西南交大数值分析题库分析题库2(方程组)
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
西南交通大学研究生数值分析总复习
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m , (ai 是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
*
1 mn 如果 x x 10 , 则称x *近似x时具有n位有效数字。 2
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3. 记近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效数 字（这是 以后常会用到的），即要求误差限ε<0.5×10m-n, 则n=5；
1 这即要求出满足： 10( n 1) 0.01%的n 2a1
例3（续）
1 由a1 5 10( n 1) 0.01% 0.0001 25 10( n 1) 0.001 n 1 lg 0.001 3 n 4 1 因此，只要对 0.052631578 的近似值取四位 19 1 有效数字为 0.05263 ，则其相对误差限就不 超过0.01% 19
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§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差 设 x *为准确值的近似值，记
e xx
*
e x x* er x x
分别称e为近似值x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝 对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
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迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是： 设方程f (x) = 0在区间[a, b]内有一根x*，将方程化为等价 方程x = (x)，并在[a, b]内任取一点x0作为初始近似值， 然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算： x ( x ), (k 0,1,2,) (2 - 3)
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西南交大数值分析题库积分微分方程
用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)()1f x ∞≤）；如果知道(2)()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰此实际值 大 (大，小)。
在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =∈⎰为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 23x -3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y yy λ'=⎧⎨=⎩的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler 公式 11,1,,,k k k xy y h y k n h nλ--=+==L -----------(5分) ()()1011kk k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分)若用复化梯形求积公式计算积分1x I e dx =⎰区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1．用Romberg 法计算积分 232x e dx -⎰解 []02()()2b aT f a f b -=+= 9.6410430E-003 10221()222b a a bT T f -+=+= 5.1319070E-00310022243T T S -== 4.6288616E-00322T = 4.4998E-003 21122243T T S -== 4.E-0031002221615S S C -== 4.6588636E-00332T = 4.7817699E-00332222243T T S -== 4.1067038E-0032112221615S S C -== 4.5783515E-0031002226463C C R -== 4.7358037E-0032．用复合Simpson 公式计算积分232x e dx -⎰(n=5)解 44501()4()2()(),625k k h h b aS f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦∑∑5S =4.3630653 E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0nk k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰=)(f 2880)a b ()4(5η--(η∈[a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有()()4()()022bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰即()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
数值分析西南交通大学
1.填空(1). 在等式∑==nk k kn x f ax x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。
（限填“有”或“无”） (2). Gauss 型求积公式不是 插值型求积公式。
（限填“是”或“不是”）或“无”） (3). 设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，则∑=-nk k m k x l x x 0)()(≡0 m=1,2,…,n(4). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A 4 ，=2||||A 3.6180340 ，=∞||||A 5 ； (5). 用1n +个不同节点作不超过n 次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插值方法所得多项式 相等(相等, 不相等)。
(6). 函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 g(x)，另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续 。
