初中数学几何模型秘籍
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式
初中数学常考的几何模型和应用题答题公式是学习和备考数学的关键内容。
不过，
请注意，我无法列出具体的66个常考几何模型或50个应用题答题公式，因为这
取决于不同地区、不同版本的教材和考试要求。
但我可以为你提供一些常见的几何模型和应用题答题思路或公式。
几何模型示例：
1.等边三角形模型：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。
2.等腰三角形模型：等腰三角形有两条边相等，且对应的两个底角也相等。
3.直角三角形模型：直角三角形有一个90°的角，满足勾股定理（a² + b² = c²）。
4.平行四边形模型：平行四边形的对边平行且相等，对角相等。
5.梯形模型：梯形有一组对边平行，常考察其面积计算（上底加下底，乘以高，再除
以2）。
应用题答题公式或思路示例：
1.速度、时间、距离关系：速度= 距离/ 时间，距离= 速度×时间，时间= 距
离/ 速度。
2.工作问题：工作效率= 工作总量/ 工作时间，常用于比较不同人或机器的工作效
率。
3.百分比问题：部分= 总量×百分比，总量= 部分/ 百分比，百分比= 部分/
总量× 100%。
4.利息问题：简单利息= 本金×利率×时间，复利则考虑本金和利息的共同增
长。
5.浓度问题：浓度= 溶质质量/ 溶液质量× 100%，常用于解决混合溶液的浓度问
题。
初中数学几何必杀技八大模型(pdf)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH ）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD 均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD ；②ZAEB=60°；③EO 平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD 均为等腰直角三角形.结论:①左QAC 丝△OBD ；②ZAEB=90°；③EO 平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD 均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD.结论:①左OAC^/\OBD ；②ZAEB=ZAOB ；③EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB,AOACco AOBD ；②延长AC 交BD 于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB,AOACco AOBD,②连接AC,BD 交于点E,必有ZBEC=ZBOA ；®|^=^=^=tanZOCD ；@BD±AC ;⑤连接AD,BC,必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；⑥S mABCD =yACX BD （对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB =ZDCE=90°；②OC 平分ZAOB.结论：®CD=CE ；②OD+OE=7^OC ；③=扌8气证明提示：①过点C 作CM 丄OA 于点M,CN 丄OB 于点N,如图②，证明△CDM^△CEN；②过点C 作CF 丄。
C,如图③，证明△ODC^AFEC.当ZECD 的一边交A 。
的延长线于点D 时，如图④，结论：（DCD=CE （不变）；②OE—OD=72OC ；③S ACCE —S A0CD =yOC 2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试.A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB=2ZDCE=120°；②OC平分ZAOB.结论:①CD=CE；②OD+OE=OC；③S*+S ACCE=^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ECF丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD=OC；®S ACCE—Sg=^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB=2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD+OE=2OC-cosa;③S A0CD+S ACCE=OC2•sina•cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C平分ZAOB OD=2OC-cosa；③S ACC£-S ACCD=0C2•sina,cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。
初中数学几何模型秘籍
温故而知新
~ 11 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
辅助线之二：在 OB 上取一点 F ，使 OF OC 证明 OCF 为等边三角形（重要）
A C
D
OE
FB
结论：① CD CE ；② OD OE OC
③ SODCE SOCD SOCE
3 OC2 4
必须熟练，自己独立完成证明
滴水穿石
结论：① AE DE ；② AED 2ABO
辅助线：延长 DE 至 M ，使 ME DE ，将结 论的两个条件转化为证明 AMD∽ABO ，此
为难点，将 AMD∽ ABO继续转化为证明
ABM∽ AOD,使用两边成比且夹角等
此处难点在证明 ABM AOD
温故而知新
~ 29 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
D O
A
C
D
O
ECE
BA
B
条件： OAB , OCD 均为等腰直角三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 90
