现代控制理论_制系统的状态空间表达式
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.线性系统的状态空间表达式如下，则系统能控能观子空间为（）维系统。
【图片】答案:22.已知线性定常系统的状态方程如下，状态反馈阵【图片】（）使闭环系统极点配置为【图片】。
【图片】答案:3.下列语句中，正确的是（）。
答案:系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的。
4.线性系统的状态空间表达式为如下，则系统的模拟结构图为（）。
【图片】答案:5.系统方框图，如下图所示，则根据系统方框图建立的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:6.已知机械系统如下图所示。
其中质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。
以外力 u(t)为输入信号，位移y(t)为输出量，系统状态空间模型为（）。
【图片】答案:7.若A、B是方阵，则必有【图片】。
答案:错误8.已知单输入单输出系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:9.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:10.原系统传递函数阵的阶数一定高于能控能观子系统传递函数的阶数。
答案:错误11.带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数矩阵。
答案:正确12.带状态观测器的状态反馈系统，观测器的极点会全部被闭环系统的零点相消。
答案:正确13.单输入-单输出线性时不变系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为（）。
答案:14.系统方框图如下所示，则系统的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:；15.RLC电路网络如下图所示，其中【图片】为输入电压, 【图片】为输出电压。
选择状态变量【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
【图片】答案:16.已知单输入单输出系统的微分方程为【图片】，则系统状态空间模型为（）。
答案:17.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式的对角型实现为（）。
答案:18.已知非线性系统的微分方程为【图片】，则利用近似线性化方法得到系统的局部线性化状态方程是（）。
现代控制理论基础试卷及答案
现代控制理论基础试卷1、①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
（5分）②设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =试判定系统的能控性。
（5分）2、已知系统的状态空间表达式为00001⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。
（10分）3、给定系统的状态空间表达式为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ，211021y x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）4、给定系统的状态空间表达式为[]12020110,1001011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x u y x设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器（10分）5、①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x x x x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
（5分）②判定系统11221223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。
(5)6、已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 ，试将其化为能控标准型。
（10分）7、已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统∑1∑ 2∑ 及其传递函数矩阵 （10分)。
答案1① 解 取拉氏变换知 )()2()()22(33s u s s s y s ++=+21121)1(21)(2213++-=+++=s s s s s g （3分） 其状态空间最小实现为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y （2分）② 解1n c u BABA B -⎡⎤=⎣⎦ （2分）012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，秩为2， 系统状态不完全能控。
现代控制理论实验一、线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换河南工业大学
河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定:一、实验题目：线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换二、实验目的1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。
学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。
2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。
学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。
3. 熟悉系统的连接。
学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。
4. 掌握状态空间表达式的相似变换。
掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。
学会用MATLAB 进行线性变换。
三、实验过程及结果1. 已知系统的传递函数 (a) )3()1(4)(2++=s s s s G 1.建立系统的TF 模型。
num=4;den=[1 5 7 3 0];G=tf(num,den)G =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.2.将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。
再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
2.1转换成状态空间表达式。
Gss=ss(G)Gss =a =x1 x2 x3 x4x1 -5 -1.75 -0.75 0x2 4 0 0 0x3 0 1 0 0x4 0 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0x4 0c =x1 x2 x3 x4y1 0 0 0 1d =u1y1 0Continuous-time state-space model.2.2将状态空间表达式转换成传递函数并计较。
G1=tf(Gss)G1 =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.由之前的实验结果可得实验中的传递函数相同，因为线性变换不改变系统的传递函数。
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论第9章答案
