现代数学模型分析方法
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• 依人们对风险的不同态度，可得出不同的均值 －方差（或标准差）效用函数，其一般形式为 U=U(E‚V)，其中E为未来收入或财富的均值 9
Fra Baidu bibliotek
三、资产组合理论
1. 背景简介及基本假设
• 1958年，占姆士·托宾(J·Tobin)发表了《针对 风险的流动性偏好行为》，较早的对证券投资 中的资产组合理论进行了系统的阐述
– 其中，Xi为证券i占证券组合P的投资比重；E（Ri） 为证券i的期望收益；n为证券组合P包含的证券种数。
6
证券风险的衡量
• 马柯维茨采用证券收益的方差或标准差来衡量单 一证券的投资风险
• 对于证券组合的投资风险，不仅取决于该证券自 身方差的大小，而且取决于该证券与证券组合中 其他证券之间协方差的大小。
• (是5)取X决1和于X投2的资比者例对，统并一非公简债单未的来取收决益于的r预+g期的。大小，而
11
2.对未来收益有确定性的预期的情形
• 假定投资者预期从统一公债上获得的收 益为re，根据预期收益re与固定收益r是否 有关，可分为如下两种情形：
第十五讲 金融市场的现代数学 模型分析方法
一、无风险证券的估价 二、金融风险的基本分析工具 三、资产组合理论 四、证券组合理论 五、资本资产定价模型（CAPM） 六、因素模型 七、套利定价理论（APT）
1
一、无风险证券的估价
1.定义、名义利率和实际利率 • 无风险证券是指到期回报率确定、没有
任何违约风险的证券 • 通常，人们把国债作为无风险证券 • 实际利率一般定义为名义利率减去通货
• 假设证券组合P中包含a和b两种证券，其中a证券 的方差（variance）和标准差(standard deviation) 分和(coS别vba。为ria而Vnac且和e)，为Sa；aC、obvb证(两a券,b种)的证方券差收和益标之准间差的分协别方为差Vb
7
• 如果两种证券a、b占证券组合P的投资比
• (统3)一假公定债投的资比者重拥为有X的2，货并币且资比产重中为，X现1+X金2的＝比1。重为X1， • (4) 假定现金的收益为0，风险也为0；统一公债每年的
固定收益为r（面值为一个货币单位，如1英镑）。此 外，统一公债还会给投资者带来资本利得或资本损失 (capital gain or loss)，定义为g。
膨胀率
2
2.现值、即期利率和到期收益率、贴现因子
• 无风险债券的现值等于按照一定的贴现率对该债 券承诺支付的现金流的进行贴现后得到的价值
• 任何固定收入债券的到期收益率是一个全期利率， 按照该利率，现在投入的一笔资金在到期日正好 得到全部证券承诺的支付
• 即期利率是某一给定时点上无息证券的到期收益 率
• 托宾把资产分为货币性资产和非货币性资产。
• 货币资产：凡能够在市场上流通，拥有固定的 货币价值，又不存在违约风险的资产。反之， 叫做非货币资产
• 在货币资产中，凡能够给资产持有者带来收益 的，叫做非现金货币资产；反之不能带来收益 的，称为现金货币资产，如现金。
10
• 为了简化分析，托宾做了下述假定:
– 预期的风险与收益（expected or ex ante risk and return）
– 前者用于确定单一证券或证券组合以往的风 险与收益，后者用于确定单一证券或证券组 合未来的风险与收益。
5
证券收益的衡量
• 对单一证券而言，证券未来收益的期望值是衡 量证券投资收益的最好方法
– 证券的期望收益等于证券的各种可能收益的加权平 均数，权数是各种可能收益的概率
义，是由马柯维茨（H.Markovitz）等人界定， 即：金融风险是指金融变量的可能值偏离其期 望值的可能性和幅度。
4
2.证券投资收益和风险的衡量
• 对单一证券或证券组合的收益与风险的 衡量，包括两类
– 历史的风险与收益（historical or ex post risk and return）
重分别为Xa、Xb，显然，Xa+ Xb =1,那么 该证券组合的风险就可以用下面的公式
计算:
•
Vp Xa2Va 2Xa XbCov(a,b) Xb2Vb
• 或者，
Sp Xa Sa 2Xa Xb Rab Sa Sb Xb Sb
•
2
22
22
• 一般地，当证券组合P包含了n种证券时， 其风险可表示为：
nn
Vp X i X j Cov(Ri, Rj)
i1 j 1
8
3.风险偏好和均值－方差效用函数
