工程数学(复变函数积分变换场论)59432
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工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院习题详解(总66页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====--=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin662w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 6622w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin 1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
工程数学(复变函数积分变换场论)59456
I
上，有B (t )
A(t
),
则称
矢性函数
B (t)
为矢性函数 A(t)
在区间
I
上一个原函数。
场 论
区间 I 上 A(t) 的原函数的全体称为 A(t)的不定积分，记
为
A(t
)dt .
如果 B(t
)
是
A(t
)在区间I
上的一个原函数，则
A(t)dt B(t) C
(8.1.5)
由定义，如果 A(t) Ax (t)i Ay (t ) j Az (t )k
给定一个变量，如果它没有方向，则称其为数性变
量，如果它有方向，则称其为矢性变量。
第 八 章
定义1 设有数性变量
t,
变矢 A,
如果对于 t
在某个
范围 G 内的每一个数值，A 都以唯一的一个确定的矢
场 论
量和它对应，则称 A 为数性变量 t 的矢性函数，记作 A A(t)
在空间直角坐标系下，矢性函数
场 论
dt t0 t t0
t
设 A(t
dA dt
)
Ax
(t
lim A
t0 t
)i
Ay (t ) lim Ax t0 t
j Az (t )k ,
i
lim
Ay
t0 t
由于
j
lim
Az
t0 t
k
所以 A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t )k
(8.1.4)
吴新民
-8-
吴新民
- 11 -
第一节 矢性函数的微积分
则 A(t)dt Ax (t)dt i Ay (t)dt j Az (t)dt k (8.1.6)
工程数学—复变函数的积分2
k! (k 1)( z ) k h 2O(1) (k 1)! f ( ) C f ( ) ( z h)k 1 ( z )k 1 d 2i C ( z )k 2 d 2ih
(k 1)! 1 1 C f ( )[( z h) k 1 ( z) ( z) k 2 ]d hO(1) 2i
例如：f ( z ) 1时，I 2i.
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr， 由闭路变形定理，得
f ( z) f ( z) z z0 dz C z z0 dz C r
由于I的值只与f(z) 在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有
I 2if ( z0 ),
即
1 f ( z) f ( z0 ) C z z0 dz 2i
定理3 .3(柯西公式)
设f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何 一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D 。那 么在C内任一点z0，有
1 f ( z) f ( z0 ) C z z0 dz 2 i
y
C2
C1
O 0 L
图 3.7
1
x
1 分别以 0和1为心, 做半径为 的圆周 C1 , C 2 .取正向 8 2z 1 2z 1 2z 1 L z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
2z 1 2z 1 z 1 dz z dz C2 z 1 z
z i 1
e dz 2πie z i
f ( z) z 5 z2
iz
iz z i
2πei
（2）注意到函数 在 z 2
(k 1)! 1 1 C f ( )[( z h) k 1 ( z) ( z) k 2 ]d hO(1) 2i
例如：f ( z ) 1时，I 2i.
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr， 由闭路变形定理，得
f ( z) f ( z) z z0 dz C z z0 dz C r
由于I的值只与f(z) 在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有
I 2if ( z0 ),
即
1 f ( z) f ( z0 ) C z z0 dz 2i
定理3 .3(柯西公式)
设f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何 一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D 。那 么在C内任一点z0，有
1 f ( z) f ( z0 ) C z z0 dz 2 i
y
C2
C1
O 0 L
图 3.7
1
x
1 分别以 0和1为心, 做半径为 的圆周 C1 , C 2 .取正向 8 2z 1 2z 1 2z 1 L z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
2z 1 2z 1 z 1 dz z dz C2 z 1 z
z i 1
e dz 2πie z i
f ( z) z 5 z2
iz
iz z i
2πei
（2）注意到函数 在 z 2
工程数学2016-CH02-复变函数的积分
2
f ( z) dz za
C
lim max f ( z ) f (a )
0
0
ei id 0 i e
15
所以
f ( z) dz za
f (a) ei id dz f (a ) f (a )2 i i za e 0
2
解 : 因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析, z 0 位于 z 4 内, 由柯西积分公式得 1 sin z 1 dz 2 i sin z z 0 0 2 i z 4 z 2 i
18
2z 1 例3. 计算积分 2 dz, 为包含圆周 z 1 z z 在内的任何正向简单闭曲线. 2z 1 解: 因为函数 2 在复平面 z z 内有两个奇点z 0 和 z 1, 由题意, 包含这两个奇点. 在 内作两个互不相交的正
e
e
2 3
f ( z )dz
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
2 n
其中 e为外边界, 1 n为n个内边界.
