2019届江苏省百校联考数学试卷 word版

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2019届江苏省高2016级高三百校联考数学试卷及答案

2019届江苏省高2016级高三百校联考数学试卷★祝考试顺利★考生注意：1.本试卷共200分。

考试时间150分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

―、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.设全集 U=R ，集合 A={0<2|2x x x -}，B={0>|x x }，则集合=)(CuB A ▲ .2.设复数z 满足i i z 21)2(-=+ (i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ .3.已知双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的一条渐近线经过点（1，2)，则该双曲线的离心率为 ▲ .4.各项均为正数的等比数列{n a }中，n S 为其前n 项和，若13=a ，且225+=S S ，则公比q 的值为 ▲ .5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调査数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 8人，则n 的值为 ▲ . 6.根据如图所示的伪代码，输出I 的值为 ▲ .7.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2,3的三名运动员，乙队有编号为1，2,3,4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛,则出场的两名运动员编号相同的概率为 ▲ .8.函数)23ln(x x y -=的定义域为▲ .9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤-+01201022y x y x y x ，则21++=y x z 的取值范围是▲ .10.将函数x x f sin )(=的图象向右平移3π个单位长度后得到)(x g y =函数的图象，则函数)()(x g x f 的最大值为 ▲ .11.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近Q 的三等分点，且三棱锥A 1一AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,的体积为 ▲ . 12. 在面积为26的△ABC 中，32=⋅，若点M 是AB 的中点，点N 满足NC AN 2=，则CM BN ⋅的最大值是 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)1(22=-+y x 及点A(3，0)，设点P 是圆C 上的动点，在△ACP 中，若∠ACP 的角平分线与AP 相交于点Q(n m ,)，则22n m +的取值范围是 ▲ .14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧++=0>x x,-lnx 0<,2161)(2x x a x x f ，若关于z 的方0)()(=-+x f x f 在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共计90分。

