求展开式系数的类型及最大最小项
高三复习：二项式定理 知识点、题型方法归纳
绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n rn n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A.6B.7C.8D.9解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3，∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为_______.解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
巧求二项展开式中系数的最值
设 ｒ项 系 ￡ ８ ， ≥可 ｒ ， 第＋ 的 数 由 １得≤ １ 。ｃ 争 ：； 萼
又 １ ≤５ ｒ 因此 当 １ ≤５时 ＞ ≤ｒ ，ＥＮ， ≤ｒ ｌ恒成立 ，＋＝ Ｉ ＿１ ＂ ｒ １ 不可能成 立 ； 所以 ｔ ｔ ＜ ＜ 即第 ６项 的系数 最大 ， 系 。２ ＜ ＜ ｔ＜ ， 且
数 最 大 项 为 ：２ ６ｘ． ３ ７ ８
例 ４ 求 （－ ４＋ ￣
，
） 展开式 中系数最 大项 和最小项
．
解
设（ ＋ ） 展开式的通项为 一
则 ｔ （ ）丁其。 ＝ （ ＝ １ 中≤ ｃ 广去） ｃ－ ｒ ； （ ：ｒ ， ６ ３
≤８ ｒ ． ，∈Ｎ 设 。 ）ｃ ， ＝（ 。 由 ≥１ ｒ ， ｒ 得 ≤３ 又 １ ≤８ ｒ 从 而当 ｒ １２时 ＞ ； ｒ ３时 ≤ｒ ，ＥＮ， ＝ ， １当 ＝
＝・ 当 ； ， ， ，， ５ ６ ７ ８时 ＜ ， １
解 法 １ 起 来 好 像 简 单一 些 ， 为 什 么 只 要 满 足 看 但
能断定 第 ｒ ｌ项 的系 数 最 大 理 由不 太 充 ＋ 分， 而且不 能 同时解决 系数 最大 和最 小问题 ， 同时对 于 本题来说 当 ｒ ５时 ｔ ＝ ＝ ￡ 是没有意义 的 ， 也就 是说对 于 传统办法来说 解决不 了第一 项或 最后 一项 为系数 最 大
脚 彻 的数 由 系
为 ３７ ８’ ２ ６ ｘ．
： 。
≤≤ 因 ＝， 第６ 的 数 大， 数 项 ｒ 芸，此ｒ５即 项 系 最 且系 最大
解 法 ２ 设 （ ＋ 展 开 式 的 通 项 为 ＋， １ ８） ．
则 。 ｃ （ ｘ ８ｃｘ， 中 ０ ≤５ ｒ Ｎ， ＝ ； ８ ）＝ ； 其 ≤ｒ ， ∈
(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)
二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。
所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。
（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。
（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。
（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
如：nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1n C -.（7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即kn n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+，则奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第）（12+n项的二项式系数2nn C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第23+n 项，对应的二项式系数12n n C -，12n nC+同时取得最大值。
三项式展开 各项系数
三项式展开各项系数展开三项式是一种常见的因式分解方法，也就是把一个多项式按幂次降幂形成同乘积系数的三项式，扩展成一个加减乘除上乘方括号括起来的平方项加上常数项。
展开三项式时要注意各项系数。
展开三项式时，最简单的情况就是两个指数相同的项相加或减，同时计算出他们的系数，并重新排列他们的号码。
例如：（3x+2y）(x-2y)将此三项式按幂次降幂后变成：3x²-6xy+4y²然后按照上面的公式写出各项系数。
3x²的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（3+1）=4。
-6xy的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（3-2）=-1。
4y²的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（2+1）=3。
故系数分别为4，-1，3。
在化简多项式的过程中，展开三项式可以减少复杂的计算。
对于任意的多项式，只要将其拆分成两个多项式，用三个变量乘法法则去展开，就可以得到展开三项式。
展开三项式有很多实用算法，其中最值得注意的一种是利用三文本系数（块环系数）。
即三个等式组为一组，求出各系数值。
例如：（x+2y+z) (2x-y-z)设其系数分别为a,b,c根据三文本系数只需要计算每一行三个系数，就可以求出整个三项式的展开系数。
令系数a+b+c=C首先将其拆分为两个小的三项式x+2y+z 2x-y-z其中系数分别为a+c,b+c令系数a+b+2c=C开始算法：（1）令a+c=1（2）从（1）中求出C=a+b+2c，（3）将（2）式中的c带入（1），求出b=C-2（4）将（3）式中的b带入（2），求出a=C-2，（5）最后，将（4）式中的a带入（1），求出c=C-2从上面可以看出，三文本系数法求解展开三项式时，只需要选择一组满足条件的系数，求出对应的值，就可以得出整个展开三项式的系数。
展开三项式时，各项系数是很重要的，如果求出来的系数有问题，就不能得到正确的展开三项式。
(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类 解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理， 共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48； 【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可； 【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数； （2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数； 若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数； 则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解． 【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法； （3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题， 男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法， 由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法； （5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法， 所以共有16563600A A =种方法． 【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。
二项展开式系数最大项的特殊求法
二项展开式系数最大项的特殊求法在数学的世界里，我们常常会碰到一些看起来既复杂又不太容易理解的问题，二项展开式就是其中一个典型例子。
二项展开式嘛，说白了就是你遇到像 ((a + b)^n) 这种形式的式子，想要把它展开成一长串的项，没错，就这么简单。
不过，大家别急，展开式的系数并不是随便挑出来的，而是有规律可循的。
今天，咱们就要聊聊如何找到二项展开式中系数最大的那一项，保证让你不仅学得清晰，而且还一语惊醒梦中人。
咱得明确一个小常识：二项展开式的每一项，系数是通过所谓的“组合数”来计算的。
这种组合数听起来高大上，实际上就是从 n 个元素中挑选 r 个的方式有多少种。
这个组合数用一个叫“C(n, r)”的符号表示，大家可以想象它就像是在说“我从 n 个选择中，挑 r 个出来，能有多少种不同的组合”。
没错，就是这么简单！但问题来了，如何快速找到二项展开式里哪个项的系数最大呢？哎呀，别急，我们一步步来。
二项展开式是一个非常有规律的东西。
举个例子，比如 ((a + b)^6) 这个展开式。
你展开出来之后会得到七个项，系数分别是：1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。
这些系数可是有讲究的！大家会发现，系数从前到中间再到后面是呈现一种“对称”的状态。
你看，最开始和最后一个系数是1，中间的系数不断增大，到中间部分的时候最大，然后又开始减小，像个钟摆一样，清晰可见，规律性十足。
如何在这些系数中找到最大的那个呢？嘿嘿，其实很简单。
最大项总是出现在接近中间的位置。
如果你把这些项当做是按大小排列的，那么二项展开式的最大项会出现在指数 (frac{n{2) 附近的位置。
如果 n 是偶数，最大的项就会在正；如果 n 是奇数，最大的项会出现在两个中间项之间。