1
D
13
柯西定理的推论
利用二连区域的柯西定理可得
C1
f ( z )dz f ( z )dz
19
0 2 i 2 i 0 4 i
§2.4 柯西型积分
柯西型积分
设 f ( ) 是 l上的连续函数, l为一段有限长的 分段连续曲线,则 1 f ( ) F ( z) d 2πi l ( z ) 称作柯西型积分.如果z不在l上, 则F ( z )为解 析函数.
f ( z) dz za
C
lim max f ( z ) f (a )
0
0
ei id 0 i e
15
所以
f ( z) dz za
f (a) ei id dz f (a ) f (a )2 i i za e 0
2
解 : 因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析, z 0 位于 z 4 内, 由柯西积分公式得 1 sin z 1 dz 2 i sin z z 0 0 2 i z 4 z 2 i
18
2z 1 例3. 计算积分 2 dz, 为包含圆周 z 1 z z 在内的任何正向简单闭曲线. 2z 1 解: 因为函数 2 在复平面 z z 内有两个奇点z 0 和 z 1, 由题意, 包含这两个奇点. 在 内作两个互不相交的正
e
e
2 3
f ( z )dz
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
2 n
其中 e为外边界, 1 n为n个内边界.
1
D
13
柯西定理的推论
利用二连区域的柯西定理可得
C1
f ( z )dz f ( z )dz
19
0 2 i 2 i 0 4 i
§2.4 柯西型积分
柯西型积分
设 f ( ) 是 l上的连续函数, l为一段有限长的 分段连续曲线,则 1 f ( ) F ( z) d 2πi l ( z ) 称作柯西型积分.如果z不在l上, 则F ( z )为解 析函数.
工程数学(复变函数 积分变换 场论).pdf
积 分
为正向的有向曲线称为 C 反向曲线，记为 C 。 除特
别声明外，有向曲线C 的正向总是指起点到终点的方 向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。
吴新民
-3-
第一节 复变函数积分的概念
定义 设函数 w f (z) 在区域 D 有定义，C 为
D内一条以 A 为起点 B 为终点的光滑的有向曲线，
复 变
k 1
由线积分存在定理得，当 0 上面的两个和式的极
函
数 限都是存在的，且有
的
积 分
f (z)dz udx vdy i vdx udy (3.1.2)
C
C
C
(3.1.2) 表明：
1）当 f (z) 是连续函数，C 是光滑曲线，则 f (z)dz
一定存在；
C (z z0 )n 0
三
章 复
r
i
n1
2 (cos(n 1) i sin(n 1) )d
0
0
变
即
函 数 的 积
C
(z
1 z0 )n
dz
2i
0
n1 n1
(3.1.5)
分
吴新民
- 15 -
第一节
三 积分的性质
复变函数积分的概念
1） f (z)dz f (z)dz
(3.1.6)
第
C
C
三 章
2） f (z)dz f (z)dz, ( 为常数) (3.1.7)
C
C
复 变
3） ( f (z) g(z))dz f (z)dz g(z)dz (3.1.8)
函
C
工程数学(复变函数积分变换场论)59473
六
cw a
章 也是一个分式线性映射。
共
形 映
两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射
射
吴新民
- 18 -
第二节 分式线性映射
二 分式线性映射的分解
分式线性映射可以表示为
第 六
w (b ad ) 1 a
章
c cz d c
共 因此分式线性映射可以分解下列三种特殊映射的复合
形 映 射
w z b,
点，且 f (z0 ) 0. 又设 C 是 z平面内任意一条通过 z0 的光滑有向曲线，
共 其参数方程为
形 映 射
z z(t), t
且 t 增大的方向为C 的正向，z0 z(t0 ), z(t0 ) 0. 这样
映射 w f (z)就将曲线C 映射成 w 平面通过w0 f (z0 )
共 形 映 射
w f (z0 ) 的伸缩率。 如果解析函数 w f (z) 在区 域 D 内每一点都有 f (z) 0, 那么映射w f (z) 为
D 上的共形映射。
吴新民
- 13 -
第一节 共形映射的概念
z
例 求映射w z2 e 2在点 z i 出的转动角和
伸缩率
第 六 章
解
w
zi
第六章 共形映射
