研究生现代控制理论ppt课件

1 0 0
1
x(k
1)


0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
解 G为非奇异阵，由系统状态能控性判据有
1 1 1 rank Qc rank[ H GH G2H ] rank 0 2 2 3 n
1 1 3
故系统能控。
11
1 0 0
1
2
x(k
1)


0
2 2 x(k) 0 u(k), x(0) 1
1 1 0
1
0
令 k 0,1,2 ,可得状态序列
2 1
x(1)

Gx(0)

Hu(0)


2


0u(0)
1 1
2 1
1
x(2) Gx(1) Hu(1) 6 Leabharlann Baidu 2u(0) 0u(1)
0 1
1
2 1
1
1
x(3) Gx(2) Hu(2) 12 2u(0) 2u(1) 0u(2)
这是一个非齐次线性代数方程组,由线性方程组解的存在 性理论可知，上式存在控制序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}的 充要条件为
rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn x(0)]
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rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gnx(0)]
1 1 1u(0) 2
2
2
0 u(1)


12
3 1 1u(2) 4
若对任意非零初始状态x(l)，存在控制作用序列u(k)，使 系统在第n步上达到到原点，即x(n)=0，则称状态在时刻 l能控;
若状态空间中的所有状态都能控，则称系统状态完全能 控;
若存在某个状态不能控,称此系统是状态不完全能控的， 简称系统为状态不能控。
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在上述状态能控性定义中，只要求在n步之内 寻找控制作用，使得系统状态在第n步上到
3.4 离散时间系统的能控 性与能观性
1
由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周 期趋于无穷小时的无限近似，所以离散系统 的状态能控性/能观测性的定义与线性连续系 统的极其相似，能控性/能观测性判据则在形 式上基本一致。
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1. 线性离散系统的状态能控性定义
定义： 对线性时变离散系统 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)
有如下状态能控性判据:
1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的充
要条件为如下定义的能控性矩阵:
Qc=[H GH … Gn-1H]
满秩，即
rankQc=n 2) 若系统矩阵G为奇异矩阵，则系统状态完全能控的
充要条件为
rankQc=rank[Qc Gn]
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证明 线性定常离散系统状态方程的解如下:
状若态离空散间系原统点能一控般，也由可任以意少初于始n个状采态样转周移期到
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例: 试判断如下系统的状态能控性
x(k
1)

0 0
10x(k) 10u(k)
解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有
rank Qc rank[ H
GH ]

rank
1 0
0 0
当系统矩阵G满秩时，显然有 rankGn=n
因此
rank[H GH … Gn-1H Gn]=n
所以由结论1可知，在系统矩阵G满秩时，系统
状态完全能控的充要条件为
rankQc=rank[H GH … Gn-1H]=n
注意：
若离散系统能控，则经n个采样周期一定可
以到达状态空间原点，即 x(n)=0；

1
但
因此
rank[ Qc
G
2
]

rank
1 0
0 0
0 0
0 0

1
rankQc=rank[Qc G2] 由定理的结论2可知，该系统状态完全能控。
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x例(0:)=试[判2 断1 0如u](T下1，)系,确u统(定2的)使；状x研(态3究)能=使控0x的性(2控，)=制若0序初的列始可u状能(0态性),
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态，于是上式 可记为
n1
0 Gnx(0) Gn j1Hu( j) j0
即
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0
4 3
1
1
12
2 1
1 1
x(3) Gx(2) Hu(2) 12 2u(0) 2u(1) 0u(2)
4 3
1
1
令 x(3) 0 ,有下列方程组
6
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0
上式写成矩阵形式即为
u(n 1)
[H GH ... Gn1H ]u(n 2) Gnx(0) ...

u(0)

考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任
意一个状态，因此上式等价于
rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn]
即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩阵 满足
rankQc=rank[Qc Gn]
即定理的结论2)得以证明。
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rankQc=rank[Qc Gn]
达原点。
这是因为,可以证明，若离散系统在n步之内不存在控 制作用使得对任意初始状态控制到原点，则在n步
以后也不存在控制作用使状态在有限步之内控制到 原点。
故在上述定义中，只要求系统在n步之内寻找控制作
用。
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2. 线性定常离散系统的状态能控性判据 定理 (线性定常离散系统能控性秩判据) 对线
性定常离散系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，