(7). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次2.设)5()(2-+=x x x αϕ，要使迭代法)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*=x ，则α取值范围 解：因x x αϕ21)(+='，由1521*)(<+='αϕx ，即0522<<-α故α的取值范围是051<<-α。
3.给定方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 211111112321x x x证明Jacobi 方法发散而Gauss-Seidel 方法收敛。
分析 观察系数矩阵的特点，它既不严格对角占优，也不对称正定，因此应该写出Gauss-Seidel 方法的迭代矩阵B ，然后再观察是否11<B或1<∞B 或求出)(B ρ，看其是否小于1。
西南交大《数值计算》习题习题
4
5
y
0
16
46
88
0
求各价差商，并写出Newton基本插值公式。 4． 已知函数表：
x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750
f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70431 0.65632 0.60228
(1) 写出差分表 (2) 用Newton向前插值公式计算f(0.158)的近似值 (3) 用Newton向后插值公式计算f(0.636)的近似值 5． 求次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足：
6． 用Romberg法计算下述积分。
(1)
(2)
使误差不超过
7． 分别用n=5的Gauss型求积公式，计算：
及
8. 试证明上的Gauss-Legendre求积公式的节点和系数关于原点是对称分
布。
习题八 1． 分别用Euler法，改进Euler法，二阶及四阶标准Rumge-Kutta法求 解如下的初值问 题。 在点x=0.1处的数值解（分别取h=0.1,h=0.05）及局部截断误差（准确
（1） p(1)=p (1)=0, p(2)=p (2) =0, p(3)=1 （2） p(0)=p (0)=0, p(1)=p (1) =1, p(2)=1 并写出误差表达式。 6． 已知数据表：
x
1
2
4
5
y
1
4
6
4
试分别求出满足下列条件的三次样条插值函数。 (1)S (1)=1 S (5)=0 (2)S (1)=1 S (5)=0 7. 设
习题八分别用euler法改进euler法二阶及四阶标准rumgekutta法求解如下的初值问在点x01处的数值解分别取h01h005及局部截断误差准确解y用adamas预报一校正公式求初值问题
西南交大数值分析第二次大作业(可以运行)
数值分析第二次大作业1（1）用Lagrange插值法程序：function f=Lang(x,y,x0)syms t;f=0;n=length(x);for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));endf=f+l;simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendendx=[1,2,3,-4,5];y=[2,48,272,1182,2262]; t=[-1];disp('插值结果')yt=Lang(x,y,t)disp('插值多项式')yt=Lang(x,y)ezplot(yt,[-1,5]);运行结果：插值结果：Yt= 12.0000插值多项式：yt =4.0*t^4 - 2.0*t^3 + t^2 - 3.0*t + 2.0（2）构造arctan x在[1,6]基于等距节点的10次插值多项式程序：function f=New(x,y,x0)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp('xºÍyάÊý²»µÈ£¡');return;endf=y(1);y1=0;xx=linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));for(i=1:n-1)for(j=1:n-i)y1(j)=y(j+1)-y(j);endc(i)=y1(1);l=t;for(k=1:i-1)l=l*(t-k);end;f=f+c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y=y1;if(i==n-1)if(nargin==3)f=subs(f,'t',(x0-x(1))/(x(2)-x(1)));elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend>>x=[1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];y=[atan(1),atan(1.5),atan(2),atan(2.5),atan(3),atan(3.5),atan(4),atan(4.5),atan(5),atan (5.5),atan(6)];disp('插值多项式')yt=New(x,y)ezplot(yt,[1,6]);hold onezplot('atan(t)',[1,6])grid on运行结果：插值多项式yt =1.34684*10^(-10)*t^10 - 6.61748*10^(-9)*t^9 + 1.28344*10^(-7)*t^8 - 0.00000104758*t^7 - 0.00000243837*t^6 + 0.000149168*t^5 - 0.00176296*t^4 + 0.0125826*t^3 - 0.0640379*t^2 + 0.250468*t + 0.7853982（1）用MATLAB自带spline函数用于进行三次样条插值程序：>>x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[0.03846,0.05882,0.10000,0.20000,0.50000,1.00000,0.50000,0.20000,0.10000,0.0 5882,0.03846];xi=linspace(-5,5)yi=spline(x,y,xi);plot(x,y,'rp',xi,yi);hold on;syms xfx=1/(1+x^2);ezplot(fx);grid on运行结果：由图可知，三次样条插值多项式图像与原函数图像基本一致。
西南交通大学数值分析上机实习
目录解题： (1)题目一： (1)1.1计算结果 (1)1.2结果分析 (1)题目二： (2)2.1计算结果 (2)2.2结果分析 (3)题目三： (4)3.1计算结果 (4)3.2结果分析 (5)总结 (5)附录 (6)Matlab程序： (6)题目一： (6)第一问Newton法： (6)第二问Newton法： (6)第一问Steffensen加速法： (7)第二问Steffensen加速法： (7)题目二 (8)1、Jacobi迭代法 (8)2、Causs-Seidel迭代法 (8)题目三： (9)题目一：分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法(1)求ln(x +sin x )=0的根。