第一节 共形映射的概念 第二节 分式线性映射 第三节 唯一决定分式线性映射的条件 第四节 几个初等函数所构成的映射
第一节 共形映射的概念
第一节 共形映射的概念
第
六 一 有向曲线的切线方向
章
共 形
二 解析函数的导数的几何意义
映
射
三 共形映射的概念
吴新民
-2-
第一节 共形映射的概念
第一章 复数与复变函数——工程数学
3 2i 2 3i
解：法一（商的公式）
z1 z2
(
x1x2 x22
y1 y2 y22
)
i(
x2 y1 x22
x1 y2 y22
)
3
2 22
(2) 32
3
i
2 (2) 33 22 32
i
法二（共轭性质）
___
___
z1 z2
z1 z2
___
z2 z2
z1 z2 | z2 |2
(3 2i)(2 (2 3i)(2
称x为z的实部(Re al), 记 Re z x 称y为z的虚部(Imaginary),记 Im z y
例如：z 2 i, 则 Re z 2, Im z 1
特别地，当y 0时,则z x为实数；
当x 0且y 0时,则z iy, 称为纯虚数；
2020/6/19
5
定义2：设两复数z1 x1 iy1与z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2，y1 y2
2020/6/19
3
第一章 复数与复变函数
➢ 1.1 复数 ➢ 1.2 复数的三角表示 ➢ 1.3 平面点集的一般概念 ➢ 1.4 无穷大与复球面 ➢ 1.5 复变函数
2020/6/19
4
第一节 复数
➢ 一、复数的基本概念
定义1：设x与y都是实数，称x iy为复数，
记为：z x iy
称i为虚数单位，且定义i2 1或i 1
9
例 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 4． 证明：z1 z2 z1z2 2Re z1 z2 证明：z1 z2 z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1 iy1)(x2 iy2)
工程数学第六章
方向不变的性质, 此性质称为保角性. 注意 f ( z0 ) 0 是必要的,否则保角性将不成 立．
综上所述, 有
定理一
设函数w f ( z ) 在区域 D内解析, z0 为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性
质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点 0经平移、伸缩、旋转而 z
得到象点 0 . w
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
1 2) 映射 w z
若z平面上圆方程为: a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 1 令 z x iy , w u iv , z 1 u v u iv 即 x 2 有 2, y 2 x iy u v u v2
映射的复合 .
3z 4 3 4i 1 i 解 w 3i 3i 5e iz 1 zi zi 4 其 中 arctan ． 3
1 z1 z i , z2 , z3 e i z2 , z4 5z3 , w z4 3i . z1
•问题一：对于给定的区域D和定义在D上的 解析函数w= f(z) ，求象集G=f(D)，并讨论 f(z)是否将D保形地映射为G； •问题二：给定两个区域D和G，求一个解析 函数w= f(z) ，使得f(z)将D保形地映射为G； •问题二一般称为基本问题，我们一般用单 位圆作为一个中间区域． 如下图：
C
z.
z 0 z1
. .
.
z2
显然过 z1与 z2的直线是 的特殊情形(半径为无
穷大), 其必与C正交,因而必过z0 .
综上所述, 有
定理一
设函数w f ( z ) 在区域 D内解析, z0 为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性
质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点 0经平移、伸缩、旋转而 z
得到象点 0 . w
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
1 2) 映射 w z
若z平面上圆方程为: a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 1 令 z x iy , w u iv , z 1 u v u iv 即 x 2 有 2, y 2 x iy u v u v2
映射的复合 .
