Delta函数及其性质(精)
5-3Delta函数
例如：Y
[sin 0 x]
1 2
sin
0
xei
x
dx
1 2
(eix eix )eix
dx
2i
同理，
1 [ 1 ei(0 )xdx 1 ei(0 )xdx]
2i 2
2
1 2i
[
(
0 )
(
0 )]
i [ 2
(
0 )
(
0 )]
Y
[cos0 x]
1 2
[
(
0
)
(
0
)]
选学内容：常微分方程的格林函数 授课要点：本节只讲常微分方程格林函数求解初值问题，不讲边值问题。
2 k k
2 k ix k 2 k ix
k x
即
(x) 1 lim sin kx
k x
这也是 (x) 函数的一种表示（定义），此外 (x) 还可以表为：
(x)
1
lim
k
2
x2
实际上， 函数有很多种表示方式；要证明一个函数是 函数，要证明两点：
(1) x=0 时，值为 ，x≠0 时，值为 0.
此讲义为初稿，问题很多，读者注意甄别
数学物理方法
函数
丁成祥
曲线下的面积皆为 1.
物理上的点模型都可用 函数表示，例如质量为 m 的质点可表示为 m (x) ，如果质点是放 在 x0 处，则质点可表示为 m (x x0 ) ；类似地，电量为 q 的点电荷可以表示为：q (x x0 ) ； 冲量为 k 的瞬时力可表为 k (t t0 ) .
评述： (x) 函数的性质主要体现在其积分特性上，而力的冲量 f (t)dt 为冲量。这就是为
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Delta函数，也被称为狄拉克函数，是一种特殊的函数。
它可以被用来描述和解决在数学、物理和工程等领域的问题。
狄拉克Delta函数的主要特征是改变原始函数中的有限个离散值，转换为有限个连续变量，从而优化计算性能。
本文将通过一系列案例，介绍狄拉克Delta函数的基本原理和应用，以及它的基本特性。
一、狄拉克Delta函数的概念狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它的概念是由希腊数学家雷普洛斯狄拉克发展的。
它的计算方式与一般的数学函数不同，它不是以实数为自变量，而是以一个被称为“自变量域”的一组离散的数字来计算的。
它的计算结果是一个连续的函数，它的值依赖于两个变量，即自变量域和实变量域。
二、狄拉克Delta函数的基本特性a.简洁性：狄拉克Delta函数具有高度的简洁性，它能够简化一般数学运算，减少数学表达式中函数的数量，同时可以改善算法的执行效率。
b.可用性：狄拉克Delta函数可以被用于多种应用领域，它可以用于统计分析、数值分析、机器学习、动态系统模拟等。
c.完整性：狄拉克Delta函数能够将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而构成一个完整的系统，有利于提高计算性能和历史记录的可视化显示。
三、狄拉克Delta函数的应用1.数值分析：狄拉克Delta函数可以应用于数值分析，将一组离散的数据转换为一个连续的函数，从而更好地描述物理现象。
2.机器学习：狄拉克Delta函数可以应用于机器学习，可以将被观察到的数据转换为连续函数，从而更好地进行训练和预测。
3.图形处理和图像处理：狄拉克Delta函数可以将一组离散的像素点转换为一组连续的函数，从而更好地处理图像。
四、结论综上所述，狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它具有简洁性、可用性和完整性等特性，可以用于数值分析、机器学习、图形处理和图像处理等领域。
通过将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而实现优化的计算性能以及可视化的历史记录。
三次函数德尔塔
三次函数德尔塔德尔塔函数是一种神奇的数学工具，可以用来描述瞬时的冲击信号。
而三次函数德尔塔，则是对这一工具更进一步的拓展，可以说是在德尔塔函数基础上的一种优化和改良。
下面我们将分步骤阐述三次函数德尔塔的相关内容。
1.什么是德尔塔函数？首先，我们需要了解德尔塔函数的概念。
德尔塔函数是一种理想化的函数，通常用符号δ(t) 表示。
它在数学上可以表示为：δ(t) = 0, t≠0= ∞, t=0德尔塔函数的特点是它在 t=0 处瞬时达到无穷大，而在其他地方都为零。
可以说，德尔塔函数描述的是一种瞬时的冲击信号。
2.什么是三次函数德尔塔？三次函数德尔塔则是在德尔塔函数基础上的拓展，它是一种更平滑的函数，可以用来描述更加复杂的信号。
