山东财经大学 统计学 第4章 极限定理

1 0.99965 0.0035
三、棣莫弗尔—拉普拉斯中心极限定理 定理4.3.2 （棣莫弗尔-拉普拉斯定理） 设X 服从参数为 n，p 的二项分布,则对任意实数 x 有
X np lim P{ x} 0 ( x) n np(1 p)
近似地
X np ~ N (0,1) np(1 p)
注 小概率事件：概率接近于0的事件 大概率事件：概率接近于1的事件 小概率原理：小概率事件在一次试验中被认为是不可能发生的 大概率事件在一次试验中被认为是一定会发生的
X P 即 p. n
定理4.2.2 （切比雪夫大数定律）设X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的随机变量，各有数学期望EX i 和DX i , 并且对所有的i 1, 2, 有DX i C，其中C是与i无关 的常数，则对任意 0有 1 n 1 n lim P | X i EX i | 1. n n i 1 n i 1
1000 0.8n ) 0.16n
查表
n 1279
极限定理
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的 0-1 分 布的随机变量之和，下面是当 X ~B(20,0.5) 时，X的概率分布图：
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
P
0
极限定理
泊松分布相当于二项分布中 p 很小 n 很大的分布， 因此，当参数l = np 很大时也相当于 n 特别大，这个时 候泊松分布也近似服从正态分布，下面是 l =30 时的泊 松概率分布图.
P( X i 3500) 1 P( X i 3500) 1 (3500)
i 1
100
3500 3000 1 0 ( ) 1 0 (2.887) 0.002 30000
i 1
例4.3.1：一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机 的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元），1.2 （元），1.5（元）各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5，若售出300 只蛋糕，求 (1) 收入至少为400元的概率； 解（1）第i只蛋糕的价格为Xi(元),（i=1.,2,…,100). Xi独立同分布 EXi=1.29， DXi=0.0489
X ~N(0.8n, 0.16n).
0.95=P( X 1000) 1 (1000) 1 0 (
所以 即
1000 0.8n 0 ( ) 0.05 0.16n 0.8n 1000 0 ( ) 1 0.05 0.95 0.16n
0.8n 1000 1.64 0.4 n
令 Yn
注
X i n
i
n
n
n i 1 i
n
X 的标准化R.V.
又 E ( X i ) n，D( X i ) n 2 N(0, 1)
i 1 i 1
= P(Yn≤x) = FYn(x)
n n
(1)当n充分大时，Yn近似服从N(0,1). (2) 定理对离散型、连续型R.V.都适用. i1 (3)对独立同分布的R.V.序列,只要期望和方差存在,不论Xi服从何分 布，和的极限分布都是正态分布.
于是EX 7000, DX 2100
由中心极限定理知X N (7000, 2100)
则 P 6800 X 7200 (7200)-(6800)
2100 2100 200 200 0 ( ) 0 ( ) 2100 2100 0 ( 7200 7000 ) 0 ( 6800 7000 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
20 (4.36) 1 0.99999
例 设元件的正品率为0.8，若要以0.95的概率使箱内的正品数 至少为1000只，问箱内至少要装多少只元件？ 解：设箱内至少装n只元件，其中正品数为X，则 X~B(n, 0.8).
EX np 0.8n
由定理4.3.2: 近似地
DX npq 0.16n
100 i 1
X i , Xi 服从[0，60]的均匀分布
i 1
100
EXi =30 DXi =300
E ( X i ) 3000,
D( X i ) 300 100 30000
i 1
100
由中心极限定理得：
100
X 近似服从N (3000,30000)
i 1 i
100
EY 60
由中心极限定理得：
D(Y ) 48
X 近似服从N (60,48)
Y B(300,0.2)
60 60 ) P(Y 60） 1 (60) 1 0 ( 48
1 0 (0)
0.5
例 设某电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏 开灯的概率为0.7，而假定开关时间彼此独立，估计 夜晚同时开的灯的盏数在6800与7200之间的概率。 解 X表示夜晚同时开着的灯的盏数， X B(10000,0.7), 则
1 n 1 n lim P X i EX i 0 n n i1 n i1
1 n 1 n p X i n EX i , n i 1 i 1
X n E X n
P
定理4.2.3 （辛钦大数定律） 设X 1 , X 2 , , X n , 是一 列相互独立同分布的随机变量，且数学期望存在， 记EX i ，则有
0.9977
例4.3.1：一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机 的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元），1.2 （元），1.5(元）个各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5，若售出300 只蛋糕，求 (1) 收入至少为400元的概率； (2) 售出价格为 1.2 元的蛋糕多余60只的概率。 解（2）设Y 表示售出的300只蛋糕中1.2元蛋糕的蛋糕数，则
300 i 1
设总收入为X，则
300 i 1
X Xi
i 1
300
EX E ( X i ) 1.29 300 387, D( X i ) 0.0489 300 14.67
2 由中心极限定理得： X 近似服从N (387,14.67) N (387,3.83 ) 400 387 ) 1 0 (3.39) P(X 400） 1 (400) 1 0 ( 3.83
P(6800 X 7200) P( X 7000 200) 1 2100 0.9475 2002
§4.2 大数定律
定义4.2.1（ 依概率收敛）设{Xn}为随机变量序列，a为常数，若
或
lim P(| X n a | ) 1
n
lim P (| X n a | ) 0
X ~ N (np, np(1 p))
注: 二项分布的极限分布是正态分布. 若X~B(n,p), n充分大时, X近似服从N(np,np(1-p)) 可用正态分布近似计算二项分布.
例 某一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.005，现在 10000个这类人参加人寿保险，试求未来一年中的这些保险者里面， 死亡人数不超过70的概率。 解：令X 为参保者中未来一年中死亡的人数, 则X ~ B(10000, 0.005).
大数定律
中心极限定理
§4.1 切比雪夫不等式
定理4.1.1设随机变量X 的期望EX及方差DX存在，则对任意的 >0, 有
P ( X EX )
DX