3z 4 3 4i 1 i 解 w 3i 3i 5e iz 1 zi zi 4 其 中 arctan ． 3
1 z1 z i , z2 , z3 e i z2 , z4 5z3 , w z4 3i . z1
•问题一：对于给定的区域D和定义在D上的 解析函数w= f(z) ，求象集G=f(D)，并讨论 f(z)是否将D保形地映射为G； •问题二：给定两个区域D和G，求一个解析 函数w= f(z) ，使得f(z)将D保形地映射为G； •问题二一般称为基本问题，我们一般用单 位圆作为一个中间区域． 如下图：
C
z.
z 0 z1
. .
.
z2
显然过 z1与 z2的直线是 的特殊情形(半径为无
穷大), 其必与C正交,因而必过z0 .
工程数学—复变函数积分
则曲线积分存在, 且有
f ( z )dz
C
(u iv)( dx idy) udx vdy i vdx udy
C
C
C
{u[ x(t ), y (t )] iv[ x(t ), y (t )]}
{ x (t ) iy( t )}dt
工程数学---------复变函数
在 B上的
不定积分, 记作
f ( z )dz F ( z ) C
定理6 如果 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, G(z)为 f (z)
的一个原函数, 则
z1
z0
f ( z )dz G( z1 ) G( z0 ),
这里z0, z1为域 B 内的两点.
工程数学---------复变函数
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利用导数的定义来证. 证：
z z z
设 z 为B内任一点, 以z为中心
K
作一含于B内的小圆K . 取 z 充分
小使 z z 在 K 内 由 F ( z ) 的定义, ,
B
z0
F ( z z ) F ( z )
z z
z0
z z
C
(3) 如果C是x轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) u ( x), 则
C
f ( z )dz u ( x)dx.
a
b
(4) 一般不能把 f ( z )dz 写成
C
b
f ( z )dz 的形式.
a
工程数学---------复变函数
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f ( z )dz
C
(u iv)( dx idy) udx vdy i vdx udy
C
C
C
{u[ x(t ), y (t )] iv[ x(t ), y (t )]}
{ x (t ) iy( t )}dt
工程数学---------复变函数
在 B上的
不定积分, 记作
f ( z )dz F ( z ) C
定理6 如果 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, G(z)为 f (z)
的一个原函数, 则
z1
z0
f ( z )dz G( z1 ) G( z0 ),
这里z0, z1为域 B 内的两点.
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利用导数的定义来证. 证：
z z z
设 z 为B内任一点, 以z为中心
K
作一含于B内的小圆K . 取 z 充分
小使 z z 在 K 内 由 F ( z ) 的定义, ,
B
z0
F ( z z ) F ( z )
z z
z0
z z
C
(3) 如果C是x轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) u ( x), 则
C
f ( z )dz u ( x)dx.
a
b
(4) 一般不能把 f ( z )dz 写成
C
b
f ( z )dz 的形式.
a
工程数学---------复变函数
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工程数学《复变函数》(第四版)课件 2-1,2 西安交大
例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处 可导，则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处 可导，则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析
工程数学-复变函数与积分变换-总复习
定理一
一. 点可导的充要条件
解 析 函 数
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . (简称 C R 方程) y x
5
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 章 P42 定理二 充要条件是： u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在区域 D 内可微，且 解 满足 C R 方程。 析 函 数 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u , u , v , v x y x y 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，则函数
解析
判别 方法 C-R 方程
指数函数 对数函数 幂 函 数 （反）三角函数 （反）双曲函数
4
初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 处可导 章 P41 的充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x, y ) 处可微，
i(
i 2k πi ) 2
(
2k π ) 2 ,
解 析 例 求 1 2 的值。 函 数 解 1 2 e 2 Ln 1 e
2 [ 0 i ( 0 2 k )]
e2
2 k πi
cos ( 2 2 k π ) i sin ( 2 2 k π ) , (k 0, 1, 2,) .