江苏省百校联考2019-2020学年高一上学期第三次考试数学试题

绝密★启用前江苏省百校联考2019-2020学年高一上学期第三次考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．cos1830o 的值为（） A ．12-B ．C ．12D ．22．下列表示正确的是（） A ．{0}∅⊆B ．{}a a ⊆C ．{}{,}a a b ∈D ．{0}=∅3．若4α=-，则角α的终边在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列各组函数中，与()||f x x =表示同一函数的是（）A ．()(0)g x x x =≥B ．,0,(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩ C ．()g x =D ．,0,(),0x x g x x x ≤⎧=⎨->⎩5．设A B ⊆，A C ⊆，其中{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，则满足题设的集合A 的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()2f x x =，则()()()()2f f f f L L的值为（）A ．82B ．92C ．102D ．1127．若一扇形的圆心角为108︒，半径为10cm ，则扇形的面积为（） A ．230cm πB ．260cm πC ．25400cmD ．210800cm8．已知函数1,3()lg(3),30101,0x x f x x x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪->⎩，若(1)2f a -=，则实数a =（）A ．1B ．lg 3C ．lg30D ．lg3009．先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为（） A ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 10．已知函数()()()F x f x f x =+-，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-()12x x ≠，设()5log 5a F =-，1lg3b F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c F -=-，则（） A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<11．对于函数()xf x k a =⋅（k ∈R ，0a >且1a ≠），下列说法：①当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数；②函数()f x 满足()()()f x f y k f x y =⋅+；③函数()f x 可能具有奇偶性；④当0k >时，对于任意的12,x x R ∈，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①②③④D ．③④12．在平面直角坐标系xOy 中设点()11,A x y ，()22,B x y ，定义：1212(,)d A B x x y y =-+-.已知点(0,0)O ，()1,P a a-，1322,R a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1322,S a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)a >，且(,)3d O P =，则(,)d R S =（）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．()f x=的定义域是．14．已知sin cos3sin cosαααα+=-，则tanα的值为_____.15．已知6log2a=，612b=，则2(1)a ba+-的值为______.16．已知函数311()(1)332x xf x x--+=-+-+，实数,a b满足()()4f a f b+=，则2(1)a b+-的最小值为______.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a-≠.（1）求cosα的值；（2）设0a>，角β的终边与角α的终边关于y x=对称，求cosβ的值. 18．已知集合{}2|(1)0,A x x a x a a R=-++≤∈，集合|2sin3xB xπ⎧=≥⎨⎩. （1）若[1,6]A B⋃=，求a的值；（2）若A B A=I，求a的取值范围.19．已知函数()y f x=是R上的奇函数，且当0x>时，()|2|f x x x=-.（1）求函数()y f x=在R上的表达式；（2）画出函数()y f x=的图象，并写出单调减区间；（3）若(1)(1)f a f+<，求实数a的取值范围.20．已知函数()(0)6f x xπωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；（3）若()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 21．某超市花费3万元购进一批同规格的月饼，进价为a 元/盒.上架销售前发现有10盒包装损坏而不能出售，若能将余下的月饼按高出进价50元/盒全部售出，则可最终获利8000元.（1）超市共购进该规格的月饼多少盒？（2）现进行促销活动若顾客一次性购买总价不低于600元的月饼，可在总价的基础上优惠b 元但不得低于促销前总价的9折，求b 的最大值. 22．已知函数()22x x f x a -=⋅+，其中a 为实数. （1）试确定函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】【分析】利用诱导公式将cos1830o 中的角度转换成30o 即可. 【详解】()cos 360cos1830530cos30=︒⨯+︒=︒=o 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式,属于基础题型. 2．A 【解析】【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：对于选项A ，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即{0}∅⊆，即A 正确，对于选项B ，{}a a ∈，即B 错误，对于选项C ，{}{,}a a b ⊆，即C 错误，对于选项D ，{0}≠∅，即D 错误，故选：A. 【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题. 3．B 【解析】【分析】变换得到()4224αππ=-=-+-，根据242πππ<-<得到答案.【详解】()4224αππ=-=-+-，242πππ<-<，故角α的终边在第二象限.故选：B . 【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简单题. 4．B 【解析】【分析】先求出()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，再由同一函数的定义即可判定.【详解】解：由()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，即,0(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩与函数()f x 为同一函数，故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，重点考查了同一函数的判断，属基础题. 5．D 【解析】【分析】由{}0,1B C ⋂=，则由题意有A ⊆{}0,1，再求解即可. 【详解】解：因为{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，又A B ⊆，A C ⊆，又{}0,1B C ⋂=，则A ⊆{}0,1，则集合A 的个数为224=，故选：D. 【点睛】本题考查了集合子集的个数，重点考查了集合的运算，属基础题. 6．D【分析】由2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=，【详解】解：因为()2f x x =，则2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=，依此类推即可得解. 依此类推可得()()()()112210f f f f f=L L个，故选：D. 【点睛】本题考查了函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题. 7．A 【解析】【分析】由角度制与弧度制的互化可得扇形的圆心角为35π，再结合扇形的面积公式212S R θ=求解即可. 【详解】解：由扇形的圆心角为108︒，化为弧度制，即扇形的圆心角为35π，由扇形的面积212S R θ=可得，该扇形的面积为2213103025S cm ππ=⨯⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查了角度制与弧度制的互化，重点考查了扇形的面积公式，属基础题. 8．C 【解析】【分析】利用分段函数中的三个区间分别讨论对(1)2f a -=进行求解即可.当13a -≤-时,(1)2f a -=显然无解.当310a -<-≤时,(1)2f a -=有lg(31)22100,98a a a +-=⇒+==不满足310a -<-≤.当10a ->时,(1)2f a -=有113101211lg30lg30a a a a --=⇒-=⇒=-=⇒满足10a ->.故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型. 9．A 【解析】【分析】由三角函数图像的伸缩变换及平移变换求解即可. 【详解】解：先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的函数为sin 2y x =，再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-，故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩变换及平移变换，属基础题. 10．B 【解析】【分析】由题意可得函数()F x 为偶函数且在()0,∞+为增函数，再结合11014lg 3<<<即可得解. 【详解】解：由()()()F x f x f x =+-，所以()()F x F x =-，即函数()F x 为偶函数，又对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-，则函数()F x 在()0,∞+为增函数，则()5log 5(1)a F F =-= , 1lg3b F ⎛⎫=⎪⎝⎭，()212()4c F F -=-=，又11014lg 3<<<，所以c a b <<，故选：B. 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的应用，属中档题. 11．C 【解析】【分析】由函数的单调性及奇偶性可得①③正确，由指数的运算可得②正确，由重要不等式的应用可得④正确. 【详解】解：对于①，当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数，即①正确；对于②，2()()xyx yf x f y k a k a k a+=⋅⋅⋅=，2()x yk f x y k a+⋅+=，即()()()f x f y k f x y =⋅+，即②正确；对于③，当0k =时，()0f x =，函数既是奇函数，由是偶函数，即③正确，对于④，()()121212121222())0222x x x x x x f x f x x x a a f k a k a+++++⎛⎫-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12x x a a =，即12x x =时取等号，即④正确，综上可得①②③④均正确，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性及奇偶性，重点考查了重要不等式的应用，属中档题. 12．D 【解析】【分析】由定义可得13a a -+=，又21112221a aa a ---=+-=，3311122221a aa aa a ----=-++4=，运算即可得解.【详解】解：已知点(0,0)O ，()1,P a a-，由定义可得1(,)3d O P a a-=+=，又0a >，所以13a a -+=，又2111222321a aa a ---=+-=-=，所以11221a a--=则3311122221a aa aa a ----=-++112244a a-=-=，所以11332222(,)145d R S a a a a --=-+-=+=，故选：D. 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属中档题. 13．（0,2）【解析】试题分析：21log 0x ->，得02x <<．故定义域为(0,2)．考点：函数的定义域．【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．14．2【解析】【分析】将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解. 