初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。
(2)求sin x =0的根。
初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。
分析其中遇到的现象与问题。
1.1计算结果求ln(x +sin x )=0的根，可变行为求解x-sinx-1=0的根。
1.2结果分析从结果对比我们可发现牛顿—Steffensen 加速法比牛顿法要收敛的快，牛顿法对于初值的选取特别重要，比如第（1）问中的初值为4的情况，100次内没有迭代出来收敛解，而用Steffensen 加速法，7次迭代可得；在第（2）问中的初值为1.6的情况，收敛解得31.4159，分析其原因应该是x x f cos )('=，x0=1.62π≈,0)('≈x f ；迭代式在迭代过程中会出现分母趋近于0，程序自动停止迭代的情况，此时得到的x 往往非常大，而在第一问中我们如果转化为用x+sinx=1,则可以收敛到结果。
用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T,(2) A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]T,(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b=[4,6]T2.1计算结果初值均为0矩阵带入(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T2) A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]TT2.2结果分析ρ小于1,故方程组雅可比迭代收第一小题的经计算谱半径为5427B(=).0敛。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
西南交大研究生数值分析期末考试作业答案
序言随着科技的进步和经济的迅猛发展，计算机这一工具在人们的生活和工作中越来越重要，数值分析作为工程计算和科学计算连接计算机的一门基础课程日益受到人们的重视，数值分析这门课在我们整个研究生课程的学习中具有很重要的意义，对我们以后的工作学习有很重要的作用。
Matlab是与一个非常优秀的的计算机语言，集数学计算，仿真和函数绘图等于一体，是一款功能强大的数学软件，是科研机构进行数学建模分析、研究必要的工具。
本上机实习的所有内容都是采用Matlab7.0这个软件开发平台。
使用Matlab7.0语言所编写的程序，与Visual C++、Basic和Pascal程序相比，具有速度快、操作简单、修改方便、界面友好、功能强大等优势。
用C++自编程序解决问题针对性好,可以得到想要的各种结论,而用数学软件计算则有一定的局限性,因为数学软件的算法是封装的,甚至我们不知道命令的具体算法,另外数学软件的命令只能解决通用的计算问题,对需要特定结论的计算问题,比如得到迭代次数, 光用数学软件的命令便不能得到,而用C++编程则有很强的适应性,可以精细控制计算细节,得到一些想要的结论,但是对于常规的计算问题,比如拟合和插值以及解方程(组),如果只要结果,那么用软件计算比较有优势,所以对实际问题综合使用计算方法比较好.由于使用能力所限，有一些疏忽，恳请老师指正，在此感谢老师这个学期对我们的悉心教导。
第一题写出对一般的线性方程组通用的Gauss消元, Gauss-Seidel迭代程序。
并以下面的线性方程组为例进行计算，讨论所得到的计算结果是否与理论一致。
（1）6213100 1422200 3144345x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（2）10.80.835 0.810.820 0.80.81110x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（3）134 716x⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭本题的思路为编写Gauss－Seidel迭带的函数，在matlab中运行，查看其收敛与否与收敛速度，然后验证迭代收敛的条件。
西南交大2007--2008数值分析期末真题
一、 填空题（每空2分，共40分） 07~081、求方程3310x x --= 的在02x =附近的根，用迭代公式1k x += 具有局部收敛性；用迭代公式3113k k x x ++=（是，否） 具有局部收敛性。
2、函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 ，另一函数不是三次样条函数的理由是 。
3、若用复化梯形求积公式计算积分10x I e dx =⎰ 区间[0,1]应分 _______ 等分，即要计算个_______ 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分_____ 等分，即要计算个 _____点的函数值。
4、设若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ；则矩阵A 的谱半径(A)= ，cond 1(A)=5、在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的______(充 分,必要)条件；严格行对角占优阵______(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵_______(一定，不一 定)能进行LU 分解。
6、设f (x )=2x 4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P (x )= 。
7． 在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =?ò为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的一次多项式是8、能用乘幂法解n 阶矩阵A 的特征值中，能求出模最大特征值及对应的特征向量，那么矩阵A 应满足的特征值条件为 , 特征向量条件为 。
