7等束腰超短啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输特性

啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输*邹其徽, 吕百达( 四川大学激光物理与化学研究所四川成都 610064 )摘要基于瑞利衍射积分，使用复解析信号法推导出了啁啾脉冲高斯光束在自由空间中的传输方程及其傅里叶谱，给出了远场的光场和空间光强的解析式，研究了啁啾参数C对脉冲光束传输的影响。

结果表明，当啁啾参数C较小时，随啁啾参数增加，其轴上光谱蓝移增加C2倍，其轴上谱线宽度增加(1+C2)1/2倍。

随衍射角增大，轴外光谱红移比无啁啾参数时快。

脉冲宽度较小时，啁啾参数增大，轴上光强增大，横向光强分布越集中于传输轴附近；脉冲宽度较大时，啁啾参数增大对横向光强的影响减小。

啁啾参数的正负号不影响横向光强分布和光谱分布。

关键词激光光学；超短脉冲高斯光束；啁啾；复解析信号中图分类号O435 文献标识码 APropagation of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams in free spaceQihui Zou, Baida Lü（Institute of Laser Physics & Chemistry, Sichuan University, Chengdu 610064, China）Abstract Based on the Rayleigh diffraction integral and complex analytical signal representation, the free-space propagation equation and its Fourier spectrum for ultrashort chirped pulsed Gaussian beams are derived, and the far-field analytical electric field and spatial intensity are presented. The effects of chirp parameter on the spatiotemporal and spectral properties are illustrated with analytical formulas and numerical calculation results. It is found that if the chirp parameter C is relatively small, the on-axis spectral blueshifts increase by C2 times, the on-axis spectral bandwidth increases by (1+C2)1/2times, and the off-axis spectral redshifts also increase considerably. On-axis intensity increases with increasing chirp parameter for relatively small values of the pulse duration. The transversal intensity distribution remains nearly unchanged with increasing chirp parameter for relatively large values of the pulse duration. The sign of chirp parameters has no effect on the spectral distribution and transversal intensity distribution.Key words Laser optics ；Ultrashort pulsed Gaussian beam；Chirp；Complex analytical signal representation1 引言超短超强激光脉冲在自由空间、线性无损耗介质中和非线性色散介质的传输的研究引起了广泛的关注[1-4]，以初始源平面的时间波形为高斯脉冲[2,3]、泊松脉冲[5]、双曲正割脉冲[6,7]，洛仑兹脉冲[6]的研究居多。

随着超短超强激光脉冲技术的发展，特别是啁啾脉冲放大(CPA)技术的应用，超短脉冲系统中啁啾脉冲的特性一直是所关心和重视的问题，研究啁啾脉冲[8,9,10]在真空或色散介质的时空和光谱特性在光通信等方面具实际应用意义。

本文基于瑞利衍射积分，使用复解析信号法推导出了非近轴超短啁啾脉冲高斯光束在自由空间中传输的解析传输方程*作者简介：邹其徽（1968—）男，四川人，四川大学在读博士研究生，主要研究方向为超短脉冲的传输与变换。

E-mail: qihui_zou@ Tel. (028)85412819.和傅里叶谱，计算分析了啁啾参数的变化对超短啁啾脉冲高斯光束传输的时空特性和光谱特性的影响。

2 啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方程根据瑞利－索末菲衍射积分公式[11], 空间中光场分布在Z >0的半空间的任一点r =(x , y , z )的光场E (r ,ω)表示为00020200i d d )22(2i exp ),(2cos i ),(y x yy xx y x r k E re k E kr⎰⎰∑-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=ωπθω0r r (1) 式中：r 0=(x 0, y 0, 0)是入射面∑上的任一点；E 0(r 0, ω)是初始场分布；k 是波数，k =ω/c ；cos θ=z /r ，r =(x 2+y 2+z 2)1/2，θ为衍射角。

设入射面z =0上有一高斯脉冲光束[8,11]]2)(ex p[)(),,(22020000a y x S y x E +-=ωω, (2) 式中：S (ω)是初始轴上的脉冲光谱；ρ02 =x 02 +y 02；a 为束腰宽度，与频率无关的常数[3]。

将（2）式代入（1）式积分得：)()(2sin i )(2sin exp )i exp(i cos i ),(422234422222222ωθθθωS a k r r k a a k r k r a kr ka r ka r E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--+=. (3) 式中：r ρθ=sin ，22y x +=ρ为横向距离；c 为真空中的光速。

(3)式作傍轴近似得)()e x p ()1(2e x p i 11),,,(22ωωS kz d a y x d z y x E p i i -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=. (4) 式中：d =z ωc /(L d ω) ； L d = ωc a 2/c (载波频率处的衍射长度)；ωc 为载波频率。

（4）式与文献[8]中的（3）式一致。

设在z =0处的啁啾高斯脉冲的光场实数形式为[8,9])2c o s (2e x p )(2222T t C t T t t A c +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ω (5) 式中：T 是与初始时刻脉冲宽度T FWHM 相关的参数，即T FWHM =2 T (ln 2)1/2；C 为啁啾参数。

初始脉冲A (t )的傅里叶变换为。

t t t A s d )i exp()(21)(ωπω-=⎰+∞∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+=2i )1(2)()i 1(exp 2i )1(2)()i 1(exp )1(2222222412φωωφωωC T C C T C C T c c (6)式中：C Tan 1-=φ。

使用复解析信号法[12]，将（6）式代入（3）式可得啁啾脉冲高斯光束的傅里叶谱⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-=2i )1(2)()i 1(exp )i (2sin exp )1)(i ()i exp(cos i ),(ˆ222222241222φωωθθωC T C ka r r k a C ka r kr T ka r E c ⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+2i )1(2)()1(e x p 222φωωC T C c i (7) 由（7）式可得啁啾脉冲高斯光束的功率谱：⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2224222222212422242221)(e x p s i n e x p )1)((cos |),(ˆ|C T a k r k r a C a k r a T k r E c ωωθθω ⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+φωωωωωω222222222221)(c o s 1)(e x p 21)(e x p C C T C T C T c c c . (8) 由（8）式看出，啁啾脉冲高斯光束的功率谱与啁啾参数的正负号无关，与其大小有关。

在远场近似下（r >>ka 2），（7）式化为：⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+=2i )1(2)i 1(1)i 1(2sin )1(2)i 1(ex p )1(cos ),(ˆ222222222224122φωωωωθθωC T C C T C c a C T C C rc T a r E c cf)/i ex p(i 2i )1(2)i 1(1)i 1(2sin )1(2)i 1(ex p 22222222222c r C T C C T C c a C T C c c ωωφωωωωθ-⎪⎭⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+. (9) 啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解可表示为[12]ωωωπd )ie x p (),(ˆ22),(0⎰∞=t E t E r r . (10)将（7）式代入（10）式即可用数值计算求得超短啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解。

在远场近似下，其光场的复解析信号解可解析给出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+==⎰∞)1(2exp )1(24cos i d )i exp(),(22),(22241220C T C rc T a t E t E c f f ωπθωωωπr r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'++'++2)1(2i ex p 4)i (ex p 2i 1)i (22221232/1132/3131φωπC C T b t b b t b erf b t b b c ⎪⎭⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'--+2)1(2i e x p 4)i (e x p 2i 1)i (22222242/1242/3242φωπC C T b t b b t b e r f b t b b c , (11) 式中：c r t t -='为当地时间；erf (·)为误差函数。