【详解】解：由sin cos 3sin cos αααα+=-，等式左边分子、分母同时除以cos α得： tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=，故答案为：2.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.15．1【解析】【分析】由6log 2a =，则62a =，又612b =，所以1b a =+，再代入运算即可得解.【详解】解：由6log 2a =，则62a =，又612b =，所以1b a =+，所以2(1)a b a +-=2(1)(1)1a a a ++-=，故答案为：1.【点睛】本题考查了指数与对数形式的互化，重点考查了指数幂的运算，属基础题.16．34【解析】【分析】由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，可得()(2)4f x f x +-=，则有2a b +=，消a 可得2233(1)4()2a b b =-++-，得解. 【详解】解：由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，则331111(1)()(2)(1)333344x x x x f x f x x x ---+-+-=-+---++=+，又实数,a b 满足()()4f a f b +=，则2a b +=，所以22233333(()241)4b b b a b =-+=-+≥+-，当且仅当13,22a b ==时取等号，故答案为：34. 【点睛】本题考查了函数的性质的应用，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.17．（1）当0a >时，4cos 5α=-，当0a <时，4cos 5α=；（2）35 【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求解即可，注意讨论0a >与0a <；（2）角α的终边经过点(4,3)P a a -，又角β的终边与角α的终边关于y x =对称，则角β的终边经过点(3,4)Q a a -，再利用三角函数的定义求解即可.【详解】解：（1）因为4x a =-，3y a =，所以5||(0)r a a ==≠，当0a >时，44cos 55x a r a α-===-；当0a <时，44cos 55x a r a α-===-. （2）因为角α的终边经过点(4,3)P a a -，由角β的终边与角α的终边关于y x =对称可得，角β的终边经过点(3,4)Q a a -，又0a >，则5||5r a a ===，故33cos 55x a r a β===. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.18．（1）6；（2）[1,2]【解析】【分析】（1）由{|1626,}B x k x k k Z =+≤≤+∈，[1,6]A B ⋃=，得[1,2]B =，即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解，代入运算即可得解；（2）由集合的运算可得A B ⊆，再分别讨论当1a =时，当1a >时，当1a <时，求解即可.【详解】解：（1）{}2|(1)0,{|()(1)0,}A x x a x a a R x x a x a R =-++≤∈=--≤∈，|2sin {|1626,}3x B x x k x k k Z π⎧=≥=+≤≤+∈⎨⎩. 因为[1,6]A B ⋃=，所以0k =，故[1,2]B =，即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解，从而(6)(61)0a --=，所以6a =.此时，[1,6]A =，满足[1,6]A B ⋃=.所以实数a 的值为6.（2）因为A B A =I ，所以A B ⊆.当1a =时，{|(1)(1)0}{1}A x x x =--≤=，因为1{|1626,}x k x k k Z ∈+≤≤+∈，满足A B ⊆，故1a =适合；当1a >时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x x a =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x x a x x ≤≤⊆≤≤，所以12a <≤；当1a <时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x a x =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x a x x x ≤≤⊆≤≤，所以1a =，与1a <矛盾，所以不存在这样的实数a .综上，实数a 的取值范围是[1,2].【点睛】本题考查了集合的运算及集合的关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.19．（1）2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）图像见解析，(2,1)--和(1,2)；（3）a <0a ≠ 【解析】【分析】（1）由函数()y f x =为奇函数，则()()f x f x -=-，再结合当0x >时()f x 的解析式求解即可；（2）由2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，再作出其图像即可；（3）结合函数的性质可得11a +<+11a +≠，再求解即可.【详解】解：（1）因为函数()y f x =是R 上的奇函数，()()f x f x -=-，当0x =时，(0)(0)f f =-，则(0)0f =；当0x <时，0x ->，()()|2|()|2|()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以()|2|f x x x =+.故当x ∈R 时，2,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩（2）函数()y f x =的图象如图，单调减区间为(2,1)--和(1,2).（3）因为(1)(1)f a f +<，结合（2）得，(1)(11f f =+=，故11a +<+11a +≠，解得a <0a ≠.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，重点考查了函数的图像及利用函数的性质解不等式，属中档题.20．（1）2；（2）最小值-，512x π=；最大值3，0x =；（3）1916 【解析】【分析】（1）由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可；（3）由已知有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.（2）()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 取得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最大值3.（3）因为()262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2111()44=+-- 1916=. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题. 21．（1）200盒；（2）60【解析】【分析】（1）先阅读题意，设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩，再运算即可得解；（2）由题意设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼，由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10m b ≤，再结合m 的范围求解即可. 【详解】解：（1）设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩解得200x =，150a =.答：超市共购进该规格的月饼200盒.（2）设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼，由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10m b ≤. 又min6010m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以60b ≤，故b 的最大值为60.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力，属中档题.22．（1）当1a =时，偶函数；当1a =-时，奇函数；当1a ≠且1a ≠-时，无奇偶性；（2）4a ≥；（3）20a -<< 【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断(),()f x f x -的关系即可；（2）由函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，则当当121x x -≤<时，()()120f x f x -<恒成立，求a 的范围即可；（3）令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点等价于方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，再求解即可. 【详解】解：（1）函数()22x x f x a -=⋅+的定义域为R ，当1a =时，()22x x f x -=+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，所以函数()f x 为偶函数.当1a =-时，()22x x f x -=-+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=-+=-=-，所以函数()f x 为奇函数.当1a ≠且1a ≠-时，因为155(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫-+=+++=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数；因为133(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是偶函数.综上，当1a =时，函数()f x 为偶函数；当1a =-时，函数()f x 为奇函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()f x 无奇偶性.（2）因为函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，所以对任意的12,[1,)x x ∈-+∞，当12x x <时，()()()()1122122222x x x x f x f x a a ---=⋅+-⋅+()121212222222x x x x x x a -=⋅--⋅()121212202x x x x a +⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. 又因为2x y =为单调递增函数，1222x x <，即12220x x -<，所以1212x x a +>，由12142x x +<，故a 的取值范围为4a ≥.（3）函数()2log sin 1y f x =-()22log sin log sin 221x x a -=⋅+-1sin 1sin a x x =⋅+-，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则11y at t =+-，由函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，知函数11y at t=+-在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，即方程110at t+-=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的实根，故方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，当0a =时，有唯一实根1，不适合.当0a ≠时，由210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，知2()1g t at t =-+在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，当102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，得2a =-，即两个零点为1-和12，不适合；当(1)0g =时，a 不存在.当140a ∆=-=，即14a =时，有唯一的零点2，不适合；当1(1)02g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，(2)0a a +<，即20a -<<，适合.综上，a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，重点考查了利用函数的单调性求参数的范围及函数的零点问题，属综合性较强的题型.。