9-1．（1）选取状态变量)(),(x 21t yx t y ==,则 ⎩⎨⎧+--=+--====u x x t u t y t y t y x x t y x1222145)()(4)(5)()( 故系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎥⎢⎣⎢--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212101105410xx y u x x x x9-2．（1）选取状态变量6x ,6x ,6x 321yy y ===，则11233322167416676416x y u x x x u y y y y x x x x x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---====故系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210061006417100010x x x y u x x x x x x或:选取状态变量yy ===321x ,x ,y x ，则同样可得系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210016006417100010x x x y u x x x x x x（3）同理，系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212332100110033a 100010x x x y u x x x a a x x x（5）微分方程含有输入的导数项，可采用212P 的情形二：状态变量选择方法一：7,6,5,0;4,,2a 3210321=======b b b b a z a则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-=--==-===za a ab a a b a b b 51545003122133021122011100ββββββββββ故系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210015154524100010x x x y u z x x x z x x x方法二（可控标准型）：[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎝+⎪⎪⎪⎭ ⎝⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=⎪⎪⎪⎭ ⎝3213213215671024100x x x y u x x z x x9-3．（1）同9-2（3），可得[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132100118626116100010x x x y u x x x x x x或（可控标准型）：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎝+⎪⎪⎪⎭ ⎝⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=⎪⎪⎪⎭ ⎝32132132121840106116100x x x y u x x x x或（特征值规范型）：由32212112611640182)()()(232+++-+-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G（部分分式展开）选取状态变量：)(31)(x ),(21)(x ),(11)(x 321s U s s s U s s s U s s +=+=-=即：321332211212123x2x x x x x y u x u x u x +-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+=则系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132121212u 11130020001x x x y x x x x x x（3）同（1）[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321001322452100010x x x y u x x x x x x或：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321265100452100010x x x y u x x x x x x或：[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321111110200010011x x x y u x x x x x x9-4．（3）要求掌握由传递函数求状态空间表达式的公式：53316)()(131253s 1)21-21-+++=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=-s s s D B A SI C s G s s s A SI （9-5．掌握状态转移矩阵的算法：法一：拉氏变换法⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-s s s A I 61553s 1)s (21-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-+++-++=3s 32s 23s 62s 63s 12s 13s 22s 3])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t tt t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x tt tAt法二：先将A 变换成对角矩阵由0=-A I λ可得系统的特征根为：i 212,1±-=λA 为友矩阵，则变换阵P 可选为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=i P 21i 2111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=-ii i P 22122121221i 221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-i 21i 211AP P1)21()21(e ---+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⇒P e e P t i ti At⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t tt t⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x tt tAt9-6．同9-5法一：拉氏变换法：])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--+--+--+-+-+-+-=---------------------------t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e 323232323232323232294e 2122716e 25912e 3232e 215.48e 2536e 321e 21234e 253e 3法二：化为对角阵系统特征值为321321-=-=-=λλλ，， 变换阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=941321111P ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-21231143212531P132e e ----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Pe e P t tt At 9-7．状态转移矩阵：))(()(11---==ΦA sI L e t At⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t ttt t t e e e e e e e e 32323232326623故状态方程的解为：τττd Bu t x t t t )()()0()()(x 0-Φ⎰+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=----t t t t e e e e 323234121 9-8．方法一：利用状态转移矩阵的性质 0|)(t =Φ=t A而 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ-----t t t t t te e t e t e t e t 22224)21(0)84()44(000)( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⇒010440001A 方法二：利用])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-++-++==⇒22221-)2(221)2(10)2(4)2(22100011)(A)-sI (s s s s s s s e L At ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++=-⇒01044000110440001)(A s s s A sI9-9．(2)根据)0()(x e t x At=，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++------111222At t t t t t t e te e ete e e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⇒-------t t t t t t Atte e e te e e e 2211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=----t t t t e t tete e t )21(4)21(求系统矩阵A ，同9-8可采用两种方法：1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=Φ==----=1143)21()1()44()23(|)(00t t t tt t e t e t e t e t t A 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-++-+==--22221)1(211)1(1)1(4)2(211)()(s s s s s s e L A sI At⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=-⇒11431143)(A s s A sI 9-10．