求一均匀带电球面的电场能量

间的相互作用能为Ｗ１
e2 W1 12 4 π ε 0a
-e
-e -e
-e
（２）、６个面上其有１２对 顶点负电荷 之间的相互作用 的相互作用能为Ｗ２
-e -e -e
a
-e
+2e -e -e
W 2 12
e2 4π ε
0
2a
（３）、立方体对角线上四对负 电荷 的相互作用能Ｗ３
-e
W3 4
e2 4 π ε 0 3a
2 1 1 1 W互 A A1 A2 q1φ 1 q 2φ 2 q iφ i 2 2 2 i 1
式中 i是 qi 以外的电荷在 qi 处的电势
2、三个点电荷 组成的系统的相互作用能
r13
q3
A1 0
q1
r23
r12
q2
q1q2 A2 4 0 r12 q1q3 q2 q3 q1 q2 A3 ( )q3 4 0 r13 4 0 r23 4 0 r13 4 0 r23
W

R
0
内 4r 2 dr
3Q 2 20 o R
例: 半径为R的雨点带有电量q．现将其打破，在保持总体积不
变的情况下分成完全相同的两点，并拉开到“无限远”．此系 统的电能改变量是多少? 解释出现这个结果的原因． 解:将雨点视为导体，其电荷分布在表面，所以静电能为
1 1 q q2 W U dq dq 2 q 2 q4 π 0 R 8 π0R
W W W WE 互 W静 E1 E2
例7. 真空中一半径为a，带电量为Q 的均匀球体的静电场能。
解： 球内场强：
球外场强：
Qr E1 4o a 3 Q E2 4o r 2
a 0
Q
a
WE wedV

a o
1 1 2 o E1 dV o E22dV a 2 2
q
Q
0.63Q
q
q Q(1 e

t RC
RC 时间常数
t RC q 0.63Q
t 3 5
RC大充电时间长
0

t
放电过程
dq q R dt C
K
R

t RC
q Qe

c q
q
Q
0.37Q
q
U U 0e
放电时间

t RC
t 2 3
0

t
五、静电场的能量
2 2
1 Q 1 Qr 2 2 o 4 r d r 4 r dr o 3 2 a 2 2 4 o a 4 o r
3Q 2 20 o a
利用静电能公式如何推导?
Q(3R 2 r 2 ) 内 (r ) 8 π 0 R 3
qi dq
φi φ
φi
qi
V
1 W φ dq 2V
式中dq处的电势为
φ
例题１、如图所示，边长为a的立方体的每一边顶点上方
放有一点电荷 -e,立方体中心处放有一正点电荷 ＋2e,
求此系统的相互作用能 。 解：（１）、八个顶点上的负 电荷 分别与相邻的负电荷之
-e -e
+2e
a
-e
1 φ dq 2 S q 8π ε 0R
2
＋
＋ ＋ ＋
＋ dq
φ
R
＋
＋
例题３、求电容器的能量
+ +
_ dq u _
R
dq
ε 解法：（１）、将dq从负极搬到正极，电源克服电场力作功
q dA udq dq C
A udq
Байду номын сангаас
Q
0
Q2 q 1 1 2 dq CU QU 2C 2 2 C
4 3 4 R 3 2 π r π R r 3 3 3 2
电势能之和
3 ( q / 2) 2 q2 2q 2 W 2 8 π 0 r 16 π 0 r 16 π 0 R
3 2 q2 2q 2 q2 W W W 1 0 16 π 0 R 8 π 0 R 2 8 π0R
解法：（２）利用静电能公式？
1 1 1 W dq dq dq 2V 2A 2B
1 1 1 AQ B ( Q ) ( A B)Q 2 2 2
1 Q2 UQ 2 2C
电容器的充放电过程
充电过程
K
R
dq q R dt C

)
c q
思考题
有一半径为R的导体球,开始不带电,现将分散在无限远处
的元电荷聚集到导体球上,则当导体球上带有Q电量时,外 力做的功是多少? 同学们推导.
q 4 0 R
dW dA dq
W
q 4 0 R
q
dq
dq


Q
0
dq
Q2

Q
0
4 0 R

8 0 R
试比较均匀带电球面和均匀带电球的静电能
Q E 4 0 r 2
ε
0
dV 4 r dr
2
Q
1 WE 0 E 2 dV 2 V
1 Q 2 0 4 r dr 2 2 4 0 r R
Q2 8 0 R
2
dr
+r
+
+ + + + +
+ + +R
静电能就是电荷产生的电场的能量
（４）、中心点电荷与八个顶点 上的负电荷 的相互作用能Ｗ４为
-e -e
a
-e
W4 8
2e 2 4π ε
0
3 a 2
+2e
-e
-e -e
-e
0.34e 2 W互 Wi 0a i 1
4
例题２、求均匀带电 球面的静电能
解：
Q 4 0R
Q
1 W dq 2
静电场能量
一、带电体之间的相互作用能
q1
Ａ

Wa 0
Ｂ
q2
（a）
r
Ａ
（ b） Ｂ
Wb
4 0r q1q2
W互 Wb Wa
二、带电体的静电能
定义： 如图设想构成带电体的无限多的元电荷开始处于彼此相距无 穷远的分散状态。现将这些分散的元电荷聚集起来，在此过 程中外界做的功就是这个带电体的静电能。
2、三个点电荷 组成的系统的相互作用能
q1 q 3 q2 q3 q1 q 2 A A1 A2 A3 4 π ε 0 r12 4 π ε 0 r13 4 π ε 0 r23
q3 1 q2 q3 q1 ( ) 1 q2 ( q1 ) 2 4 0 r12 4 0 r13 2 4 0 r12 4 0 r23 q1 q2 1 q3 ( ) 2 4 π ε 0 r13 4 π ε 0 r23
3
其原因是：两雨点电荷相同，在分开时相互排斥，电场力对
外作了功．
二、带电体的静电能
dq 5


dq1

dq 4

dq 2

dq 3
三、带电体系的静电能
2
1 3
W静＝Ｗ互＋Ｗ自
???
三、点电荷系之间的相互作用能
1 、 二个点电荷组成的系统
A1 0
q1q2 1 q2 1 q1 A2 q1 q2 4 0 r12 2 4 0 r12 2 4 0 r12
均匀带电球面和均匀带电球外的电场分布相同，因此后者的 静电能大于前者的静电能.
例6、从场的角度谈谈自能、相互作用能和静电能
E2 E E1 E 2
WE
E1
１
0
２
E EdV
1 ε 2
0
V

1 2 E dV ε 2
V

2 2 1 1 0 E1 dV 0 E 2 dV 0 E1 E 2 dV 2 V 2 V V
i3 1 1 1 1 W互 A q11 q2 2 q3 3 qi i 2 2 2 2 i 1
3、n个点电荷组成的系统的相互作用能？
1 n W 互 A q iφ i 2 i 1
无限多元电荷dq的相互作用能?
四 、连续分布的电荷系统的静电能
W互 1 in q i i 2 i 1
1 1 W ( A B )Q Ed S 2 2 1 1 2 0 E dS 0 E 2V WE 2 2
电场能量密度
E 0
?
1 2 wE 0 E 2
电场的能量
1 WE 0 E 2 dV 2 V
V是场所在的空间
[例4]求一均匀带电球面的电场能量。