三次函数德尔塔通常用符号δ3(t) 表示，数学上它的表达式为：δ3(t) = (1/2)δ(t) + (1/2)δ(t-ε) - (1/2)δ(t-2ε)其中ε 为一个很小的正数，用来控制函数的平滑程度。
三次函数德尔塔的特点是它在 t=0 处曲线渐变，而不是像德尔塔函数那样瞬间达到无穷大。
3.三次函数德尔塔的应用三次函数德尔塔在实际生活中有非常广泛的应用。
其中最为常见的就是在信号处理中的应用。
信号处理通常会用到滤波器，而三次函数德尔塔可以用来描述滤波器的 impulse response。
除了在信号处理中的应用外，三次函数德尔塔还可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，我们可以用三次函数德尔塔来描述一个物体的速度或加速度随时间的变化情况。
4.总结综上所述，三次函数德尔塔是一种在德尔塔函数基础上的数学工具，它可以用来描述更加复杂的信号，具有平滑曲线的特点。
在实际生活和工程应用中，三次函数德尔塔有广泛的应用，尤其是在信号处理方面。
对于专业人士而言，学习和使用三次函数德尔塔将有助于更好地理解和应用信号处理相关的知识。
关于delta函数
可见δ(x)是偶函数。
1 [证明3]因为δ(x)是偶函数，故 ax a x x a
而
(ax) f ( x)dx a x f ( x)dx
1 a 1 a
x f ( x / a )d ) x x f ( x) )dx
16
3 ik x c k d xe f x
2009/12/7
高等电动力学 - 对称性和守恒定律
1 证明： 明 4π ( x ) r
2
2π
3 0
(3)
3 ik x 2 2 ik x 2 2 ik x x d k e k dk d e dk d k e 0 0 2 2 ik x
2009/12/7
高等电动力学 - 对称性和守恒定律
12
Fourier定理 - δ–函数的数学基础 数 数
sin Nx x lim N πx
亦即，对任意函数f(x)
sin Nx f x f 0 lim dx N πx
证明：
sin Nx sin x lim dx f x lim dx f x / N N N πx πx sin x sin x dx lim f x / N dx f 0 f 0 πx N πx
i
(x x ) g ( xi ) ( x xi ) i g ( xi ) g ( xi ) f xi f xi f xi i i
辅助函数 delta函数
辅助函数delta函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：δ函数（delta function）是一种特殊的数学函数，其定义是在自变量为0处取无穷大值，而其他地方取值为0。
这种函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，在处理信号处理、微分方程、概率论等方面起到重要的作用。
δ函数最早由德国物理学家泡利（Pauli）在20世纪20年代引入，并由英国数学家施瓦茨（Schwartz）在20世纪50年代进行完善和推广。
δ函数的定义形式如下：\delta(x) = \left\{\begin{aligned}& +\infty, && x=0 \\& 0, && x \neq 0\end{aligned}\right.上面的定义只是一种形式上的定义，并不是数学上严格的定义。
在数学上，可以通过一系列趋近于δ函数的函数序列来严格定义δ函数。
可以取一个由函数序列{f_n(x)}构成的函数族，使得当n \rightarrow\infty时，f_n(x)逐渐趋近于δ(x)。
δ函数虽然在自变量为0时取值无穷大，但其积分却是有限的，即\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1。
δ函数是一种质量集中在x=0处的分布函数，可以表示某种单位质量或概率质量。
在物理学和工程学中，δ函数被用来描述冲击、脉冲等瞬时现象，比如在电路中描述瞬间输入的电流或电压信号。
在信号处理中，δ函数也被广泛应用。
卷积运算是一种信号处理中常见的操作，而δ函数在卷积运算中起着重要的作用。
在微分方程求解中，δ函数常常作为绿函数（Green's function）的一部分，用来表示特定的微分方程解。
在泛函分析中，δ函数是一种广义函数（generalized function）的代表，用来描述一些奇异函数、分布函数等。
除了以上的应用之外，δ函数还在概率论和统计学中有着重要的作用。
Delta函数介绍
§5.1 δ 函数
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
总电量q = 1, 集中在x = 0处
