平方差公式PPT
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多项式与多项式相乘
(a
② ①
m)(b
n)
①
ab
②
an
③
bm
④
mn
③④
计算下列多项式的积:
(1) (x+2)(x-2)= x
2
4
;
(2) (m+3)(m-3)= m2 9 ;
(3) (x+y)(x-y)= x2-y2 ;
(4) (m+n)(m-n)= m2-n2 ;
(5)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 = (2x)2-12; 观察思考： ①等式左边相乘的两个多项式有什么特点？ ②等式右边的多项式有什么规律？ ③你能归纳出上述等式的规律吗？
(4) 10 1 10 1 7 7
例4: 利用平方差计算: (a+b)(a-b)=a2-b2 a,b也可以表示
(1) (2a+b)(2a-b)(4a2+b) 多项式
(2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)
解:原式=[( 2a+b )+( 2c )][( 2a+b )-( 2c )] =(a+2b)2-(2c)2 =a2+4ab+4b2-4c2
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
练习五 计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
练习二: (口答)
(1) (x+1)(x-1)= x2-1 (2) (x-4)(x+4)= x2-16 (3) (3+y)(3-y)= 9-y2 (4) (y-5)(y+5)= y2-25 (5) (m+7)(m-7)= m2-49 (6) (8-m)(8+m)= 64-m2 (7) (t+9)(t-9)= t2-81
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是 16k6-9y4
请你判断下列计算对不对？为什么？
• (x2+2)(x2-2)=x4-2
( × ) x4- 4
• (4x-6)(4x+6)=4x2-36
( × ) 16x2-36
• (2x+3)(x-3)=2x2-9
( × ) 不可用公式
• (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( √ )
• (mn-1)(mn+1)=mn2-1
( × ) m2n2-1
【例3】用平方差公式计算：
(1) 102×98
(2) 30.2×29.8
(3) 79×81
(4) 10 1 9 6
77
解:(1) 原式=(100+2)(100-2)
=1002-22 =10000-4 =9996
(2) (30+0.2)(30-0.2) (3) (80-1)(80+1)
猜想: (a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab+b2 =a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 平方差
图形验证:
如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a＞b).则
a
b
a-b
a-b
a+b
b
(1)图中阴影部分的面积为__a_2_-b_2___. (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长
(1) (-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
b2-a2
没有相同项
(3) (a+b)(a-c) 否 (4) (2+a)(a-2) 是
没有相反项
a2-4
(5) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) 是
4
4
1 x2 4y2 16
(6) (1-x)(-x-1) 是 x2-1
(3) 1 a 1 b 1 a 1 b
3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(4) 2 x3 3 y 2 x3 3 y
5 4 5 4
4 x6 9 y2 25 16
试一试: (5) (1-2a)(1+2a) 1-4a2
(能口答吗?) (6) (b+2a)(2a-b) 4a2-b2
例2: 计算
(1) ( －3X＋2)(－3X－2) 解:原式 = (-3x)2－22 = 9x2－4
a -3x b2
(2) ( －3X－2)(3X－2) 解:原式 = (-2)2－(3x)2 = 4－9x2
a -2 b 3x
(3) (2－3X)(3X＋2) 解:原式 = 22－(3x)2 = 4－9x2
【例1】运用平方差公式计算：
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
解:
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
= ( 2x2 )2 -
(
1 6
)2
4x4 1 36
练习三: 用平ຫໍສະໝຸດ Baidu差公式计算
(1) (3x+2)(3x-2) 9x2-4
(2) (2y+5)(2y-5) 4y2-25
方形的长是(_a_+_b_),宽是_(a_-_b_) ,面积是_(a_+_b_)_(a_-_b_)_. (3)比较(1)(2)的结果即可得到:
(a+b)(a-b)=a2-b2
练习一: (口答)
(1) (x+y)(x-y)= x2-y2 (2) (c+d)(c-d)= c2-d2 (3) (p+q)(p-q)= p2-q2 (4) (r+s)(r-s)= r2-s2 (5) (u+v)(u-v)= u2-v2 (6) (k+t)(k-t)= k2-t2
a2 b 3x
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的实质:
一条件： 两个多项式相乘,只要既有相同项,又有相反项,并且 不含有其他的项,就可以使用此公式.