二、 计算题（共50分）1. (14分) 设方程组1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ (1)写出Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式,指出是否收敛并证明你的结论(2)如果(0)( 3.9,3.1,1.9)T x =-,分别用Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式计算 (1)x2. (20分)用Householder 方法将1220014112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦化为上Hessenberg 阵 要求 (1) 写出Householder 矩阵H(2) 对应的上Hessenberg 阵 21A HA H =3. (16分） 1)设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ?ò三、证明题 （共10分）设()f x 在区间a b [,]上具有四阶连续导数，设3()H x 是满足3()H a =()f a ，3()()H b f b =， 3()H a '=()f a '，3()()H b f b ''= 的三次Hermite 插值多项式。
数值分析习题(含标准答案)
数值分析习题（含标准答案）
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列哪个选项不属于数值分析的研究范畴？
A. 数值微分
B. 数值积分
C. 数值逼近
D. 数据库管理
答案：D
2. 在数值分析中，求解线性方程组常用的方法有？
A. 高斯消元法
B. 迭代法
C. 拉格朗日乘数法
D. 上述所有方法
答案：D
3. 下列哪种方法适用于求解非线性方程组？
A. 牛顿法
B. 梯度下降法
C. 高斯消元法
D. 上述所有方法
答案：D
4. 在数值积分中，下列哪种方法具有最高的精度？
A. 梯形法则
B. 辛普森法则
C. 高斯求积法
D. 上述所有方法
答案：C
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 数值分析的主要目的是通过有限步骤的运算，对数学问题进行近似求解。
2. 在数值微分中，常用的差分公式有前向差分、后向差分和中心差分。
3. 数值逼近的主要方法包括插值法和逼近法。
4. 在数值积分中，常用的方法有梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 已知函数 f(x) = e^x，求其在 x = 0.5 处的导数。
答案：f'(0.5) ≈ 1.6487
2. 求解线性方程组 2x + 3y = 5，4x y = 1。
答案：x ≈ 0.625，y ≈ 1.25
3. 已知函数 f(x) = x^3 3x^2 + 4，求其在区间 [0, 2] 上的积分。
答案：f(x) 在区间 [0, 2] 上的积分≈ 3.6667。
交通大学数值分析题库
1交通大学数值分析题库1 绪论(1). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4____位有效数字。
20＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤121a ⨯10-(n-1)< 0.1% ，故可取n ≥4, 即4位有效数字。
(2). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对误差限为31102(3). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2|(4). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：__C_____. (A) 6121)(-, (B) (3-22)2, (C) 32231)(+, (D) 99-702(5). 要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？17＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤121a ⨯10-(n-1)< 0.1%故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。
(6). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -, 请给出一个精度较高的算式u =. u=y x yx +-(7). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -, 请给出一个精度较高的算式u = . u=y x yx +-(8). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2|；2 方程根(9). 设迭代函数ϕ(x )在x *邻近有r （≥1）阶连续导数，且x * = ϕ(x *)，并且有ϕ(k )(x *)=0 (k =1,…,r -1)，但ϕ(r ) (x *)≠0，则x n +1=ϕ(x n )产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___2(10). 称序列{x n }是p 阶收敛的如果c x x x x p n n n =--+∞→**lim 1(11). 用牛顿法求 f (x)=0 的n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0的单根，u(x)=()()f x f x ' (12). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 33+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解x 1=1.5970149(13). 用牛顿法解方程0123=--x x 的迭代格式为_______________解 kk k k k k x x x x x x 2312231----=+ (14). 迭代过程)(1k k x x ϕ=+收敛的充分条件是(x ϕ'(15). 用Newton 法求方程f(x)=x 3+10x-20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= 1.5970149(16). 用牛顿法解方程0123=--x x 的迭代格式为(17). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 33+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解x 1=1.5970149(18). 迭代公式x k +1=x k (x k 22+3a )/(3x k 22+a )是求a 11//22的 (12) 阶方法3方程组(19). 矩阵的 LU 分解中L 是一个 _为单位下三角阵，而U 是一个上三角阵____。
西南交大数值分析题库分析题库1(方程,迭代)
（1） x
(cos x
解答
（1） ( x)
(cos x
( x)
故能用迭代法求根。 （2）方程为 x
( sin x
x
简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。
x
f ( x) / f ( x0 ) ，则 ( x)
L 1 （在 x*的邻域内）是
xn
1
xn
即 解得
f ( xn ) / f ( x0 ) 收敛的一个充分条件，
1
f ( x) / f ( x0 )