x
Δq ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
Wuhan University
一、δ函数的引入
2、定义：
§5.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ 0 ⎪δ ( x) = ⎨ ⎩∞ x = 0 ⎪ ⎨∞ ⎪ δ ( x)dx = 1 ⎪∫ ⎩− ∞
∞
f (t ) =
−∞
∫ f (τ )δ (τ − t )dτ = ∫
b
a
f (τ )δ (τ − t )dτ
Wuhan University
三、高维δ 函数
1、定义：
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎩∞ M = M 0 ⎪ (1) ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ ∫ ∫ δ ( M − M 0 )dv = 1 ⎩ −∞
第五章格林函数法
Method of Green’s Function
Wuhan University
引言：
第五章格林函数法
⎧行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ⎪ ⎨分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ⎪积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ⎩ 1、格林函数法：
数学物理方法chp5-3 傅里叶变换delta函数
a
11
5.函数的
( x ) 0 的实根 xk (k 1,2,3,) 全为单根 ( ' ( x) 0) 有 ( x xk ) ( x ) k | ' ( xk ) |
0, ( x ) 0 ( x) , ( x ) 0
1/l -l/2
o
l/2
x
15
（2）sinc 函数序列：
1 sin Kx ( x ) lim K x
6 5 4 3
K=8
K=16
sinKt/(pi*t)
2 1 0 -1 -2 -2
K=4Leabharlann -1.5-1-0.5
0 t
0.5
1
1.5
2
16
（3） 函数序列： ( x )
60
lim
m x 0, ( x 0) ( x) lim l ( x) lim rect , ( x 0) l 0 l 0 l l
( x)dx lim l ( x)dx m
l 0
引入δ函数：
0, ( x 0) ( x) , ( x 0) 0, a ( x)dx 1
（一）δ函数概念
– 问题 • 质点的密度函数如何表示？ • 一般函数无法描写物理上的“点源”，如“点电荷”、 “质点”的密度，以及“瞬时力”等概念。 – 思路 • 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； • 一个位于原点、长度l、质量为m的线，线密度为 l(x)=m/l rect(x/l)的物体，当l->0时,可以看成质点；
( x ) C ( )eix d
δ函数
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
(2) 重复排列
第一章 线性系统分析
Information Optics
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
第一章 线性系统分析
• 常用的表现形式有
(x, y) lim n2 exp[n2 (x2 y2 )] n
(x, y) lim n2rect(nx)rect(ny) n
(x, y) lim n2sinc(nx)sinc(ny) n
(x, y) lim n2 circ(n x2 y2 ) n
exp( j2 x)d (x)
exp( j2 x)dx ( )
δ函数与阶跃函数的关系
(x) d step(x)
dt
x
step(x) ( )d
Information Optics
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第一章 线性系统分析
(x na) 1 ( x n) 1 comb( x)
n
a n a
a
a
comb( x x0 ) a
( x x0
n
a
n)
a
(x
n
x0
na)
a [x (x0 na)] n
x x0, y y0 x x0, y y0
Information Optics
School of Physics & Material Science
δ函数
即δ(x-x') 的特性.
