弦所在的直线方程为，即为．故选：A．设弦的端点的坐标分别为，，代入双曲线的方程，作差，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得弦所在直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程．本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求直线方程，以及化简运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：圆C方程为：，圆心，半径为r，圆E方程为：，圆心，半径，圆C：与圆E：有公共点，，即，解得：，故选：C．先求出两圆的圆心和半径，因为两圆有公共点，所以圆心距大于等于两半径差的绝对值小于等于两半径之和，列出不等式即可求出r的取值范围．本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题．先求出左焦点坐标F，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，，设点，则有，解得，因为，，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，故选：C．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有，，若，则有，即，又由，则有，即有，变形可得，即，故选：A．根据题意，设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，由分析可得，又由平行线的性质分析可得，即可得，变形可，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意利用平行线的性质得到，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点，则由中位线定理可得，，由与以线段为直径的圆相切于点Q，则，，由双曲线的定义可得，，即有，由，由勾股定理可得，即，则，即．的渐近线方程为．故选：C．运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求．本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：双曲线的左右顶点为，，，可得直线PA的方程为，PB的方程为，联立可得，解得或，代入可得，即有，联立可得，解得或，代入，可得，即，设，由M，N，Q三点共线，可得，即有，将M，N的坐标代入化简可得，解得，即，设过Q的直线方程为，联立双曲线方程，可得，设，，可得，，恒成立，，可得，代入韦达定理可得，解得，可得．故选：A．求得双曲线的左右顶点，设出直线PA，PB的方程，联立双曲线的方程，求得M，N的坐标，设，运用M，N，Q三点共线的条件，以及向量共线的条件，求得，设过Q的直线方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，直线方程和双曲线方程联立，求交点和运用韦达定理，考查直线恒过定点，以及三角形的面积的求法，考查化简运算能力，属于难题．13.【答案】解：，，且，，解得，故1，，2，，，，，故答案为：【解析】由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得．本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．14.【答案】【解析】解：设，，由题意知：，化简得，故C的轨迹方程为．故答案为：．设，，列出方程组，消去参数，，即可得到C的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，2，，2，，0，，2，，，设AE与所成角为，则，与所成角的余弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为，若，可得，即有，，可得AB的中点M的纵坐标为，设，，则，过F的直线l的方程设为，代入抛物线的方程可得：，即有，解得，所以直线l的方程为．故答案为：．求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得P的坐标，得到AB中点M的纵坐标，设直线l为，代入抛物线的方程消去x，利用根与系数的关系求得k的值即可．本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题，也考查了中点坐标公式和直线与抛物线位置关系应用问题，是中档题．17.【答案】解：由．利用正弦定理可得：．，即，可得．，．由余弦定理可得：，可得：，化为：，解得：，．【解析】由利用正弦定理可得：再利用和差公式、三角函数求值即可得出．由余弦定理可得：，化简解得可得．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点．又因为F为AB的中点，所以；又平面，平面，所以：平面．解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，4，，0，，2，，所以，0，，2，．设平面AEF的法向量为y，，则且，令，得0，．记与平面AEF所成，则．【解析】连接，利用中位线性质即可得证；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．19.【答案】设圆M的标准方程为：，则圆心M到直线的距离为，由题意得，解得或舍去，所以，所以圆M的方程为．设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为，，又点到直线l的距离为，，解得，，则直线的方程为．【解析】根据题意设出圆的方程：，因为圆M与直线相切，得，求出a，r进而得出圆的标准方程．求出，及点P到直线l的距离，表示出，求出斜率k，进而得出直线方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】Ⅰ证明：底面ABCD，，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意0，，0，，2，，1，，2，，1，，0，，，．Ⅱ解：1，，的长为．Ⅲ解：，2，，由点F在棱PC上，设，，，，，解得，设平面FBA的法向量为，则，取，得，取平面ABP的法向量1，，则二面角的平面角满足：，二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出1，，0，，由，能证明．Ⅱ由1，，能求出BE的长．Ⅲ由，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．21.【答案】解：由题意得，圆的半径，解得：故抛物线的方程为．