实变函数期末考试卷A卷

实变函数一、 判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。

（×）2.必有比a 小的基数。

（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

（√）4.无限个开集的交必是开集。

（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。

（×）6.任何集n R E ⊂都有外测度。

（√）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。

（×）8.可测集的所有子集都可测。

（×）9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

（×） 1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==（× ）4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ）二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B 。

2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A}0{ 。

3.设 ,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1}0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。

8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。

三、计算题（每题10分，共20分）1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→1032221sin 1)(lim 。

（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx xn nx x f n 32221sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞→x x f n n ；（3）因为xnx nx x n nx nx x n nx 2121sin 121222132221=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。

于是由Lebesgue 控制收敛定理，有0sin 1)(lim sin 1)(lim 10322211032221=+=+⎰⎰∞→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n2. 设⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。

解：因为有理数集的测度为零，所以2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。

于是⎰⎰⎰+=]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxx f dx x f dx x fdx x dx x ⎰⎰+=21126112331=+=四、证明题（每题8分，共40分）1. 证明：)\()(\11n n n n A A A A ∞=∞==证明：)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞=1c ))(1cn n A A ∞===)(1cn n A A ∞==)\(1n n A A ∞=2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。

证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。

因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。

则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。

3. 证明：若0=*E m ，则E 为可测集。

证明：对任意点集T ，显然成立着)()(c E T m E T m T m ***+≤。

另一方面，因为0=*E m ，而E E T ⊂ ，所以E m E T m **≤)( ，于是)(E T m *0=。

又因为c E T T ⊃，所以)(c E T m T m **≥，从而 )()(c E T m E T m T m ***+≥。

总之，)()(c E T m E T m T m ***+=。

故E 是可测集。

4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合])([r x f E <是可测集。

一、填空题（每小题2分，共10分）（ D ）1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）A 、AB ⊂ B 、B A ⊂C 、A C ⊂D 、C A ⊂（ A ）2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ）.A 1mE = .B 0mE =.C E 是不可测集 .D E 是闭集（ C ）3、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则EA 是（ ）.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零.C 不可测集 .D 以上都不对（ B ）4、设mE <+∞，(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）.A 必要条件 .B 充分条件 .C 充分必要条件 .D 无关条件 （ D ）5、设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）.A ()f x 是E 上的连续函数 .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数 .C ()f x 是E 上的简单函数.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有， …………………………(5分)即任意00U(,),,U(,),x x x E x E Eδδ∈∈⊂就有所以是开集…………………………（10分）若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集。

（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞=∞………………………………………………………………………（5分）设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞∈，又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以…………………………………………………（7分）lim n n A φ→∞=…………………………………………………………………………………（12分）若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=………………（15分）（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=（8分）所以1iiI E∞=⊃，且1||iiIε∞==∑，由ε的任意性得*0m E=………………………………（15。