2
例 求解方程 z 3 1 0 . 解 z 3 1 1 e
一. 点可导的充要条件
解 析 函 数
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . (简称 C R 方程) y x
5
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 章 P42 定理二 充要条件是： u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在区域 D 内可微，且 解 满足 C R 方程。 析 函 数 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u , u , v , v x y x y 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，则函数
解析
判别 方法 C-R 方程
指数函数 对数函数 幂 函 数 （反）三角函数 （反）双曲函数
4
初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 处可导 章 P41 的充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x, y ) 处可微，
i(
i 2k πi ) 2
(
2k π ) 2 ,
解 析 例 求 1 2 的值。 函 数 解 1 2 e 2 Ln 1 e
2 [ 0 i ( 0 2 k )]
e2
2 k πi
cos ( 2 2 k π ) i sin ( 2 2 k π ) , (k 0, 1, 2,) .
2
例 求解方程 z 3 1 0 . 解 z 3 1 1 e
工程数学第4讲 复变函数的积分
实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .
证明 令zk xk iyk xk xk xk1 yk yk yk1
k k ik u(k ,k ) uk v(k ,k ) vk
n
n
Sn f ( k )zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
k 1
n
n
u(k ,k )xk
1825 年Cauchy 给出了"单连通区域 D内 处处解析的 f (z)在D内沿任一条闭曲线
C的积分 f (z)dz 0" —Cauchy 定理 c
当时解析的定义为 f '(z)存在 , 且在 D内连续 . 1851年Riemann 给出了 Cauchy定理的上述 简单证明.
1900年Goursat给出了Cauchy定理的新证明, 且 将" f '(z)连续"这一条件去掉了. 这就产生了著名的 Cauchy Goursat定理, 从此解析函数的定义修 改为 :" f '(z)在D内存在"
形过程中曲线不经过
的f(z)的不解析点.
C
(起)
(终)
i {v(x(t), y(t))x'(t) u(x(t)y(t))y'(t)}dt (起)
{u[ x(t), y(t)] i[v[ x(t), y(t)]]}( x'(t) iy'(t))dt
f [z(t )]z'(t)dt
f ( z )dz f [ z ( t )] z ' ( t )dt (6 ) C
C3 x
2)C2 : z t 0 t 1 C3 : z 1 it 0 t 1
zdz zdz zdz
C
C2
证明 令zk xk iyk xk xk xk1 yk yk yk1
k k ik u(k ,k ) uk v(k ,k ) vk
n
n
Sn f ( k )zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
k 1
n
n
u(k ,k )xk
1825 年Cauchy 给出了"单连通区域 D内 处处解析的 f (z)在D内沿任一条闭曲线
C的积分 f (z)dz 0" —Cauchy 定理 c
当时解析的定义为 f '(z)存在 , 且在 D内连续 . 1851年Riemann 给出了 Cauchy定理的上述 简单证明.
1900年Goursat给出了Cauchy定理的新证明, 且 将" f '(z)连续"这一条件去掉了. 这就产生了著名的 Cauchy Goursat定理, 从此解析函数的定义修 改为 :" f '(z)在D内存在"
形过程中曲线不经过
的f(z)的不解析点.