两无关：
(1) 与项的书写位置无关;
(2) 与相同项的符号无关,相同项可以是同 “＋”,
也可以是同“－”。
判断下列式子是否可用平方差公式。
练习四: 将下列各式变形为可利用平方差 公式计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
(a
② ①
m)(b
n)
①
ab
②
an
③
bm
④
mn
③④
计算下列多项式的积:
(1) (x+2)(x-2)= x
2
4
;
(2) (m+3)(m-3)= m2 9 ;
(3) (x+y)(x-y)= x2-y2 ;
(4) (m+n)(m-n)= m2-n2 ;
(5)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 = (2x)2-12; 观察思考： ①等式左边相乘的两个多项式有什么特点？ ②等式右边的多项式有什么规律？ ③你能归纳出上述等式的规律吗？
(4) 10 1 10 1 7 7
例4: 利用平方差计算: (a+b)(a-b)=a2-b2 a,b也可以表示
(1) (2a+b)(2a-b)(4a2+b) 多项式
(2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)
解:原式=[( 2a+b )+( 2c )][( 2a+b )-( 2c )] =(a+2b)2-(2c)2 =a2+4ab+4b2-4c2
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
练习五 计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
练习二: (口答)
(1) (x+1)(x-1)= x2-1 (2) (x-4)(x+4)= x2-16 (3) (3+y)(3-y)= 9-y2 (4) (y-5)(y+5)= y2-25 (5) (m+7)(m-7)= m2-49 (6) (8-m)(8+m)= 64-m2 (7) (t+9)(t-9)= t2-81
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是 16k6-9y4
请你判断下列计算对不对？为什么？
• (x2+2)(x2-2)=x4-2
( × ) x4- 4
• (4x-6)(4x+6)=4x2-36
( × ) 16x2-36
• (2x+3)(x-3)=2x2-9
( × ) 不可用公式
• (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( √ )
• (mn-1)(mn+1)=mn2-1
( × ) m2n2-1
【例3】用平方差公式计算：
(1) 102×98
(2) 30.2×29.8
(3) 79×81
(4) 10 1 9 6
77
解:(1) 原式=(100+2)(100-2)
=1002-22 =10000-4 =9996
(2) (30+0.2)(30-0.2) (3) (80-1)(80+1)
猜想: (a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab+b2 =a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 平方差
图形验证:
如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a＞b).则
a
b
a-b
a-b
a+b
b
(1)图中阴影部分的面积为__a_2_-b_2___. (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长
(1) (-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
b2-a2
没有相同项
(3) (a+b)(a-c) 否 (4) (2+a)(a-2) 是
没有相反项
a2-4
(5) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) 是
4
4
1 x2 4y2 16
(6) (1-x)(-x-1) 是 x2-1
(3) 1 a 1 b 1 a 1 b
3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(4) 2 x3 3 y 2 x3 3 y
5 4 5 4
4 x6 9 y2 25 16
试一试: (5) (1-2a)(1+2a) 1-4a2
(能口答吗?) (6) (b+2a)(2a-b) 4a2-b2
例2: 计算
(1) ( －3X＋2)(－3X－2) 解:原式 = (-3x)2－22 = 9x2－4
a -3x b2
(2) ( －3X－2)(3X－2) 解:原式 = (-2)2－(3x)2 = 4－9x2
a -2 b 3x
(3) (2－3X)(3X＋2) 解:原式 = 22－(3x)2 = 4－9x2
【例1】运用平方差公式计算：
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
解:
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
= ( 2x2 )2 -
(
1 6
)2
4x4 1 36
练习三: 用平ຫໍສະໝຸດ Baidu差公式计算
(1) (3x+2)(3x-2) 9x2-4
(2) (2y+5)(2y-5) 4y2-25
方形的长是(_a_+_b_),宽是_(a_-_b_) ,面积是_(a_+_b_)_(a_-_b_)_. (3)比较(1)(2)的结果即可得到:
(a+b)(a-b)=a2-b2
练习一: (口答)
(1) (x+y)(x-y)= x2-y2 (2) (c+d)(c-d)= c2-d2 (3) (p+q)(p-q)= p2-q2 (4) (r+s)(r-s)= r2-s2 (5) (u+v)(u-v)= u2-v2 (6) (k+t)(k-t)= k2-t2
a2 b 3x
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的实质:
一条件： 两个多项式相乘,只要既有相同项,又有相反项,并且 不含有其他的项,就可以使用此公式.
两无关：
(1) 与项的书写位置无关;
(2) 与相同项的符号无关,相同项可以是同 “＋”,
也可以是同“－”。
判断下列式子是否可用平方差公式。
练习四: 将下列各式变形为可利用平方差 公式计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)