用点数学术语来说，二项式系数的最大项总是位于 (r =leftlfloor frac{n{2 rightrfloor) 或者 (r = leftlceil frac{n{2 rightrceil) 这两个值附近，别看这些公式写起来挺复杂，但其实就是告诉你，最大的项就是出现在二项展开式的“中间”。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r r r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=； 令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】 若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模 【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求． 【答案】15；【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==． 【答案】20；【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T x xx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=． 【答案】45；【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到551(2x x +==所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x =．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．；【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略； 【答案】B ；【例23】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-， 常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项， 则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =， 故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数． 常数项为2332C 60215n n n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年，四川高考 【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-． 令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=． 【答案】D ；【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=． 【答案】9；84；【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=． 【答案】1512，；【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；有理项【例41】 求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数， 又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数， 故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】 已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==， 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】 二项展开式15中，有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C Cr rrr rrT x--+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r=，，时，为有理项，选A．【答案】A；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1 0px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B；11111111323211111C3232Crr r rr r r rrT x x x--+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是r可取3，9，则21126P==，1711660066|77x dx x⎰==【答案】B；【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n n n +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去） 设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >． 故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110． 【答案】x 的值为1或110．【例54】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rr rr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +． 用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+． 令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，． 所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=， 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误； 当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。
误区9.2 混淆项的系数与二项式系数失误-2017届高三数学跨越一本线 含解析 精品
2017届高三数学跨越一本线精品误区二：混淆项的系数与二项式系数失误二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．不少同学在求解二项式定理问题时,常混淆的项的系数或二项式系数,本文对与此相关的几个问题进行对比分析,供同学们参考.一、混淆特定项的系数与二项式系数(a ＋b )n 展开式中各项的二项式系数为：C k n (k ＝0,1,2,…,n )．注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C k n (k ＝0,1,…,n )． 【例1】⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20【分析】先准确写出通项T r ＋1＝ C r n an －r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号)【点评】已知展开式的某项,求特定项的系数．可由某项得出参数项,再由通项公式写出第r ＋1项,由特定项得出r 值,最后求出其参数．【小试牛刀】【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考】在622x⎛ ⎝的展开式中,含7x的项的系数是（ ）A ．60B ．160 C.180 D ．240 【答案】D【解析】二项式的通项公式为()()5126262100221kk kk kk k k T C xC x---+⎛==- ⎝, 令51272k -=,则2k =,所以含7x 的项的系数是2462240C =.故应选D 二、混淆系数最大值与二项式系数最大值求二项式系数最大项：①如果n 是偶数,则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数,则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ,b ∈R )的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,列出不等式组⎩⎨⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ,即得展开式系数最大的项.【例2】已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n 的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n 的展开式系数最大的项.【分析】先确定n 的值,再求二项式系数最大的项与系数最大的项【点评】注意题中是假设第r ＋1项的系数最大,故求出r 后,还要加1.【小试牛刀】()11a b -的展开式中二项式系数最大的项是第 项,系数最大的项是第 项. 【答案】6或7；7【解析】()11a b -的展开式共有12项,二项式系数最大的项是正中间两项,即第6项与第7项；由于第6项的系数为负数,第7项的二项式系数与系数相等,故系数最大的项是第7 项.三、混淆系数之和与二项式系数之和1.(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ,即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C nn ＝2n .二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 2. 对形如(ax ＋b )n ,(ax 2＋bx ＋c )m (a ,b ,c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x ＝y ＝1即可.②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ,则f (x )展开式中各项系数之和为f (1),奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2,偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【例3】若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9,且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39,则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1D ．－3【分析】分别令x ＝0与x ＝－2可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9与a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9表达式,再根据题中条件,列出关于m 的方程.【点评】二项式定理给出的是一个恒等式,对于a ,b 的一切值都成立．因此,可将a ,b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时,令a ,b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1、－1或0”,有时也取其他值．【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和2,则该展开式中的常数项为__________． 【答案】40 【解析】试题分析：由题意得()()512121a a +-=⇒=,因此该展开式中的常数项为223232552(1)2(1)40C C -+-=【迁移运用】1.