③ OE 平分 AED （易忘）
O E
导角核心图形
A
B滴水Βιβλιοθήκη 石~2~锲而不舍经典模型系列手册
任意等腰三角形
D
D
O
CO
C
E
A
BA
B
条件： OAB , OCD 均为等腰三角形
且 AOB COD 结论：① OAC≌OBD ;② AEB AOB
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE 2OC
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
辅助线之一：作垂直，证明 CDM≌CEN
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。
掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。
本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
13. 平行四边形的面积和周长的求解：平行四边形的面积和周长的求解也是初中数学几何模型解题的重要内容，学生需要掌握相关公式及其应用。
69模型公式秒解初中几何 pdf
69模型公式秒解初中几何对于初中几何中的69模型，没有一个特定的公式可以直接秒解问题。
但是，我们可以掌握一些常用的几何模型和相关公式，以帮助解决与此相关的问题。
以下是几个常用的几何模型和公式：1.三角形的面积公式：三角形的面积可以通过底边长度与对应高的乘积再除以2来计算，即：面积=底*高/2。
2.直角三角形的勾股定理：直角三角形的边长之间满足勾股定理，其中a、b为直角边，c为斜边，满足：a^2+ b^2=c^2。
3.圆的周长和面积公式：圆的周长可以通过直径或半径来计算，即：周长=2*π*半径(C=2*π*r)。
圆的面积可以通过半径或直径来计算，即：面积=π*半径^2(A=π* r^2)。
4.矩形的周长和面积公式：矩形的周长可以通过长和宽的两倍之和计算，即：周长=2*(长+宽)。
矩形的面积可以通过长和宽的乘积计算，即：面积=长*宽。
5.平行四边形的面积：面积=底边长度*对应高6.等边三角形的高：高=边长*√3/27.等腰三角形的高：高=√(腰长^2-底边/2^2)8.三角形内角和定理：三角形内角之和为180°9.三角形的外角和定理：三角形的外角之和等于360°10.正方形的对角线长度：对角线长度=边长*√211.正方体的体积：体积=边长^312.立方体的表面积：表面积=6*边长^213.圆的弧长公式：弧长=弧度*半径14.圆的扇形面积公式：扇形面积=弧长/圆周长*圆的面积15.任意三角形的角度和定理：三角形的三个内角之和为180°。
16.直角三角形的中线定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半。
17.角平分线定理：角的平分线将对立的边分成相等的部分。
18.直角三角形的高：高=底边*正弦(对顶角)19.直角三角形的斜边与直角边的关系：斜边=直角边*正弦(斜边对应的锐角)20.正多边形的内角和定理：正n边形的内角和为(n-2)*180°，每个内角大小为[(n-2)*180°]/n。
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题专题
8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC +BD >AD +BC 。
模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB +BC +CD +AD >AC +BD ；（2）AB +BC +CD +AD <2AC +2BD .模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB +AC >BD +CD 。
模型实例如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO +BO +CO ）>AB +BC +AC ；105OO120D CBAODCBAODCBAOCB A（2）AB +BC +AC >AO +BO +CO .热搜精练1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD =CE 。
初中几何48个模型及35个解题技巧
初中几何48个模型及35个解题技巧嘿，同学们！今天咱就来聊聊初中几何的那 48 个模型和 35 个解题技巧。
这可真是个宝库啊！你想想看，几何就像是一个神秘的大迷宫，那 48 个模型就是迷宫里的一条条秘密通道，而 35 个解题技巧呢，就是打开这些通道大门的钥匙。
有了它们，我们就能在几何的世界里畅游无阻啦！比如说那个相似三角形模型，哎呀，就像找到了两个长得很像的“双胞胎”，它们之间的关系可有趣啦。
一旦你发现了它们，很多难题就迎刃而解了，这感觉不就跟发现了宝藏一样惊喜嘛！还有那个圆的模型，圆啊，就像一个神奇的魔法圈，里面藏着好多好多的秘密和技巧。
什么切线定理啦，圆周角定理啦，掌握了这些，就像是拥有了魔法力量，能轻松搞定各种圆相关的问题。
再说说那些解题技巧吧，就像是一个个小巧玲珑的工具，用对了就能事半功倍。
比如那个辅助线的技巧，有时候一条恰到好处的辅助线一画，哇塞，原本乱七八糟的图形一下子就清晰明了，难题瞬间变得简单起来，你说神奇不神奇？就好像你走路遇到了一堵高墙，正愁怎么过去呢，这时候突然发现旁边有个梯子，一下子就翻过去了，那种感觉，爽！而且啊，学习这些模型和技巧可不能死记硬背哦，得像和它们交朋友一样，去理解它们，熟悉它们。
就像你了解你的好朋友一样，知道他们的脾气、性格。
只有这样，在遇到问题的时候，你才能第一时间想起它们，让它们来帮你解决问题。
咱可不能小瞧了这些模型和技巧，它们可是我们在几何世界里披荆斩棘的利器啊！想想看，当你用这些模型和技巧轻松解决了一道又一道难题，那种成就感，那可不是一般的爽啊！是不是感觉自己就像个几何大侠，拿着这些秘密武器，在几何的江湖里闯荡，威风凛凛的！同学们，好好去探索这 48 个模型和 35 个解题技巧吧，相信我，它们会给你带来意想不到的收获和惊喜。
别犹豫啦，赶紧行动起来，让我们一起在初中几何的海洋里尽情遨游吧！这绝对会是一次超级棒的学习之旅，你准备好了吗？。
初中数学几何模型必不可少的几种类型，掌握...