C
(起)
(终)
i {v(x(t), y(t))x'(t) u(x(t)y(t))y'(t)}dt (起)
{u[ x(t), y(t)] i[v[ x(t), y(t)]]}( x'(t) iy'(t))dt
f [z(t )]z'(t)dt
f ( z )dz f [ z ( t )] z ' ( t )dt (6 ) C
C3 x
2)C2 : z t 0 t 1 C3 : z 1 it 0 t 1
zdz zdz zdz
C
C2
复变函数(工程数学)教学大纲
复变函数(工程数学)教学大纲《复变函数》（工程数学）教学大纲一、《复变函数》课程说明08138013Complex Function通信工程专业本科生《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。
它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。
本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。
本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。
本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。
学时数： 54 学时分数： 3 学分学时数具体分配：教学内容讲授习题课合计第一章复数与复变函数 6 6第二章解析函数 8 8第三章复变函数的积分 10 10第四章级数 10 2 12第五章留数 10 10第六章共形映射 6 2 8合计 50 4 54教师课堂讲授为主。
考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算2、了解区域的概念3、理解复变函数的概念4、理解复变函数的极限和连续的概念6学时第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念第六节复变函数的极限和连续性1、函数的极限2、函数的连续性1、复数及其代数运算1.1 复数的概念（识记） 2、复数的乘幂与方根2.1 复数的乘积、商（应用）2.2 复数的幂与根（应用） 3、区域（识记）4、复变函数的极限、连续（领会）第二章解析函数1、理解函数的导数及解析的概念2、掌握复变函数可导及解析的充要条件3、了解指数函数、三角函数，对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。
[数学]工程数学复变函数 积分变换 场论
![[数学]工程数学复变函数 积分变换 场论](https://img.taocdn.com/s3/m/ed0910a671fe910ef12df883.png)
吴新民
- 11 -
z ; 2 z 1
3)
1 ; 2 z ( z 1)
第五章 留数
第一节
留数
4) e
1 z 1
4) z 1 是函数 e
第五章 留数
1 z 1
的本性奇点，利用留数的定义
计算函数的留数，由于 1 1 n z ( 1) e z 1 n ! n 0 1 1 1 0 | z 1 | 2 z 1 2( z 1) 所以
第五章 留数
所以
1 d m 1 c 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] ( m 1)! z z0 dz
即 (5.2.6) 成立， 特别 m 1 时，就是 (5.1.5) 式。
吴新民
-8-
第一节
留数
Q( z ) , 其中 P ( z ), Q( z ) 在 z0 处解 规则III 设 f ( z ) P(z) 析， 且 P ( z0 ) 0, P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 则 Q ( z0 ) (5.1.7) Res[ f ( z ), z0 ] P ( z 0 )
Res[ f ( z ), z0 ] c1 1 从而有 Res[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz 2 i C (5.1.2) (5.1.3)
内的洛朗级数中的
第五章 留数
( z z0 )1 的系数 c1 为函数 f ( z ) 在点 z0 处的留数，
其中 C 为 0 | z z0 | 内的环绕 z0 正向简单闭曲线。
- 17 -
第五章 留数
吴新民
第一节
留数
1 1 cos z Res[ ,0] 因此 6! z7 1 cos z dz , 我们又可用高阶导数公式 在计算积分 7 z | z | 1 1 cos z 2 i (6) dz (1 cos z ) 7 z 0 6! z | z | 1 2 i 2 i cos z z 0 6! 6!
- 11 -
z ; 2 z 1
3)
1 ; 2 z ( z 1)
第五章 留数
第一节
留数
4) e
1 z 1
4) z 1 是函数 e
第五章 留数
1 z 1
的本性奇点，利用留数的定义
计算函数的留数，由于 1 1 n z ( 1) e z 1 n ! n 0 1 1 1 0 | z 1 | 2 z 1 2( z 1) 所以
第五章 留数
所以
1 d m 1 c 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] ( m 1)! z z0 dz
即 (5.2.6) 成立， 特别 m 1 时，就是 (5.1.5) 式。
吴新民
-8-
第一节
留数
Q( z ) , 其中 P ( z ), Q( z ) 在 z0 处解 规则III 设 f ( z ) P(z) 析， 且 P ( z0 ) 0, P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 则 Q ( z0 ) (5.1.7) Res[ f ( z ), z0 ] P ( z 0 )
Res[ f ( z ), z0 ] c1 1 从而有 Res[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz 2 i C (5.1.2) (5.1.3)
内的洛朗级数中的
第五章 留数
( z z0 )1 的系数 c1 为函数 f ( z ) 在点 z0 处的留数，
其中 C 为 0 | z z0 | 内的环绕 z0 正向简单闭曲线。
- 17 -
第五章 留数
吴新民
第一节
留数
1 1 cos z Res[ ,0] 因此 6! z7 1 cos z dz , 我们又可用高阶导数公式 在计算积分 7 z | z | 1 1 cos z 2 i (6) dz (1 cos z ) 7 z 0 6! z | z | 1 2 i 2 i cos z z 0 6! 6!
工程数学课件第二章复变函数
反正切函数是多值解析函数
21
幂函数的定义:
利用对数函数，可以定义幂函数：设 是任 利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任 何复数，则定义 的 何复数，则定义z的α次幂函数为
w= z =e
由于
α
α Lnz
( z ≠ 0)
当α为正实数，且 为正实数，且z=0时，还规定 时，还规定
z = 0.