（2016四川理2）设为虚数单位,则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（）. A.415x - B.415x C.420i x - D.420i x 【答案】【解析】二项式()6i x +展开的通项616C r r rr T x i -+=,则其展开式中含4x 是当64r -=,即2r =,则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-,故选A.2.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．-30 C.-10 D ．-20 【答案】C【解析】由题意得展开式中3x 的系数为32552102010C C -=-=-,选C.3.【广东2017届高三上学期阶段测评】若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…,则0127a a a a ++++…的值为（ ）A ．2-B ．3- C.253 D ．126 【答案】C【解析】令1x =,得01283a a a a ++++=…,()7822256a =⨯-=-,∴0783253a a a ++=--=….选C.4【河北唐山市2017届高三年级期末】在()102x -展开式中, 二项式系数的最大值为,含7x 项的系数为,则ba=（ ） A ．8021 B ．2180 C.2180- D ．8021- 【答案】D【解析】由题意,得510a C=,3310(2)b C=-,所以3310510(2)8021C b a C -==-,故选D ． 5.(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212【答案】A【解析】由题意,C 3n ＝C 7n ,解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.6.【2015湖南理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30,则a =（）.6- 【答案】D 【解析】5215C (1)r rr rr T a x-+=-,令5322r -=,解得1=r ,可得530a -=,6a =-. 故选D.7.【2015湖北理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92 【答案】D【解析】由条件知37C C nn =,得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=.故选D. 8. (2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a ＝____________. 【答案】39.设m 为正整数,(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ,若13a ＝7b ,则m ＝________. 【答案】6【解析】(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ,∴a ＝C m 2m .同理,b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ,∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·m ！m ！m ！＝7·()()21!1!!m m m ++.∴m ＝6.10．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知dx xn 16e 1⎰=,那么n x x ）（3-展开式中含2x项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意,66e 111ln |6e n dx x x=⎰==,则n x x ）（3-中,由二项式定理的通项公式1r n r r r n T C a b -+=,可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-,可知2r =,所以系数为269135C ⨯=．11【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】若()()201622016012201621x a a x a x a xx R -=++++∈…, 记2016201612ii i a S ==∑,则2016S 的值为 ． 【答案】1-【解析】令12x =,有201620162016120220161121122222i i i a a a a a =⎛⎫⨯-=++++=+ ⎪⎝⎭∑…,所以20162016112ii i a S ===-∑. 12.【云南大理2017届高三第一次统测】(2n的二次展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则展开式中4x 项的系数为___________． 【答案】13．【2016届山东省济南外国语学校高三上开学考试】已知()51ax +的展开式中2x 的系数与454x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数相等,则a = ．【答案】 【解析】55(1)(1)ax ax +=+的展开式通项为155()k k k k kk T C ax C a x +==,令2k =,则其系数为222510C a a =,同理45()4x +的展开式中3x 的系数为34554C ⨯=,所以2105a =,2a =±． 14．【 2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考】已知关于x 的二项式展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则展开式的各项系数和为_________．【答案】【解析】易知,所以二项式的通项公式为,则当r=3时,第四项为常数项,所以,解得．令二项式中x=1即得各项系数和．15.(1＋2x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 3与x 4项的二项式系数相等,则系数最大项为________． 【答案】672x 5【解析】由于x 3与x 4项的二项式系数相等,则n ＝7.∴T k ＋1＝C k 7(2x )k,由⎩⎨⎧C k 72k ≥C k ＋172k ＋1C k 72k ≥C k －172k －1,得133≤k ≤163,∴k ＝5,∴系数最大项为C 57(2x )5＝672x 5.。
高中数学求展开式中的特定项
高中数学求展开式中的特定项1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．⑷几点注意①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r nT C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．知识内容⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1k n n n n n k n k C k k ---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n C ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 1003(23)的展开式中共有_____项是有理项．典例分析【例3】 61034(1)(1)x x ++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例13】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例15】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若n xx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【例23】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若n x x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（）A ．3个B ．2C ．1D ．0【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【例34】 在261(2)x x -的展开式中常数项是 ，中间项是________．【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ） A ．1- B ．1 C ．45- D ．45【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．120有理项【例41】 求二项式15的展开式中： ⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n；②求展开式中的有理项．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A．3B．4C．5D．6【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【例48】若(51a+=+a，b为有理数），则a b+=（）A．45B．55C．70D．80系数最大的项【例49】已知(nx+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】20(23)x+展开式中系数最大的项是第几项？【例51】已知(13)nx+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例52】在132nxx-⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A．7-B．7C．28-D．28【例53】已知lg8(2)xx x+的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含3x的项；⑵系数最大的项．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项；④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设)()21*4n n +∈N 的整数部分和小数部分分别为n M 与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．【例62】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a b的取值范围．【例63】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例64】 如果232(3)n x x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式()1n x +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．。
