初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第15章面积问题与面积方法试题1新人教版

第15章 面积问题与面积方法

15.1.1★如图，（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中直线AP 与直线BC 交于点D ，则：（a ）中有ABD

ACD

S BD CD S =

△△；（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中有

ABP

ACP

S BD CD S =

△△. 解析 只要作相应的高，并运用比例即可.

15.1.2★若ABC △中有一点P ，延长AP 、BP 、CP ，分别交对边于点D 、E 、F ，则

1PD PE PF

DA EB FC

++=. 解析 如图，易证BPC ABC S PD DA S =△△，APC ABC S PE EB S =△△，APB

ABC

S PF FC S =

△△，三式相加即得结论. 15.1.3★求证：若点A 、B 、C 、D 是一直线上依次的任意四个不同点，点P 是直线外一

点，则有

sin sin sin sin APC BPD AC BD

BPC APD BC AD

∠⋅∠⋅=

∠⋅∠⋅. 解析 如图， sin sin PA APC

PB BPC

∠=

∠，

sin sin PBD APD S BD BP BPD

AD S AP APD

∠==

∠△△， 两式相乘，即得结论.

评注 这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时AB CD BC AD ⋅=⋅，这种情形在几何中十分常见.

15.1.4★★如图，设

BD p CD =，CE q AE =，AF

r BF

=，试用p 、q 、r 表示

PQR ABC S S △△. 解析 用面积比或梅氏定理得出，

1(1)DQ QA r p =+，于是1AQC ACD ABC

AQ r

S S S AD r pr

==++△△△以及ABR S △与BPC S △的表达式，最后算得

2

(1)(1)(1)(1)

PQR ABC

S pqr S r pr p pq q qr -=++++++△△. 15.1.5★★ 已知E 为ABC △的角平分线AD 上任一点，AB 、AC 延长线上分别有点M 、N ，CM BE ∥，BN CE ∥，求证：BM CN =.

解析 如图，连结ME 、NE .E 至AB 、AC 距离相等，即sin sin BE ABE CE ACE ⋅∠=⋅∠，

由CM BE ∥，BN CE ∥，有BME BEC ECN S S S ==△△△，故1

sin 2

BM BE ABE ⋅⋅∠=

1

sin 2

CN CE ACE ⋅⋅∠，于是BM CN =. 15.1.6★★在ABCD 的两边AD 和CD 上各取一点F 和E ，使得AE CF =，AE 与CF 交于P ，求证：BP 是APC ∠的平分线.

解析 如图，易知1

2

ABE ABCD BCF S S S ==△△，又AE CF =，故B 至AE 的距离与B 至CF 距

离相等，于是BP 平分APC ∠.

15.1.7★★已知ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ，且AD 、BE 、CF 共点，求证： 1

4

DEF ABC S S △△≤. 解析 如图，设

1BF k AF =，2AE k EC =，3CD

k BD

=，则由塞瓦定理知1231k k k =. 又知原式等价于证明34AFE BFD EDC ABC S S S S ++△△△△≥，而212(1)(1)AFE ABC S k AF AE

S AB AC k k =⋅=

++△△，同理，1

13(1)(1)BFD ABC S k S k k =

++△△，323(1)(1)

EDC ABC S k S k k =++△△，于是问题变为证明 1231223311233

(1)(1)(1)4k k k k k k k k k k k k ++++++++≥，去分母、考虑1231k k k =并移项整理得上式等价于

123123

111

6k k k k k k +

++++≥.这显然成立，取等号仅当1231k k k ===，此时D 、E 、F 为各边中点.

15.1.8★在凸四边形ABCD 中，17AB =，7BC =，22DA =，90ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，求四边形ABCD 的面积.

解析

如图，22AC ，故本题只有一解（否则D ∠可能为钝角）. 今延长AB 、DC 交于E ，则BCE △为等腰直角三角形，24AE =.又作AF ED ⊥

，则AF EF ==49239

14422

AEF BCE ABCF S S S =-=-

=

△△四边形.

又14DF =

，故AFD S =△

于是239

2

ABCF S =

+四边形15.1.9★★锐角ABC △中，60BAC ∠=︒，向外作正ABD △与正ACE △，设CD 与AB 交于点F ，BE 与AC 交于点G ，CD 又与BE 交于点P ，求证：BPC AFPG S S =△四边形. 解析 结论转化为AFC BGC S S =△△，两边同时除以ABC S △，转化成线段之比，即求证AF CG

AB AC

=

，上式又等价为

AF CG

BF AG

=

. 这是成立的，因为左式AC CE

BD AB

=

==右式，此处用到了AB CE ∥与AC BD ∥. 15.1.10★在等腰ABC △中，12AB AC ==，E 、F 分别在两腰AB 、AC 上，8AE AF ==，BF 与CE 相交于点D ，四边形AEDF 的面积为8，求ABC △的面积. 解析 如图，连结EF ，设DEF S x =△.易知EF BC ∥，82123EF ED DF

BC CD BD

====

， 于是3

2

BED FDC S S x ==

△△，