(2)先求状态转移矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-==Φ----tt At e e A sI L e t 2211021211))(()( 则离散化后的系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡====1353.004324.01e 1T t AtG⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-==---⎰4324.02838.021********220)(T T T t T A e e T Bdt e H 9-11．1时刻：)0()0()1(x Hu Gx +=2时刻：)1()0()0()1()1()2(x 2Hu GHu x G Hu Gx ++=+= 若使系统在第二个采样时刻转移到原点，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)1(4.03.0)0(4.03.01.005.01)0(x 1.005.01)2(x 2u u 可求得,282.3)0(-=u 3032.0)1(=u即施加上述控制作用，可使系统在第二个采样时刻转移到原点。
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
图2-6 系统方块图从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式一. 时间离散系统离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k)二. 线性时变系统其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数；线性时变系统的状态空间表达式为：x =A t x +A t u y=C t x +D t u三. 非线性系统x =f (x,u , t ）y=g (x,u,t)1.非线性时变系统的状态空间表达式式中，f ，g 为函数向量；x =f (x,u ）y=g (x,u)2.非线性定常系统的状态空间表达式当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统3.非线性系统的线性化x =f (x,u ）y =g (x,u)设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。
f (x 0,u 0)=0 , y 0=g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。
x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项：x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0+ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x −x 0=ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x0,u 0δu δy =y −y 0=ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为：δx ，δu ，δy x ，u ，y x=A x +B u y=C x +D u 其中,A =ðf ðx x 0,u 0,B =ðf ðu x 0,u 0,C =ðg ðx x 0,u 0,D =ðg ðu x 0,u 0第一章控制系统的状态空间表达式第一章小结状态变量、状态空间、状态空间表达式的定义建立系统状态空间表达式的方法，特别是状态变量选取的方法；状态空间表达式非奇异线性变换的方法；由状态空间表达式导出传递函数矩阵的方法；组合系统状态空间表达式的建立方法；离散系统、非线性系统状态空间的基本形式；。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1A1,B1,C1和=∑2A2,B2,C2是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的完全能观的,则∑2是状态完全能观的完全能控的.对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=A,B,C,状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵变换矩阵,空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φt2.线性定常非齐次方程的解:xt=Φtx0+∫t0Φt-τBuτdτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态xt0,转移到指定的任一终端状态xtf,称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:1在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.2T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为rn维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.1状态反馈不改变受控系统的能控性2输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能1采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控2对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件1∑0完全能控2动态补偿器的阶数为n-13对系统用从输出到x线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定1对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定2对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的3对系统采用输出到x反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出 11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ,试求其状态空间最小实现;5分 ②设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =试判定系统的能控性;5分2 已知系统的状态空间表达式为00001⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时,系统的输出)(t y ;10分 3给定系统的状态空间表达式为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ,211021y x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦,若能,则将其解耦10分 4 给定系统的状态空间表达式为设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器10分 5 ①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点,并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围;5分② 判定系统11221223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性;5分6 已知系统 u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型;10分 7 已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]1110y x = 求出串联后系统现代控制理论试题1 ① 取拉氏变换知 )()2()()22(33s u s s s y s ++=+21121)1(21)(2213++-=+++=s s s s s g 3分其状态空间最小实现为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y 2分② 1n c u B ABA B -⎡⎤=⎣⎦012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,秩为2,系统状态不完全能控; 2 解 