散度与旋度——公式
2.梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度的定义及公式表达梯度、散度和旋度的定义及公式表达一、梯度是个向量或表示为二、散度是个标量设有一个向量场通量可写为则散度并有运算关系式三、旋度是个向量rotA或curlA或可以写成例如求F沿路径r做的功矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA 点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。
散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
其计算也就是我们常说的“点乘”。
散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。
如下式梯度物理意义：最大方向导数（速度）散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。
就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。
旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。
矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
附：散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.欧拉定理在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
散度和旋度的计算公式
散度和旋度的计算公式散度和旋度是向量场中两个重要的概念，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
散度描述了向量场的流出或流入程度，而旋度则描述了向量场的旋转程度。
下面分别介绍散度和旋度的计算公式。
散度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的散度定义为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $其中，$ \frac{\partial}{\partial x} 、 \frac{\partial}{\partial y} 和\frac{\partial}{\partial z} 分别表示对x、y和z的偏导数。
若向量场\mathbf{F}$是二维的，则散度的计算公式简化为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} $ 旋度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的旋度定义为：$abla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{pmatrix} $ 展开计算后，可得到旋度的具体计算公式：$abla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partialQ}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} $总结散度和旋度是向量场的两个重要性质，通过计算散度和旋度可以揭示向量场的流动和旋转规律。
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
三种常见坐标系中梯度散度旋度计算公式
圆柱坐标系中梯度、散度和旋度在圆柱塑标系下*圆1主坐标(rho- theta^ z)与直角坐标(x ＞严h)的变换方程九x = pcos9, y = psinQ, z = z直角坐标的至微分沏dx = cosfidp — psin^dQ. d y = sinfldp + p 匚osBdB dz = dz无穷小距蔼的平方为ds A 2=dx A 2 4-(ly A 2 + dz A 2=dp A 2 亠(pdfl)A 2 + dz A2所以，标jaia 子为hp = 1J h° = pi h z = 1在正交坐标系下的三维徽分算子育 梯度Ci 59 e 2 dtp e 3 dipV<p = ----- + --- -- + -11丄如 h 2aq 2 h 3 9q 3「ji d 厲(Fjhjh^) + -— (Fjhjhj) + 気［0 h 2h 3 lSq 201並f(h 2F 2)d v a十2h 』-加 OhFj-e 3 d a十」-Lr(h 2F 2)-—VXF =11V F =——hjhLdq\d ,. a a r K齐(叫)+西F°+芜(pF»旋產由梯度和散度组合可段容易的得到拉普拉斯算子。
梯度 Sepdpap舸度ddz(pF 』+ 算子 正交半标罠丘梯虔» .5 .1 滩-1 海V<P =&i~ ------- F 切 j 小 + 电 Aj 闵 1 b(A/3 A S tlya7^-( Fj/j2^1)十 7^- ( ^2^1) + (眄力 1免) j a(12 內 n认隠伽斫佥(閱)1 +Dh 、h 血［如血E) -詬伽两V 34> =—-h 、h^h A 也i0 (九2血jI E (&住 h\ &qjd(j2 \ b 如。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
梯度、发散和旋度——定义及公式
梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。
以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。
我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。
梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。
2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。
发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。
旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
梯度散度旋度计算公式
梯度散度旋度计算公式好的，以下是为您生成的文章：在我们探索数学和物理的奇妙世界时，梯度、散度和旋度这三个概念就像三把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多未知的大门。
它们的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心点，其实也没那么可怕。
先来说说梯度。
梯度这个家伙呀，就像是一个指明方向的箭头。
想象一下，你在一座山峰上，想要找到下山最快的路，梯度就能告诉你往哪儿走。
