数字信号处理复习试题知识点(第一章到第四章)

0 1 0 2 0 2 m=1级,分成二组,每组系数为 WN / 2 , WN / 2 WN , WN W8 , W8 0 1 2 3 0 1 2 3 m=2级,分成一组,每组系数为 WN ,WN ,WN ,WN W8 ,W8 ,W8 ,W8
(3) W 因子的分布
r N
由上可知： m 0级，W m 1级，W
j 0 j 2 N
10、CZT运算量与直接运算量比较
CZT 共需复乘次数为： 3 5 N L log 2 L L M 2 直接计算X ( zk )需要 NM 次复数乘法
当M、N足够小时，直接算法运算量少。 但M、N值比较大时（大于50），CZT算法比 直接算法的运算量少得多。 例M=50，N=50，N*M=2500次
x(5)
x(6) x(7)
X(5) X(3)
W80 W80
W82 0 N / 2 1 其中旋转因子，共有WN WN
X(7)
2.直接利用FFT流图方法的推 导
N 1 1 * nk 对它取共轭：x＊ ( n) X ( k ) W N N k 0 1 N 1 * nk * x ( n) [ X (k )W N ] (取共轭再取共轭） N k 0 1 {DFT [ X * (k )]}* 此为DFT可用FFT程序 N N 1 nk 与X ( k ) x(n)W N 比较 n 0
i 0
（1）x(n)为分段，每段长为p点，p选择与 M数量组相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.
重叠相加法
重叠保留法
（ 1 ）先将x(n)分成几个短序列xi (n)， 每段长度为N点，M为短序列的长度； 这样分段后，应在每一段的前边 再补上前一段保留下来的( M 1)个输入序列值， 组成L点短序列L N M 1，准备进行圆卷积。 而对第一段，由于没有前一段保留信号， 则需要在它前边填充M 1个零值点。 （2）计算N点FFT H (k ) DFT [h(n)] X i (k ) DFT [ xi (n)] (3)相乘 Yi (k ) H (k ) X i (k )
3、圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的性质对比
L圆周卷积长度，N1 N 2 1线性卷积长度 L N1 N 2 1时，L点圆周卷积能代表线性卷积 〈 L N1 N 2 1时，n=0到n=N-L-1处混叠， 即圆周卷积和线性卷积不同的点 n=N-L到n=L-1为圆周卷积和线性卷积相同的点
二、FFT算法中一些概念
按时间抽取法解过程的规律。


1.原位运算（in-place)
2.码位倒读规则，乱序输入，顺序输出
（1）“级”概念 将N 点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点 DFT…直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级 运算。 因为N=2M所以N点DFT可分成M级 依次m=0,m=1….M-1共M级
四种付里叶变换形式的归纳
二、DFS定义


设~ x (n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正变换 2 N 1 N 1
j nk ~ ~ ~ X (k ) DFS [ x (n)] x (n)e N ~ x (n)WNnk n 0 n 0
k 2
k 0 W W
0 2 0 4
0 8 1 4 0 8 2 8 3 8
k 4 k 8
k 0， 1 W ，W W ，W
0 8 1 8 2 8 k 2 m1 m
m 2级，W
k 0， 1,2,3 W ，W ,W ，W , k 0,1 2 1
看出：第m级的系数为W
结论：每由后向前（m由M-1-->0级）推进一 级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。
1 x ( n) N
nk X ( k ) W N k 0
N 1
可知：只须将频域成份一个求共轭变换，即（1）将X(k)的虚部乘 以-1，即先取X(k)的共轭，得X*(k)。(2)将X*(k)直接送入FFT程序 即可得出Nx*(n)。(3)最后再对运算结果取一次共轭变换，并乘以 常数1/N，即可以求出IFFT变换的x(n)的值。
（2）“组”概念
每一级都有N/2个蝶形单元，例如：N=8,则每级 都有4个蝶形单元。每一级的N/2个蝶形单元可以分 成若干组，每一组具有相同的结构，相同的 WNr 因子 分布，第m级的组数为：
N 2 m 1
例：N=8=23，分3级。
0 0 0 W W W m=0级,分成四组,每组系数为 N /4 2 8
6、说明3
(3) 0：表示两相邻z k 之间角频率差。 （即z 0 ~ z1 , z1 ~ z 2 ,) 它可以是正值或负值。 当 0为负时，表示z k的路径是顺时针旋转。 当 0为正时，表示z k的路径是逆时针旋转。
6、说明4
(4)当满足下面特殊条件： （a) : M N j 0 (b) A A0 e 1, 即A0 1 0 0 e , 2 2 即 0 1。 0 （N等分）时， M N 此时z k 为均匀分布在单位园上， 即由CZT变换求出该序列DFT。 (c) 0 e
第四章 快速傅立叶变换(FFT)
一、直接用DFT计算的运算量与用FFT计算的运 算量比较，减少运算量的途径
直接用DFT 计算的运算量： 复乘N 2次，复加N （N 1 ）次。 用FFT 计算的运算量： N 复乘 log 2 N次, 复加N log 2 N次。 2 减少运算量的途径： （ 1 ）合并法 （2）分解法
3.用CZT求解DFT的流图
x ( n)
g ( n)
h( n) W
n2 2
Hale Waihona Puke Baidu
n2 2
G (k )
X (zk )
A n

k2 2
6、说明1
（1）A为起始样点位置
j 0
A A0 e , A0：为起始样点半径， 0：为起始样点相角（可正可负，为角频率） 通常A0 1，表示在园内
4、奇偶虚实关系表
四、频域抽样理论