02210(,)0.50.51⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭t t t t , 0()(,0)(0)(,)()tx t t x t B d τττ=Φ+Φ⎰ 1y = 3解 [][]100211101101c B ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, [][]200021102101c B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以120d d ==,121121E E E -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 1111213--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E 又因为E 非奇异,所以能用实现解耦控制; 2分12630011c A F c A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1分 求出u kx Lv =-+4 解 令122E E E E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 代入系统得()123120()011100101sE sI A EC sE s E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--=---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭理想特征多项式为*332()(1)331f x s s s s =-=+++ 列方程,比较系数求得 001E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 全维状态观测器为[]ˆˆx A EC x Bu Ey =-++ 12020ˆ01100,00111x u y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦5 解 ①显然原点为一个平衡点,根据克拉索夫斯基方法,可知 因为 02<-；所以,当0)cos 21(42cos 21cos 212211111>--=----x a a x x时,该系统在原点大范围渐近稳定;解上述不等式知,491>a 时,不等式恒成立; 即491>a 时,系统在原点大范围渐近稳定; ② 解 2114523I A λλλλλ+--==+++,两个特征根均具有负实部,系统大范围一致渐近稳定;2分6 解 1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ [][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 7 解 组合系统状态空间表达式为[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5分组合系统传递函数为21()()()G s G s G s = 2分21331(1)(1)(1)(1)s s s s s s s ++=⨯=+-+-+ 3分。
现代控制理论知识点汇总
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
i
uc 1
1 C
i
0
0 1
C
uc
i
1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
A, B, C
大写细体字母——拉氏变换符号、系统符号
U (s), R(s), Y (s), S1, S2
作业 预习
常用符号：
积分器
比例器 ki
加法器
注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：
⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。
⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器；
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3.一般线性时变系统：
Xt ( )A ( t) Xt ( ) Bt () ut () Yt ( ) Ct () Xt ( ) D ( t) ut ()
区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分 方程)
4. 非线性定常系统:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系 统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一 被确定。 ﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状 态变量
R i1 u ( t) i2
C2
i3 C1 C3
=系统的阶数
﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变 量组是2个独立变量，可在 uc1,uc2,uc3中任选2个， 选法不唯一。
3. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t) 为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。 引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表 示出来，称为状态矢量 x1(t) x (t) x (t) 2 x n ( t ) n1 又表示为：x(t) ∈Rn [x(t) 属于n维状态空间 ]
选择状态变量：取：
x (t) 1(t) y
x2(t) y(t)
故得：
x ( t ) x ( t ) 1 2 k f 1 x () t x x 2 1 2 u m m m y(t ) x1
将以上方程组写矩阵形式
1 0 0 x x 1 1 x k 1 u f x x 2 2 m m m
x1(t ) a11 a12 x1 b1 u(t ) x2 (t ) a21 a22 x2 b2 y(t ) c c x1 1 2 x 2
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)
1
R R2C1 1 1 1 1 x1 x2 u1 x R1 R2C1 R2C1 R2C1 1 1 1 2 x1 x2 u1 x R2C2 R2C2 R2C2 y u2 u1 x1
即:
R1 R2C1 1 R1 R2C1 x x 2 1 R2C2
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 (2)在零初试条件 下取拉氏变换得：
2s 3Y ( s ) 3sY ( s ) s 2U ( s ) U ( s ) 1 2 1 s Y (s) s 1 2 2 U ( s ) 2s 3 3s s 3 3 s 2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
2
状态方程为：
1 x3 x x 2 x4 B B K 3 x1 1 x3 1 x4 x M1 M1 M1 B B B 1 4 1 x3 ( 1 2 ) x4 u x M2 M2 M2 M2
1 1 R2C1 x1 R2C1 u1 x2 1 1 R C R2C2 2 2
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论-控制系统的状态空间表达式
1.4 状态空间表达式的建立
• 注意的问题
– 实现条件是m≤n，否则是不可实现的
– 当m<n时，d=0
– 当m=n时，d=bn≠0 此时，系统的传递函数可写为
W
(s)
bnsn bn1sn1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
bn
bn1 bnan1 sn1 bn2 bnan2 sn2 sn an1sn1 a1s a0
u
L2 C
di2
dt duc
dt
R1i2 i2
R1i1
R2i2
uc
0
C
uc
R2
1.3 状态空间表达式的建立
考虑到 三个变量是独立的，故可确定为系统的状态 变量，经整理上式变为
di1
dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u
di2 dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
uc L2
duc dt
1 C
i2
现在令状态 x1 i1 x2 i2 x3 uc 将上式写成矩阵形式即为状态方程
1.3 状态空间表达式的建立
x1
x2
x3
RRL1 11
L2
0
R1
L1 R1 R2
L2 1
C
0 1
L2 0
x1 x2 x3
第1章 控制系统的状态空间表达式
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的外部描述
外部描述常被称作输出—输入描述
例如，对SISO线性定常系统 u
y
时间域的外部描述：
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
