现代控制理论_制系统的状态空间表达式
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电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
向量形式：
n 1 状态向量
x(t) f (x(t),u(t),t)
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态 变量间的 m个代数方程，称为系统的输出方程。
y1(t) g1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) y2 (t) g2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
状态方程
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
状态空间 表达式
y x1(t)
输出方程
写成矩阵相乘的形式
x1 (t )
1 C
x2 (t)
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
y x1(t)
x1(t)
x2 (t
)
0
1
L
1
C R
x1 x2
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
+ uc(t) _
y
输出
_
RL
+
+
整理得一阶微分方程组为
duc(t) 1 i(t) dt C
u(t) i(t)
输入
_
+ uc(t) _
y
输出
_
di(t) dt
1 L
uc
(t)
R L
i(ห้องสมุดไป่ตู้)
1 L
u(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
uc
u(t)
即
x1 (t )
1 C
x2 (t)
i(t) C duc dt
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
•状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组(连 续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。
x1(t) f1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) x2 (t) f2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
xn (t) fn (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
1 LC
R L
x
1 LC
u
两组状态变量之间 的关系
x1
x2
P
x1 x2
x1 uc x2 i
x1 uc
x2
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
ym (t) gm (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
向量形式：
y(t) g(x(t),u(t),t)
m1 输出向量
R
例：建立如图所示的RCL +
电路的状态方程和输出方 u(t) i(t)
程。
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
_
图1 解：
LCuc (t) RCuc (t) uc (t) u(t) 微分方程
a2n
an1 an2
ann
b1
b
b2
c [c1
c2
cn ]
bn
多输入多输出定常线性系统
写成矩阵形式有： x Ax Bu
y Cx Du
x Ax bu
y Cx du
x x1 x2 xn T , n 1维状态向量
y c1x1 c2 x2 cn xn
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
x x1 x2
y cx du
xn T
1 n 观测矩阵 输出矩阵
a11 a12 a1n
A a21 a22
复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需 要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •系统描述
环境
输 入
系统内部
输 出
什么是系统？ •系统是由若干个部分相互联系而构成的有机整体. •系统内部也分成两部分： •包括内部结构和内部信息
互连关 系
行为和状 态
(t ) (t)
0 1
L
u(t
)
L
y 1
0
x1 (t ) x2 (t)
可简写为
x Ax bu
y cx
式中,
0
A
1
1
C R
L L
0 b 1
L
c 1 0
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) dt
uc
1 C
i
uc 1
1 C
i
0
0 1
C
uc
i
1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
向量形式：
n 1 状态向量
x(t) f (x(t),u(t),t)
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态 变量间的 m个代数方程，称为系统的输出方程。
y1(t) g1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) y2 (t) g2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
状态方程
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
状态空间 表达式
y x1(t)
输出方程
写成矩阵相乘的形式
x1 (t )
1 C
x2 (t)
x2 (t)
1 L
x1 (t )
R L
x2
(t)
1 L
u(t)
y x1(t)
x1(t)
x2 (t
)
0
1
L
1
C R
x1 x2
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
+ uc(t) _
y
输出
_
RL
+
+
整理得一阶微分方程组为
duc(t) 1 i(t) dt C
u(t) i(t)
输入
_
+ uc(t) _
y
输出
_
di(t) dt
1 L
uc
(t)
R L
i(ห้องสมุดไป่ตู้)
1 L
u(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
uc
u(t)
即
x1 (t )
1 C
x2 (t)
i(t) C duc dt
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
•状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组(连 续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。
x1(t) f1(x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t) x2 (t) f2 (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
xn (t) fn (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
1 LC
R L
x
1 LC
u
两组状态变量之间 的关系
x1
x2
P
x1 x2
x1 uc x2 i
x1 uc
x2
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
ym (t) gm (x1, x2 , , xn , u1, u2 , ur , t)
向量形式：
y(t) g(x(t),u(t),t)
m1 输出向量
R
例：建立如图所示的RCL +
电路的状态方程和输出方 u(t) i(t)
程。
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
_
图1 解：
LCuc (t) RCuc (t) uc (t) u(t) 微分方程
a2n
an1 an2
ann
b1
b
b2
c [c1
c2
cn ]
bn
多输入多输出定常线性系统
写成矩阵形式有： x Ax Bu
y Cx Du
x Ax bu
y Cx du
x x1 x2 xn T , n 1维状态向量
y c1x1 c2 x2 cn xn
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
x x1 x2
y cx du
xn T
1 n 观测矩阵 输出矩阵
a11 a12 a1n
A a21 a22
复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需 要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •系统描述
环境
输 入
系统内部
输 出
什么是系统？ •系统是由若干个部分相互联系而构成的有机整体. •系统内部也分成两部分： •包括内部结构和内部信息
互连关 系
行为和状 态
(t ) (t)
0 1
L
u(t
)
L
y 1
0
x1 (t ) x2 (t)
可简写为
x Ax bu
y cx
式中,
0
A
1
1
C R
L L
0 b 1
L
c 1 0
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) dt
uc
1 C
i
uc 1
1 C
i
0
0 1
C
uc
i
1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu