高考数学二轮复习专题一不等式

第4讲 不等式

不等式的解法 [核心提炼]

1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）

>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f （x ）g （x ）

≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [典型例题]

(1)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则不等式f (－

2x )＜0的解集是( )

A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫1

2，＋∞ B.⎝⎛⎭

⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫3

2，＋∞ D.⎝⎛⎭

⎫－12，32 (2)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1，3)， 所以a ＜0，且⎩⎨⎧1－ab

a

＝2，－b

a ＝－3，

解得a ＝－1或1

3

(舍去)，

所以a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3， 所以f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，

由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－3

2

，故选A.

(2)当a ＝2时，不等式化为－4<0，恒成立； 当a ≠2时，

由条件知⎩

⎪⎨⎪⎧a －2<0

Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，

解得－2

综上所述，a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (1)A (2)(－2，2]

不等式的求解技巧

(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．

(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得出不等式的解集．

(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．

[对点训练]

1．不等式x

2x －1>1的解集为( )

A.⎝⎛⎭⎫12，1

B ．(－∞，1) C.⎝

⎛⎭⎫－∞，1

2∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫

12，2

解析：选A.原不等式等价于

x

2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1

<0， 不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得1

2

2．(2019·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a ，2a )，且函数f (x )＝

⎝⎛⎭

⎫1a x 2

＋2mx －m

－1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________． 解析：当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a ，2a )，这显然是不可能的．当0

<0的解集为(－a ，2a )，且⎝⎛⎭⎫1a x 2

＋2mx －m ≥⎝⎛⎭⎫1a 0

，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.

答案：[－1，0]

绝对值不等式 [核心提炼]

1．含绝对值不等式的解法

(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法

①若c >0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c ，或ax ＋b ≤－c ，然后根

据a ，b 的取值求解即可；

②若c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . (2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；

③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；

④这些解集的并集就是原不等式的解集． 2．绝对值不等式的性质(三角不等式)

(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．

(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．

[典型例题]

(1)(2019·绍兴市诸暨市高考二模)已知f (x )＝x 2＋3x ，若|x －a |≤1，则下列不等式一

定成立的是( )

A ．|f (x )－f (a )|≤3|a |＋3

B ．|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4

C ．|f (x )－f (a )|≤|a |＋5

D ．|f (x )－f (a )|≤2(|a |＋1)2

(2)(2019·新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)＝|x 2－a|＋|x －b|(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．

【解析】 (1)因为|x －a |≤1，所以a －1≤x ≤a ＋1， 因为f (x )是二次函数，

所以f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调时，|f (x )－f (a )|取得最大值为|f (a ＋1)－f (a )|或|f (a －1)－f (a )|，而|f (a ＋1)－f (a )|＝|(a ＋1)2＋3(a ＋1)－a 2－3a |＝|2a ＋4|≤2|a |＋4，

|f (a －1)－f (a )|＝|(a －1)2＋3(a －1)－a 2－3a |＝|－2a －2|＝|2a ＋2|≤2|a |＋2. 所以|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4，故选B.

(2)法一：根据对称性，不妨设b ≤0，x ∈[0，2]，所以f (x )＝|x 2－a |＋x －b ，所以M (a ，b )≥|x 2

－a |＋x －b ≥|x 2－a |＋x .

令g (x )＝|x 2－a |＋x ，x ∈[0，2]

①当a ≤0时，g (x )＝x 2＋x －a ，g (x )max ＝6－a ≥6；

②当0＜a ＜4时，g (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋a ，x ∈[0，a ]，x 2＋x －a ，x ∈[a ，2]