二项式中最大项最小项题目求法[精彩]
![二项式中最大项最小项题目求法[精彩]](https://img.taocdn.com/s3/m/c3678d78b94ae45c3b3567ec102de2bd9605ded6.png)
二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决．在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同．１．二项式系数最大项问题例１ 已知1(2)2n x +的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件．先确定n 的值，再根据二项式系数的性质求解．解：1(2)2nx +的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数分别为456,,n n nC C C ．由题意得4652n n nC C C +=，即221980n n -+=．∴n ＝７或n ＝14．当n =7时，展开式中二项式系数最大的项为4T 和5T ，∴343347135()(2)22T C x x ==，4344571()(2)702T C x x ==．当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项为8T ，∴77778141()(2)34322T C x x ==．评注：求二项式()n a b +系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时中间一项的二项式系数最大．２．二项展开式中系数最大项问题例２ 已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．解：末三项的二项式系数分别为21,,n n nn n n C C C --，由题设，得21121n n n nn n C C C --++=，即211121n n C C ++=．∴22400n n +-=， ∴15(16n n ==-舍去）．∵11515(3)3r r r r r r T C x C x +==∙，设r T 项，1r T +项和2r T +的系数分别为1,r r t t +，和2r t +，则1111151152153,3,3r r r r r r r r r t C t C t C --++++=∙=∙=∙．设1r t +最大，则11151511151533,33r r r r r r r r C C C C --++⎧∙≥∙⎪⎨∙≥∙⎪⎩ 可知r ＝11或r =12．∴展开式中系数最大的项是111111121212121513153,3T C x T C x =∙=∙．例３ 求7(12)x -展开式中系数最大的项．解：展开式共有８项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因7(12)x -括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．443577661777(2)1(2)4T C C T C C -==>-系数系数，所以系数最大的项是第五项，44457(2)560T C x x =-=．评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化．３．二项展开式中指定项系数最大（小）项问题例 4 已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项的系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．解：∵()f x ＝011222()()()m n m n m n C C C C x C C x ++++++ ，∴112211m n C C m n +⨯=+=，∴112m n =-∴2222242355m n C C n n +=-+＝2233514()816n -+∵n N +∈，∴n ＝3时，上式有最小值22．即()f x 展开式中2x 项系数的最小值是22.评注：对于此类问题，可利用二项式定理展开，求出2x 项的系数，再将问题转化为二次函数知识进行求解．４．展开式中最大项（数值）问题例５设x =50(1)x +展开式中第几项最大？解：设第r ＋１项为1r T +且最大，则有11505011112505029r r r r r r r r r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧≥≥⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≥≥⎩⎪⎩．∴50(1)x +展开式中第30项最大．。
二项式定理
二项式定理【考点1：二项展开式与通项】[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2；(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．求形如(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的步骤1．（2024·辽宁·一模）4()x y z ++的展开式共（ ） A ．10项B ．15项C ．20项D ．21项 2．（2024·广东·模拟预测）若()()()2660126666x a a x a x a x =+−+−++−，则5a =（ ） A ．6 B ．16 C ．26D ．363．（2023高二下·江苏宿迁·期中）化简：021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n −−−⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= ． 4．（2023高二·全国·竞赛）若43(1)1n n x x ax bx +=+++++，且502a b =，则n = ．5．（2024高二下·全国·课时练习）化简：5432(21)5(21)10(21)10(21)5(21)1x x x x x +−+++−+++−得到 .6．（2024高二下·江苏·课前预习）（1）求4⎛ ⎝的展开式.（2）化简：()()()()()()1122111C 1C C C C 11rnnn n r n rnn n n n nx x x x −−−+−+++−+−+++−.【考点2：二项式系数与项的系数】1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在32132x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ）A ．94B ．94−C ．92D ．92−2．（2024·陕西宝鸡·一模）622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式中的第四项为（ ） A ．3160x B ．3160x −C ．240D ．240−3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知()5322ax x x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为0，则=a （ ）A ．3B ．3−C ．2D ．2−4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）6(1)x −的展开式中3x 的系数为 ．5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在73x⎛ ⎝的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知1(1)2nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为280，则n = .7．（2024·江西·模拟预测）若()*1nn x ⎫−∈⎪⎭N 的二项展开式的第7项为常数项，则n = .8．（2024高二下·广东梅州·阶段练习）设n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1:6，求展开式中的第7项．【考点3：二项展开式中的系数和】【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．（23-24高二上·黑龙江·期末）在43nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为A ，各项系数之和为B ，若240B A −=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）61()x x−的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．展开式共6项B ．常数项为20−C ．所有项的二项式系数之和为64D ．所有项的系数之和为03．（23-24高三下·陕西安康·开学考试）()3nx −展开式的二项式系数之和是256，则n = .4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若3nx⎛⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为 .5．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知()232nx x −−展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中6x −的系数为 （用数字作答）6．（23-24高二上·江苏常州·期末）26()x y −的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．7．（2024高二下·江苏·专题练习）若na x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为 .8．（23-24高三下·河北·开学考试）已知二项式()0.01nx +的二项式系数的和为1024，则n = .试估算1x =时，()0.01n x +的值为 .（精确到0.001）【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎨⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．