L 1
1 1 L 1 ,使对任何 x [a, b] 上式都能成立的话，单调
xk
1.368869419 1.368808109 1.368808108
x5
1.368808108 。
注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛 顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言， 当牛顿法中 f ( xk ) 的计算量超过 f ( xk ) 的计算量的 44%时，双点弦割法的总计算时间较牛 顿法的少，见参考文献 7. 例 4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的 形式。
1 ，使
5
4.8x 0.51 1.141213562
2
0
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
曲线 y
2.4 x2 1.89 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿
数值分析 第二章习_题_解_答
第二章习 题 解 答西南交大 草上飞1下列数据作为π=*x 的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限..722,15.3,14.3,141.34321====x x x x (i x 表示*x 的近似数,)1415926.3 =π 解：把近似数)4,3,2,1(*=i x i 规格化形式后均有1=k ，首位非零数字为3Ⅰ）31*11021005.000059.0141.3-⨯=≤=-=- πx x *1x 有3位有效数字，0017.010321)(31*1≈⨯⨯=-x r ε Ⅱ) 31*21021005.0001.014.3-⨯=≤=-=- πx x*2x 有3位有效数字，0017.010321)(31*2≈⨯⨯=-x r ε Ⅲ) 21*31021005.0008.015.3-⨯=≤=-=- πx x*3x 有2位有效数字，017.010321)(21*3≈⨯⨯=-x r ε Ⅳ)142857.3722=， 31*41021005.0001.0722-⨯=≤=-=- πx x *4x 有3位有效数字，0017.010321)(31*4≈⨯⨯=-x r ε 2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.3 已知20的近似数x 相对误差为%5.0，试问x 至少有几位有效数字？解：因20的第一位数字为4，所以x 的第一位数字41=a ，根据定理2.1，当n r a x e -⨯+≤1015|)(|1 成立时，x 有n 位有效数字，而2=n 时,101451019510005%5.0)(22--⨯+<⨯+===x e r 所以近似数x 至少有2位有效数字.4 为尽量避免有效数字的严重损失，当1||<<x 时应如何加工下列计算公式：（1）xx x +--+11211 （2）x cos 1- （3）1-xe解：（1）)1)(21(22x x x ++；（2）2sin 22x ；（3）4322416121x x x x +++ 5 序列{}n y 满足递推关系()⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n若取41.120≈=y 做近似计算，问计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：,414.120 ==y ,41.1*=y δ=⨯≤--2*001021||y y 10||*11=-y y δ10||*00≤-y y10||*1010=-y y δ10*0010*9910||10||≤-==-y y y y 此递推关系每计算一次误差增长10倍，故算法不稳定. 6设,,1,0,11 ==⎰-n dx e x I x n n 验证,110--=e I .11--=n n nI I 若取,3679.01≈-e 依次计算 n I I I ,,10时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法.解: ,11110⎰---==e dx eI x 对n I 用分部积分法得==⎰-11dx e x I x n n ⎰-11x n de x ne x x n -=-101|⎰--111dx e x x n .11--=n nI设误差,*n n n I I e -=其中*1*1--=n n nI I .于是=--=-=--)(*11*n n n n n I I n I I e =--=)(!)1(*00I I n n 0!)1(e n n - 当n 增大时n e 是递增的, *n I 的误差达到0!)1(e n n -,是严重失真的.数值稳定的计算方法: 将递推公式11--=n n nI I 改为)1(11n n I nI -=- )1,2,1,( -=k k n 于是在从后往前计算时, 1-n I 的误差减少为原来n I 的n1,若取k n =足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的. 7 7可由下列迭代公式计算:⎪⎩⎪⎨⎧=+==+,2,1,0),7(21210k x x x x k k k若k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,求证1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.解 由1+k x ,1,0,)7(217)7(2172=-=-+=-k x x x x k kk k 和20=x ,得到,,2,1,7 =≥k x k 数列∞=1}{k k x 有下界.又1)11(21)71(2121=+≤+=+kk k x x x 即k k x x ≤+1,数列∞=1}{k k x 单调不增. 故k k x ∞→lim 存在.令∞→k ,对迭代公式两边取极限,可求得7lim =∞→k k x .现设k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,即有11021|7|+-⨯≤-n k x 于是,得|7|1-+k x 2)7(721-≤k x 221041721+-⨯⨯≤n 121021+-⨯≤n可见, 1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.8用秦九韶算法计算多项式4532)(23-+-=x x x x p 在自变量3=x 时的值. 解：381432429634532-- 故 38)3(=p补充例题例题1：试问真值62.2*=x 的近似数 2.58x =是否为有效数. 解：*112110.040.05101022x x ---=<=⨯=⨯∴由有效数的定义知近似数 2.58x =具有两位有效数字，分别是2,5由于8不是有效数字，故 2.58x =不是有效数.