西南交大数值分析题库分析题库2(方程组)

2 3 2 || 3 ||
2 时，即 3 1 2
2 时，Cond(A)有最小值，且 minCond(A)=7 3
p
3 4
AX
p
。 （1）求 A
,p
1, 2, 1, 2,
（2）求 A 的谱半径 ( A) 。
（3）求三个非零向量 X，分别满足
A
p
X
p
, p
解 （1） A 1 由 | AT A
Cond( A) Cond( B)
A
1 1 1 10 1 10
2
1 102 10
4
1 3 D 0 0
0 1 111 0
0 0 1 10101
此结果说明了什么？ 解
A
1
1 8910
10101,
10000 1100 10
1100 1111 11 1
10 1 1求出来了 TM
11110 8910 10101 11110 故 Cond( A) || A 1 || || || A || 12596 8910 1 1 1 1000 4070 3367 3 3 3 297 297 297 1 10 100 1 0 0 3 7 3 7 3367 DA ( DA) 1 111 111 111 270 270 270 1 100 10000 1 407 3367 10101 10101 10101 2970 2970 2970 8437 Cond( DA) || DA || || || ( DA) 1 || 1 28 297
240 179
240 179.5
319 x1 240 x2
319.5 x1 240 x2
3 即 Ax=b 4
3 4
即 (A
A) ( x
x)
b
3
记A
240 179
x)
319 ， A 240
b 的解 x
0 0.5 8 6
0.5 ，则 Ax=b 的解 x 0 4 3
，从而 || x ||
4 ，而 3
2 1
1 ，试计算||A-1||2，||A||2 和 Cond(A)2,且找出 b（常数）及 2
|| b ||2 || b ||2
|| x ||2 || x ||2
解
Cond( A) 2
| I
A|
1
2
1 2
2
4
3 ，故 1
1, 2
3 ，从而
|| A ||2 | 2 | 3,
Cond( A) 2
X ,|| Y || p 1 也满足 X p
|| AY || p || A || p || Y || p || A || p 。故按题目要求，只须求出满足 || X || p 1的解。这时，有
|| X ||1 | x1 | || AX ||1 | x1
解此方程组得 x1
| x2 | 1, 2 x2 | | 3x1 1, 4 x2 |) || A || 7.
2. 设有方程组 Ax=b，其中
1 2
A
1 0 2 2 0 2
1 1 , 2
b
1 2 1 已知它有解 X 3 2 3
1 2 1 . 如果右端有小扰动 3 0
|| b ||
1 10 6 ，试估计由此引起的解的相对误差。 2
分析 本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题， 这与系 数矩阵的条件数有关，只要求出 Cond(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。 解答 容易求得
1，
|| AX ||2 2
这表明 X 即为所求。 令 A AX
T
( AX , AX )
( x)
( AT AX , X )
10 14 x1 14 20 x2
14 b 5 221
(X , X )
(15 221)

x1 x2
( AT A) || A ||2 2
。
X ，即 x
221) x1 , 221) x2 ,
由误差估计得
|| x || || x ||
|| x ||
表明估计 || x ||
|| A || || A || || A || 1 Cond( A) || A || 1.274 || x || 5.10 Cond( A)
0.56012 0.43988
1.274
4 是符合实际的。
9. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那 么分解是否惟一？
2
解 （1） A
T
10000 10000 20000 20001
Cond( A)
（2） r
|| A 1 || || || A ||
7.0003 7 2.0001 2
40001 3.0001 120012
1 2.97 1 1.01 0.05 0.05
b
Ax
（3）由事后误差估计式，右端为
Cond( A)
4 2 。 , 3 3 || b ||2 || b ||2 Cond( A) 2 2 2 3
故
|| x ||2 || x ||2
1 2 3 || b ||2 Cond( A) 2 || b ||2
3 而 Con( A)2
8. 求下面两方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
|| x || || x ||
A
1 2 3 2 4 1 ， 4 6 7
1 1 1 B 2 2 1， 3 3 1 C
1 2
2 5
6 15
6 15 46
解 A 中2=0，故不能分解。但 det(A)=-100，故若将 A 中第一行与第三行交换，则可 以分解，且分解惟一。 B 中，2=3=0，但它仍可以分解为
B
1 2
1
3 l32
4,|| x || 4 ，而
( A A)( x
x
，故 x
A
1
1 240 319 499 179 240
559 559 626.2 499 559 0.5 ， || A 1 || || A || 0.5 0.56012 499 || A 1 || || A ||
Cond( A)
|| A ||
