2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(十七)圆锥曲线的方程与性质Word版含解析

3－
1
ax2－
x
的两个极
32
值点，且
A
x1，
1 x1
，B
x2，
1 x2
，则直线
AB 与椭圆 x22＋ y2＝ 1 的位置关系为
(
)
A ．相切
B．相交
C．相离
D ．不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定
解析： 选 B 依题意得 f ′(x)＝ ax2－ ax－ 1，
显然 Δ＝ a2＋4a>0，故 a<－ 4 或 a>0，
又 x1， x2 是方程 ax2－ ax－1＝ 0 的两根，
－|AF 1|＝ 2a＝2，|BF 1|－ |BF 2|＝ 2a＝ 2.又 |AF 1|＝ |BF 1|，故 |AF 2|－ |BF 2|＝4，又 |AB|＝ |AF2|－ |BF 2|，
故|AB|＝4.
5． (2018 届高三 ·衡水中学调研
)已知 x＝ x1， x＝ x2 是函数
f(
x)
＝
1 ax
∴
k＝
y20＝
1 2
.
二、填空题
7．已知焦点为 F 的抛物线 y2＝ 2px(p>0)上一点 A(m，2 2)，若以 A 为圆心， |AF|为半径
的圆 A 被 y 轴截得的弦长为 2 5，则 m＝ ________.
解析： 因为圆 A 被 y 轴截得的弦长为 2 5，
所以
m
2＋
5＝
|AF
|＝
m
＋
p 2
专题检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1．(2016
·全国卷Ⅰ
)已知方程
x2 m2＋
n
－
y2 3m2－
n＝
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距
离为 4，则 n 的取值范围是 ( )
A ． (－ 1,3)
B． (－ 1， 3)
C．(0,3)
D． (0， 3)
解析： 选 A 由题意得 (m2＋ n)(3 m2－ n)>0 ，解得－ m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间
双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为
―→ ―→ [2,4] ，则 PF1 ·PF 2的最小值的取值范围是
________ ．
解析：
设
P(m， n)，则
m2 n2 a2 － b2＝ 1，即
m2＝ a2
n2 1 ＋ b2
.
又 F 1(－ 1,0)， F2(1,0)，
―→
的左、右焦点，
M 为直线 y＝ 2b 上的一
点，△ F1MF2 是等边三角形，则椭圆 C 的离心率为 ( )
7 A. 14
7 B. 7
27 C. 7
37 D. 14
解析： 选 C 因为△ F1MF 2 是等边三角形，故 M (0,2b)，|MF 1|＝ |F1F2|，即 4b2＋ c2＝ 4c2，
2
消去 x，得 a2y2－ 2pb2y＋ a2b2＝ 0，
所以
y1＋
y2＝
2
pb2
2
a
，所以
2pb2
2
a
＝ p，
即
b2 a2＝
12，故
ba＝
22，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝ ±22x.
答案： y＝ ±22x x2 y2
9．已知双曲线 C： a2－b2＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点分别为
F 1(－ 1,0)， F 2(1,0)，P 是
2y0＝ y1＋ y2.
将 y21＝ 4x1，y22＝ 4x2 两式相减可得
y21－y22＝4( x1－ x2)?
(y1＋ y2)( y1－ y2)＝ 4(x1－ x2) ?
y1 －y2 x1－ x2
＝ 2， y0
即
k＝
2 y0.
∵ k>0，∴ y0>0，
∴
S△
OFM
＝
1× 2
1
×
y
0＝
2
，解得
y0＝ 4，
程为 ________．
解析： 设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)，由抛物线的定义可知
|AF
|＝
y1＋
p， 2
|BF
|＝
y2＋
p 2
，
|OF
|＝
p 2
，
由 |AF|＋ |BF |＝ y1 ＋p2＋ y2＋ p2＝ y1＋ y2＋ p＝ 4|OF |＝2p，得 y1＋ y2＝ p.
联立
22
xy a2－ b2＝ 1， x2＝ 2py
所以
x1＋
x2＝
1，
x1
x2＝－
1 a
，
故
kAB＝
1 x2 x2
－ －
1 x1 x1
＝
a，
则直线 AB 的方程为 y－ x11＝ a(x－ x1)， 即 y＝ ax＋ x1＋ x2，即 y＝ a(x－ 1)，
x1x2 显然直线过定点 (1,0)， 又点 (1,0)在椭圆 x2＋ y2＝ 1 内，
2
故直线与椭圆相交． 6．已知斜率为 k(k>0)的直线 l 与抛物线 C：y 2＝4x 交于 A， B 两点， O 为坐标原点， M
x2 10
＝
1
22
解析： 选 B 设所求双曲线方程为 y － x ＝t(t≠ 0)，因为一个焦点为 ( 26，0)，所以 |13t| 49
＝26.又焦点在 x 轴上，所以 t＝－ 2，即双曲线方程为 1x82－ y82＝ 1.
22
3．设 F 1， F 2 分别是椭圆
C
：
x a
2＋
yb2＝
1(
a>
b>0)
的距离为 4，得 m2＋ n＋ 3m2－ n＝ 4，即 m2＝ 1，所以－ 1<n<3.
2．一个焦点为 ( 26， 0)且与双曲线 y42－ x92＝ 1 有相同渐近线的双曲线方程是
(
)
2
2
A.
y－ 18
x 8
＝
1
2
2
B. x － y ＝ 1
18 8
C.1x62 － 1y02 ＝ 1
D.
1y62 －
4a
＝
7
c2，
e2＝
c2 a2＝
47，故
e＝
2
7
7 .
4．已知双曲线
x2－
y2＝ 8
1
的左、右焦点分别为
F1， F 2，过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两
支分别交于 A， B 两点，且 |AF 1|＝ |BF 1|，则 |AB|＝ ( )
A．2 2
B．3
C．4
D．2 2＋1
解析： 选 C 设双曲线的实半轴长为 a，依题意可得 a＝ 1，由双曲线的定义可得 |AF2|
是线段 AB 的中点， F 为 C 的焦点，△ OFM 的面积等于 2，则 k＝ ( )
1
1
A. 4
B.3
1 C.2 解析： 选 C
由抛物线方程
2 D.3 y2＝ 4x 可知焦点 F(1,0)．
设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M (x0，y0)，
2x0＝ x1＋ x2， ∵ M 为线段 AB 的中点，∴
.
①
又 A(m,2 2)在抛物线上，
所以 8＝ 2pm.
②
由①与②可得 p＝ 2， m＝ 2.
答案： 2 x2 y2
8． (2017 ·山东高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 a2－ b2＝ 1(a>0， b>0) 的右支与焦 点为 F 的抛物线 x2＝ 2py( p>0) 交于 A，B 两点． 若 |AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方