∫
f ( x ) δ ( x x ' ) dx =
f ( x' ) 0
x = x' x ≠ x'
δ(x)还) = lim e
n →∞
n x
2
n/ x
Dirac-delta函数的特性 函数的特性
由δ(x-x')函数的定义可知Dirac-delta函数与一般函数不同 它仅在积分下才有意义。故称为广义函数。其奇异性如下
也可以用余弦函数展开
1 ∞ δ ( x x' ) = ∑ cos(nπ x / L) cos(nπ x ' / L) 2 L n =1
用谐函数展开有：
π 1 ∞ j nL ( x x ') δ ( x x ') = ∑e 2 L n =∞
二维和三维表达式
对二维 Delta 函数可以表示成为两个一维 Delta 函数的乘积； δ(ρ-ρ')=δ(x-x')δ(y-y') 而三维Delta函数又可以三 个一维Delta函数的乘积来表示: δ(r-r')=δ(x-x')δ(y-y')δ(z-z')
Delta函数用特殊函数展开
用Bessel函数展开
1 δ (x x ) = 2l
其中
∑
i =1
∞
J m ( k m i x )J m ( k m i x ) / Q i
2
a2 2 Qi = {[ J 2
m
(1 m 2 ) 2 ( k m i a )]2 + 2 2 }J m ( k m i a ) km i a
这里b’(x) 在x=0处是连续的。
delta函数性质汇总
补充材料：δ函数一、问题的提出在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。
“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。
”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。
点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。
瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。
……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。
下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答：二、δ函数的定义为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。
在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下：⎩⎨⎧=-∞≠-=-)0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ⎩⎨⎧<<=-⎰)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。
但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。
这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。
数学性质上δ函数是很奇异的。
没有一个平常的函数具有此奇异性。
严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。
在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理例 )(lim 1lim 22/0x e e x δπαπσαασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4))(lim 2x x δπαα=∞→ (6) )(21lim /0x e x δεεε==-→ (7) )(lim 220x x πδεεε=+=→ (8)δ函数还可用阶梯函数的微商来表示。
δ函数的性质以及相关计算公式
δ函数就是描述物理上一些“点分布”的现象，比如点电荷的体电荷密度，或是面电荷的体电荷分布，还有线电流的体电流密度，反正就是那种在某一点发散而总体有限的物理量用δ函数描述很方便的。
delta(x)在数学上是一个无限狭窄的峰，对全空间积分（即求其曲线所包含的面积）为1。
在物理上，通常用于代表脉冲函数，或者呈点分布的物理量，例如质点、点电荷等；另外，delta函数常用于表示对物理量在某点的抽样，这一点不仅在数学物理方法这样的理论学科中常用，在实际的工程通信中也很常用，这时delta函数被用作采样函数。
定义
狄拉克δ函数的定义为：
性质
狄拉克δ函数有以下性质：
∙δ( -x) = δ(x)
∙
∙δ(ax) = | a | - 1δ(x)
∙
∙f(x) δ(x) = f(0), f(x)δ(x -a) = f(a)δ(x - a)
∙
∙δ(x2 -a2) = (2 | a | ) -1[δ(x + a) + δ(x - a)]
∙
∙
∙
表达式
狄拉克δ函数的表达式：
∙
∙
∙。
Delta函数及其性质(精)
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
第七章 数学物理定解问题
3
物理学中常见的数学物理方程
静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schrödinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程（组）
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
（P159）
21
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
可得
utt Yu xx 0
北京大学数学物理方法(上)课件_10 Delta函数
lim δn (x) =
∞ 0
x=0 x=0
(10)
与 Dirac 的 δ 函数原始定义相符. 而最后一例不符合 Dirac 的原定义! 重要的是 δ 函数的积分性质! 下列 δ 函数的性质都应从积分意义下理解 Example 20.5 1. xδ (x) = 0 2. δ (x) = δ (−x) 3. δ (−x) = −δ (x) 4. δ (ax) = 5. g (x)δ (x) = g (0)δ (x) Proof 1.