初中数学几何模型必不可少的几种类型，掌握...
初中数学几何模型必不可少的几种类型，掌握好方法轻松解题。
所以家长朋友们赶紧收藏打印给孩子学习。
初中数学的重点不仅是几何问题，到了高中数学学习中几何也占很大比重，内容是循序渐进的，所以基础一定要打好。
全等三角形常见模型：平移型、轴对称型、旋转型、一线三垂直、一线三等角
相似三角形常见模型：“A”字型、“8”字型、“母子”型、双垂直型、一线三垂直、一线三等角
面积相关模型：阴影面积计算、反比例函数中的面积
角平分线常见模型
中点相关模型
线段最值模型
一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
如图7
二、和差法
1、直接和差法
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
如图8
2、构造和差法
构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
如图9
三、割补法
通过对图形的平移、旋转、割补、对称等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
初中孩子，从头到尾过一遍，肯定会对孩子的数学成绩有巨大的提升。
八大类几何模型+60种解题技巧
一、常见的八大类几何模型在解决几何题目时，我们经常会遇到一些常见的几何模型。
这些模型包括但不限于：直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直接相似三角形、等腰梯形、菱形、正方形和矩形。
1. 直角三角形直角三角形是一个内角为90度的三角形。
在求解直角三角形题目时，可以运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等方法。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。
在解决等腰三角形问题时，可以利用等角定理、等边角定理等。
3. 等边三角形等边三角形是指三边相等的三角形。
解决等边三角形问题时，可以利用等边三角形的性质，如高、中线等。
4. 直接相似三角形直接相似三角形是指对应角相等的两个三角形。
在对直接相似三角形进行解题时，可以利用相似三角形的性质，如边比例定理等。
5. 等腰梯形等腰梯形是指有两对对边相等的梯形。
解决等腰梯形问题时，可以运用梯形的性质以及各边的关系。
6. 菱形菱形是指四条边都相等的四边形。
在解决菱形问题时，可以利用菱形的性质，如对角线垂直平分、对角相等等。
7. 正方形正方形是指四条边相等且四个角均为直角的四边形。
解决正方形问题时，可以利用正方形的性质，如对角线相等、对角线垂直等。
8. 矩形矩形是指四边均为直角的四边形。
在解决矩形问题时，可以利用矩形的性质，如对角线相等、邻边互相垂直等。
二、60种解题技巧在解决几何题目时，我们还可以运用一些解题技巧来更快更准确地得出答案。
下面列举了60种解题技巧，以供参考。
1. 勾股定理2. 余弦定理3. 正弦定理4. 度角关系5. 弧度制下的两点间弧长相关关系6. 三角恒等变形7. 各角平分线8. 高度定理9. 中线定理10. 角平分线定理11. 等角定理12. 外角定理13. 内角定理14. 中位线定理15. 等腰三角形的性质16. 等边三角形的性质17. 相似三角形的三边对应比例关系18. 相似三角形的高度关系19. 相似三角形的边对应比例关系20. 相似三角形的面积关系21. 三角形高到底关系22. 三角形高乘底除以2的面积公式23. 三角形内切圆24. 三角形外接圆25. 正方形的性质26. 矩形的对角线关系27. 矩形的邻边互相垂直关系28. 长方形的面积公式29. 长方形的周长公式30. 菱形的性质31. 菱形对角线垂直平分32. 平行四边形的性质33. 平行四边形的对角线相等关系34. 平行四边形的对角互补35. 梯形的中位线关系36. 梯形的对角线垂直关系37. 梯形的高关系38. 圆的性质39. 圆周角的关系40. 圆心角的关系41. 切线关系42. 切线长定理43. 余弦定理的推广44. 余角关系45. 同位角关系46. 交叉线定理47. 锐角三角函数的关系48. 平行线夹角关系49. 余切函数的关系50. 同义形的面积公式51. 直角三角形斜边上的高52. 各角平分线角度关系53. 三角形中位线长度关系54. 三角形中位线平行长的关系55. 等角三角形三角函数的关系56. 三角形半周长乘外切圆内切圆面积关系57. 圆相关不等式58. 反证法59. 斜率性质60. 坐标系下平移关系解决几何问题时，首先要熟练掌握常见的八大类几何模型，然后灵活运用各种解题技巧，以便更加高效地解决问题。
几何模型解题秘籍
几何模型解题秘籍一、几何模型解题秘籍的那些事儿咱都知道，几何模型解题那可是有不少小窍门的。
就说三角形模型吧，等腰三角形，那可是有着特殊的性质。
等腰三角形两腰相等，两底角也相等。
比如说在一个等腰三角形ABC 里，AB = AC，那角B和角C肯定是相等的。
这时候如果知道了一个角的度数，就能算出其他角的度数了。
这在解题的时候特别有用，像那种求角度总和或者角度比例的题目，要是发现了等腰三角形这个模型，就可以轻松入手啦。
还有四边形模型呢。
矩形，四个角都是直角，对边还相等。
这性质在计算矩形的周长、面积或者证明一些线段关系的时候，那就是大宝贝。