例题2为尽量避免有效数字的严重损失，当1||>>x 时应如何加工下列计算公式xx x x 11--+解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换：xx x x x xx x x 11211-++=--+例题3 设10000,2,1,0,1==⎰n dx e x I x n n（1）证明：.10000,,3,2,1,1 =-=-n nI e I n n （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性. 解: (1) 对n I 用分部积分法得 ==⎰1dx e x I x n n ⎰1x n de x n e x x n -=10|⎰-11dx e x x n.10000,,3,2,1,1101 =-=-=--⎰n nI e dx e x n e n x n(2) 由（1）得：,1n n I e nI -=-若已知N I ，设计如下递推算法： 1,2,1,),(11 --=-=-N N N n I e nI n n 注意到： )1,0(,1|110110∈+=+==+⎰ξξξξn e n x e dx x e I n nn ,于是.111+<<+n e I n n 取)1(21++=N eI N 可得如下递推算法1,2,,1,,)1(21)(11 -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-N N n N e I I e n I N n n . 设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的.例题4 已知,1410⎰+=dx x x y nn 试建立一个具有较好数值稳定性的求),2,1( =n y n 的递推公式,并证明算法的稳定性.解: 由=+-14n n y y ⎰++-101144dx x x x n n =n dx x n 1101=⎰- 得到求),2,1( =n y n 的递推公式:14141--=n n y n y , ,2,1=n (*) 而初值40235.0|)]14[ln(4114110100≈+=+=⎰x dx x y ,由此出发,根据上述递推公式可以求 ),2,1( =n y n 的近似值求*ny : *1*4141--=n n y n y , ,2,1=n . 记*n y 的绝对误差为||*n n n y y -=∆,则有:)(41*11*----=-n n n n y y y y ,即141-∆=∆n n , ,2,1=n . 由此可见,*1-n y 的误差将缩小41传播到*n y ,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数值稳定的.例题5 数列{}n x 满足递推公式1101(1,2,)n n x x n -=-=.若取*001.41(3x x =≈=位有有效数字),问按此递推算法从0x 算至10x 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解: *20001||||102e x x ε-=-=<⨯ *00||||10||10n nn n n n e x x x x ε=-=-=,||()n e n →∞→∞,则计算过程不稳定.计算至10x 时误差: 10281011||10101022e -=⨯⨯=⨯.。
(西南交大)数值分析题库-方程组
例5-10 求矩阵Q 的||Q ||1，||Q ||2，||Q ||∞与Cond 2(Q)，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111Q 分析 这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。
解答 （1）由定义，显然||Q ||1=4 （2）因Q T Q=4I ，故24)(||||max 2===Q Q Q T λ（3）由定义显知4||||=∞Q （4）因Q T Q=4I ，故T Q Q 411=-，从而T T QQ Q Q 161)()(11=--==---)]()[(||||11max 21Q Q Q T λ21)41()161(max max ==I QQ T λλ 所以1212||||||||)(Cond 2122=⋅=⋅=-Q Q Q 例5-12 设有方程组AX=b ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3231 21 ,220122101b A已知它有解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0 3121 X . 如果右端有小扰动61021||||-∞⨯=b δ，试估计由此引起的解的相对误差。
分析 本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond ∞(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。
解答 容易求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1125.1121111A ，从而Cond ∞(A)=22.5由公式∞∞∞∞∞⋅≤||||||||)(||||||||b b A Cond X X δδ有56106875.13/210215.22|||||||--∞∞⨯=⨯⨯≤bX X δ例5-13 试证明矩阵A 的谱半径与范数有如下关系||||)(A A ≤ρ其中||A||为A 的任何一种算子范数。
分析 由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。
证明 由特征值定义，对任一特征值λ有 AX=λX （X ≠0，特征向量） 取范数有 ||AX||=|λ| ⋅ ||X||由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||≤||A|| ⋅ ||X|| 从而|λ| ⋅ ||X||≤||A|| ⋅ ||X|| 由于X ≠0，故|λ|≤||A||，从而 ρ(A) ≤ ||A||例5-18 设A,B 为n 阶矩阵，试证Cond(AB) ≤ Cond(A) ⋅ Cond(B)分析 由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。
(2021年整理)西南交通大学数值分析题库完整版
(完整版)西南交通大学数值分析题库完整版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)西南交通大学数值分析题库完整版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平,从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。
考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
数值分析题库
3、 4、 5、 6、 7、
代数精度是衡量数值求积公式稳定性的一个指标。 Gauss 求积公式的系数都是正数，因此 Gauss 求积公式是稳定的。 只要矩阵 A 非奇异，则 A 存在 LU 分解。 一个单位下三角矩阵的逆是单位上三角矩阵。 范数为 0 的矩阵是 0 矩阵。