它的计算公式是：grad f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k 。
这里的i、j、k 是坐标轴的单位向量。
简单来说，就是分别对函数f 在x、y、z 方向求偏导数，然后组合起来。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我去爬山，山上的风景那叫一个美。
可是我走着走着就迷路了，不知道该往哪儿走才能最快下山。
这时候我就想到了梯度的概念。
我就琢磨着，要是能把这座山的高度看成一个函数，然后计算出它的梯度，不就能找到下山的最佳方向了嘛！虽然现实中没法这么精确计算，但这个想法让我对梯度有了更深刻的理解。
再聊聊散度。
散度呢，它可以告诉我们一个向量场是在发散还是在汇聚。
比如说，想象一个水龙头往水池里放水，水的流动就形成了一个向量场。
散度就能告诉我们水池里的水总体是在增加还是减少。
它的计算公式是：div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z 。
记得有一回，我在家做实验。
我弄了个小水盆，然后用几个小喷头往盆里喷水，想模拟一下水流的向量场。
我就一边观察水流，一边试着用散度的公式去理解水的流动情况。
这让我对散度的作用有了更直观的感受。
最后说说旋度。
旋度就像是一个衡量旋转程度的指标。
比如，想象一个漩涡，旋度就能告诉我们这个漩涡转得有多厉害。
它的计算公式是：curl F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k 。
有一次我在公园里看到一个小朋友在玩那种旋转木马，木马转呀转的。
散度和旋度的计算公式高数
散度和旋度的计算公式高数在高等数学中，散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。
本文将介绍散度和旋度的定义及计算公式。
1. 散度（Divergence）散度是矢量场在单位体积内，每单位体积所包含矢量的增量随体积元体积趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\cdot F = \\lim_{\\Delta V\\to 0} \\frac{\\iint_{S} F \\cdot ndS}{\\Delta V} $$其中，F为矢量场，S为封闭曲面，n为曲面的法向量。
矢量场F的散度计算公式为：$$ \ abla \\cdot F = \\frac{\\partial P}{\\partial x} + \\frac{\\partialQ}{\\partial y} + \\frac{\\partial R}{\\partial z} $$其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
2. 旋度（Curl）旋度是矢量场在单位面积内，每单位面积所包含矢量的增量随面积元趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\times F = \\lim_{\\Delta S\\to 0} \\frac{\\oint_{C} F \\cdotdr}{\\Delta S} $$其中，F为矢量场，C为封闭曲线，dr表示曲线的微元位移向量。
矢量场F的旋度计算公式为：$$ \ abla \\times F = \\left( \\frac{\\partial R}{\\partial y} - \\frac{\\partial Q}{\\partial z} \\right) \\mathbf{i} + \\left( \\frac{\\partial P}{\\partial z} -\\frac{\\partial R}{\\partial x} \\right) \\mathbf{j} + \\left( \\frac{\\partialQ}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\right) \\mathbf{k} $$ 其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
静电场散度和旋度1
其中，劈形算符
i
j
k
x y z
静电场 Ex、Ey 、 Ez的六个空
间变化率之间相互制约的关系
斯托克斯公式
小正方形 环流
A(1) x x+ A(2) y y -A(3) x x - A(4) y y
A(3)
x=A(1)
x+
∂A x ∂y
y
A(4)
x=A(2)
绕大闭合环路的环流，等于其内部所有面元的环流之和。
因为内部的小环流彼此抵消，只剩下未能抵消的紧贴边 界的面元上的部分线段的贡献，这些部分串起来，正是 宏观闭合环路 的环流，
斯托克斯 公式
闭合曲面 S 以 闭合环路L为边界
—费曼物理学讲义
∂Ax
∂x
x
出自面元 1、2 的通量 出自面元 3、4 的通量
∂A x
∂x
x
y
z
∂A y
∂y
x
y
z
出自面元 5、6 的通量
∂A z
∂z
x
y
z
出自小立方 体的通量
（ ∂A x ∂x
+∂∂Ayy
+∂A z）x y z ∂z
A→
(x,y+y,z)
4
y →
1
A(1)
→n
A(1)x
6
(x,y,z)
z
x
(x,y,z+z)
3
5
→A(2)
2
→n
(x+x,y,z)
V
出自一无限小立方体表 面的通量等于该处散度 乘以立方体体积
A lim A dS
梯度散度旋度公式大全
梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。
本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。
1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。
假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。
在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。
梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。
梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。
梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。
（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。
（3）梯度为零的点为函数的极值点。
2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。
在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。
散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。