令 r = a tan θ, 可得上面积分与 a 无关, 且 1 ∇2 dxdy dz = −12π r = −12π
0 π/2 0 π/2
tan2 θ dθ (1 + tan2 θ)3/2 sin2 θ cos θdθ
= −12π ·
1 sin3 θ 3
π/2
= −4π
0
Example 20.7
n δn (x) = √ exp(−n2 x2 ) π
n=7
n=5
n=3 O x
Example 20.3 δn (x) = n 1 π 1 + n2 x2
n = 12
n=8
n=4 O x
2
Example 20.4 δn (x) = sin nx πx
n = 12
n=8 n=4
O
x
Note
前三例函数有
0−
δ (λ)dλ = −2π.
因 F (λ) 在 λ = 0 点连续, 故当
→ +0 时, 上式左端第二项和第三项的积分均趋于0,
0+ →+0
lim F (λ)
0−
= −2π.
Delta函数的性质及其Fourier Transform
Delta函数的性质及其Fourier TransformFourier transformThe delta function is a tempered distribution, and therefore it has awell-defined Fourier transform. Formally, one finds[24]Properly speaking, the Fourier transform of a distribution is defined by imposing self-adjointness of the Fourier transform under the duality pairingof tempered distributions with Schwartz functions. Thus is defined as the unique tempered distribution satisfyingfor all Schwartz functions φ. And indeed it follows from this thatAs a result of this identity, the convolution of the delta function with any other tempered distribution S is simply S:That is to say that δ is an identity element for the convolution on tempered distributions, and in fact the space of compactly supported distributions under convolution is an associative algebra with identity the delta function. This property is fundamental in signal processing, as convolution with a tempered distribution is a linear time-invariant system, and applying the lineartime-invariant system measures its impulse response. The impulse response can be computed to any desired degree of accuracy by choosing a suitable approximation for δ, and once it is known, it char acterizes the system completely. See LTI system theory:Impulse response and convolution.The inverse Fourier transform of the tempered distribution ƒ(ξ) = 1 is the delta function. Formally, this is expressedand more rigorously, it follows sincefor all Schwartz functions ƒ.In these terms, the delta function provides a suggestive statement of the orthogonality property of the Fourier kernel on R. Formally, one hasThis is, of course, shorthand for the assertion that the Fourier transform of the tempered distributioniswhich again follows by imposing self-adjointness of the Fourier transform. Distributional derivativesThe distributional derivative of the Dirac delta distribution is the distribution δ′ defined on compactly supported smooth test functions φ byThe first equality here is a kind of integration by parts, for if δ were a true function thenThe k th derivative of δ is defined simi larly as the distribution given on test functions byIn particular δ is an infinitely differentiable distribution.The first derivative of the delta function is the distributional limit of the difference quotients:More properly, one haswhere τh is the translation operator, defined on functions by τhφ(x) = φ(x+h), and on a distribution S byIn the theory of electromagnetism, the first derivative of the delta function represents a point magnetic dipole situated at the origin. Accordingly, it is referred to as a dipole or the doublet function.