向量解题技巧

一、 怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念

1 .判断下列各命题是否正确

⑴若a b,b c,则a c ；

⑵两向量a 、b 相等的充要条件是 a b 且a 、b 共线；

⑶a b 是向量a b 的必要不充分条件；

⑴若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，贝U AB DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

⑵AB CD 的充要条件是 A 与C 重合，B 与D 重合。

二、 向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则a b 与a b 是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐 标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(x-i , y 1), B(x 2, y 2),则

⑴若G 是为 ABC 重心，贝U GA GB BC 0 ；

AB OB OA gg (M I )

x 〔，y 2 y 〔)。

例1 若向量a (3,2),b (0, 1),则 2b a 的坐标是 ___ —

例2 若向量a

(1,1),

b

(1, 1), c ( 1,2 )则 c ___

A. L

3 m 1 3u -b B.—a -b C.-a

-b 「3

、

D. a b

2

2 2 2

2

2

2

2

例3

在平面直角

坐标系

中， O 为坐标原点 ,已知两点

A(3,1), B( C 满足OC OA

OB, 其中， R 且 1 ,则点 C 的轨迹为(

)

A.3x 2y 11 0

B.(x 1)2 (y 2)2 0

1,3),若点

C.2x y

D.x 2y 5 0

例4

O 是平面上一

，定点，A 、B

AB AC

OP OA

( , i )，

[0,),则

AB

AC

A.外心

B.内心

C.重心

、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

D.垂心

例5设G 是 ABC 内的一点，试证明：

P 的轨迹一定过 ABC 的()

当a // b 时, 0和 180两种可能。故a?b a ?b

⑵若GA GB BC 0,则G 是为 ABC 重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C 三点共线，由共线定理(AB 与AC 共线)，只需证明存在实数 ，使AB AC ,，其

中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若

a (x 1, y 1),

b (x 2, y 2),贝U

a //

b a b x i y 2 x ?y i

0( x i y 2 X 2y i )

例1已知A 、B 两点，P 为一动点，且 OP OA tAB,其中t 为一变量。 证明：1.P 必在直线 AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、B 点？

例2证明：始点在同一点的向量 a 、b 、3a 2b 的终点在同一直线上 例3 对于非零向量 a 、b,求证:a b a b a b 四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关, 只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例 1 已知 M (1,0), N(0,1), P(2,1),Q(1,y)且 MN//PQ ，求 y 的值。 例2已知点A(1, 2)，若向量AB 与a (2,3)同向，AB 203,则B 点的坐标是

例3平面内给定三向量 a (3,2), b ( 1,2), c (4,1)，则： ⑴ 求3a b 2c;

(2)求满足a mb nc 的实数m 、n

⑶若(a kb)//(2b a),求实数k;

⑷ 设 d (x, y)满足(d c)//(a b)且 d c 1,求d.

例4

⑴ 已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6)，求AC 与DB 的交点，P 的坐标。 ABCD 的顶点A( 1, 2), B(3, 1),C(5,6),求顶点D 的坐标 五、向量的数量积的求法 定义法：a ?b a ? b cos 坐标法：a?b x 〔x 2 y 〔y 2

(2)若平行四边形 求数量积:

一些重要的结论：a 2 a?a a 2； (a b)2 a 2 2a?b b 2； (a b)(a b) a 2 b 2

例1设a,b,c 是任意的非零的向量，且相互不共线，则(

)

①(a?b)c (c?a)b 0;② a b a b;

③(b?c)a (a?c) ?b 不与c 垂直④(3a 2b)(3a 2b) 9a 2 4b

其中是真命题的为(

)

A ①②

B ②③

C ③④ D.②④

例2 已知平面上三点 A 、B 、C,满足AB 3, BC 4, CA 5,则AB?BC BC?CA CA?AB 的 值等于。

例3 已知向量a 和b 的夹角为120，且a 2, b 5,则(2a b)?a . 六、如何求向量的长度 形如 a b 的模长求法：先平方

转化为含数量积运算 开方，即：

2 一 一

一 一

a b

2a 2

2a?b 2b 2

例1已知向量a,b, a b 4,a 与b 的夹角为60 ,则a b

a b 与a 方向的夹角为 , a b 与a 方向夹角为

例2设向量a,b 满足a b 1, 3a 2b 3,求3a b 的值。 七、如何求两向量的夹角

一一 一 1 . ................ .... 例1已知a 10, b 12,且(3a)?(—b)

36,求a,b 的火角

5

例2若e 1与e 2是夹角为60的单位向量，且 a 2e 1 e 2,b 八、垂直问题的求解

例1若向量a,b 满足a b a b,则a 与b 所成的角

(2,3), AC (1,k),且 ABC 的一个内角为直角，求 k 的值。

a b ,其中

夹角公式：cos

3e 1 2e 2,求a?b 及a 与b 的夹角。

向量垂直的充要条件:

a b a ?b X 1X 2 y 〔 y 2

例2在ABC 中AB