第4章动态数列

季度 各季每月平均增加值(万元) 一 36 二 48 三 60 四 76
序时平均数与一般平均数的异同点： 序时平均数与一般平均数的异同点： 相同点
二者都是将现象的个别数量差异抽象化， 二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概 括地反映现象的一般水平。 括地反映现象的一般水平。
不同点
-
计算方法不同； 计算方法不同； 差异抽象化不同； 差异抽象化不同； 序时平均数还可解决某些可比性问题。 序时平均数还可解决某些可比性问题。
统计学原理
第四章
动态数列
第一节 动态数列的编制 一、动态数列的概念
态数列又称时间数列。它是将某种统计指标， 动态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或 在不同时间上的不同数值， 在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列 起来，以便于研究其发展变化的水平和速度， 起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并 以此来预测未来的一种统计方法。 以此来预测未来的一种统计方法。
第二节 动态数列的水平分析指标
于现象发展的水平分析指标有： 属于现象发展的水平分析指标有： 发展水平 平均发展水平 增长量 平均增长量。 平均增长量。
一、发展水平
动态数列中， 在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发 展水平或动态数列水平。 展水平或动态数列水平。 果用a 如果用a0，a1，a2，a3，……an，代表数列中 a 各个发展水平，则其中a 即最初水平， 各个发展水平，则其中a0即最初水平，an即 最末水平。 最末水平。
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。 说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
增长量= 报告期水平-基期水平 前一时期 因为基期有两种 某一固定时期 n 累计增长量：ai − a0 ∴ 增长量 ⇒ ∑(ai − ai −1 ) = an − a0 逐期增长量：ai − ai −1 i =1 证明：Q∑(ai -ai-1 ) = (a1 -a0 ) + (a2 -a1 ) + (a3 -a2 )
i =1 n
+ L + (an -an-1 ) = an -a0
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的 绝对数量。 绝对数量。
逐期增长量之和 累计增长量 平均增长量= = 逐期增长量个数 动态数列项数− 1
例
增长量
某省1995-2000年某工业产品产量
年份
发展水平: 产量 累计 逐期 发展速 度(%) 增长速 度(%) 定基 环比 定基 环比
例
a b
某厂7-9月份生产计划完成情况 7月份 实际产量(件) 计划产量(件) 1256 1150 109.2 8月份 1367 1280 106.8 9月份 1978 1760 112.4
c 产量计划完成%
第 季 平 计 完 程 = 三 度 均 划 成 度
化 一 公 为 为 般 式Hale Waihona Puke Baidu：
(1256 +1367 +1978) / 3 (1150 +1280 +1760) / 3 4601 = = 109.8% 4190 ∑a a n = ∑a c= = b ∑b ∑b n
二、平均发展水平
平均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。 均数，统计上又叫序时平均数。
例
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 增加值(万元) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数) 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数)，就可 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表： 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
2) 对间隔不等的间断时点资料
a2 + a3 an−1 + an a1 + a2 f1 + f2 + L + fn−1 2 2 a= 2
∑f
i =1
n−1
i
例
某城市2003年各时点的人口数 日期 1月1日 人口数(万人) 256.2 5月1日 257.1 8月1日 258.3 12月31日 259.4
若由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数： 态数列的序时平均数：
连续变动时点：
∑a c 用简单平均，即 = = b ∑b
a a
∑af c 非连续变动时点：用加权平均，即 = = b ∑bf
3. 由一个时期数列和一个时点数列对比组成 的相对数动态数列的序时平均数。 的相对数动态数列的序时平均数。
例
某成品库存量如下： 3月31日 3000 库存量(件) 4月30日 3300 5月31日 2680 6月30日 2800
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存 量相等。则各月平均库存量为：
3000 + 3300 = 3150(件) 2 3300 + 2680 5月 a = 份 = 2990(件) 2 2680 + 2800 6月份a = = 2740(件) 2 1 二 均库 存量 = (3150 + 2990 + 2740) = 2960(件) ∴第 季度平 3 4月份a =
㈢ 平均数动态数列的序时平均数
1. 由一般平均数组成的平均数动态数列的序 时平均数。 时平均数。
例
某厂某年1-6月每一工人平均产值
月份 a 工业增加值(万元) b 平均工人数(人) c 每一工人平均产值(万元) ( ) 1 33 60 0.55 65 0.61 2 39.65 68 0.58 3 39.44 70 0.63 4 44.1 72 0.65 5 46.8 70 0.69 6 48.3
连续变动的连续时点数列(即未分组资料) 1). 对连续变动的连续时点数列(即未分组资料)
∑a a=
n
非连续变动的连续时点数列(即分组资料) 2). 对非连续变动的连续时点数列(即分组资料)
∑af a= ∑f
如果资料是间断时点资料，也可分为二种情况： ⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为二种情况：
1) 对间隔相等的间断时点资料
