(江西版)2013年高考数学总复习 第十一章11.5 数学归纳法 理 北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.5 数

学归纳法练习

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( )．

A ．1

B ．1＋3

C ．1＋2＋3

D ．1＋2＋3＋4

2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1

2－1

＜n (n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等

式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )．

A ．2k －1

B ．2k －1

C ．2k

D ．2k

＋1

3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞127

64

成立时，起始值n 至少应取为( )．

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n

能被x ＋y 整除”的第二步是( )． A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N ＋) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N ＋) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N ＋)

D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N ＋)

5．在数列{a n }中，a 1＝1

3

，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )．

A ．1(n －1)(n ＋1)

B ．1

2n (2n ＋1)

C ．1(2n －1)(2n ＋1)

D ．1

(2n ＋1)(2n ＋2)

6．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1

＋9，当n ∈N ＋时，f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，猜想m 的最大值为( )．

A ．9

B ．18

C ．27

D ．36 二、填空题

7．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1

＝1－a n ＋2

1－a

(a ≠1，且n ∈N ＋)”，在验证n ＝1

时，左边计算所得的结果是__________．

8．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)

2

(n ∈N ＋)的第二步中，

当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于__________．

9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥16

2π

成

立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥25

3π

成立……

猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________成立． 三、解答题

10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13

n (4n 2

－1)．

11．试比较2n ＋2与n 2

的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 12．如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2，3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．

(1)写出a 1，a 2，a 3；

(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N ＋)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．

参考答案

一、选择题

1．C 解析：左边表示从1开始，连续2n ＋1个正整数的和，故n ＝1时，表示1＋2＋3的和．

2．C 解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12－1；由n ＝k ，末项为1

2－1

到n ＝k

＋1末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2

k ，显然增加的项数为2k

.

3．B 解析：∵1＋12＋14＋…＋127－1＝7

1121

12

⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－126＝27

－126＝12764， 而1＋12＋14＋…＋128－1＞127

64，故起始值n 至少取8.

4．B 解析：∵n 为正奇数， ∴n ＝2k －1(k ∈N ＋)．

5．C 解析：由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝1

7×9

.

猜想a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1)

.

6．D 解析：f (n ＋1)－f (n )＝(2n ＋11)·3n ＋2－(2n ＋9)·3n ＋1＝4(n ＋6)·3n ＋1

， 当n ＝1时，f (2)－f (1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D 正确． 二、填空题

7．1＋a ＋a 2

解析：首先观察等式两边的构成情况，它的左边是按a 的升幂顺序排列的，

共有n ＋2项．因此当n ＝1时，共有3项，应该是1＋a ＋a 2

.

8．3k ＋2 解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1＋1)＋(k ＋1＋2)＋…＋(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)，

所以其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.

9．1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2

(n －2)π 三、解答题

10．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12

＝1，右边＝13

×1×(4－1)＝1，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13

k (4k 2

－1)．

则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13

k (4k

2

－1)＋4k 2

＋4k ＋1

＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2

＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2

－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2

－1] ＝13

(k ＋1)[4(k ＋1)2

－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式都成立．