江苏省2019年2月百校大联考高三数学试卷含附加题(附答案)

高三数学试卷考生注意：1.本试卷共200分。

考试时间150分钟。

2.请将各题答案填在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．。

1．已知{}0,2,4,6A =，{}2,34,5B =,，则A B =I ．2．若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ． 3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数为人． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为．5．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s ，黄灯时间为3s ，绿灯时间为60s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．6．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的最大值是．7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为．B8．已知函数2,1(),1x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩ ，则不等式2()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是．9．双曲线的两个焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正方形12F F MN ，且此双曲线恰好经过边1F N 和2F M 的中点，则此双曲线的离心率为．10．已知平行于x 轴的直线与函数()sin (0π)f x x x =<<分别交于点M ，N ，设点(π,0)A ，梯形OMNA 的面积为S （O 为坐标原点）．设点M 的横坐标为0x ，0π02x <<，当S 取得最大值时，00tan x x +的值为．11．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线l ：30(0)x ay a +-=>，过直线l 上一点P 作圆O 的切线，切点为,M N ，且23PM PN =uuu r uuu r g ，则正实数a 的取值范围是．12．在斜三角形ABC 中，112tan 0tan tan C A B++=，则t a n C 的最大值是．13．在平面凸四边形ABCD 中，AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uuu r，且2A E B E ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为．14．已知{}n a 为各项均为正整数的等差数列，127572a a +=，且存在正整数m ，使1a ，14a ，m a 成等比数列，则所有满足条件的{}n a 的公差的和为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）设向量(cos ,sin )θθ=m ，sin cos )=θθn ，3(π,π)2θ∈--，若12⋅=m n ．（1）求πsin()4θ+的值；（2）求7πcos()12θ+的值．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，AB BC ⊥，1BC BB ⊥，11AB A B ==，1BB（1）证明：1A B P 平面1AC D ；（2）证明：1A B ⊥平面ABC ．17．（14分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n A ；（3）设n S 为数列{}2n a 的前n 项和，若对于任意n *∈N ，有123n b n S t +=⋅，求实数t 的值．如图所示，有一块镀锌铁皮材料ABCD ，其边界AB ，AD 是两条线段，4AB =米，3AD =米，且AD AB ⊥．边界CB 是以AD 为对称轴的一条抛物线的一部分；边界CD 是以点E 为圆心，2EC =米为半径的一段圆弧，其中点E 在线段AD 上，且CE AD ⊥．现在要从这块镀锌铁皮材料ABCD 中裁剪出一个矩形PQAM （其中点P 在边界BCD 上，点M 在线段AD 上，点Q 在线段AB 上），并将该矩形PQAM 作为一个以PQ 为母线的圆柱的侧面，记该圆柱的体积为V （单位：立方米）．（1）若点P 在边界BC 上，求圆柱体积V 的最大值；（2）如何裁剪可使圆柱的体积V 最大？并求出该最大值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，点A 到焦点的距离为2，右准线方程为x = （1）求椭圆方程；（2）点C 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点C 作CD y ⊥轴于D ，E 为线段CD 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点F ，点G 为线段BF 的中点．求∠OEG 的大小；（3）点,,P M N 为椭圆上三点，且,PM PN 的斜率之积为14-，求,M N 的横坐标之和．设函数32()ln(1)f x ax x b x =-++，其中0b ≠．（1）若0a =，12b =，求()f x 在[]1,3上的最大值；（2）若23a =-，()f x 在定义域内为减函数，求实数b 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n ≥N 时，不等式311ln n n n n+->恒成立．高三数学试卷附加题21．（10分）已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量．22．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是,3x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（10分）如图，在三棱锥A BCD -中，△ABD ，△BC D 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 的中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD λ的值．24．（10分）设n 为正整数，定义11()k k k k k n kn k k n P x x C x C x C ++=++⋅⋅⋅+，其中1k n ≤≤．（1）求220(1)P 的值；（2）当2k n ≤≤时，证明：111(1)()()k k n k n n n x P x xP x x C -++-=-．（3）求21()2nn P 的值．高三数学试卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