1．（23-24高三下·山东·开学考试）若22nx ⎫+⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（ ） A ．9B ．10C ．11D ．122．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知nx ⎛⎝的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．12358xB ．727xC ．2358x D ．27x3．（多选）（2024高三下·江苏·专题练习）关于6212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ）A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第4项D ．展开式中系数最大的项为第4项4．（多选）（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于二项式10m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（m 为常数且0m ≠），以下正确的是（ ）A ．展开式有常数项B ．展开式第六项的二项式系数最大C ．若2m =，则展开式的二项式系数和为103D ．101m x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，则0m ≥5．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设n 为正整数， ()2n a b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n = .6．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）设0a >，已知2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则22212ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中2x 的系数为7．（23-24高二下·江苏·课前预习）在822)x 的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项.8．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知m ，n 是正整数，(1)(1)m n x x +++的展开式中x 的系数为15.(1)求展开式中2x 的系数的最小值； (2)已知12(23)m n x +−+展开式中的二项式系数的最大值为a ，项的系数的最大值为b ，求a b +.【考点5：二项式定理的应用】 【知识点：二项式定理的应用】 1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（ ） A ．0.930 B ．0.931 C ．0.932 D ．0.933 2．（2022·全国·高二单元测试）关于(√x −1)2021及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）A ．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021B ．该二项展开式中第8项为−C 20217x 1007 C ．当x =100时，(√x −1)2021除以100的余数是9D ．该二项展开式中不含有理项 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1−2x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a 6x 6(a i ∈R,i =0,1,2,3,⋅⋅⋅,6)的定义域为R ．（ ） A ．a 0+a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 6=−1 B ．a 1+a 3+a 5=−364C ．a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+6a 6=12D ．f(5)被8整除余数为74．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）A ．若(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=310−1B ．1.0510精确到0.1的近似值为1.6C ．5555被8除的余数为1D ．若1+2C n 1+22C n 2+⋯+2n C n n =2187，则C n 1+C n 2+⋯+C n n=1275．（2007·全国·高考真题）9192除以100的余数是______．6．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）①0；②11；③12；④25．7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051⋯⋯⋯⋯8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n 行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9．(1)求a1+a2+a3+⋯+a9的值；(2)求f(20)−20被6整除的余数。
高中数学：求二项展开式的系数最大项
高中数学：求二项展开式的系数最大项例、（1）求展开式中系数最大项；（2）求展开式中系数最大项。
解：（1）设第项系数最大，则有（*）即，得到，解得，所以，所以系数最大项为第六项。
这道题目是一道比较典型的求系数最大项的例题。
这里有几个问题：①如果系数最大项是最后一项，则无意义，如果系数最大项是第一项，则无意义，显然用并不合适，②系数最大项是不是有且仅有一项？③所列条件只是求出了系数比前后两项系数都大的项，有没有可能有另外更大的最大值呢？现在我们研究对于的二项展开式，设第项系数最大则（*）可以解得。
若系数最大项为最后一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是最后一项。
若系数最大项为第一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是第一项。
因为中不符合系数最大项是第一项或最后一项的特点，所以用解答没有问题，这样我们解决了问题①；又因为，我们同时可以得出一个结论：形如（）二项展开式系数最大项最多只有两项，这样也解决了问题②；对于问题③，这里我们碰到一个问题，以前特别是在碰到函数问题时，其实我们求最大值并不是这样求的，所以这里必须说明，如果最大值是另外一个值，那么显然应该满足（*）式，也可以从（*）式解出来，但（*）式没有解出别的值，所以（*）式解出的就是最大值。
这样我们解决了问题③。
（2）对于二项展开式，我们知道奇数项的系数为正，但经过观察我们只要比较第五项系数和第七项系数大小，结论从略。
但是不是只能用这种观察的方法呢，有没有一般的方法呢？如果对于一般情况（），从（*）可以解得，我样可以判断对于（）它的二项展开式项的系数的增减性一定是先增后减，所以如果和是连续两个整数，那么其中那个偶数就是我们要求的r，若和不是整数，如果介于它们之间的整数是偶数，那就是我们要求的r，如果是奇数，那么只要将项左右两项系数进行比较就可以了。
高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中特定项
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n nn n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N那个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项11222...nn n n nnnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r nC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，那个地址0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随意互换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不必然相等，二项式系数必然为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +那个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr nT C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr nT C a b -+=是不同的，在那个地址对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，那么得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要明白其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是专门大，x 比较小时能够用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：关于n 是较小的正整数时，能够直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也能够直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 能够看成是r 为自变量的函数()f r ，其概念域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为以下图：如此咱们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮忙咱们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=取得．②增减性与最大值若是二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；知识内容求展开式中的特定项若是二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等而且最大． 