2
P ( X EX ) 1
DX

2
EX-
EX
EX+
例1 某电网有10000盏灯，夜晚每盏灯打开的概率为0.7,假定 各灯的开、关彼此独立. 用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着 的灯的数量在6800与7200之间的概率. 解：设X表示夜晚同时开的灯数， 则X~B（10000，0.7）. EX=7000，DX=2100 由切贝雪夫不等式得:
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 P
n
则称随机变量{Xn}依概率收敛于a. 记作
X n a
P
注: 1.序列 X n 依概率收敛到a与序列 X n a 依概率收敛
到0是等价的.
2.这里序列 X n a 依概率收敛到0,并不同于为 微积分中常说的收敛于0.
定理4.2.1（贝努利大数定律）设X 是n重贝努利 试验中事件A发生的次数，已知在每次试验中A 发生的概率为p(0 p 1), 则对任意 0, 有 X lim P | p | 1. n n
P( X 70) C
k 0
70
k 10000
0.005 0.995
k
10000 k
EX np 10000 0.005 50
P{ X 70} (70)
DX npq 49.75
由定理4.3.2 知：X 近似服从N(50, 49.75).
70 50 0 ( ) 49.75
二、独立同分布中心极限定理 定理4.3.1 (列维中心极限定理）
设X1 , X 2 , , X n ,为独立同分布的随机变 量序列，且
EX i ，DX i
2
0,(i 1,2,)
则对任意实数 恒有： x n 1 lim P{ ( X i n ) x} 0 ( x) n n i1
X i N (n , n 2 )
n
近似
中心极限定理
设X1 , X 2 , , X n ,为独立同分布的随机变 量序列，且
EX i ，DX i 0,(i 1,2,)
2
当n比较大时，
X
i 1
n
近似 i
N (n , n )
2
例 设某商店每天接待顾客100人,设每位顾客的消费额服从[0, 60]上 的均匀分布,且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过 3500的概率. 解：第i个顾客的消费额为Xi (元),（i=1,2,…,100). Xi 独立同分布 则商店的销售额为
1 n lim P X i 1 n n i 1
1 n 即： X i p n i 1
注：算术平均值可作为期望的近似值.
§4.3
中心极限定理
一、中心极限定理的一般概念
引例：测量时受很多因素的影响，如仪器的精度、人的视觉、空气 的温度、湿度…等，各个因素独立的，对误差X的影响都是微小的， 甚至是感觉不到的，但它们的总和使得测量产生误差X服从某种分 布。 凡是用来阐明大量的独立的随机变量和的分布以正态分布 为极限的一系列定理，统称为中心极限定理.