2019届江苏省百校联考高三数学试题(含全解析)

答案 8 3 2 6 3
uuur uuur 由任意三角形面积公式与 AB AC 2 3 构建关系表示 | AB|| AC| ，再由已知与平面向量
的线性运算、平面向量数量积的运算转化
uuur uuuur BN CM ，最后由重要不等式求得最值 .
解：
由 △ABC的面积为 6 得 1 | AB|| AC|sin ∠ BAC= 6 ，
集合 B 的补集 eU B { x | x 1} ，则 A (eU B) { x | 0 x 1}
故答案为： (0,1]
点评：
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题
.
2
2
2．已知双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一条渐近线经过点
为 _______.
(1,2) ，则该双曲线的离心率
答案 5
绝密 ★启用前
2019 届江苏省百校联考高三数学试题
注意事项： 1 、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 、请将答案正确填写在
答题卡上一、填空题
1．设全集 U R ，集合 A
x | x2 2x 0 ， B { x | x 1} ，则集合
A (eU B) ______.
解：
由题可知，集合 A中 x2 2x 0 x x 2 0 0 x 2
由题可构建如图所示的图形，因为 AQ是 ACP 的角平分线，由角平分线成比例定理可
AC AQ 2
知
AP PQ 1
uuur uuur AQ 2PQ , 所以 AQ 2PQ .
uuur
uuur
设点 Q m, n ，点 P x, y ，即 AQ m 3, n , PQ
x m, y n ，

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷(一)数学试卷

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷（一）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】由题意得：则本题正确结果：2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为_____．【答案】2【解析】为纯虚数本题正确结果：3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】为上的奇函数又本题正确结果：9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r 的最大值为____．【答案】8【解析】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．证明：（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．解：（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC 和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．解：（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．解：（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．解：（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．解：以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为23.设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．解：（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个。

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷(二)数学试卷

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷（二）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合1，，集合，则______．【答案】【解析】由集合A={0，1，2}，集合B={-1，1}，又对于集合B中的元素，-1∉A，1∈A且1∈B，所以=．2.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意，要使有意义，则满足，解得，所以该函数的定义域为．故答案为：．3.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期为，故答案为：．4.命题“，”的否定是______命题填“真”或“假”【答案】，【解析】试题分析：“，”的否定是，5.已知，，则______．【答案】【解析】由题意，因为，，所以，则，故答案为：．6.函数在点处切线的斜率为______【答案】【解析】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，故答案为：．7.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值等于______．【答案】【解析】由题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则，即，，所以，故答案为：．8.已知函数且，则______【答案】-15【解析】由题意，因为，可得，又由，两式相加得，则，故答案为：9.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，函数，可得，函数在区间单调递增，则在区间恒成立，，，由，可得．故答案为：．10.已知函数是定义在R上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．【答案】4【解析】函数是定义在上的偶函数，，，令，可得，则则，，是以为周期的函数，，则故答案为11.已知函数和函数的图象交于A，B，C三点，则的面积为_．【答案】【解析】由题意，函数和函数的图象，如图所示，可得，，令，解得，所以．故答案为：．12.已知，则方程的根的个数是______．【答案】5【解析】由题意，根据函数的解析式，可得或，即舍去或或；若，则或，故舍去或或；若，则或，故或或；故方程共有5个解，故答案为：5．13.已知三次函数，，对于任意，均有且存在唯一，满足，则______【答案】-3【解析】，，即，又存在唯一满足，必为二次函数，且最大值为，即，，，，，故答案为.14.若不等式对恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】根据，有，由于，所以，没有最小值，所以不符合；令，，故当时取得最大值为，故.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知，为钝角且，．求的值；求的值．解：（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．16.已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数在上有极值，若是真命题，求实数a的取值范围．解：若命题命题p：的值域为R，为真命题，则能取遍所有大于0的数，即，解得或，命题q：函数在上有极值，为真命题，，有实根，，解得，或，是真命题，，q至少要有一个为真命题，若p真，q假，则，解得，若p假，q真，则，解得，若p真，q真，则，解得，综上所述或17.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，，OB与OM之间的夹角为．Ⅰ将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数．Ⅱ若，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？精确到解：Ⅰ由题意可知，点M为的中点，所以．设OM于BC的交点为F，则，．．所以，．Ⅱ因为，则．所以当，即时，S有最大值．．故当时，矩形ABCD的面积S有最大值．18.已知函数，．函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；讨论函数的单调性；当时，证明：不等式成立其中，，解：由题意，求得函数的导数，则，解得；，①当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；③当时，在上恒成立，即在上单调递减；④当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；设，则，在上单调递减，又，在上恒成立，即，，则．19.已知函数，，其中若函数，存在相同的零点，求a的值若存在两个正整数m，n，当时，有与同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．解：=，∴，，由得，由得或或，经检验上述的值均符合题意，所以的值为，，，；(2)令，则，∵为正整数，∴即，记，令即的解集为，则由题意得区间.①当时，因为，故只能，即或，又因为，故，此时.又，所以.当且仅当即时，可以取，所以，的最大整数为；②当时，，不合题意；③当时，因为，，故只能无解；综上，的最大整数为，此时的取值范围为．20.已知函数，．求函数的单调增区间；若函数有三个互不相同的零点0，，，其中．若，求a的值；若对任意的，都有成立，求a的取值范围．解：（1）由题意，求得函数的导数，当，即时，恒成立，在R上单调递增；当时，令，解得，的解集为，即的单调增区间为，；由题意可知，，，解得，；由题意可知，，，．若，即时，在上恒成立，且，符合题意；当时，设，则，当时，，，，，整理得，即，解得，又，．。

2019届江苏省百校联考高三数学试题(解析版)

2019届江苏省百校联考高三数学试题
一、填空题
1．设全集，集合，，则集合 ______.
【答案】
【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
2．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
3．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.
【答案】
【解析】将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
【答案】（1）；（2） .
【解析】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
12．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

2019年江苏省高三百校大联考试卷-11页文档资料

2019年江苏省高三百校大联考试卷语文整理录入：青峰弦月本试卷共8页。

满分150分，考试用时150分钟。

★祝你考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

一、语言文字运用（15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分）（）A．殷红／殷切纤夫／纤尘不染下载／载誉而归强词夺理／生性倔强B．创伤／重创模仿／装模作样曾祖／曾经沧海点头应允／应答如流C．粘粥／粘贴揣度／置之度外悄悄／悄寂无声舆论哄然／一哄而散D．朝晖／朝觐逐渐／熏陶渐染剥削／瘦削不堪日积月累／连篇累牍2．下列各句中，没有语病的一句是（3分）（）A．中国农业大学教授何慧丽因到北京替兰考农民卖大米，而成为全国新闻人物，虽然她曾离开过兰考两年，但她在兰考乡村建设上的工作一直没有停息。