由于展开式各项的二项式系数按序是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1k nn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数那么变大，而乘以一个小于1的数那么变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两头“等距离”的两项的式系数相等，因此二项式系数增大到某一项时就慢慢减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，因此展开式有中间一项，而且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，因此有中间两项． 这两项的二项式系数相等而且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，那么实数a =___________．1003(23)61034(1)(1x x+典例分析【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，那么实数a 的值为 ．【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 若是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，那么n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若的展开式中含有常数项，那么最小的正整数等于 ．【例13】 在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于 （用数字作答）【例14】的展开式中，常数项为15，那么 ．【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，那么______．【例16】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是 （用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2n xn 2)n x60n 21()n x x-n =231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n=12(x2(n x 314-21i =-【例18】 已知，假设的展开式中含有常数项，那么如此的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例19】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例23】 在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于 （用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，那么 ．【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，假设的展开式中含有常数项，那么如此的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．010()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 610(1(1++51(2x x++281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102)n x60n 21()n x x-n=12(x2(n x 314-21i =-10()n n ∈N ≤nx x )1(23-n【例28】展开式中的常数项为（）A．B．C．D．【例29】求展开式中的常数项．【例30】的展开式的常数项是（用数字作答）【例31】在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【例32】的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是．【例33】若的展开式中存在常数项，那么的值能够是（）A． B． C． D．【例34】在的展开式中常数项是，中间项是．【例35】已知的展开式中没有常数项，，且，那么______．【例36】若的展开式中含有常数项，那么最小的正整数等于．【例37】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，那么展开式中常数项是（）A． B． C．D．12x⎛⎝1320-1320220-220612xx⎛⎫++⎪⎝⎭6122xx⎛⎫-⎪⎝⎭2nx⎫⎪⎭60n369121nxx⎛⎫-⎪⎝⎭5nnxx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31n10111214261(2)xx-________231(1)()nx x xx+++n∈*N28n≤≤n=3(2nxn2nx⎛⎝3141-145-45【例38】若展开式中的二项式系数和为，那么等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】若的展开式中常数项为，那么_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】若展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为（）A．B．C．D．有理项【例41】求二项式的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．【例44】已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列①求；②求展开式中的有理项．21nxx⎛⎫+⎪⎝⎭512n921axx⎛⎫-⎪⎝⎭84a=1nxx⎛⎫+⎪⎝⎭1020301201510015nn【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，那么A ．1B ．C ．D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ）A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】 若（，为有理数），那么（ ）A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是____．A ．B ．C ．D ．【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项和系数最大的项．153456(1132p 10px dx =⎰6776111312x 4321(51a =+a b a b +=45557080(n x n 20(23)x +(13)nx +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x 10【例55】已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑵关于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】展开式中系数最大的项是第几项？【例59】关于二项式有以下命题：①该二项展开式中超级数项的系数和是：②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；④当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你以为正确的命题序号都填上）【例60】在的展开式，只有第项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为．（用数字作答）【例61】设的整数部份和小数部份别离为与，那么的值为．n453xm n+∈N，1m n，≥()(1)(1)m nf x x x=+++x19()f x2x()f x2x m n7x223(3)nx x+99220(23)x+2005(1)x-1619992005C x100310042006x=2005(1)x-200620052nx⎛⎝5)()21*4n n+∈NnMnm()n n nm M m+【例62】中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，那么在内的值为___________．【例64】 若是的展开式中含有非零常数项，那么正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，那么指数的最小值为 ．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，ab(1sin )nx +752x (0,2π)232(3)nx x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。
求多项式展开式指定项系数的一个方法——逐次写通项法
求多项式展开式指定项系数的一个方法——逐次写通项法
逐次写通项法是求多项式展开式指定项系数的一种方法。
所谓逐次写通项法，就是把多项式展开式的指定项的表达式写出来，然后依次求出里面各项的系数。
首先，根据多项式展开式的指定项的表达式，把多项式展开式的每项的指
标从小到大写出来。
比如，对于如下多项式(x+1)^4，我们可以依次把它的4阶展
开式写出来：
x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
其次，给每一项标上系数，形成好像y = a_1x^n + a_2x^(n–1) +
a_3x^(n–2) + …… + a_nx + a_0的形式，比如我们可以写成y = a_4x⁴ +
a_3x³ + a_2x² + a_1x + a_0。
第三步，把各项的系数求出来，我们可以采用如下方法：a_n = 係数/指數，
其中n为指數，係数为多项式前面的系数，指數为指数。
比如，回到上面的多项式(x+1)^4 ，它的系数依次是1，4，6，4，1。
也就是a_4 = 1/4 ，a_3 = 4/3，a_2 = 6/2，a_1 = 4/1和a_0 = 1/0，即，对应的系数依次是1，4，3，4，1。
最后，只需将求出的各项的系数代入表达式中，就可以得到原式的系数。
例如，回到我们的(x+1)^4，它的展开式的系数为：1x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1，即它的
系数分别为1，4，6，4，1。
总之，逐次写通项法是求多项式展开式指定项系数的一种方法，它首先将多项
式逐项写出来，然后给每一项标上系数，最后求出各项的系数，将系数代入表达式中，即可得出所要求的结果。
高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解及考点梳理
∴
即
.
∴x=10 或
.
类型三、多项式转化为二项式的问题
【例 4】试求下列二项展开式中指定项的系数.