[25]More generally, on an open set U in the n-dimensional Euclidean space R n, the Dirac delta distribution centered at a point a∈U is defined byδa[φ] = φ(a)for all φ∈S(U), the space of all smooth compactly supported functions on U. If α = (α1, ..., αn) is any multi-index and ∂α denotes the associated mixed partial derivative operator, then the αth derivative ∂αδa of δa is given byThat is, the αth derivative of δa is the distribution whose value on any test function φ is the αth derivative of φ at a (with the appropriate positive or negative sign).The first partial derivatives of the delta function are thought of as double layers along the coordinate planes. More generally, the normal derivative of a simple layer supported on a surface is a double layer supported on that surface, and represents a laminar magnetic monopole. Higher derivatives of the delta function are known in physics as multipoles.Higher derivatives enter into mathematics naturally as the building blocks for the complete structure of distributions with point support. If S is any distribution on U supported on the set {a} consisting of a single point, then there is an integer m and coefficients cα such thatApproximations to the identityTy pically a nascent delta function ηε can be constructed in the following manner. Let η be an absolutely integrable function on R of total integral 1, and defineIn n dimensions, one uses instead the scalingThen a simple change of variables shows that ηε also has integral 1.[26] One shows easily that (1) holds for all continuous compactly supported functions ƒ, and so ηεconverges weakly to δ in the sense of measures. If the initial η = η1 is itself smooth and compactly supported then the sequence is called a mollifier. The ηε constructed in this way are knows as an approximation to the identity.[27] This terminology is because the space L1(R) of absolutely integrable functions is closed under the operation of convolution of functions: ƒ∗g∈L1(R) whenever ƒ and g are in L1(R). However, there is no identity inL1(R) for the convolution product: no element h such that ƒ∗h = ƒ for all ƒ. Nevertheless, the sequence ηε does approximate such an identity in the sense thatThis limit holds in the sense of mean convergence (convergence in L1). Further conditions on the ηε, for instance that it be a mollifier associated to a compactly supported function,[28] are needed to ensure pointwise convergence almost everywhere.The standard mollifier is given by Ψ(x/ε)/ε where Ψ is a suitably normalized bump function. For instance,whereIn some situations such as numerical analysis, a piecewise linear approximation to the identity is desirable. This can be obtained by taking η1 to be a hat function. With this choice of η1, one haswhich are all continuous and compactly supported, although not smooth and so not a mollifier.。
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
δ函数
§5.3. δ δ
∞
58/67 δ (−∞, ∞) δ( t ) f ( t )d t = f (0) f ( t)
−∞ ∞
δ( t − t 0) f ( t )d t = f ( t 0)
−∞
δ( t )
δ
5.3.3
t=a [ a, b] f ( t) f (τ)dτ dτ t=b
δ
δ f ( t) τ τ + dτ
2π N ω0 (ω
− ω0) →∞
ω − ω0
2π N ω0
A sin − π
2π N ω0 (ω
+ ω0)
ω + ω0
2π N 1 sin ω0 (ω − ω0) 1 sin B(ω) = A lim − A lim N→∞ π N→∞ π ω − ω0 = Aδ(ω − ω0) − Aδ(ω + ω0).
− c)
1 r δ( r
Fourier − c) Fourier
r
(5.2-26)
∞ 1 1 1 F δ( r − c) = δ( r − c)e−i k· rd xd yd z. 3 / 2 r (2π) −∞ r r ∞ π 2π 1 1 1 −i kr cos θ 2 F δ( r − c) = δ ( r − c ) e r sin θd rdθdϕ r (2π)3/2 r=0 θ=0 ϕ=0 r ∞ π 1 = δ( r − c)e−i kr cos θ rd(− cos θ)d r 2 (2π) r=0 θ=0 ∞ 1 1 i kr δ ( r − c ) e − e−i kr d r = 2 (2π) r=0 ik
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sinc函数delta函数列