α
w= z =e
z = kπ (k ∈ Z )
8、同理可以定义其他三角函数：
sin z cos z tan z = , cot z = , cos z sin z 1 1 sec z = , csc z = , cos z sin z
19
9、反正切函数：由函数 z = tan w 数 w称为z的反正切函数，记作
所定义的函
2
去原点上的多值函数; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z 2 ) = Lnz1 + Lnz 2 Ln( z1 / z 2 ) = Lnz1 − Lnz 2
Ln n z = 1 ln | z | +i 1 argz + 2kπi n n
9
3、对数函数的解析性质： 对数函数的主值分支 ln z在除去原点和负 实轴的复平面上解析， 并且有 d ln z = 1 dz z
iz1 iz2
1 2 1 2
−iz1
−iz2
5、 z + cos z = 1; sin
2 2
iz 2 2
e +e 2 e −e 2 cos z + sin z = ( ) +( ) 2 2i i2z −i 2 z i2z −i 2 z e +e +2 e +e −2 = − =1 4 2 由此不能得到 | cos z |≤ 1, | sin z |≤ 1
《工程数学》课程十二-复变函数
解：由于函数 在 内只有一个奇点 在 内解析，由柯西公式可 得
6 解析函数的高阶导数
定理：设区域D的边界为围线 c ， 在 上解析，则函数 的 n 阶导数存在，且
讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.
讨论：
柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来. 或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.
2)对于复连通区域内的解析函数 ，只要将积分路径c 理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域D ，( 的正方向如图3.9所示)， 则： 有 3)利用柯西积分公式可以计算某些复 变函数沿闭曲线的积分. 例7：设c 为圆周 ，求
工程数学 复变函数
辅导课程十二
主讲教师:冉扬强
汇报人姓名
第二篇 复变函数
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第三章 复变函数的积分 §5 柯西积分公式
5 柯西积分公式
定理(柯西积分公式)：设 c 为区域D 的边界，
在 上解析，则对于区域D内任一点 ，有
第四章 级 数
01.
主要内容
02.
复数项级数的基本概念和性质
03.
幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质
04.
解析函数的泰勒展式
05.
双边幂级数，解析函数的罗朗展式
重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式
难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开
重点和难点
第四章 级数
幂级数的收敛性
2 幂 级 数
各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。
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函 数
(4) [ f (z)g(z)] f (z)g(z) f (z)g(z)。
(5)
f (z) g(z)
f
(z)g(z) f g2(z)
(
z
)g(
z)
,
g(
z)
0
。
吴新民
-8-
第一节 解析函数的概念
(6) { f [g(z)]} f [g(z)]g(z)。
第
(7)
f
(z)
1 g(w)
吴新民
-6-
第一节 解析函数的概念
2）可导与连续的关系
由例2可知，一个函数在复平面上某点处是连续的，
第 但在此点未必可导， 即连续未必可导。但是如果函数
二 章
w f (z) 在z0 处可导，则
解 析
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
函
数
因此必有 lim [ z0
f
( z0
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第一节 解析函数的概念
第一节 解析函数的概念
第 二
一 复变函数的导数与微分
章
解 二 解析函数的概念
析 函 数
吴新民
-2-
第一节 解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分
1）导数的定义
第 二
定义 设函数 w f (z) 定义在区域 D 内，z0 为
,
其中 w f (z)、z g(w) 是两
二 章