比如说有个矩形ABCD，AB = 5，BC = 3，那周长就是2×(5 + 3)=16，面积就是5×3 = 15。
要是在复杂的几何图形里能识别出矩形这个模型，就能把复杂的问题简单化。
圆形模型也不能小看。
圆的半径、直径、圆周率之间的关系那可是基础中的基础。
圆的周长公式 C = 2πr，面积公式S = πr²。
要是有个圆，半径是4，那周长就是2×π×4 = 8π，面积就是π×4² = 16π。
在一些和圆形有关的组合图形里，比如圆和三角形组合，圆和矩形组合，把圆的这些基本性质搞清楚了，解题就会容易很多。
相似三角形模型也是很重要的。
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
要是有两个三角形相似，一个三角形的边长是3、4、5，另一个相似三角形的一条边是6，那根据相似比就能算出其他边的长度了。
这在解决一些比例问题或者间接求长度的题目里非常好用。
在做几何题的时候，我们得学会从复杂的图形里把这些几何模型找出来。
有时候可能要添加辅助线，让这些模型能更明显地呈现出来。
比如说在一个三角形里，要证明两条线段相等，可能通过添加辅助线构造出等腰三角形模型，然后利用等腰三角形的性质就能证明了。
还有就是要多做一些几何模型相关的练习题。
通过练习，我们能更熟练地掌握这些模型的性质和应用。
完整版)初中数学经典几何模型
完整版)初中数学经典几何模型初中数学经典几何模型（模型即套路），是初中数学里的重要部分。
在解决几何证明问题时，我们可以运用这些模型，从而更加高效地解决问题。
人们常说几何很困难，其中一个难点就在于辅助线的运用。
为了更好地运用辅助线，我们需要把握定理和概念，并且刻苦加钻研，找出规律凭经验。
在绘制图形时，我们可以利用角平分线向两边作垂线，或者将图形对折来寻找对称关系。
利用角平分线的平行线，我们可以构造等腰三角形。
同时，我们也可以尝试将角平分线加上垂线，从而将三条线合为一条。
线段垂直平分线时，我们可以将线段向两端延长或缩短来验证线段的倍数与半数关系。
在三角形中，连接两中点可以构造出中位线，同时延长中线也可以等于中线。
对于平行四边形，我们可以找到对称中心等分点。
在梯形中，我们可以利用高线平移一腰来解决问题。
同时，平行移动对角线，补成三角形也是常见的方法。
当证明相似时，我们可以通过比线段，添加平行线来构造相似三角形。
在等积式子比例换时，寻找线段也是很关键的。
直接证明有困难时，我们可以通过等量代换来简化问题。
在计算圆的相关问题时，我们可以利用半径与弦长计算，或者利用勾股定理来计算切线长度。
同时，在判断是否为切线时，我们可以通过半径垂线来进行辨别。
在解决相交圆的问题时，我们需要注意作公共弦。
对于内外相切的两个圆，我们可以通过切点来构造公切线。
同时，我们也可以利用连心线来确定切点。
在绘制图形时，我们需要注意勿改变虚线的位置。
基本作图也是很关键的，我们需要熟练掌握。
在解题时，我们需要多动脑筋，经常总结方法。
同时，我们也需要注意方法的灵活性，不要盲目乱添线。
在选用分析综合方法时，我们需要根据具体情况进行选择。
最重要的是，我们需要虚心勤学，加以苦练，才能在数学上取得更好的成绩。
斜边上作高线，比例中项一大片。
--。
在斜边上作高线，可以得到比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
--。
通过计算半径和弦长，可以得到弦心距。
学而思初中数学几何模型秘籍
且延长 AC 交 BD 与点 E
必有 BEC BOA
非常重要的结论，必须会熟练证明
滴水穿石
~4~
锲而不舍
经典模型系列手册
手拉手相似（特殊情况）
O
C
D
A
B
A
当 AOB 90 时，
D O
C E
B
除 OCD∽OAB OAC∽OBD 之外
还会隐藏 BD OD OB tan OCD AC OC OA
最短路程模型之一（将军饮马类）
A
A'
l1
PA+PB
B
PA
B
P
l
Q
l2 B'
B'
PA+PQ+BQ
A A'
A
B
A'
P
l1
PQ
l
Q
l2
AP+PQ+QB B' AP+PQ+QB
\
B
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定
滴水穿石
~ 30 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
最短路程模型之二（点到直线类）
A
A
H Q'
PC
P
垂线段最短
OQMB
条件：如右图① OC 平分 AOB
② M 为 OB 上一定点
③ P 为 OC 上动点
④ Q 为 OB 上动点
求： MP PQ 最小时， P 、 Q 的位置
辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q ' ，转化
初级中学数学几何模型秘籍
③
SOCE
SOCD
1 OC2 2
（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
滴水穿石
~8~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
AC
O D
EB F
以上三个结论：（辅助线之二）
① CD CE 不变
② OE OD 2OC （重点）
③
SOCE
SOCD
1 OC2 2
D O
A
C
D
O
ECEBAFra bibliotekB条件： OAB , OCD 均为等腰直角三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 90