B．市残联为培养残疾青少年的自强意识和肢体康复训练，挑选了十余名5周岁到16周岁的脑瘫、肢体残疾青少年，对他们进行了有针对性的系统训练。

C．房地产市场从年初“试探性抄底”到年中“放量大涨”，从年底“恐慌性抢购”到国务院出手四道遏制高房价的“金牌”，使新年楼市生态顿时大变。

D．国家领导人运用手机信息系统，向百万基层党组织书记和大学生村官发短信，使基层干部在第一时间收到了来自中央的声音。

3．下面是关于反倾销税的新闻与相关知识，请提取反映反倾销税发生过程的四个关键词语。

（不超过20个字）（4分）（一）最近，美国商务部宣称，经调查证实，中国制造商和出口商在美销售的油井管价格低于正常水平，决定对多家中国公司征收36．53％-99．14％的反倾销税。

江苏省2019届高三百校联合调研测试(一)数学试题及答案

0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距江苏省2019届高三百校联合调研测试（一）数学试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．已知集合{|21}x A x =>,{|1}B x x =<,则A B = ．2．复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．4．某算法的伪代码如图所示,若输出y 的值为1,则输入x 的值为．5．已知双曲线2214x y b-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________.6．已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=________.7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是． 9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为10．函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为．11．如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2014x End If Print y （第4题）CQ BP ∙的最大值为．12. 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥．若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是．13. 已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知实数1x y ≤≤且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．且()2A f =，a =，求角A 、B 、C 的大小．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用22(14sin )20(sin )6060t t y x x ππ=-++（t 为时间参数，x 的单位：m ）来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴。

江苏省2019届五月百校联考数学试卷数学试卷含答案

江苏省2019届五月百校联考数学试卷数学试卷考生注意：1.本试卷共200分.考试时间150分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集U R =，集合{}2|20A x x x =-<，{|0}B x x =>，则集合()A CuB ⋂=______.2.设复数z 满足(2)12z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的模为______.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为_______. 4.各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若31a =，且522S S =+，则公比q 的值为_____.5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为______.6.根据如图所示的伪代码，输出I 的值为______.7.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.8.函数()ln 32x x y =-的定义域为______.9.设,x y 满足约束条件22010210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则12x z y +=+的取值范围是______. 10.将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度后得到()y g x =函数的图象，则函数()()f x g x 的最大值为______.11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 上靠近Q 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -，的体积为____. 12.ABC △中，AB AC ⋅=u u u r u u u r M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =u u u r u u u r ，则BN CM ⋅u u u r u u u u r 的最大值是______.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=及点A ，设点P 是圆C 上的动点，在ACP △中，若ACP ∠的角平分线与AP 相交于点(,)Q m n的取值范围是_______.14.已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于z 的方()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说朋、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PAD △为等边三角形，,M N 分別是, AB AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：CM ⊥平面PNB ；（2）设点E 是棱PA 上一点，若PC P /平面DEM ，求:PE EA 的值.16.在ABC △中，4ABC π∠=，D 是边BC 上一点，且5AD =，35ADC ∠=.（1）求BD 的长；（2）若ABC △的面积为14，求AC 的长.17.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点2⎛ ⎝⎭，且离心率12e =，过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，线段MN 的中点为H ，记直线, , OH AM AN 的斜率分别为012,,k k k ，求证：120k k k +为定值. 18.如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且OH =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，及圆弧CD 都是学校道路，其中CE OM P ，DF ON P ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB △区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB d ∠=，AOB △的面积为2Skm ..（1）求S 关于0的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB △面积S 为最小，政府投资最低？19.已知函数2()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a ∈R.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学 (江苏卷) word版

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，bcos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n n n n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.y =8.16 9.10 10.4 11.(e, 1)13.1014.1,34⎡⎢⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+，所以Q（4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB =，因为当3n ≥时，n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

