求展开式系数的类型及最大最小项

求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*

∈+N n b a n 型

例1．10()x -的展开式中64

x y 项的系数是( ）

（Ａ)8４0 （B)－84０ （C)210 （Ｄ）－２10

解析:在通项公式1r T +=1010()r

r r C x -中令r =4,即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为

4410(C =840,故选A 。

例2．8)1(x

x -

展开式中5x 的系数为 。

解析:通项公式r r r

r r

r r x

C x

x

C T 2

388

88

1)1()1(--+-=-

= ，由题意得52

3

8=-

r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(2

82=-C 。

评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*

∈+±+N m n d c b a m

n

型 例３．8

43)1()2(x

x x x +

+-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析;342()x x -的通项公式为341241442()()

(2)r

r r

r r r r T C x C x x

--+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得

342()x x -的展开式中的常数项为33

4

2C -＝－32， 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，

则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为4

8C ＝70,故843)1()2(x

x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4.在6

5

)1()1(x x ---的展开式中,含3

x 的项的系数是（ )

(Ａ)5- (B) 5 (C ） 10- (D ） 1０

解析:5)1(x -中3x 的系数35C -=10-， 6)1(x --中3

x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的

展开式中3

x 的系数为10,故选D 。

评注:求型如),()()(*

∈+±+N m n d c b a m

n

的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、),()()(*

∈++N m n d c b a m

n

型

例5.7

2)2)(1(-+x x 的展开式中3

x 项的系数是 。

解析：7

)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为6

1

7)2(-C 和4

3

7)2(-C ,故7

2)2)(1(-+x x 的展开式中3

x 项的

系数为617)2(-C +4

37)2(-C =1008。

例6．()()8

11x x -+的展开式中5

x 的系数是（ )

(A ）14- (B ）14 （C )28- （Ｄ) 28

略解:8

)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和5

8C ,故()()8

11x x -+ 展开式中5

x 的系数为

458814C C -=，故选B 。

评注：求型如),()()(*

∈++N m n d c b a m

n

的展开式中某一项的系数,可分别展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*

∈++N n c b a n

型 例７.5)21

2(

++x

x 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5

)212(++x x ＝5

2)12(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++x x ,通项公式521512()2k

k k k x T C x -+=+, 51()2k x x -+的通项公式为

5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ,则52=+r k ,可得2,1==r k 或1

,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k 时,

得展开式中项为11

22

2

5

4

22

2

C C -=

； 当1,3==r k 时,,

得展开式中项为31

1522C C -=当0,5==r k

时，得展开式中项为55C =。

综上，5)21

2(

++x

x

=。 解法二:5)21

2(++x x ＝52

)2222(

x x x ++＝[

]

5

5

2)2()2(x x +=5

10)2()2(x x +，对于二项式

10

)2(+x 中,r

r

r r x

C T )2(1010

1-+=,要得到常数项需510=-r ,即5=r 。所以,常数项为

22

632)2(5

5510=⋅C 。 解法三:5)212(

++x x 是5

个三项式1

(2x x

+相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式