设点，，由直线l过抛物线的焦点，联立得，故，所以，由点N为曲线E上一点，设点，点N到直线l的距离，由，故当且仅当，即时，取等号，所以，又面积：，故面积的最小值为．【解析】由题意得，解得：，得到抛物线方程．设点，，由直线l过抛物线的焦点，通过联立方程组结合韦达定理，推出，由点N为曲线E，设点，点N到直线l的距离利用基本不等式转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：依题，，解得，，．椭C的方程为；由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，得，由题意，设，，则，．弦，OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，．．令，则，则，得到，．令，由知，，换元得：，其中．．【解析】依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．。
重庆市第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 文
2020年重庆一中高2020级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1.方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆,则n m 和应满足下列（ ）A ．0>mnB ．0,0>>n mC ．0>>m nD ．0>>n m2.若等比数列{}n a 的前项和为n S ，公比为q ，且3,21==q a ，则5S =（ ）A ．40B ．70C ． 80D ．242 3.若标准双曲线以x y 2±=为渐近线，则双曲线的离心率为（ ）A ．25B ．5C ．5或5D ．25或5 4.以)1,1(-A 为圆心且与直线02=-+y x 相切的圆的方程为（ ）A ．4)1()1(22=++-y xB ．2)1()1(22=++-y xC ．4)1()1(22=-++y xD ．2)1()1(22=-++y x5.已知直线c b a ,,和βα，平面，直线，平面α⊂a ，下面四个结论：①若α⊥b ，则a b ⊥；②若αα//,//c b ，则c b //；③若βαβα//,//,b b c =⋂，则c b //；④若βα⊥⊥b b ,，则βα//.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.在ABC ∆中，B b A a cos cos =，则三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7.直线04=++m y x 交椭圆11622=+y x 于B A ,，若AB 中点的横坐标为1，则m =( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．28.在正方体1111D C B A ABCD -中,异面直线AC B A 与1所成角是（ ）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒909.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各条棱中最长的棱是的长度是 （ ）A ．24B ．52C ．6 D. 810.圆01222=++-+y ax y x 关于直线1=-y x 对称的圆的方程为122=+y x ，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2 D.2±11.已知点),(y x P 是直线04=+-y kx （0>k ）上一动点，PB PA 、是圆02:22=++y y x C 的两条切线，B A 、为切点,C 为圆心，若四边形PACB 面积的最小值是4，则k 的值是A ．6B ．62C ．1734D ．17342 12.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ,则下列命题中假命题是( )A ．存在点E ，使得//11C A 平面F BED 1B ．存在点E ，使得⊥D B 1平面F BED 1C ．对于任意的点E ，三棱锥F DDE 1-的体积均不变D ．对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-的体积均不变第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13.抛物线24x y =的焦点坐标为________14.已知等差数列{}n a 满足7,2123-==-a a a ，则=+++721...a a a _________15.在ABC ∆中，已知三个内角为、、、C B A 满足4:5:3sin :sin :sin =C B A ，求最小角的余弦值_______16.从双曲线1251622=-y x 的左焦点1F 引圆1622=+y x 的切线，切点为T ，延长T F 1交双曲线右支于P 点. 设M 为线段P F 1的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=__________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图所示，3290==︒=∠∆BC AC ACB ABC Rt ，，中，，以点C 为圆心，AC 为半径作扇形︒=∠90,ACD ACD(1) 求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的体积；(2) 求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的表面积.18. （12分）已知数列{}n a 是首项为1，公比为)0(>q q 的等比数列，并且231,21,2a a a 成等差数列． (1)求q 的值；2)若数列{}n b 满足n a b n n 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（12分）设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A b a sin 2=．1)求角B 的大小；2)若5,3==c a ，求ABC ∆的面积及2b ．20.（12分）己知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率23=e .过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8.(1)求椭圆的方程；(2)若弦3=AB ，求直线AB 的方程.21.