（1）
的展开式中 项的系数；
（2） （3）
的展开式中 项的系数； 的展开式中 项的系数；
（4）
的展开式中 x 项的系数；
（5）
的展开式中 项的系数；
【解析】
（1）借助“配方转化”：原式
∴原展开式中 项的系数，即
（ 1） 展 开 式 的 通 项 ：
，
故展开式中二项式系数最大的项为： （2）设第 项的系数最大，
7
则
，化简得
，
解得:
，∴ ，
故所求展开式中系数最大的项为：
【变式 2】已知
展开式中，末三项的二项式系数和等于 22，二项式系数
最大项为 20000，求 x 的值.
【解析】由题意
，
即
，∴n=6.
∴第 4 项的二项式系数最大.
高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解 及考点梳理
例 1（2015 春 微山县校级期末）已知在（ ﹣ ）n 的展开式中，第 6 项为常数
项． （1）求 n； （2）求含 x2 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。 【解析】：（1）根据题意，可得（ ﹣ ）n 的展开式的通项为
高考总复习：二项式定理
【考纲要求】 1．能用计数原理证明二项式定理； 2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【知识网络】
【考点梳理】 要点一、二项式定理
公式
定理。其中
项，它表示第 其中：
求展开式中系数最大的项的巧妙推论
求展开式中系数最大的项的巧妙推论介绍展开式是数学中一个重要的概念，它可以将一个复杂的表达式表示为多项式的形式。
在展开式中，每一项都有一个系数，我们可以通过比较这些系数的大小来寻找展开式中系数最大的项。
本文将探讨一些巧妙的推论，帮助我们在求解问题时更加高效地找到展开式中系数最大的项。
一、二项式定理的推广二项式定理是展开式中最基本的推论之一，它可以将一个二项式表达式展开为多项式。
二项式定理的一般形式如下：(a+b)n=C(n,0)a n b0+C(n,1)a n−1b1+C(n,2)a n−2b2+⋯+C(n,n−1)a1b n−1+C(n,n)a0b n其中，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
根据二项式定理，我们可以得到展开式中系数最大的项的推论。
1. 推论一：系数最大的项位于展开式的中间位置根据二项式定理，展开式中系数最大的项出现在(a+b)n的展开式中间位置。
这是因为，当k取n/2时，C(n,k)取得最大值。
当n为偶数时，k=n/2是唯一满足条件的整数；当n为奇数时，k=⌊n/2⌋和k=⌈n/2⌉都满足条件。
2. 推论二：系数最大的项的系数与组合数有关根据二项式定理，我们可以得知系数最大的项的系数与组合数C(n,k)有关。
具体来说，系数最大的项的系数等于C(n,k)的值。
这意味着，我们可以通过计算组合数来确定系数最大的项的系数。
二、巧妙的推论除了二项式定理的推广，还存在一些巧妙的推论，可以帮助我们更加高效地找到展开式中系数最大的项。
1. 推论三：系数最大的项的指数和等于n在展开式(a+b)n中，系数最大的项的指数和等于n。
这是因为，展开式中的每一项都可以表示为a和b的指数的和，而系数最大的项在指数和上取得最大值。
2. 推论四：系数最大的项的指数差最小在展开式(a+b)n中，系数最大的项的指数差最小。
这是因为，展开式中的每一项都可以表示为a和b的指数的差，而系数最大的项在指数差上取得最小值。
二项式展开定理
二项式展开定理一、 定理及基本概念1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ;2. 项数:一共项;3. 通项:;一定注意两点:1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式;2) 注意项数与系数得关系。
4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。
二、 性质1. 二项式系数得对称性:;2. 二项式系数与:;3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=;4. 二项式系数最大项:1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大;2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。
5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。
基本题型解题思路及步骤一、 利用通项公式求某项系数1. 写出通项公式得时候注意:1) 所有得系数写在最前面,包括符号;2) 所有根式都写出分数次数形式;3)明白什么就是有理项;4)注意得取值范围。
2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。
3.有两个式子相乘:1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项;2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数;3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。
二、赋值求系数与1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值;2.所有系数之与:令;二项式系数之与:;3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令;4.求导与积分得形式。
三、对二项式定理得理解:组合项、整除1.二项式定理得理解:都表示一个整体;2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。
例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。
解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起)常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项;且常数项为:2.在二项式得展开式中,第四项得系数为56,求得系数。
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求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是( ）（Ａ)8４0 （B)－84０ （C)210 （Ｄ）－２10解析:在通项公式1r T +=1010()rr r C x -中令r =4,即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。
例2．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 。
解析:通项公式r r rr rr r xC xxC T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。
评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a mn型 例３．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析;342()x x -的通项公式为341241442()()(2)rr rr r r r T C x C x x--+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -＝－32， 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C ＝70,故843)1()2(xx x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。
例4.在65)1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是（ )(Ａ)5- (B) 5 (C ） 10- (D ） 1０解析:5)1(x -中3x 的系数35C -=10-， 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。
评注:求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。
三 、),()()(*∈++N m n d c b a mn型例5.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617)2(-C 和437)2(-C ,故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617)2(-C +437)2(-C =1008。
例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ )(A ）14- (B ）14 （C )28- （Ｄ) 28略解:8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=，故选B 。
评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数,可分别展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。