天津大学 现代控制理论课件 第1章 控制系统的状态空间表达式
例题 1.1 【解答】 1 选择状态变量
图1.1-1 R-L-C电路
状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两 端电压，和流经电感L的电流。
状态：x1 (t ) = uC , x2 (t ) = iL = i, 输入：u (t ), 输出：y (t ) = uC = x1
1.1 状态变量及状态空间表达式
& x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
（2）MIMO
L a1n b11 b12 L L a2 n , B = b21 b22 L M O M M O L ann bn1 bn 2 L u1 y1 c11 c12 L c1n d11 y u c d c22 L c2 n 2 2 21 , D = 21 u= ,y= ,C = M M M M M O M cm1 cm 2 L cmn d m1 u r ym
1.1 状态变量及状态空间表达式
1 状态
描述一个系统得过去、现在和将来的状况
2 状态变量
足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量 为状态变量 例如微分方程：
& & y ( n ) + a1 y ( n−1) + L + an−1 y + an y = bou ( n ) + b1u ( n−1) + L + bn−1u + bnu (1.1 − 1)
注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。 注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。
现代控制理论状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程第一章控制系统的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式状态空间变量及状态空间表达式状态空间表达式的建立状态向量的线性变换从状态空间表达式求传递函数组合系统的状态空间表达式离散系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式经典控制理论：数学模型：传递函数)()()(s U s Y s G =uy∑G(s)传递函数的定义线性定常系统的传递函数是指在初始状态为零的条件下，系统输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比。
G(s)=Y(s)U(s)经典控制理论：数学模型：传递函数)()()(s U s Y s G =uy∑G(s)现代控制理论：Xuy∑数学模型：状态空间表达式《现代控制理论》MOOC课程1.1 状态空间变量及状态空间表达式一. 状态变量足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。
完全表征) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(),(),(210ctutiti)(tu已知：确定系统在任何t≥t0时间的动态行为。
只要给定状态变量的初值x(t0)以及t≥t0时刻的输入u(t)，就能够完全一. 状态变量最小性而增加变量的个数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(c tidttduti c)(C)(c=体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态行为，)(),(),(21tutiti c关于状态变量的几点说明状态变量是相互独立的。
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数。
不能多，也不能少。
对同一个动态系统，状态变量的选取不是唯一的，但状态变量的个数是唯一确定的，) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(),(),(21tutiti c状态变量1：)(),(),(21tititi c状态变量2：二. 状态向量由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
第1章控制系统的状态空间表达式
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
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UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 LC
R L
x
1 LC
u
两组状态变量之间 的关系
x1
x2
P
x1 x2
x1 uc x2 i
x1 uc
x2
向量形式：
n 1 状态向量
x(t) f (x(t),u(t),t)
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态 变量间的 m个代数方程，称为系统的输出方程。
y1(t) g1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) y2 (t) g2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
uc
1 C
i
uc 1
1 C
i
0
0 1
C
uc
i
1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
ym (t) gm (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
向量形式：
y(t) g(x(t),u(t),t)
m1 输出向量
R
例：建立如图所示的RCL +
电路的状态方程和输出方 u(t) i(t)
程。
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
_
图1 解：
LCuc (t) RCuc (t) uc (t) u(t) 微分方程
•状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组(连 续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。
x1(t) f1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) x2 (t) f2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
xn (t) fn (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
状态方程
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
状态空间 表达式
y x1(t)
输出方程
写成矩阵相乘的形式
x1 (t )
1 C
x2 (t)
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
y x1(t)
x1(t)
x2 (t
)
0
1
L
1
C R
x1 x2
+ uc(t) _
y
输出
_
RL
+
+
整理得一阶微分方程组为
duc(t) 1 i(t) dt C
u(t) i(t)
输入
_
+ uc(t) _
y
输出
_
di(t) dt
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
uc
u(t)
即
x1 (t )
1 C
x2 (t)
i(t) C duc dt
复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需 要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •系统描述
环境
输 入
系统内部
输 出
什么是系统？ •系统是由若干个部分相互联系而构成的有机整体. •系统内部也分成两部分： •包括内部结构和内部信息
互连关 系
行为和状 态
(t ) (t)
0 1
L
u(t
)
L
y 1
0
x1 (t ) x2 (t)
可简写为
x Ax bu
y cx
式中,
0
A
1
1
C R
L L
0 b 1
L
c 1 0
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) dt
y c1x1 c2 x2 cn xn
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
x x1 x2
y cx du
xn T
1 n 观测矩阵 输出矩阵
a11 a12 a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
b1
b
b2
c [c1
c2
cn ]
bn
多输入多输出定常线性系统
写成矩阵形式有： x Ax Bu
y Cx Du
x Ax bu
y Cx du
x x1 x2 xn T , n 1维状态向量
电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。