③ OE 平分 AED （易忘）
O E
导角核心图形
A
B
滴水穿石
~2~
锲而不舍
经典模型系列手册
任意等腰三角形
D
D
O
CO
C
E
A
BA
B
条件： OAB , OCD 均为等腰三角形
且 AOB COD 结论：① OAC≌OBD ;② AEB AOB
温故而知新
~ 13 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
（全等型—任意角 ）
A
D
C
O
EB
条件：① AOB 2 , DCE 180 2 ② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ； ② OD OE 2OC cos
③ SODCE SOCD SOCE OC2 sin cos 难度较大，记得经常复习
满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 AD2 BC2 AB2 CD2
S ABCD
初中数学十大模型
初中数学中考总复习几何十大模型1、模型一：“12345”模型
2、模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
3、模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角
形
角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
4、模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
5、模型五：“将军饮马”模型
6、模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
7、模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
8、模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
9、模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
10、模型十：费马点。
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.相似三角形定理：两个三角形中，三个对应的角相等，对应的边成比例。
2.相等三角形的性质：两个三角形中，三边分别相等，或者两边分别相等且夹角相等。
3.三角形中，一个内角和一边：根据一个三角形角度和一边的已知信息，可以推导出其他角度和边的关系。
4.三角形的面积计算公式：可以根据底边和高的关系来计算三角形的面积。
5.正方形的性质：四个内角都是直角，四条边相等。
6.正方形的对角线：两条对角线相等且垂直。
7.矩形的性质：四个内角都是直角，对角线相等。
8.矩形的面积：可以通过长和宽的长度相乘计算矩形的面积。
9.菱形的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分。
10.菱形的面积：可以通过对角线的乘积除以2来计算菱形的面积。
11.平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
12.平行四边形的面积：可以通过底边长度乘以高来计算平行四边形的面积。
13.梯形的性质：有两条平行边。
14.梯形的面积：可以通过上底和下底的和乘以高除以2来计算梯形的面积。
15.直角三角形的性质：有一个内角是直角。
16.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。
17.直角三角形的正弦定理：直角三角形的斜边和对应的直角边之间的正弦值成比例。
18.直角三角形的余弦定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和减去两倍直角边的乘积。
19.直角三角形的正切定理：直角三角形的两个直角边的商等于对应的正切值。
20.平行线与横截线的性质：平行线与横截线之间的对应角相等。
21.平面镜映射的性质：物体与其镜像之间的对应角相等。
22.等腰三角形的性质：两个底角相等。
23.等边三角形的性质：三个内角都是60度。
24.角平分线的性质：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
25.外角的性质：外角等于其对应的内角的补角。
26.平面图形的旋转：点、线、图形按一定角度旋转后，与原来的点、线、图形相对应。
27.平行线的判定：两条直线的斜率相等即为平行线。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.了解基本图形的性质，如正方形、长方形、三角形、圆等。
2. 利用相似三角形或等比例线段解决问题。
3. 利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题。
4. 利用平移、旋转、翻转的性质解决问题。
5. 利用圆的性质解决问题，如切线定理、弦切角定理等。
6. 利用三角形内部角的性质解决问题，如角平分线定理、外角定理等。
7. 利用平行线的性质解决问题，如平行线截割定理、平行四边形性质等。
8. 利用角度的概念解决问题，如同位角、对顶角等。