|| A 1 ||2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
假设 x+x=y, A(x+x)=b+b 取 b=(1,-1)T，b=(1,1)T，则解 Ax=b，即
2 1
又解 故 x
1 x1 2 x2 1 y1 2 y2
2
1 1 2 0
得x 得y
1 1 , 3 3
T
T
2 1
(1,1)T , || x ||2 || x ||2
得
14 x2 14 x1
2
(5 ( 5
2 x2
x1 x2
代入 x1 其中 b
1 ，得 x2
1 b
2
1
, x1
bx2
b
1 b
2
1
14 .此 X (5 221)
( x1 , x2 )T 就是满足 || AX ||2 || A ||2 ,|| X ||2 1的向量。
5
max(4,6)
6, A
max(3,7)
7 ， AT A
10 14 14 20
。
I | 0 ，得..。解得
I | 0 ，得 2
15
5 2
221 ，故 A 2
0 ，解得
15
1 (5 2
221 。
33) ，故
（2）由 | A
( A)
（3）若满足 AX
1 (5 2
p
33) 。
A
p
X
p
的解 X 存在，则 Y
2 时，Cond(A)有最小值。 3
3 | |, || A || 2,
故 || A
1
||
2 3 2 || 3
又A
1
1 1 1 2
||
2|| 1 ||
4
6 | | 3, Cond( A) || A 1 || || A || 2 2
从而当 | | 11. 已知 A
1 , ||
1
Hale Waihona Puke Baidumax (QT Q)
4
4
2
1 QQT 16
1 T Q ，从而 (Q 1 )T (Q 1 ) 4
|| Q 1 ||2
max [(Q 1 )T (Q 1 )]
1 max ( I ) 4
1
1 max ( QQT ) 16 1 1 所以 Cond 2 (Q) || Q ||2 || Q ||2 2 2
|| A ||
|| A 1 || ||
计算结果说明了用对角阵左乘 A 可以改善其条件数。 6. 设 A
2.0001 2
1 ,b 1
7.0003 ，已知 Ax=b 的精确解为 x=(3,-1)T. 7
T
（1）计算条件数 Cond(A); （2）若近似解 x (2.97, 1.01) ，计算剩余向量 r b Ax ； （3） 利用事后误差估计式计算不等式右端， 并与不等式左边比较。 此结果说明了什么？
1. 求矩阵 Q 的||Q||1，||Q||2，||Q||与 Cond2(Q)，其中
Q
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
分析 这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。 解答 （1）由定义，显然||Q||1=4 （2）因 QTQ=4I，故 || Q ||2 （3）由定义显知 || Q || （4）因 QTQ=4I，故 Q
1 1 其中 l32 为一任意常数，且 U 奇异，故分解不 1 0 0 l32 2 1 1 2 6 0 1 3 2 1
1 1 0 0
惟一。 对 C，i0，i=1,2,3，故 C 可分解且分解惟一。 C
6 3 1 0 0 1
10. 矩阵第一行乘以一数成为 A 证明 设0，则
2 ,证明当 1 1
A
1
1 2 2
|| X || || X ||
1 1 1 1.5 ，从而 Cond(A)=22.5 1 1
Cond ( A) || b || 有 || b ||
6
由公式
|| X || || bX |
1 10 2 22.5 2/3
1.6875 10
5
3. 试证明矩阵 A 的谱半径与范数有如下关系
而左端
|| r || 0.05 120012 || b || 7.0003 || x x || 0.03 0.01 || x || 3
857.192
这表明当 A 为病态矩阵时，尽管剩余||r||很小，误差估计仍然较大。因此，当 A 病态时， 用||r||大小作为检验解的准确度是不可靠的。 7. 设对称正定阵 A 扰动b，使
x12
2 x2
4 x2 | || A ||1 6.
0,| x2 | 1 。
|| X || || AX ||
解此方程组得 x1 记 则
T
max(| x1 |,| x2 |) max(| x1
1。
2 x2 |,| 3x1
x2
( A A) 是 ATA 的最大特征值，X 是相应的特征向量，且 || X ||2
Cond( AB) || AB || || ( AB) 1 || || A || || B || || B 1 A 1 || || A || || B || || B || A || || A 1 || || B || || B 1 ||
5. 计算 Cond(A)及 Cond(DA);其中
1
|| || A 1 ||
( A) || A ||
其中||A||为 A 的任何一种算子范数。 分析 由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。 证明 由特征值定义，对任一特征值有 AX=X（X0，特征向量） 取范数有
1
||AX||=|| ||X|| 由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||||A|| ||X|| 从而 || ||X||||A|| ||X|| 由于 X0，故||||A||，从而 (A) ||A|| 4. 设 A,B 为 n 阶矩阵，试证 Cond(AB) Cond(A) Cond(B) 分析 由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。 证明