1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(教师版)

1.1 分类加法和分布乘法计数原理

1. 分类加法计数原理

【基础梳理】

完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m ＋n 种不同的方法．

2. 分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m ×n 种不同的方法．

3. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

【典型例题】

题型一 分类加法计数原理

【例 1-1】（2020·全国高三专题练习）有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有 A ．8 种

B ．9 种

C ．10 种

D ．11 种

【答案】B

【解析】设四位监考教师分别为 A 㴳B 㴳C 㴳翿，所教班分别为 a 㴳b 㴳c 㴳d ，假设 A 监考 b ，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c ，d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理，共有 3＋3 ＋3＝9(种)不同的监考方法，故选 B ．

x 2 y 2

【例 1-2】 设集合 A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程

A ．6 个

B ．8 个

C ．12 个

D ．16 个

【答案】 A

＋ ＝1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆的有( )

m n

【解析】 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以 m >n .当 m ＝4 时，n ＝1,2,3；当 m ＝3 时，n ＝1,2；当 m ＝2 时，

n ＝1，即所求的椭圆共有 3＋2＋1＝6(个)．

【举一反三】

1．（2020·重庆高二月考（理））小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7 种

B ．8 种

C ．6 种

D ．9 种

【答案】A

【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张

IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事．买 1 张IC 卡有2 种方法，即买一张 20 元面

值的或买一张30 元面值的；买 2 张IC 卡有3 种方法，即买两张 20 元面值的或买两张 30 元面值的或 20

元面值的和 30 元面值的各买一张，买 3 张IC 卡有2 种方法，即买两张 20 元面值的和一张 30 元面值的或 3

张20 元面值的，故共有 2＋3＋2＝7(种)不同的买法．

2．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为

（）

A．6 B．5 C．3 D．2

【答案】B

【解析】选女同学有 3 种选法，选男同学有 2 种选法，所以共有 5 种选法.故选：B.

3．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.

一天一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.

【答案】12

【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有 8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有 2 种方法，

由分类加法计数原理知，共有 8＋2＋2＝12（种）方法.故答案为：12.

题型二分步乘法计数原理

【例2-1】（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，

去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）

A．16 种B．18 种C．37 种D．48 种

【答案】C

【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有4 ×4 ×4 t h4 种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 3 种选择，共有3 ×3 ×3 t h7 种方案；则符合条件的有h4 — h7 t 37 种，故选：C．

【例 2-2】（2020·全国高三专题练习）如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的

矩形涂色不同，则不同的涂法有（）

A．72 种B．48 种C．24 种D．12 种

【答案】A

【解析】先涂 A 的话，有 4 种选择，若选择了一种，则 B 有3 种，而为了让 C 与AB 都不一样，则 C 有2 种，再涂D 的话，只要与 C 涂不一样的就可以，也就是 D 有3 种，所以一共有 4x3x2x3=72 种，故选 A。

【举一反三】

1．现有4 件不同款式的上衣和3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )

A．7 B．12 C．64 D．81

【答案】 B

【解析】要完成配套，分两步：第1 步，选上衣，从4 件上衣中任选一件，有4 种不同的选法；第2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．

2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是( )

A．6 B．9 C．16 D．24

【答案】 D

【解析】确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有3 种选法；第二步，确定b，有2 种选法；第三步，确定r，有4 种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.

3．某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的

奇数号跑道上，则安排这8 名运动员比赛的方式共有种．

【答案】 2 880

【解析】分两步安排这8 名运动员．

第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(种)方法；

第二步，安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝

120(种)．所以安排这 8 人的方式共有24×120＝2 880(种)．

题型三两个原理的综合运用

【例3-1】用 0,1,2,3,4 五个数字，

(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？

(2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？

【答案】见解析

【解析】(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有5×5× 5＝53＝125(种)．

(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位