（12分）图1，平行四边形ABCD 中，BC AC ⊥，1==BC AC ,现将ADC ∆沿AC 折起，得到三棱锥ABC D -（如图2），且BC DA ⊥,点E 为侧棱DC 的中点.（1）求证:DBC AE 平面⊥；（2）求三棱锥AEB D -的体积；.（3）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得ABE DF 平面//？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知圆1C ：422=+y x 过圆上任意一点D 向x 轴引垂线垂足为1D （点D 、1D 可重合），点E 为1DD 的中点.（1）求E 的轨迹方程；（2）若点E 的轨迹为曲线C ,不过原点O 的直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，满足直线OQ PQ OP ,,的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围.2020年重庆一中高2020级高二上期半期考试数 学 答 案（文科） 2020.11一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1—5 CDDBD 6—10 DACCC 11—12 DB二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13. )161,0( 14.25 15. 54 16.1 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
重庆一中高二下学期期中考试(数学理).doc
重庆市重庆一中高二下学期期中考试（数学理）数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间 1分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1，A ，B 两事件互斥是A ，B 两事件对立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 不充分不必要条件2，从1，2，3，…，9这九数字中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A ．1121B ．49C ．59D ．10213,我市教育部门通过调查10000名高中生参加体育锻炼的状况，根据调查数据画出了样本分布直方图（如图），为了分析学生参加体育锻炼与课程学习的关系，采用分层抽样的方法从这10000人再抽出100人做进一步调查，则在每周参加体育锻炼的时间落在[7.5,8)小时内的学生中应抽出的人数为( )A ．15B ．C ．25D ．504,已知32,()2,x m xx m f x x m x m ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩是连续函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．±1D ．-25,已知随机变量ξ服从正态分布,68.0)4(),,2(2=≤ξσp N ，则(0)P ξ≤=（ ） A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.846,两个三口之家（共4个大人，2个小孩）乘“富康”“桑塔纳” 外出郊游，每辆车最多坐4人，两个小孩不能独坐一辆车，则不同乘车方法种数有( )A 40B 48C 60D 687,设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。
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2016年重庆一中高2018级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）2016.12本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．直线2y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 2．抛物线216y x =的准线方程是（ ）A ．4x =-B ．4y =- C.8x = D ．8y =-3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为（ ） A．y x = B ．2y x =± C ． 12y x =±D.y x =4．已知命题p ：x R ∀∈，cos 1x ≤，则p ⌝：（ ）A ．x R ∃∈，cos 1x ≥B ．x R ∀∈，cos 1x ≥C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈,cos 1x > 5．过点）（1,3且与直线032=--y x 平行的直线方程是（ ） A ．072=-+y x B ．052=-+y x C ．012=--y x D ．052=--y x 6．设x R ∈,“1x >”则是“23410x x -+>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7.设,,m n l 为空间不重合的直线，αβγ，，是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（ ）①//,//m l n l ，则//m n ②//,//αγβγ，则//αβ ③//,//m l m α，则//l α ④//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβ⑤,//,,//m m l l αββα⊂⊂，则//αβA ．0B ．1C ．2D ．3 8．过点(3,1)P 向圆()2211x y -+=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则弦AB 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-= B.210x y -+= C ．230x y ++= D.230x y --= 9．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，俯视图是一个圆，那么其表面积为（ ）A. 8πB. 20πC. 10πD.12π10.(改编)如图，球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC=90°，BA=BC=3，球心O 到平面ABC则球体的体积是（ ）A ．72π B. 36π C.18π D.8π11．