矩阵与向量

矩阵与向量

矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛。一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折坐标系。这其中就描述了矩阵与向量的极其微妙的关系。

在我们学习矩阵之初，就给出行矩阵

11121()n A a a a =

与列矩阵

11121n b b B b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A 与

B 也叫行向量与列向量，这里行向量与列向量仅仅是个名称问题. 但为我们今后讲向量空间埋下伏笔，这样做很有好处

. 其实对于矩阵和向量的变化我们也并不陌生。向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量v 都能写成“扩展”形式：

也就是说分别将p、q、r定义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，v = x p + y q + z r

现在，向量v就被表示成向量p，q，r的线性变换了，向量p，q，r 称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。用一个向量乘以该矩阵，得到：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果aM=b，我们就可以说，M将a转换到b。从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。

其实说到这些变换，我们不得不想到我们刚到的线性变化，这是矩阵与向量之间最为微妙的。在数学上，如果满足下式，那么映射F(a)就是线性的：

F(a + b) = F(a) + F(b) 以及F(k a) = k F(a)

如果映射F保持了基本运算：加法和数量乘，那么就可以称该映射为线性的。在这种情况下，将两个向量相加然后再进行变换得到的结果和先分别进行变换再将变换后的向量相加得到的结果相同。同样，将一个向量数量乘再进行变换和先进行变换再数量乘的结果也是一样

的。

二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。

可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换

，k，l

T是线性变换。

线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

线性变换的各种形式都是如此：

恒等变换：

零变换：

变换的相等：、是的两个线性变换，，均有，则称＝

线性变换的和+：，

线性变换的数乘：，

负变换：

线性变换的乘积：，

逆变换：，若存在线性变换使得，则称为的逆变换＝

线性变换的多项式：

，并规定

学习数学其实就是一个“巧”字，我们要学好矩阵就要溯其根源。追溯矩阵的由来，与向量的关系，我们会觉得矩阵并不神秘，它只是

用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数学运算。而当我们了解矩阵与向量这之间的变换，我相信在高代的学习中矩阵会成为我们解题的武器。

参考文献：北京大学数学系，几何与代数教研室代数小组编．高等代数

周伯曛．高等代数基础[M]．北京：高等教育出版社

史荣昌．矩阵分析[M]．北京：北京理工大学出版社