|| A ||1 || A ||
T ( x) 证明：若 n>m，则 n m 2Tm ( x)Tn ( x) Tn m ( x)
。
4、对权函数 ( x) 1，试求首项为 1 的正交多项式，
n 0,1, 2 。
e 5、用三点 Gauss 公式计算
0
1
x
dx
的近似值。
6、构造形如
3
0
Hale Waihona Puke f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2)
二、计算及证明题
1、给出函数 y f ( x) 的值如下：
试求 f(x)的三次插值多项式
P3 ( x)
。
2、求一个次数不高于 3 的多项式 满足：
P3 ( x)
。 、
P3 (1) 2
、
P3 (2) 3
、
P3(2) 6
P3 (3) 4
3、设 Chebyshev 多项式
Tn ( x) cos(n arccos x),| x | 1, n 0
的数值求积公式， 使其代数精
度尽可能高。
2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 。分解为 A=LU，其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。 7、将
2 1 0 3 A 1 2 1 b 4 0 1 2 ， 3 ，试用 Gauss-Seidel 迭代求解 Ax=b，并分析该算法收敛性。 8、设
(完整)数值分析题库及答案,推荐文档
模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数，则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ，其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式，并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422，贝V A =——.，X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115，8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是：C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1)，其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ，函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意，迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ； 2. 8, 9 ; 3.； 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法： 设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72，求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ，令公式准确成立，得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。
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1 1 其中 l32 为一任意常数，且 U 奇异，故分解不 1 0 0 l32 2 1 1 2 6 0 1 3 2 1
1 1 0 0
惟一。 对 C，i0，i=1,2,3，故 C 可分解且分解惟一。 C
6 3 1 0 0 1
10. 矩阵第一行乘以一数成为 A 证明 设0，则
2 ,证明当 1 1
2 3 2 || 3 ||
2 时，即 3 1 2
2 时，Cond(A)有最小值，且 minCond(A)=7 3
p
3 4
AX
p
。 （1）求 A
,p
1, 2, 1, 2,
（2）求 A 的谱半径 ( A) 。
（3）求三个非零向量 X，分别满足
A
p
X
p
, p
解 （1） A 1 由 | AT A
4,|| x || 4 ，而
( A A)( x
x
，故 x
A
1
1 240 319 499 179 240
559 559 626.2 499 559 0.5 ， || A 1 || || A || 0.5 0.56012 499 || A 1 || || A ||
Cond( A)
|| A ||
|| A 1 ||2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
假设 x+x=y, A(x+x)=b+b 取 b=(1,-1)T，b=(1,1)T，则解 Ax=b，即
2 1
又解 故 x
1 x1 2 x2 1 y1 2 y2
2
1 1 2 0
得x 得y
1 1 , 3 3
T
T
2 1
(1,1)T , || x ||2 || x ||2
|| A ||
|| A 1 || ||
计算结果说明了用对角阵左乘 A 可以改善其条件数。 6. 设 A
2.0001 2
1 ,b 1
7.0003 ，已知 Ax=b 的精确解为 x=(3,-1)T. 7
T
（1）计算条件数 Cond(A); （2）若近似解 x (2.97, 1.01) ，计算剩余向量 r b Ax ； （3） 利用事后误差估计式计算不等式右端， 并与不等式左边比较。 此结果说明了什么？
4 2 。 , 3 3 || b ||2 || b ||2 Cond( A) 2 2 2 3
故
|| x ||2 || x ||2
1 2 3 || b ||2 Cond( A) 2 || b ||2
3 而 Con( A)2
8. 求下面两方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
|| x || || x ||
而左端
|| r || 0.05 120012 || b || 7.0003 || x x || 0.03 0.01 || x || 3
857.192
这表明当 A 为病态矩阵时，尽管剩余||r||很小，误差估计仍然较大。因此，当 A 病态时， 用||r||大小作为检验解的准确度是不可靠的。 7. 设对称正定阵 A 扰动b，使
1
max (QT Q)
4
4
2
1 QQT 16
1 T Q ，从而 (Q 1 )T (Q 1 ) 4
|| Q 1 ||2
max [(Q 1 )T (Q 1 )]
1 max ( I ) 4
1
1 max ( QQT ) 16 1 1 所以 Cond 2 (Q) || Q ||2 || Q ||2 2 2
2 1
1 ，试计算||A-1||2，||A||2 和 Cond(A)2,且找出 b（常数）及 2
|||2
解
Cond( A) 2
| I
A|
1
2
1 2
2
4
3 ，故 1
1, 2
3 ，从而
|| A ||2 | 2 | 3,
Cond( A) 2
x12
2 x2
4 x2 | || A ||1 6.