9. 利用中垂线的性质解决问题，如中垂线定理等。
10. 利用重心的性质解决问题，如重心定理等。
11. 利用向量的概念解决问题，如向量的加减、数量积等。
12. 利用相交线的性质解决问题，如对角线定理、相交弦定理等。
13. 利用相似形的性质解决问题，如面积比、周长比等。
14. 利用三角形的中线、角平分线、高线等性质解决问题。
15. 利用角度的平分线定理、角的外接圆等性质解决问题。
16. 利用正方形、长方形、菱形等图形的性质解决问题。
17. 利用圆锥、圆柱、圆台等图形的性质解决问题。
18. 利用立体几何的性质解决问题。
19. 利用等比例线段的性质解决问题，如中线定理等。
20. 利用三角形的外心、内心、垂心等点的性质解决问题。
21. 利用连线的性质解决问题，如割线定理等。
22. 利用三角形的面积公式解决问题。
23. 利用数学归纳法解决问题。
24. 利用解析几何解决问题。
25. 利用三角函数解决问题。
26. 利用平行四边形的性质解决问题。
27. 利用平面向量的性质解决问题。
28. 利用勾股定理的推广形式解决问题。
29. 利用相似三角形的性质解决问题，如三线共点定理等。
30. 利用相似形与等比例线段的性质解决问题。
31. 利用垂直线的性质解决问题，如垂心定理等。
32. 利用圆的弧长、扇形面积等性质解决问题。
33. 利用三角形的周长、面积等性质解决问题。
34. 利用对称和旋转的性质解决问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
温故而知新
~ 13 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
（全等型—任意角 ）
A
D
C
O
EB
条件：① AOB 2 , DCE 180 2 ② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ； ② OD OE 2OC cos
③ SODCE SOCD SOCE OC2 sin cos 难度较大，记得经常复习
~ 12 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
C A
O D
E
F
B
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
E
C
B
CB
条件：①平行四边形； ABCD ② BC 2AB ；
③ AM DM ；④ CE AD
结论： EMD 3MEA
辅助线:有平行 AB∥CD ，有中点 AM DM 延长 EM ，构造 AME≌DMF ，连接 CM 构
造等腰 EMC , MCF
通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
辅助线之二：过点 C 作 CF OC 证明 ODC≌FEC
温故而知新
~7~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A MC
N O
D
EB
以上三个结论：（辅助线之一）
① CD CE 不变
② OE OD 2OC （重点）
（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
温故而知新
~9~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
A
D
C
O
EB
细节变化：若将条件“ OC 平分 AOB ”与结
论“ CD CE ”互换
条件：① AOB DCE 90
② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ；
② OD OE 2OC
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
滴水穿石
~ 10 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
（全等型—120°）
A
C
D
OE
B
条件：① AOB 2DCE 120
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE OC
③ SODCE SOCD SOCE
3 OC2 4
请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明
结论：① AE DE ；② AED 2ABO
辅助线：延长 DE 至 M ，使 ME DE ，将结 论的两个条件转化为证明 AMD∽ABO ，此
为难点，将 AMD∽ ABO继续转化为证明
ABM∽ AOD,使用两边成比且夹角等
此处难点在证明 ABM AOD
温故而知新
~ 29 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
最短路程模型之一（将军饮马类）
A
A'
l1
PA+PB
B
PA
B
P
l
Q
l2 B'
B'
PA+PQ+BQ
A A'
A
B
A'
P
l1
PQ
l
Q
l2
AP+PQ+QB B' AP+PQ+QB
\
B
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定
滴水穿石
A
D
C
O
EB
CDE CED COA COB 相 等 是 如
何推导
温故而知新