个互为反函数的单值函数，且 g(w) 0。
解
例1 求 (zn ) , 其中 n 为正整数，z 0。
析
函 数
解 利用公式(2)、(4)
(
zn
)
1 zn
nz n1 z2n
nzn1
因此，当 z 0 时，公式(2)对n 是负整数也是成立的。
吴新民
z)
f
(z0 )]
0,
即
lim
z z0
f (z)
f (z0 )
所以，可导一定连续。
吴新民
-7-
第一节
3）求导法则
解析函数的概念
求导公式与法则：
(1) (C ) 0 , 其中 C 为常数。
第
二 章
(2) (zn ) nzn1 , 其中 n 为正整数。
解 析
(3) [ f (z) g(z)] f (z) g(z)。
z0
z
lim (z z)3 z3
z0
z
lim [3z2 3zz (z)2 ] 3z2 z0
所以 f (z) 3z2 ,
吴新民
f (1 i) 6i
-4-
Байду номын сангаас
第一节 解析函数的概念
例2 研究函数 f (z) y 2xi 的可导性。
解
lim f (z z) f (z)
z0
z
第 二
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
(2.1.1)
如果函数w f (z) 在区域 D 上每一点都是可导的，
第 二
则称 w f (z) 是D 上的可导函数。
章
例1 设 f (z) z3 ，求 f (z)、f (1 i)。
解 析 函 数
解
因为 lim f (z z) f (z)
lim ( y y) 2( x x)i y 2xi
章
x0
x iy
y0
解 析
lim y 2ix
函
x0 x iy
数
y0
由于
lim
x0
y 2ix x iy
2i,
y0
lim
x0
y 2ix x iy
i
y0
因此函数 f (z) y 2xi不可导
吴新民
-5-
第一节 解析函数的概念
章 D 中的一点。 点 z0 z 不出D 的范围， 如果极限
解 析 函
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
数 存在，则说函数 w f (z) 在 z0 处是可导的，而称这
个极限值为函数 f (z) 在 z0 的处导数，记作 f (z0 ) 或
dw 。即 dz zz0
吴新民
-3-
第一节 解析函数的概念
吴新民
- 11 -
第一节
且 f (z0 ) A。
解析函数的概念
综上所述：一个函数在一点可导和可微是等价的。
第 二
如果记 dz z, 则
章
dw f (z)dz ,
(2.1.2)
解
析 函 数
因此，导数 f (z) 为微分的商（微商）dw 。 dz
吴新民
- 12 -
第一节 解析函数的概念
二 解析函数的概念
例3 研究函数 f (z) y2 2xi 在点x i 处的可
导性。
解 由于
第
二 章
lim f (z z) f (z)
z0
z
解
析 函 数
lim (1 y)2 2( x x)i ((1)2 2xi)
x0
x iy
y0
lim 2i(x iy) x0 x iy
2i
y0
所以 f ( x i) 2i
定义 如果函数w f (z) 在 z0 处及其z0的某个邻域
第 内可导，则称函数 w f (z) 在 z0 处解析。如果一个函
二
章 数在一个区域 D上每一点处都是解析的，则称函数为
解
析 函
D上的解析函数。如果函数 w f (z) 在 z0 不解析，则
数 称 z0为函数w f (z) 的奇点。
由定义，函数在一点解析，必在此点可导， 但在一
点可导，未必在此点解析。而在一个区域上解析与可导
吴新民
- 13 -
第一节 解析函数的概念
是等价的。 例4 研究函数f (z) z3 , g(z) y2 2xi, h(z) z
第 在复平面上的解析性。
数
z0
无穷小量，而 f (z0 )z 是函数 w f (z) 的改变量 w
的线性部分。
定义 如果函数 w f (z) 在 z0 处的改变量 w 可
吴新民
- 10 -
第一节 解析函数的概念
以表示成 Az 与 z 的高阶无穷小 (z)z 之和，则
称函数 w f (z) 在 z0 处是可微的，而称 Az 为函数
-9-
第一节 解析函数的概念
4）微分的概念
设函数 w f (z) 在 z0 处可导，则由导数的定义
第 二
章得
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
w f (z0 z) f (z0 )
解
f (z0 )z (z)z
析 函
其中 lim (z) 0 , 因此，| (z)z | 是 | z | 的高阶
第 在 z0 处的微分，记作 dw 即
二 章
dw Az
解
因此，一个函数 w f (z) 在 z0 可导，则必在 z0
析 函
可微，且 dz f (z0 )z 。
数
反之，设函数在 z0 处可微，则
w Az (z)z
因此
lim w A lim (z) A ,
z0 z
z0
即
一个函数 w f (z) 在 z0可微，则必在 z0 处可导，