长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的 条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列 长度M, 即满足N≥M.此时可得到
r
~ x N ( n) x N ( n) R N ( n)

x(n rN )R

N
( n) x ( n)
表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用 它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽 样值精确地表示.
一、四种不同的傅立叶变换对 傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的傅里叶变换。 连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续频率的傅里叶变换。 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散频率的傅里叶变换
n 0
N 1
j
2 nk N
x(n)W
n 0
N 1
nk N

1 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )e N k 0
反变换
N 1
2 j nk N
x(k )W
k 0
N 1
nk N

X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知 其中一个序列就能确定另一个序列。
(4)计算N点IFFT y i (n) IDFT [Yi (k )] (5)由于每段圆周卷积结果的前( M 1)个点 不等于线性卷积的值，必须舍去。 再把各相邻输出段留下来的序列衔接起来， 就构成了最后的正确输出。 y (n) y i [n i ( L M 1)]
第三章 离散傅立叶变换（DFT）
五、DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题


混 叠 现 象: 频谱泄漏 栅栏效应
1、混 叠 现 象




利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠 失 真, 要求满足抽样定理， 即奈奎斯特准则： fs≥2fh 其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条 件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束. 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度的 倒 数, 即 Tp = 1 / F 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系为 F = fs / N ≥2fh /N
N 1 j 2 nk N

反变换

其中:
1 x(n) IDFS[ X (k )] X (k )e N k 0
1 N 1 X (k )WN nk N k 0
WN e
2 j N
三、DFT
1、定义 正变换
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
三、一个完整N=8的按DIT时间抽取FFT的
运算流图
x(0)
x(4) x(2) x(6) x(1) m=0 X(0) X(1)
m=1
m=2
W80
W80 W82 W80 W
1 8
X(2) X(3) X(4) X(5) X(6)
W
W80
0 8
0 8
x(5)
x(3) x(7)
W80 W
2 8
W
2 8 3 8
2、DFT性质
时移特性 已知 DFT[x(n)]=X(k) 则 DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k) 频移特性 设频域N点，有限长序列X(k)

IDFT [ X (k ) x(n)
则
IDFT [ X ((k l )) N RN (k )] W x(n)
ln N



混 叠 现 象的结论 由F = fs / N ≥2fh /N 看出： 在 N 给 定 时, 为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs , 必 然 导 致 F 增 加, 即 频 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F, 则 导 致 减 小fs, 最 终 必 须 减 小 信 号 的 高 频 容 量. 以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定 的 条 件 下 得 到 的. 所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F 参 数 中, 保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 办 法, 就 是 增 加 记 录 长 度 内 的 点 数 N, 即 fh 和 F 都 给 定 时, 则 N 必 须 满 足 N ≥2fh /F 这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下， 为实现基本DFT算法所必须满足条件。
W 0 N / 2 1 其中旋转因子，共有WN WN
W
X(7)
一个完整N=8的按DIF频率抽 取FFT的运算流图
x(0)
x(1) x(2) x(3) x(4) m=0 m=1 m=2 X(0)
W80 W82 W80 W81 W82 W83
W80
X(4) X(2) X(6) X(1)
W
W80
0 8
6、说明2
（2）zk是z平面一段螺线上的等分角上某一 采样点。
k 0 j ( 0 k 0 )
z k A0 e 其中 0：为螺线的伸展率。 它的大小控制着围线盘旋是向内弯曲还是向外弯曲 0 1 : 随着k的增加，围线（螺线）盘旋向外弯曲 0 1 : 随着k的增加， 围线（螺线）盘旋向内弯曲（向原点盘旋） 0 1：表示半径A0的一段园弧， 若A0 1，这段园弧则是单位园上的一部分。
而CZT<1600次。

（ 1 ）计算L点DFT x(n) ip n (i 1) p 1 x i ( n) 0 (i 1) p n L 1 h ( n ) 0 n M 1 h( n) 0 M n L 1 计算L点DFT X i (k ) DFT [ xi (n)], H (k ) DFT [h(n)] (2)相乘：Yi (k ) H (k ) X i (k ) (3)计算L点IFFT y i (n) IFFT [Yi (k )] (4)将各段y i (n)重叠部分相加起来：y (n) y i (n) xi (n)长度为p点，而y i (n)长度为p m 1点， 相邻两段输出序列有（M 1 ）点重叠。