（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。
（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。
3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。
在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。
【基础科学】旋度和散度(共111页)
Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
s
ds
q
4 r2
4
r2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
解：
Sr ds
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式一、旋度的计算公式旋度是描述向量场旋转性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的回旋情况。
旋度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的旋度为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
旋度的含义如下：当旋度∇×F=0时，称向量场F为无旋场，表示向量场在任一闭合曲线上的环量为零。
反之，当旋度∇×F≠0时，称向量场F为有旋场。
旋度的计算公式可以通过矢量分析中的叉乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度在电磁学中有重要应用，可以描述磁场的旋转情况，通过计算旋度可以得到磁场的环量。
同时，在流体力学中，旋度可以用来描述流体的涡旋性质，通过计算旋度可以得到流体的涡度。
二、散度的计算公式散度是描述向量场收敛性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的扩散情况。
散度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的散度为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
散度的含义如下：当散度∇·F>0时，称向量场F为发散场，表示向量场从给定点向外扩散。
当散度∇·F<0时，称向量场F为收敛场，表示向量场向给定点收敛。
当散度∇·F=0时，称向量场F为无散场，表示向量场在任一闭合曲面上的通量为零。
散度的计算公式可以通过矢量分析中的点乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
本文将介绍旋度和散度的计算公式及其应用。
一、旋度旋度是一个向量场的旋转程度，它描述了向量场在某一点的旋转强度和旋转方向。
旋度的计算公式如下：旋度 = ∇ × F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
旋度的结果是一个向量，它的大小表示旋转强度，方向表示旋转方向。
旋度在物理学中有广泛的应用，例如在电磁学中，旋度可以用来描述电场和磁场的相互作用。
在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋。
二、散度散度是一个向量场的发散程度，它描述了向量场在某一点的扩散强度和扩散方向。
散度的计算公式如下：散度 = ∇ · F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
散度的结果是一个标量，它的大小表示扩散强度，正负号表示扩散方向。
散度在物理学中也有广泛的应用，例如在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
在电磁学中，散度可以用来描述电场和磁场的源和汇。
三、应用举例1. 电场和磁场的相互作用在电磁学中，电场和磁场的相互作用可以用旋度来描述。
电场和磁场的旋度分别为：旋度(E) = -∂B/∂t旋度(B) = μ0J + ε0μ0∂E/∂t其中，E表示电场，B表示磁场，J表示电流密度，μ0表示真空磁导率，ε0表示真空电容率。
2. 流体的流量和流速在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
流体的速度场为：v = (u, v, w)其中，u、v、w分别表示流体在x、y、z方向上的速度分量。
流体的流量为：流量= ∫∫S v· n dS其中，S表示流体的流过的面积，n表示面积法向量。
流体的流速为：流速 = ∇ · v其中，∇表示向量微分算子。
旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
旋度和散度的计算公式可以应用于各种物理学领域，例如电磁学、流体力学等。
符号散度旋度
符号散度旋度一、符号、散度和旋度的概念在数学和物理学中，符号、散度和旋度是三个重要的概念。
它们在向量场的分析中扮演着关键的角色，可以帮助我们理解和描述物理现象和数学计算。
1. 符号符号是一个向量场的标量函数，它描述了向量场在每个点的大小和方向。
在三维空间中，我们通常用符号符号φ 来表示符号。
符号可以表示物理量的大小，如电势和温度等。
2. 散度散度是一个向量场的标量函数，表示向量场在每个点的流出或流入的量。
在三维空间中，我们用符号∇·V来表示向量场 V 的散度。
散度可以帮助我们理解和描述物质的流动情况。
3. 旋度旋度是一个向量场的向量函数，描述了向量场在每个点的旋转情况。
在三维空间中，我们用符号∇×V来表示向量场 V 的旋度。
旋度可以帮助我们理解和描述物理系统的旋转和涡旋现象。
二、符号、散度和旋度的计算1. 符号的计算符号的计算相对简单，只需按照符号的定义计算每个点的大小和方向即可。
符号的计算可以直接应用于物理问题中，如电场和磁场的计算。
2. 散度的计算散度的计算需要使用偏导数的概念。
在三维空间中，我们用符号∂/∂x, ∂/∂y和∂/∂z 来表示对空间坐标的偏导数。
散度的计算公式为∇·V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y +∂Vz/∂z。
3. 旋度的计算旋度的计算也需要使用偏导数的概念。
旋度的计算公式为∇×V = ( ∂Vz/∂y -∂Vy/∂z )i + ( ∂Vx/∂z - ∂Vz/∂x )j + ( ∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y )k。
旋度的计算可以帮助我们理解和描述旋转和涡旋现象，如风场的旋转和涡旋。
三、符号、散度和旋度的物理意义符号、散度和旋度在物理学中有着重要的物理意义，对于理解和描述物理现象和数学计算非常重要。
1. 符号的物理意义符号可以表示物理量的大小和方向，如电势和温度等。
符号的计算可以帮助我们推导和描述物理规律，如电场和磁场的计算。
2. 散度的物理意义散度描述了向量场在每个点的流出或流入的量。