• 到底人们是喜欢风险还是厌恶风险呢？
• 做一个“公平赌”(Fair gamble)试验。抛一枚 硬币，人头朝上赢10000元，字朝上输10000元。 按概率计算，输赢的机会各一半，期望收益为 零。如果你不想参与这个赌博，你是“风险厌 恶者”(risk averter);如果你愿意参加这个赌博， 你是“风险喜好者”(risk lover)；如果你认为 赌不赌无所谓，你是“风险中立者”(risk neutral)
• (1) 在持有的资产总额中，货币资产与非货币资产的比 例业已确定，资产组合理论要讨论的问题是在货币资 产内部，现金货币资产和非现金货币资产的划分比例 问题。
• (2) 先分析现金与一种非现金货币资产（统一公债,由 英国政府1751年发行，每年支付一笔固定的利息但是 没有还本期限的债券）的组合，然后推广到现金与多 种非现金货币资产组合的情形。
• 贴现因子等价于将来t年之后从财政证券得到的1 元钱的现值
3
二、金融风险的基本分析工具
1.金融风险的定义 • 对金融风险的理解随着时间推移而不断加深 • 20世纪初人们认为企业的负债越高风险就越大 • 20世纪60年代，投资大师格雷厄姆等人用边际
安全度（margin of safety）来衡量风险 • 现代意义上的单一证券或证券组合的风险的含
– 期望收益指标的优越之处有二：一是反映了证券各 种可能的收益，涵盖了全部信息；二是单一证券的 期望收益与证券组合的期望收益存在线性的联系。
• 证券组合的收益等于组合中各种证券的期望收 益的加权平均数，以各证券占证券组合的投资 比重为权数。
n
E(RP) X 1E(R1) X 2E(R2) XnE(Rn) XiE(Ri) t 1
Fra Baidu bibliotek
三、资产组合理论
1. 背景简介及基本假设
• 1958年，占姆士·托宾(J·Tobin)发表了《针对 风险的流动性偏好行为》，较早的对证券投资 中的资产组合理论进行了系统的阐述
– 其中，Xi为证券i占证券组合P的投资比重；E（Ri） 为证券i的期望收益；n为证券组合P包含的证券种数。
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证券风险的衡量
• 马柯维茨采用证券收益的方差或标准差来衡量单 一证券的投资风险
• 对于证券组合的投资风险，不仅取决于该证券自 身方差的大小，而且取决于该证券与证券组合中 其他证券之间协方差的大小。
• (是5)取X决1和于X投2的资比者例对，统并一非公简债单未的来取收决益于的r预+g期的。大小，而
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2.对未来收益有确定性的预期的情形
• 假定投资者预期从统一公债上获得的收 益为re，根据预期收益re与固定收益r是否 有关，可分为如下两种情形：
第十五讲 金融市场的现代数学 模型分析方法
一、无风险证券的估价 二、金融风险的基本分析工具 三、资产组合理论 四、证券组合理论 五、资本资产定价模型（CAPM） 六、因素模型 七、套利定价理论（APT）
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一、无风险证券的估价
1.定义、名义利率和实际利率 • 无风险证券是指到期回报率确定、没有
任何违约风险的证券 • 通常，人们把国债作为无风险证券 • 实际利率一般定义为名义利率减去通货
• 假设证券组合P中包含a和b两种证券，其中a证券 的方差（variance）和标准差(standard deviation) 分和(coS别vba。为ria而Vnac且和e)，为Sa；aC、obvb证(两a券,b种)的证方券差收和益标之准间差的分协别方为差Vb
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• 如果两种证券a、b占证券组合P的投资比
• (统3)一假公定债投的资比者重拥为有X的2，货并币且资比产重中为，X现1+X金2的＝比1。重为X1， • (4) 假定现金的收益为0，风险也为0；统一公债每年的
固定收益为r（面值为一个货币单位，如1英镑）。此 外，统一公债还会给投资者带来资本利得或资本损失 (capital gain or loss)，定义为g。
膨胀率
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2.现值、即期利率和到期收益率、贴现因子