2019-2020学年江苏省“百校大联考”高三(上)第二次考试数学试卷(10月份)-普通用卷

2019-2020学年江苏省“百校大联考”高三（上）第二次考试数学试卷（10月份）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，若A∩B={2}，则实数a的值为______．2.函数y______．3.“实数m=-1”是“向量______的条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空）．4.0，+∞）上是单调递减函数，则整数m的取值为______．5.tan（π-α）的值是______．6.设向量，，均为单位向量，且______．7.个单位长度后关于原点对称，=______．8.已知函数______．9.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，cos C的值为______．10.设函数f（x）=e x-e-x+1，则不等式f（2x2-1）+f（x）＜2的解集为______11.对任意的x∈（0，+∞a的取值范围是______．12.如图所示，P，Q两点（可与A，B两点重合）是在以AB为直径的上半圆弧上的两点，且AB=4，∠PAQ=60°______．13.已知直线l与曲线y=sin x l与曲线y=sin x的图象交于点B（β，sinβ），若α-β=π，则tanα的值为______．14.4个不等的实根，则实数a的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知m为实常数．命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0；命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16.（1）求函数f（x）的单调递增区间；（217.在△ABC中，点D为边AB的中点．（1）若CB=4，CA=3（2△ABC的形状．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，在线段AB上取一点M，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B恰好落在矩形的左边AD边上．设折痕所在直线与BC交于N点，记折痕MN的长度为l，翻折角∠BNM为θ．（1）探求l与θ的函数关系，推导出用θ表示l的函数表达式；（2）设BM的长为xcm，求x的取值范围；（3）确定点M在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19.（1）当x∈[1.5]，且a≥0时，试求函数f（x）的最小值；（2a的取值范围．20.已知函数f（x）=x3-3x2+px+q，其中p，q∈R．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求p，q的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）若函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n），对任意的x∈[m，n]，不等f（x）≤14+p恒成立，求p的取值范围．答案和解析1.【答案】2【解析】解：∵集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，∴a=2，或a+1=2，当a=2时，B={2，3}，A∩B={2}，成立；当a+1=2时，a=1，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；综上，实数a的值为2．故答案为：2．由集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，得到a=2，或a+1=2，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】（1，2]【解析】解：∴0＜x-1≤1，解得1＜x≤2，故答案为（1，2]．由函数的解析式可得0＜x-1≤1，由此解得x的范围，即为所求．本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．3.【答案】充分必要【解析】∴3m-（m-2）=0，解得m=-1．“实数m=-1故答案为：充分必要．利用向量共线定理、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】1【解析】0，+∞）上是单调递减函数，∴m2-2m＜0，解得0＜m＜2，则整数m的取值为1，故答案为：1．根据幂函数的定义和单调性即可求出m的值．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.【答案】-2【解析】解：∴-2cosα=-sinα，可得tanα=2，∴tan（π-α）=-tanα=-2．故答案为：-2．由已知利用诱导公式可得-2cosα=-sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】90°【解析】解：∵θ，1+2×1×1×cosθ+1=2，求得cosθ=0，∴θ=90°，故答案为：90°．由题意利用两个向量的数量积的定义，夹角．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．7.【解析】得到y=sin[2（x+φ]=sin（2x+φ-此时函数关于原点对称，则φkπ，k∈Z，则φ=kπ，∵|φ|＜∴当k=0时，则f（x）=sin（2x（2×）=sin根据三角函数的平移关系，求出函数的解析式，结合原点对称求出φ的值，即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．8.【答案】9【解析】解：∵f+2=f（）+4=f（）+6=f（-）+8=sin（-）+8=9．故答案为：9．f+2=f+4=f+6=f（+8=sin（+8，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【解析】A∈（0，π=ca cos B，得tan B=，B∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B，故答案为：利用三角形面积公式和数量积由已知条件得到角B，之后利用cos C=-cos（A+B）即可得解．此题考查了数量积和三角形面积，两角和公式等，难度不大．10.【答案】{x【解析】解：令g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，∵f（x）=e x-e-x+1=g（x）+1，∵f（2x2-1）+f（x）＜2，∴g（2x2-1）+1+g（x）+1＜2，∴g（2x2-1）+g（x）＜0，∴g（2x2-1）＜-g（x）=g（-x），∴2x2-1＜-x，故答案为：{．构造函数g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，然后结合已知不等式可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是构造函数g（x）且灵活利用函数的性质．11.【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】解：对任意的x∈（0，+∞令f（x）=ln x-x，x＞0，可得：f′（x）∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）≤f（1），f（1）=-1，∴f（x）的最大值为-1．-1，解得a∈（-∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．由导数求出函数的单调区间，由单调性求出函数的最大值本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】[0，4]【解析】，两个向量的夹角是定值，建立直角坐标系如图：当Q与B重合时，P（1是最大值，当P与A是数量积的最小值，[0，4]．故答案为：[0，4]．判断Q的位置以及P的位置，通过向量的数量积的表达式，然后求解数量积的范围．本题考查向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．13.【解析】解：设y=f（x）=sin x，则f′（x）=cos x，所以l的斜率k=f′（α）=cosα，所以切线l方程为：y-sinα=cosα×（x-α），又知道直线l与曲线y=sin x的图象交于点B，所以sinβ-sinα=cosα•（β-α），因为α-β=π，所以β=α-π，所以sin（α-π）-sinα=-πcosα，即2sinα=πcosα，所以根据题意求出切线方程，又切线过B点，则B点坐标满足切线方程，再将β用α表示即可得到结果．本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，考查了诱导公式，属于基础题．14.【解析】设t=f（x），则t＞1时，t=f（x）有1个根，当t=1时，t=f（x）有2个根当0＜t＜1时，t=f（x）有3个根，当t=0时，t=f（x）有1个根，4个不等的实根等价为t2-2at+a2（m∈R）有2个相异的实数根t1，t2满足的情况如下：，a或综上，则实数a的取值集合为（，）将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.【答案】解：（1）命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0，p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，由y=x2+x在x∈（1，2）递增，可得x2+x的值域为（2，6），则2＜m＜6，可得m的范围是（2，6）；（2）命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数，q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，即有m[1，2]恒成立，由1]，可得m命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，可得p，q中一真一假，若p真q2＜m＜6；若p假q m综上可得，m的范围是（-∞，]∪（2，6）．【解析】（1）p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，运用二次函数的单调性，即可得到所求范围；（2）考虑q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，运用参数分离和反比例函数的单调性，求得最小值，可得m的范围，由复合命题的真值表可得p，q中一真一假，得到m的不等式组，解不等式即可得到所求范围．本题考查复合命题的真假，以及方程有解的条件和含参函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）f（x），由k∈Z，k∈Z，故f（x）的增区间为[，k∈Z．（2，=，=k∈Z，，或k∈Z，，或=sin2π=0，0．【解析】（1）利用数量积得到f（x），通过三角变换化简，利用三角函数的单调区间列不等式求解即可；（2）把所给条件化为三角函数方程，求得角α，代入所求正弦值结合周期性可解．此题考查了向量数量积，三角变换，三角求值等，难度不大．17.【答案】解：（1）∵D为AB的中点，=；（ⅡAC|2化简得|AB|2=|AC|2+|BC|2，故△ABC为直角三角形．【解析】（1）利用D（2）把，再利用数量积结合余弦定理转化为三边关系，确定三角形为直角三角形．此题考查了向量数量积，余弦定理等，难度适中．18.【答案】解：（1）设顶点B翻折到AD边上的点B′，则由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，因为l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l即l与θ的函数表达式为l由题意得θ∈（0l sinθ≤6，所以，又由l cosθ≤12，可知θ∈；（2）x=l（1+tan2θ），当θ∈时，tanθ∈1]，解得x≤6，则x的取值范围是6]，；（3）S设g（θ）=sinθcos2θ，则g′（θ）=cosθ（cos2θ-2sin2θ）=cosθ（1-3sin2θ）=cosθ（）（），当g′（θ）=0时，θ=θ1，当g′（θ）＞0时，sinθ＜g（θ当g′（θ）＜0时，sinθg（θ）单调递减，此时θ所以，g（θ）≤g（θ1），S≥BM=3（1+tan2θ）=2，所以，当BM=2时，翻折后重合部分的三角形面积最小．【解析】（1）由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，根据AB=AM+BM，列出l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l（2）x=l（1+tan2θ），根据θ范围求出x范围即可；（3）S本题考查三角函数模型的是实际应用，涉及求解析式，利用导数求最值等知识点，属于中档题．19.【答案】（1）①当a=0时，，f（x）单调递减，∴f（x）min=f（5）=-5+ln5，②a＞0时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，综上：当a≥0（2）①当a=-1f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x＞1时，f（x）+1-＞f（1）+1-，不符合题意，②当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1）和（+∞）上单调递增，在（1减，∵-1＜a＜0，得，4-3+ln4+0＞0，不符合题意，③当a＜-1时，f（x）在（，1）上单调递减，f（x）f（1），不符合题意，④当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f（x）f（1），符合题意，综上：实数a的取值范围是[0，+∞）．【解析】（1）求出f（x）的导数f'（x），得出a≥0时，f（x）在[1，5]上单调递减，求出f（x）的最小值为f（5）；（2）分类讨论，求出f（x）转化为f（x）的最值问题进行求解．本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，分类讨论是本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）f'（x）=3x2-6x+p，由题意可知切线斜率f'（1）=-1，且f（1）=2，∴p=q=2；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则x1+x2=2∴f（x1）+f（x2）==2p+2q-4=2（p+q-2），∴f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）由函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n）得q=0，且x2-3x+p=0的两个根为m，n，∴f'（x）=3x2-6x+p=0有两个不等实根，不妨设为u，v（u＜v），0＜m＜v＜n，函数f（x）在[m，v]上单调递减，在[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，则f（x）≤0≤14+p恒成立，②当p∈（-∞，0）时，m＜u＜0＜v＜n，f（x）在[u，v]上单调递减，在[m，u]和[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，f'（u）=3u2-6u+p=0f'（u）=3u2-6u+p=0∴f（x）max=f（u）=u3-3u2+pu=u（u2-3u+p）≤14+p （*）t＞3*）式化简得3＜t≤6，∴-9≤p＜0，【解析】（1）求出f'（x），由题意f'（1）=-1，且f（1）=2，解出即可；（2）由f'（x）=0得韦达定理，利用等差中项定义即可证出；（3）由题意有f（0）=f（m）=f（n）=0，得q=0，且f'（x）=0有两个不等实根，设为u，v，分类讨论得出f（x）的最大值，再代入到不等式进行求解．本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，本题中（3）计算量较大，计算时须格外小心．。

