石头剪刀布博弈

局中人2
石头 局中人1剪刀 布
显而易见，“石头剪刀布”这个博弈是对称的，因而猜测其混合战略纳什均衡必然包括一种对称型的均衡，其中1a （石头）=1a （剪刀）=1a （布）=1/3;
2a （石头）=2a （剪刀）=2a （布）=1/3.
通过支付等值法来验证最优混合战略（1/3,1/3,1/3）：
局中人1选择纯战略石头的期望效用为：0*1/3+1*1/3-1*1/3=0 ①
选择纯战略剪刀的期望效用为：-1*1/3+0*1/3+1*1/3=0 ②
选择纯战略布的期望效用为：1*1/3-1*1/3+0*1/3=0 ③
因为①式=②式=③式=0，对于局中人2来说，同理，所以由支付等值法显而易见，（1/3,1/3,1/3）是局中人1和2的最优混合战略。

假设有另外的均衡（1a ,2a ）存在，其中
1a （石头）=p 1 1a （剪刀）=p 2 1a （布）=1-p 1-p 2
2a （石头）=q 1 2a （剪刀）=q 2 2a （布）=1-q 1-q 2
p 1、p 2、q 1、q 2≥0，p 1+p 2≤1，q 1+q 2≤1.
支付最大化法
由上述假定得：局中人1的混合战略是：（p 1,p 2,1-p 1-p 2);
局中人2的混合战略是：（q 1,q 2,1-q 1-q 2).
局中人1的期望效用函数为：
v （1a ，2a ）=p 1（q 1+2q 2-1)+p 2（1-2q 1-q 2） +（1-p 1-p 2）（q 1-q 2）
给上式求微分，得到局中人1最优化的一阶条件1/p v ∂∂=32q -1=0，解得：2q =1/3； 2/p v ∂∂=1-31q =0，解得：1q =1/3。

1-q 1-q 2=1/3。

故*1q =1/3，*2q =1/3,（1-q 1-q 2）*
=1/3.
即局中人2以1/3的概率选择出石头，以1/3的概率选择出剪刀，以1/3的概率选择出
布。

同样，可以根据局中人2的期望效用函数找到局中人1的最优混合战略。

除此均衡之外，是否还会有别的均衡存在呢？下面，我们通过推证来证明该博弈只有这一个均衡。

局中人1选择纯战略出石头的期望效用为：2q -（1-q 1-q 2）=1q +22q -1；
纯战略出剪刀的期望效用为：-1q +（1-q 1-q 2）=-21q -2q +1；
纯战略出布 的期望效用为：21q q -。

在均衡下，局中人1要么觉得三个行动一样好，要么觉得其中两个某两个行动一样好而第三个行动是严格下策（有唯一最优反应的情况是不存在的，因为我们已经知道该博弈没有纯战略纳什均衡）
情况一：局中人1觉得三个行动一样好，即三种行动带来的盈利一样多。

这种情况出现当且仅当21q q ==1/3.要让局中人2选择这三种行动，必有：局中人1在三种行动之间随机选择并且满足21p p ==1/3.其实这就是我们已经知道的对称均衡结果而已。

情况二：局中人1觉得其中某两个行动一样好，而第三个行动是严格下策。

假设这两个行动是“石头”和“剪刀”。

则：
1q +22q -1 = -21q -2q +1 〉21q q - 解得：1q 〈1/3， 2q 〉1/3 ，21q q +=2/3.
局中人2以正的概率随机选择后两个行动，而选择第一个行动的概率未必为正。

作为最优反应，局中人1以正的概率随机选择前两个行动，而选择第三个行动的概率未必为正。

局中人2选择三个行动的期望效用分别是2p -1/3，-1p +1/3和21p p -。

为了和1q 〈1/3， 2q 〉1/3 ，21q q +=2/3这三个条件一致，必有：
-1p +1/3 = 21p p -》2p -1/3 ④
该弱不等式在1q =0时是严格不等式，而在0〈1q 〈1/3时是等式。

前提假设“1p +2p =1”，计算④式得，1p =4/9，2p =5/9，而-1p +1/3=21p p -=-1/9 而2p -1/3=2/9，-1/9并不大于2/9，从而④式和假设1p +2p =1矛盾。

显然，这和之前的假设1p +2p =1矛盾。

从而，不存在一个让局中人1仅以正的概率选择其中的任意两个战略的混合战略纳什均衡。

综上所述，有且仅有唯一的混合战略纳什均衡最优战略，即局中人1和居中人2均以1/3的概率选择石头，1/3的概率选择剪刀，1/3的概率选择布。