例
全国邮电业务总量
年份 1949 1957 1965 1978 亿元 1.35 4.09
1985
1998
1999
2000
8.75 34.09 62.21 2431.21 3330.82 4792.70
态数列由两个基本要素构成： 动态数列由两个基本要素构成：
即现象所属的时间； ① 时间，即现象所属的时间； 同时间上的统计指标数值， ② 不同时间上的统计指标数值，即不同时间 上该现象的发展水平。 上该现象的发展水平。
单位：万台 1999
2872.4 1768.1 656.9 260.1 129.7 160.1 29.7 22.2
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为： 动态数列按照所列入指标数值的不同可分为：
绝对数动态数列 相对数动态数列 平均数动态数列 时期数列 时点数列
时期数列特点： 时期数列特点：
列中各个指标值是可加的； 数列中各个指标值是可加的；
数列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动； 短而变动；
645 710 第 季 生产 人数 三 度 工 占 2 +670+695+ 2 2042.5 = = =82.18% 805 845 2485.5 全体 工的 均比 职 平 重 +826+830+ 2 2 a a a a ( 1 +a2 +a3 +L n )/(n− ) 1 +a2 +a3 +L n + 1 + a 2 2 2 化 一 公式 ： = 为 般 为 c= =2 b (b1 +b +b +L bn )/(n− ) b1 +b +b +L bn 1 + + 2 3 2 3 2 2 2 2
若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为： 的相对数动态数列的序时平均数为：
a2 + a3 an−1 + an a1 + a2 f1 + f2 +L + fn−1 a 2 2 c= = 2 b b1 + b2 f + b2 + b3 f +L + bn−1 + bn f 1 2 n−1 2 2 2
2. 由两个时点数列对比组成的相对数动态数 列的序时平均数
例
日 a b c
某厂第三季度生产工人与职工人数资料 期 6月30日 7月31日 8月31日 9月30日 645 805 80.1 670 826 81.1 695 830 83.7 710 845 83.1
生产工人数（人） 全体职工数（人） 生产工人占全体职工的%
则 该 2003年 均 口 为 ， 市 平 人 数 ： 256.2+257.1 257.1 258.3 258.3+259.4 + ×5 ×4+ ×3+ 2 2 2 4+3+5 3094 = =257.83(万 ) 人 12
㈡ 相对数动态数列的序时平均数
1. 由两个时期数列对比组成的相对数动态 数列的序时平均数
数列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。 的登记而取得。
时点数列特点： 时点数列特点：
列中各个指标值是不能相加的； 数列中各个指标值是不能相加的；
数列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系； 的长短没有直接关系；
数列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。 次取得的。
三、动态数列的编制原则 基本原则是遵守其可比性。 基本原则是遵守其可比性。 具体说有以下几点： 具体说有以下几点： 意时间的长短应统一； 注意时间的长短应统一； 体范围应该一致； 总体范围应该一致； 标的经济内容应该相同； 指标的经济内容应该相同； 标的计算方法和计量单位应该一致。 指标的计算方法和计量单位应该一致。
例
某商业企业商品销售额与库存额情况 1月 2月 3月 a 商品销售额(万元) b 商品库存额(万元) 80 150 240
1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 35 45 55 65
第一季度月平均 (80 +150 + 240) / 3 156.7 = = = 3.13(次 ) 35 65 50 商品流转次数 ( + 45+55+ ) /(4−1) 2 2 ∴季度的商品流转次数=月平均商品流转次数 月数 × ) = 3.13×3 = 9.39(次 ∑a a n 此题化为一般公式为：c = = b b +b +b +L+ bn 1 2 2 3 2 n −1
序时平均数的计算方法： 序时平均数的计算方法：
㈠ 绝对数动态数列的序时平均数
1. 时期数列的序时平均数
a1 + a2 + a3 + L + an ∑a a= = n n 式中：a 序时平均数 各时期发展水平
a1 ,a2 ,a3 ,L an n 时期项数
2. 时点数列的序时平均数
如果资料是连续时点资料，可分为二种情况： (1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：
上面 计算 可合 并简化 ： 为 3000 + 3300 3300 + 2680 2680 + 2800 + + 2 2 2 第二 季度 平均 库存量 = 3 3150 + 2990 + 2740 = = 2960(件) 3
上 计算 程 括 面 过 概 为一 公 ： 般 式 a1 + a2 a2 + a3 a +a + +L+ n−1 n 2 2 a= 2 n −1 a1 a + a2 + a3 +L+ an−1 + n 2 =2 n −1 这 计算 法 为 首 折半 " 种 方 称 " 末 法
上半年每一工 ∑a c= 人平均月产值 ∑b 33 + 39.65 + 39.44 + 44.1+ 46.8 + 48.3 = 60 + 65 + 68 + 70 + 72 + 70 251.29 = = 0.62(万元) 405
2. 由序时平均数组成的平均数动态数列的序时 平均数。 平均数。
例
某企业某年各季平均月产值情况 季 度 一 14 二 17 三 21 四 29 平均每月产值(万元)
以时间为权 ： 数 14× 3 +17 × 3 + 21×3 + 29 ×3 3+ 3+ 3+ 3 243 = = 20.25(万元) 12 可见，当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。 可见，当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。 若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。 若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。 全年平 均每月产值 =