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的离心率是（ ）A. 3212. （改编）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过焦点F 且斜率为2，与抛物线交于A 、B （其中A 在第一象限）两点，(,0)2pM -,则tan AMF ∠=( ) A．2C.3D.3第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)13．原点到直线34100x y ++=的距离为 .14．圆222280x y x y ++--=截直线02=++y x 所得弦长为 .15．经过点(4,1)M 作直线l 交双曲线1222=-y x 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为y = .16．（改编）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>与直线1x y +=交于,M N 两点，且OM 0ON ⋅=（O 为坐标原点），当椭圆的离心率[52e ∈时，椭圆的长轴的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．17．（本题满分10分）已知命题p ：方程220x x m -+=有实根，命题q ：m [-1,5]∈ （1）当命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求三棱锥1C ABC -的体积.19．（本题满分12分）已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.20．（本题满分12分）已知椭圆4422=+y x ，直线l ：y x m =+(1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的长半轴长，求m 的值．21. （本题满分12分）已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点(4,2)A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，PA PF +最小值为8． （1）求该抛物线的方程；（2）若直线30x y --=与抛物线交于B 、C 两点，求BFC ∆的面积．22．(改编)（本题满分12分）若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，椭圆上有一动点P ，P 到椭圆C 右焦点2F1，且椭圆的离心率e =（I ）求椭圆的方程；（II ）若过点M （2，0）的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，OA OB tOP +=（o 为坐标原点）且2||3PA PB -<t 的取值范围．命题人：邹超强 审题人：杨春权2016年重庆一中高2018级高二上期半期考试数 学（文科） 参考答案一．选择题1-5BAACC 6-10ACADB 11-12 DB 二．填空题13. 2 14.318-x16.三．解答题 17解：（1）p 为真命题=4-4m 0∆≥m 1∴≤（2） p ∧q 为假命题， p ∨q 为真命题，q p ，∴一真一假当p 真q 假时， m 11m>5m ≤⎧⎨<-⎩或m 1∴<- 当p 假q 真时，m>115m ⎧⎨-≤≤⎩1m 5∴<≤ 综上所述，实数m 的取值范围是：--∞⋃（，1）（1,5]18. 解：（1）证明：连接，与交于点O ， 连接DO.由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面， 侧面为矩形，所以O 为中点，则 又因为平面，平面，所以，平面；（2）113C ABC V -=.19. 解：(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a .解得43-=a .(2) 过圆心C 作CD ⊥AB ， 则根据题意和圆的性质，得A1A B1BC1CDO⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a .∴直线l 的方程是0147=+-y x 或02=+-y x .20.解：（1）联立直线与椭圆方程⎩⎨⎧+==+m x y y x 4422得：04-48522=++m mx x ，5,016-802±===∆m m 所以。
（2）设)y (x ),(2211，，Q y x P ，由(1)知：54-458m -22121m x x x x ==+，， |PQ|=2212-5524|x -x |1m k =+=2. 解得：430±=m .21.解：（1）设d 为点P 到2px =-的距离，则由抛物线定义，PF d =， 所以当点P 为过点A 且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，即482p+=，解得8.p =∴抛物线的方程为216y x =．（2）设1122(,),(,)B x y C x y ，联立23016x y y x --=⎧⎨=⎩得216480y y --=，显然0∆>，121216,48.y y y y +==-12y y ∴-===，∴12BC y y =-= 又Q (4,0)F 到直线l2=,11222BFCS BC d∆∴=⋅=⨯=22.解：（1）由已知得，ce=a∴a=c=1又∵222a b c=+，∴1b=，所以椭圆的方程为：2212xy+=（2）l的斜率必须存在，即设l：(2)y k x=-联立2212(2)xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得2222(2)2x k x+-=即2222(12)8820k x k x k+-+-=由4222648(12)(41)8(12)0k k k k∆=-+-=->得212k<设11(,)A x y，22(,)B x y，由韦达定理得2122812kx xk+=+，21228212kx xk-=+而OA＋OB＝tOP，设P（x，y）∴1212x x txy y ty+=⎧⎨+=⎩∴2122121228(12)(2)(2)4(12)x x kxt t ky y k x k x kyt t t k⎧+==⎪+⎪⎨+-+--⎪===⎪+⎩而P在椭圆C上，∴222222222(8)1622(12)(12)k kt k t k+=++∴2221612ktk=+（*），又∵12||||1|PA PB AB x x-==+-3==<解之，得214k>，∴21142k<<再将（*）式化为2221612ktk=+28812k=-+，将21142k<<代入得22449t<<，即2t-<<2t<<则t的取值范围是（－2，，2）。