• 无风险债券的现值等于按照一定的贴现率对该债 券承诺支付的现金流的进行贴现后得到的价值
• 任何固定收入债券的到期收益率是一个全期利率， 按照该利率，现在投入的一笔资金在到期日正好 得到全部证券承诺的支付
• 即期利率是某一给定时点上无息证券的到期收益 率
• 托宾把资产分为货币性资产和非货币性资产。
• 货币资产：凡能够在市场上流通，拥有固定的 货币价值，又不存在违约风险的资产。反之， 叫做非货币资产
• 在货币资产中，凡能够给资产持有者带来收益 的，叫做非现金货币资产；反之不能带来收益 的，称为现金货币资产，如现金。
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• 为了简化分析，托宾做了下述假定:
– 预期的风险与收益（expected or ex ante risk and return）
– 前者用于确定单一证券或证券组合以往的风 险与收益，后者用于确定单一证券或证券组 合未来的风险与收益。
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证券收益的衡量
• 对单一证券而言，证券未来收益的期望值是衡 量证券投资收益的最好方法
– 证券的期望收益等于证券的各种可能收益的加权平 均数，权数是各种可能收益的概率
义，是由马柯维茨（H.Markovitz）等人界定， 即：金融风险是指金融变量的可能值偏离其期 望值的可能性和幅度。
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2.证券投资收益和风险的衡量
• 对单一证券或证券组合的收益与风险的 衡量，包括两类
– 历史的风险与收益（historical or ex post risk and return）
重分别为Xa、Xb，显然，Xa+ Xb =1,那么 该证券组合的风险就可以用下面的公式
计算:
•
Vp Xa2Va 2Xa XbCov(a,b) Xb2Vb
• 或者，
Sp Xa Sa 2Xa Xb Rab Sa Sb Xb Sb
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• 一般地，当证券组合P包含了n种证券时， 其风险可表示为：
nn
Vp X i X j Cov(Ri, Rj)
i1 j 1
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3.风险偏好和均值－方差效用函数
• 到底人们是喜欢风险还是厌恶风险呢？
• 做一个“公平赌”(Fair gamble)试验。抛一枚 硬币，人头朝上赢10000元，字朝上输10000元。 按概率计算，输赢的机会各一半，期望收益为 零。如果你不想参与这个赌博，你是“风险厌 恶者”(risk averter);如果你愿意参加这个赌博， 你是“风险喜好者”(risk lover)；如果你认为 赌不赌无所谓，你是“风险中立者”(risk neutral)
• (1) 在持有的资产总额中，货币资产与非货币资产的比 例业已确定，资产组合理论要讨论的问题是在货币资 产内部，现金货币资产和非现金货币资产的划分比例 问题。
• (2) 先分析现金与一种非现金货币资产（统一公债,由 英国政府1751年发行，每年支付一笔固定的利息但是 没有还本期限的债券）的组合，然后推广到现金与多 种非现金货币资产组合的情形。
• 贴现因子等价于将来t年之后从财政证券得到的1 元钱的现值
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二、金融风险的基本分析工具
1.金融风险的定义 • 对金融风险的理解随着时间推移而不断加深 • 20世纪初人们认为企业的负债越高风险就越大 • 20世纪60年代，投资大师格雷厄姆等人用边际
安全度（margin of safety）来衡量风险 • 现代意义上的单一证券或证券组合的风险的含
– 期望收益指标的优越之处有二：一是反映了证券各 种可能的收益，涵盖了全部信息；二是单一证券的 期望收益与证券组合的期望收益存在线性的联系。
• 证券组合的收益等于组合中各种证券的期望收 益的加权平均数，以各证券占证券组合的投资 比重为权数。
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E(RP) X 1E(R1) X 2E(R2) XnE(Rn) XiE(Ri) t 1