四 、)()(*∈++N n c b a n型 例７.5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x ＝52)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ,通项公式521512()2kk k k x T C x -+=+, 51()2k x x -+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ,则52=+r k ,可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。
当2,1==r k 时,得展开式中项为1122254222C C -=； 当1,3==r k 时,,得展开式中项为311522C C -=当0,5==r k时，得展开式中项为55C =。
综上，5)212(++xx=。
解法二:5)212(++x x ＝52)2222(x x x ++＝[]552)2()2(x x +=510)2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中,rrr r xC T )2(10101-+=,要得到常数项需510=-r ,即5=r 。
所以,常数项为22632)2(55510=⋅C 。
解法三:5)212(++x x 是5个三项式1(2x x+相乘。
常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式1(2x x +中,从其中一个取2x ,从另外4个三项式中选一个取1x ,从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=2x ,从另外3个三项式中选两个取1x,从剩余的１个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=;从5个相乘的三项式1(2x x++中取常数项相乘,可得555C ⋅=。
综上,5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为22+=。
评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决。
解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,本质上是利用加法原理和乘法原理,这种方法可以直接求展开式中的某特定项。
五 、1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例８．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中,2x 项的系数是 。
(用数字作答) 解析:由题意得2x 项的系数为352625242322=++++C C C C C 。
例９．在(1-x ）5＋(1-x )6+(1－x )7＋(1-x )8的展开式中，含x ３的项的系数是( ) (Ａ） 74 (B) 121 (Ｃ) -74 (D) －12１解析：(１－x )5＋(1－x )6+(1-ｘ)7＋(1-x )8＝5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =,9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-，-１26+5= -121，故选D 。
评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1-x )5,公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数,简化了运算。
例８和例9的解答方法是求1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<的展开式中某特定项系数的两种常规方法。
六 、求展开式中若干项系数的和或差例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)解析:在2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-中,令0=x ,则10=a ,令1=x ,则1)1(200420043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++ ＝20030a +200420043210=+++++a a a a a 。
例1１.423401234(2x a a x a x a x a x =++++,则2312420)()(a a a a a +-++的值为( ) (A) 1 （Ｂ) －1 （Ｃ) ０ （D ） ２解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，令1=x ,可得=++++43210a a a a a 4)32(+， 令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4)32(-所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4)32(-=1,故选A 。
评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。
赋值法是给代数式（或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。
二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项,通常都可以利用通项来解决．在求解中,要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同.1．二项式系数最大项问题例1 已知1(2)2nx +的展开式中,第5项、第6项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件.先确定n 的值,再根据二项式系数的性质求解.解：1(2)2n x +的展开式中，第5项、第6项、第７项的二项式系数分别为456,,n n n C C C ．由题意得4652n n n C C C +=,即221980n n -+=．∴n =７或n =１4．当n =7时，展开式中二项式系数最大的项为4T 和5T ， ∴343347135()(2)22T C x x ==,4344571()(2)702T C x x ==. 当n ＝1４时，展开式中二项式系数最大的项为8T ，∴77778141()(2)34322T C x x ==．评注：求二项式()na b +系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时中间一项的二项式系数最大．２.二项展开式中系数最大项问题例2 已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于12１，求展开式中系数最大的项．解：末三项的二项式系数分别为21,,n n nn n n C C C --，由题设，得21121n n n nn n C C C --++=，即211121n n C C ++=.∴22400n n +-=, ∴15(16n n ==-舍去).∵11515(3)3r r r r rr T C x C x +==•，设r T 项,1r T +项和2r T +的系数分别为1,r r t t +,和2r t +，则1111151152153,3,3r r r r r r r r r t C t C t C --++++=•=•=•.设1r t +最大，则11151511151533,33r r r r r r r r C C C C --++⎧•≥•⎪⎨•≥•⎪⎩ 可知r =11或r =12. ∴展开式中系数最大的项是111111121212121513153,3T C x T C x =•=•．例３ 求7(12)x -展开式中系数最大的项.解:展开式共有８项,系数最大的项必为正项,即在第一、三、五、七这四项中取得,又因7(12)x -括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右,故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．443577661777(2)1(2)4T C C T C C -==>-系数系数，所以系数最大的项是第五项，44457(2)560T C x x =-=． 评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理,使解题过程得到简化．3．二项展开式中指定项系数最大(小)项问题例4 已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项的系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值.解：∵()f x =0011222()()()m n m n m n C C C C x C C x ++++++，∴112211m n C C m n +⨯=+=，∴112m n =-∴2222242355m n C C n n +=-+=2233514()816n -+∵n N +∈,∴n ＝3时，上式有最小值22．即()f x 展开式中2x 项系数的最小值是22.评注:对于此类问题,可利用二项式定理展开,求出2x 项的系数,再将问题转化为二次函数知识进行求解． ４.展开式中最大项（数值)问题 例５设x =50(1)x +展开式中第几项最大?解:设第r +1项为1r T +且最大,则有11505011112505029r r r r r r r r r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧≥≥⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≥≥⎩⎪⎩． ∴50(1)x +展开式中第30项最大.评注:此类问题同第二类问题类似,常设出它的最大项,列不等式组，再确定该项.。