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷(四)数学试卷

2019届江苏省百校联盟新高考原创终极提分信息卷（四）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U＝{x|1<x<6，x∈N}，A＝{2，3}，则∁U A＝________．2. 若复数z满足z(1＋i)＝1，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在第________象限．3. 已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S的值为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1，则x ＋3y 的最小值为________．6. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．7. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x>0，则f(log 23)＝________． 8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N *.若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值为________．9. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋π6)，其中ω>0.若x 1，x 2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π，则当x ∈[0，π2]时，f(x)的最小值为________． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12. 已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c·(a ＋2b )＝－5，则|c|的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是________． 14. 已知函数f(x)＝12x 2－aln x ＋x －12，对任意x ∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx 恒成立时实数m 的最大值为1，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足acos B ＋bcos A ＝ccos A cos C. (1) 求证：A ＝C ；(2) 若b ＝2，且BA →·BC →＝1，求sin B 的值．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°.(1) 求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2) 设平面PBC ∩平面PAD ＝l ，求证：BC ∥l.如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到地面的距离PQ 为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C 上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(1，22)，离心率为22.A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；(3) 过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且点D 在线段OA 上(不包括端点O ，A)，直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．已知函数f(x)＝ln x ＋a x＋1，a ∈R . (1) 若函数f(x)在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2) 记g(x)＝f(x)＋ax ，若函数g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围； (3) 当a ＝0时，关于x 的方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．已知数列{a n}的前n项和为S n.若存在正整数r，t，且r<t，使得S r＝t，S t＝r同时成立，则称数列{a n}为“M(r，t)数列”．(1) 若首项为3，公差为d的等差数列{a n}是“M(r，2r)数列”，求d的值；(2) 已知数列{a n}为等比数列，公比为q.①若数列{a n}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求q的值；②若数列{a n}为“M(r，t)数列”，q∈(－1，0)，求证：r为奇数，t为偶数.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112. (1) 求M 2；(2) 求矩阵M 的特征值和特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ＋π3)＝1，以极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α＋2，y ＝rsin α－1(其中α为参数，r>0)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的值．C. (选修45：不等式选讲)若x ，y ，z 为实数，且x 2＋4y 2＋9z 2＝6，求x ＋2y ＋6z 的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)及点M(2，0)，动直线l过点M 交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.(1) 求p的值；(2) 若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23. 对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3，且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．(1) 求f(3)，f(4)的值；(2) 求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．2019届高三模拟考试试卷(南京)数学参考答案及评分标准1. {4，5}2. 四3. 304. 345. －56. 257. 348. 69. －1 10. 2 11. 1412. 57713. 210＋2 14. (－∞，1]15. (1) 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，代入acos B ＋bcos A ＝ccos A cos C，得(sin Acos B ＋sin Bcos A)cos C ＝sin Ccos A ，(2分) 即sin(A ＋B)cos C ＝sin Ccos A.因为A ＋B ＝π－C ，所以sin (A ＋B)＝sin C ，所以sin Ccos C ＝sin Ccos A ．(4分) 因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A.因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C.(6分)(2) 解：由(1)知A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a2.(8分) 因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3.(10分)所以cos B ＝13.(12分) 因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.(14分) 16.证明：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以PA ⊥AC.(2分) 因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3.(4分) 因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB.(6分)因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA平面PAB ，AB 平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB.又AC 平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为BC ∥AD ，AD平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(10分) 因为BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l.(14分)17. 解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34或k ＝0(舍去)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0.(4分) 点C(160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36.(6分) 在Rt △CHM 中，因为CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12.(8分) 因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，(12分) 所以所用时长为30×2π32π＝10 min.(13分) 答：该游客能看到点B 的时长为10 min.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2分) (2) 由(1)知B(0，－1)，设M(x 0，y 0)，P(x ，y)．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2.因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0 ①.(4分)因为M 在椭圆C 上，所以x 202＋y 20＝1，将①代入上式，得x 20＝23.(6分) 所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △PAB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263.(8分) (3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设D(0，m)，0＜m ＜1，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x ＋m.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m 3，x 1·x 2＝2m 2－23. (10分) 直线MB 的方程为y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝（y 1＋1）x 2＋（y 2－1）x 1（y 1＋1）x 2－（y 2－1）x 1.(12分) 将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m （x 1＋x 2）＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m （x 2－x 1）＝2·2m 2－23－4m 23＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝－43＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝1m.(14分) 所以OD →·OP →＝(0，m)·(x P ，y P )＝my P ＝m·1m＝1.(16分)(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设M(x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1. 因为直线MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x －x 0＋y 0，则D(0，y 0－x 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4（x 0－y 0）3，(10分)所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1，直线MB 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，联立解得y P ＝2y 20＋x 20＋x 0＋2y 02y 20－x 20－x 0y 0－2x 0＋2y 0.(12分) 因为x 202＋y 20＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0（2＋x 0＋2y 0）（y 0－x 0）＝1y 0－x 0，(14分) 所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1.(16分) 19. 解：(1) f′(x)＝1x －a x 2，则f′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f(x)＝ln x －1x＋1，此时f(1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2.(2分)(2) g(x)＝f(x)＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x)＝1x －a x 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2. ①当a ＝0时，g ′(x)＝1x ＞0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值．(4分)②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2.设函数m(x)＝ax 2＋x －a(x ＞0)，(i) 若a ＞0，当x 2∈(0，12)时，m(0)＝－a ＜0，m(12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23. 此时当x ∈(0，x 2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；当x ∈(x 2，12)时，m(x)＞0，则g(x)递增，当x ＝x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．当x 2≥12时，x ∈(0，12)，m(x)＜0，则g(x)在(0，12)上单调递减，无最小值．(6分) (ii) 若a ＜0，当x ∈(0，x 2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值．(8分)(3) 当a ＝0时，由方程f(x)＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0.记h(x)＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h′(x)＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x. ①当b ≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．(10分)②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x)＞0，所以函数h(x)递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x)＜0，所以函数h(x)递减，则h(x)max ＝h(12b )＝ln 12b ＋12. 要使方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，则h(12b )＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e 2.(12分) (i) 当0＜b ＜e 2时，h(1e )＝－b e 2＜0. 又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22be 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h(x 1)＝0.(14分) (ii) h(1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k(b)＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e 2. 因为k′(b)＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，e 2)上为减函数，则k(b)max ＝k(1)＝0，则h(1b )≤0. 又(1b )2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b ＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h(x 2)＝0. 综上，当0＜b ＜e 2时，方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根．(16分) 20. (1) 解：因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r.由S r ＝2r ，得3r ＋r （r －1）2d ＝2r.因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)．由S 2r ＝r ，得6r ＋2r （2r －1）2d ＝r.因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)．由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.(2分)(2) ①解：(i) 若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)．由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1.(3分) (ii) 当q ≠1，因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ，即a 1（1－q r ）1－q ＝2r (*)，a 1（1－q 2r ）1－q＝r (**)．由(*)和(**)，得q r ＝－12.(5分) 当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132.综上，q ＝－12或q ＝－132.(6分) ②证明：因为{a n }是M(r ，t)数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1（1－q r ）1－q ＝t ，且a 1（1－q t ）1－q＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r，即r(1－q r )＝t(1－q t )．(8分) (i) 若r 为偶数，t 为奇数，则r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )．因为r ＜t ，0＜1－|q|r ＜1，1＋|q|t ＞1，所以r(1－|q|r )＜t(1＋|q|t )，这与r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )矛盾，所以假设不成立．(10分)(ii) 若r 为偶数，t 为偶数，则r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )．设函数y ＝x(1－a x )，0＜a ＜1，则y′＝1－a x －xa x ln a.当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x(1－a x )在(0，＋∞)上递增．因为r ＜t ，所以r(1－|q|r )＜t(1－|q|t )，这与r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )矛盾，所以假设不成立．(12分)(iii) 若r 为奇数，t 为奇数，则r(1＋|q|r )＝t(1＋|q|t )．设函数y ＝x(1＋a x )，0＜a ＜1，则y′＝1＋a x ＋xa x ln a.设g(x)＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g′(x)＝a x ln a(2＋xln a)．令g′(x)＝0，得x ＝－2ln a.因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g ′(x)＞0，则g(x)在区间(－2ln a，＋∞)上递增；当0＜x ＜－2ln a ，g ′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－2ln a)上递减，所以g(x)min ＝g(－2ln a )＝1－a －2ln a. 因为－2ln a ＞0，所以a －2ln a＜1, 所以g(x)min ＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以y ＝x(1＋a x )，0＜a ＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r ＜t ，所以r(1＋|q|r )＜t(1＋|q|t )，这与r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )矛盾，所以假设不成立．(14分)(iv) 若r 为奇数，t 为偶数．由①知，存在等比数列{a n }为“M(1，2)数列”．综上，r 为奇数，t 为偶数．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.(4分) (2) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f(λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)①当λ＝1时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(8分) ②当λ＝3时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －y ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) B. 解：直线l 的直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2分)曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2.(4分)因为圆心C(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，(6分) 所以r ＝d 2＋（AB 2）2＝ 3.(10分) C. 解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z)2.(4分) 因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z)2≤36，(6分)所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6.当且仅当x 1＝2y 1＝3z 2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23或 x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，(8分) 所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6.(10分)22. (1) 解：因为l 过M(2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1.(2分)(2) 证明：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2），消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.(4分) 因为点C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1的方程为y ＝1k.(6分) 因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝1k ，y ＝－1k （x －2），(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P(1，1k )，所以点P 在定直线x ＝1上．(10分)23. (1) 解：在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以 f(3)＝1.(2分)在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以 f(4)＝2.(4分)(2) 证明：当n ≥5且n ∈N *时，当最后3位是010时，前n －3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n －3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n －2位形成的字符串中是子串“010”是在第n －2位出现，此时不满足条件．所以 f(n)＝2n －3－f(n －2)，n ≥5且n ∈N *.(6分)因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n ＋1)是3的倍数．①当n ＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n ＝k(k ∈N *)时，f(4k ＋1)是3的倍数，那么当n ＝k ＋1时，f(4(k ＋1)＋1)＝f(4k ＋5)＝24k ＋2－f(4k ＋3) ＝24k ＋2－[24k －f(4k ＋1)]＝3×24k ＋f(4k ＋1)．(8分)因为f(4k ＋1)是3的倍数，且3×24k 也是3的倍数，所以f(4k ＋5)是3的倍数．这就是说，当n ＝k ＋1时，f(4(k ＋1)＋5)是3的倍数．由①②可知，对任意的正整数n ，f(4n ＋1)是3的倍数．(10分)。

江苏省2019年百校大联考高三数学试卷(解析版)

江苏省2019年百校大联考高三数学试卷考生注意：1.本试卷共200分。

考试时间150分钟。

2.请将各题答案填在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1．已知{}0,2,4,6A =，{}2,34,5B =,，则A B =I ．答案：{}2,4 考点：集合的运算。

解析：取集合A ，B 的即可，所以，A B =I {}2,42．若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ．答案：－1考点：复数的概念与运算。

解析：(1i)(1i)z a =+-＝1＋(1)a a i +-，由纯虚数，知：1010a a +=⎧⎨-≠⎩，所以，a =－1 3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数为人．答案：760 考点：分层抽样。

解析：设男生抽了x 人，则女生抽了（x －10）人，则 x ＋x －10＝200，解得：x ＝105，所以，女生抽了95人，女生人数为：952001600÷＝760 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为．答案：145考点：算法初步，等差数列的前n 项和公式。

解析：第1步：I ＝1，S ＝1；第2步：I ＝4，S ＝5；第3步：I ＝7，S ＝12；…… S ＝1+4+7+……+28＝145。

5．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s ，黄灯时间为3s ，绿灯时间为60s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．答案：512考点：古典概型。

解析：遇到红灯的概率为：P ＝454554536010812==++。

6．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的最大值是．答案：23考点：线性规划。

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