~ 19 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
角含半角模型(90°)
A
DA
D
F
F
B E C GBE C
条件：①正方形 ABCD ；② EAF 45 结论：① EF DF BE ② CEF 周长为正方形 ABCD 周长一半 也可以这样： 条件：①正方形 ABCD ；② EF DF BE 结论：① EAF 45 口诀：角含半角要旋转
且延长 AC 交 BD 与点 E
必有 BEC BOA
非常重要的结论，必须会熟练证明
滴水穿石
~4~
锲而不舍
经典模型系列手册
手拉手相似（特殊情况）
O
C
D
A
B
A
当 AOB 90 时，
D O
C E
B
除 OCD∽OAB OAC∽OBD 之外
还会隐藏 BD OD OB tan OCD AC OC OA
满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 AD2 BC2 AB2 CD2
S ABCD
1 2
AC
BD
（对角线互相垂直四边形）
温故而知新
~5~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
模型三：对角互补模型 （全等型—90°）
A
AM
D
CD
C
N
O
E BO
EB
条件：① AOB DCE 90
~ 30 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
最短路程模型之二（点到直线类）
A
A
H Q'
PC
P
垂线段最短
OQMB
条件：如右图① OC 平分 AOB
② M 为 OB 上一定点
③ P 为 OC 上动点
④ Q 为 OB 上动点
求： MP PQ 最小时， P 、 Q 的位置
辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q ' ，转化
经典模型系列手册
模型一：手拉手模型—全等 等边三角形
O A
D
C E BA
O D
E C
B
条件： OAB , OCD 均为等边三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 60
③ OE 平分 AED （易忘）
O A
O E BA
D
C E B
温故而知新
~1~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
等腰 RT
倍长中线类模型
A
D
F
A
D
F
B
CE
HB
E
H
条件：①矩形 ABCD ；② BD BE
③ DF EF
结论： AF CF
模型提取：
①有平行线 AD∥BE ②平行线间线段有中点 DF EF 可以构造 8 字全等 ADF≌HEF
滴水穿石
~ 24 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
倍长中线类模型
A
M
DA
M
F
D
E
滴水穿石
~ 20 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
角含半角模型(90°)
A
D
C EB
F
条件：①正方形 ABCD ；② EAF 45
结论：① EF DF BE
辅助线：
A
D
A
D
C EB
F
EB
C
F
温故而知新
~ 21 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
角含半角模型(90°)
A
A
F
BD E C BD E C
小转化
温故而知新
~ 25 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
相似三角形 360 度旋转模型（倍长中线法）
C DF
C
G DF
A
BA
B
E
E
条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角
② EF CF
结论：① DF BF ；② DF BF
辅助线：延长 DF 到点 G ，使 FG DF ，连
接 CG 、 BG 、 BD 证明 BDG 为等腰直角
突破点： ABD≌CBG
难点：证明 BAD BCG
滴水穿石
~ 26 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
相似三角形 360 度旋转模型（补全法）
C
C
G
DF
DF
A
BA
E
B E
H
条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角 ② EF CF
结论：① DF BF ；② DF BF 辅助线：构造等腰直角 AEG 、 AHC 辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EH
滴水穿石
~ 14 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A C
O
B
E
D
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
∴ EF CE CF tan （关键步） DO CD CO
温故而知新
~ 17 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
∴结论①得证 ∴ EF OD tan
∵ (OE EF) cos OC
∴结论②得证