工程数学(复变函数积分变换场论)59432

例3 研究函数 f (z) y2 2xi 在点x i 处的可
导性。
解 由于
第
二 章
lim f (z z) f (z)
z0
z
解
析 函 数
lim (1 y)2 2( x x)i ((1)2 2xi)
x0
x iy
y0
lim 2i(x iy) x0 x iy
2i
y0
所以 f ( x i) 2i
-9-
第一节 解析函数的概念
4）微分的概念
设函数 w f (z) 在 z0 处可导，则由导数的定义
第 二
章得
Baidu Nhomakorabea
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
w f (z0 z) f (z0 )
解
f (z0 )z (z)z
析 函
其中 lim (z) 0 , 因此，| (z)z | 是 | z | 的高阶
定义 如果函数w f (z) 在 z0 处及其z0的某个邻域
第 内可导，则称函数 w f (z) 在 z0 处解析。如果一个函
二
章 数在一个区域 D上每一点处都是解析的，则称函数为
解
析 函
D上的解析函数。如果函数 w f (z) 在 z0 不解析，则
数 称 z0为函数w f (z) 的奇点。
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第一节 解析函数的概念
第一节 解析函数的概念
第 二
一 复变函数的导数与微分
章
解 二 解析函数的概念
析 函 数
吴新民
-2-
第一节 解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分
1）导数的定义
第 二
定义 设函数 w f (z) 定义在区域 D 内，z0 为
,
其中 w f (z)、z g(w) 是两
二 章
个互为反函数的单值函数，且 g(w) 0。
解
例1 求 (zn ) , 其中 n 为正整数，z 0。
析
函 数
解 利用公式(2)、(4)
(
zn
)
1 zn
nz n1 z2n
nzn1
因此，当 z 0 时，公式(2)对n 是负整数也是成立的。
吴新民
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
(2.1.1)
如果函数w f (z) 在区域 D 上每一点都是可导的，
第 二
则称 w f (z) 是D 上的可导函数。
章
例1 设 f (z) z3 ，求 f (z)、f (1 i)。
解 析 函 数
解
因为 lim f (z z) f (z)
章 D 中的一点。 点 z0 z 不出D 的范围， 如果极限
解 析 函
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
数 存在，则说函数 w f (z) 在 z0 处是可导的，而称这
个极限值为函数 f (z) 在 z0 的处导数，记作 f (z0 ) 或
dw 。即 dz zz0
吴新民
-3-
第一节 解析函数的概念
函 数
(4) [ f (z)g(z)] f (z)g(z) f (z)g(z)。
(5)
f (z) g(z)
f
(z)g(z) f g2(z)
(
z
)g(
z)
,
g(
z)
0
。
吴新民
-8-
第一节 解析函数的概念
(6) { f [g(z)]} f [g(z)]g(z)。
第
(7)
f
(z)
1 g(w)
数
z0
无穷小量，而 f (z0 )z 是函数 w f (z) 的改变量 w
的线性部分。
定义 如果函数 w f (z) 在 z0 处的改变量 w 可
吴新民
- 10 -
第一节 解析函数的概念
以表示成 Az 与 z 的高阶无穷小 (z)z 之和，则
称函数 w f (z) 在 z0 处是可微的，而称 Az 为函数
吴新民
- 11 -
第一节
且 f (z0 ) A。
解析函数的概念
综上所述：一个函数在一点可导和可微是等价的。
第 二
如果记 dz z, 则
章
dw f (z)dz ,
(2.1.2)
解
析 函 数
因此，导数 f (z) 为微分的商（微商）dw 。 dz
吴新民
- 12 -
第一节 解析函数的概念
二 解析函数的概念
吴新民
-6-
第一节 解析函数的概念
2）可导与连续的关系
由例2可知，一个函数在复平面上某点处是连续的，
第 但在此点未必可导， 即连续未必可导。但是如果函数
二 章
w f (z) 在z0 处可导，则
解 析
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
函
数
因此必有 lim [ z0
f
( z0
lim ( y y) 2( x x)i y 2xi
章
x0
x iy
y0
解 析
lim y 2ix
函
x0 x iy
数
y0
由于
lim
x0
y 2ix x iy
2i,
y0
lim
x0
y 2ix x iy
i
y0
因此函数 f (z) y 2xi不可导
吴新民
-5-
第一节 解析函数的概念
z0
z
lim (z z)3 z3
z0
z
lim [3z2 3zz (z)2 ] 3z2 z0
所以 f (z) 3z2 ,
吴新民
f (1 i) 6i
-4-
第一节 解析函数的概念
例2 研究函数 f (z) y 2xi 的可导性。
解
lim f (z z) f (z)
z0
z
第 二
由定义，函数在一点解析，必在此点可导， 但在一
点可导，未必在此点解析。而在一个区域上解析与可导
吴新民
- 13 -
第一节 解析函数的概念
是等价的。 例4 研究函数f (z) z3 , g(z) y2 2xi, h(z) z
第 在复平面上的解析性。
第 在 z0 处的微分，记作 dw 即
二 章
dw Az
解
因此，一个函数 w f (z) 在 z0 可导，则必在 z0
析 函
可微，且 dz f (z0 )z 。
数
反之，设函数在 z0 处可微，则
w Az (z)z
因此
lim w A lim (z) A ,
z0 z
z0
即
一个函数 w f (z) 在 z0可微，则必在 z0 处可导，
z)
f
(z0 )]
0,
即
lim
z z0
f (z)
f (z0 )
所以，可导一定连续。
吴新民
-7-
第一节
3）求导法则
解析函数的概念
求导公式与法则：
(1) (C ) 0 , 其中 C 为常数。
第
二 章
(2) (zn ) nzn1 , 其中 n 为正整数。
解 析
(3) [ f (z) g(z)] f (z) g(z)。