0,| x2 | 1 。
|| X || || AX ||
解此方程组得 x1 记 则
T
max(| x1 |,| x2 |) max(| x1
1。
2 x2 |,| 3x1
x2
( A A) 是 ATA 的最大特征值，X 是相应的特征向量，且 || X ||2
Cond( AB) || AB || || ( AB) 1 || || A || || B || || B 1 A 1 || || A || || B || || B || A || || A 1 || || B || || B 1 ||
5. 计算 Cond(A)及 Cond(DA);其中
1
|| || A 1 ||
( A) || A ||
其中||A||为 A 的任何一种算子范数。 分析 由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。 证明 由特征值定义，对任一特征值有 AX=X（X0，特征向量） 取范数有
1
||AX||=|| ||X|| 由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||||A|| ||X|| 从而 || ||X||||A|| ||X|| 由于 X0，故||||A||，从而 (A) ||A|| 4. 设 A,B 为 n 阶矩阵，试证 Cond(AB) Cond(A) Cond(B) 分析 由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。 证明
A
1
1 2 2
|| X || || X ||
1 1 1 1.5 ，从而 Cond(A)=22.5 1 1
Cond ( A) || b || 有 || b ||
6
由公式
|| X || || bX |
1 10 2 22.5 2/3
1.6875 10
5
3. 试证明矩阵 A 的谱半径与范数有如下关系
2. 设有方程组 Ax=b，其中
1 2
A
1 0 2 2 0 2
1 1 , 2
b
1 2 1 已知它有解 X 3 2 3
1 2 1 . 如果右端有小扰动 3 0
|| b ||
1 10 6 ，试估计由此引起的解的相对误差。 2
分析 本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题， 这与系 数矩阵的条件数有关，只要求出 Cond(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。 解答 容易求得
240 179
240 179.5
319 x1 240 x2
319.5 x1 240 x2
3 即 Ax=b 4
3 4
即 (A
A) ( x
x)
b
3
记A
240 179
x)
319 ， A 240
b 的解 x
0 0.5 8 6
0.5 ，则 Ax=b 的解 x 0 4 3
，从而 || x ||
4 ，而 3
得
14 x2 14 x1
2
(5 ( 5
2 x2
x1 x2
代入 x1 其中 b
1 ，得 x2
1 b
2
1
, x1
bx2
b
1 b
2
1
14 .此 X (5 221)
( x1 , x2 )T 就是满足 || AX ||2 || A ||2 ,|| X ||2 1的向量。
5
1. 求矩阵 Q 的||Q||1，||Q||2，||Q||与 Cond2(Q)，其中
Q
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
分析 这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。 解答 （1）由定义，显然||Q||1=4 （2）因 QTQ=4I，故 || Q ||2 （3）由定义显知 || Q || （4）因 QTQ=4I，故 Q
X ,|| Y || p 1 也满足 X p
|| AY || p || A || p || Y || p || A || p 。故按题目要求，只须求出满足 || X || p 1的解。这时，有
|| X ||1 | x1 | || AX ||1 | x1
解此方程组得 x1
| x2 | 1, 2 x2 | | 3x1 1, 4 x2 |) || A || 7.
1，
|| AX ||2 2
这表明 X 即为所求。 令 A AX
T
( AX , AX )
( x)
( AT AX , X )
10 14 x1 14 20 x2
14 b 5 221
(X , X )
(15 221)
x1 x2
( AT A) || A ||2 2
。
X ，即 x
221) x1 , 221) x2 ,
由误差估计得
|| x || || x ||
|| x ||
表明估计 || x ||
|| A || || A || || A || 1 Cond( A) || A || 1.274 || x || 5.10 Cond( A)
0.56012 0.43988
1.274
4 是符合实际的。
9. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那 么分解是否惟一？
max(4,6)
6, A
max(3,7)
7 ， AT A
10 14 14 20
。
I | 0 ，得..。解得
I | 0 ，得 2
15
5 2
221 ，故 A 2
0 ，解得
15
1 (5 2
221 。
33) ，故
（2）由 | A