sinc函数delta函数列摘要：一、引言二、sinc函数的定义与性质1.sinc函数的定义2.sinc函数的性质三、delta函数的定义与性质1.delta函数的定义2.delta函数的性质四、sinc函数与delta函数的关系1.sinc函数与delta函数的相似性2.sinc函数与delta函数的差异五、结论正文：一、引言在数学领域，函数是数学研究的重要对象，不同的函数具有不同的性质和特征。
sinc函数和delta函数是两种特殊的函数，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将对这两种函数进行介绍，并分析它们之间的关系。
二、sinc函数的定义与性质1.sinc函数的定义sinc函数，也称为辛普森函数，定义为：sinc(x) = sin(x) / x2.sinc函数的性质sinc函数具有以下性质：（1）sinc函数是奇函数，即sinc(-x) = -sinc(x)（2）sinc函数在x=0处不可导，但左导数和右导数存在且相等，都为1 （3）sinc函数在x=π/2处取得最大值，为1三、delta函数的定义与性质1.delta函数的定义delta函数，也称为狄拉克δ函数，定义为：delta(x) = { 1, x=0{ 0, x≠02.delta函数的性质delta函数具有以下性质：（1）delta函数是奇函数，即delta(-x) = -delta(x)（2）delta函数在x=0处具有无穷大的导数，即delta"(x) = -delta(-x) = -delta(x)（3）delta函数与线性函数的卷积等于该线性函数在x=0处的值，即∫_{-∞}^{∞} f(x) * delta(x) dx = f(0)四、sinc函数与delta函数的关系1.sinc函数与delta函数的相似性sinc函数和delta函数在定义和性质上具有一定的相似性，如都是奇函数，都在某一点具有特殊的导数性质等。
第五章 第三节delta函数
(5.3.3)
x dx
b a
a, b 0或a, b 0 a 0 b
(5.3.4)
函数具有量纲 x 1
0
x x0
x0
(一) 函数
x
b
0, ,
x 0 x 0
0, 1,
某种通常函 数的极限
其中
,
lim
0
2 2
0......... 0
......... 0
且
lim
0
2
d lim 2
d 2 0 1 1
1 lim tg 2 2 0
瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间
积分（冲量）是有限的。 为了描述这一类抽象的概念，而引入delta函数
若质量m均匀分布在长为l 的线段[-l/2, l/2]上，则其质量线密度
l x 可表示为
l x
即
0 ml
x l 2 , x l 2
我们对第一个式子做个说明：
1 x lim rect l 0 l l
但是
0, ,
x 0 x 0
1/l
-l/2 0 l/2
x
1 x x x lim rect dx lim rect d l 0 l l 0 l l l
x 0 x 0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像，它在x=0处
为
，在x≠0处为零。它的积分为m。
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（静电场方程）
5
弦的横振动方程
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
xl
0.
17
第二类边界条件
(Neumann条件)
第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即
u x, y, z, t |rB f r , t n
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中 , 若在一端流入的热流强度为度为
t ,则 u x x, t |x l t
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
解题思路:对偏微分方程(变量 t)进行 Laplace 变换并代 入初始条件，则偏微分方程变为关于 u 的 Laplace 变换的常微 分方程；求解常微分方程得出其通解，再对边界条件进行 Laplace 变换并代入通解中，确定通解中的待定系数；最后对 通解进行 Laplace 反演即得到原问题的解。 变换之后的方程为 p2U x, p pu x,0 u x,0 a2U ；
ux
x dx
tan 2 sin 2
这样，我们就得到（忽略弦的重力）：
T2u x
x dx
T1 u x x utt dx
T2 T1 0
9
因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 T
又因为： u x
x dx
（弦中的张力不随 x 变化）
ux
2
x
u x dx u xx dx x
u0
x l
如在杆的热传导问题中,若在某个端点自由冷却,则边界条件 为
ku x
x l
c u
x
x l
又如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相 应的边界条件为
u
cu
0.
19
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
u [ u ] (, t ) n
第七章 数学物理定解问题
3
物理学中常见的数学物理方程
静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schrödinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程（组）
其中
u 是边界上的变点； n
表示物理量
u
沿边界外法线方向的方向导数；
,
为常数，它们不同时为零．
20
上述三类边界条件,当函数
f r,t 0
时,分别称为
第一、第二、第三类齐次边界条件。
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
u x, y , z , t |t 0 x, y, z ut x, y, z , t |t 0 x, y, z
15
边界条件
体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类
u x, y, z, t |r B f r , t u |r B f r , t n u cun |rB f r , t
第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
16
第一类边界条件
(Dirichlet条件)
第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值，即
作用于小段 ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos 2 T1 cos 1 0
2 2 , , 为很小的量 ， 忽略 夹角 仅考虑微小的横振动， 1 2 1 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos 1 1
sin 1 1
12
2! 13
3!
的物理过程。例如从Newton第二运动定律得到的动力学方程并不 能唯一地确定质点的运动；完全确定质点的运动还需要有初始条 件。 一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上
就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外，构成定解问题还
必须有边界条件和初始条件。边界条件用于确定体系和外界的相 互作用，初始条件用于确定体系的历史状况。
14
初始条件
初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。（稳定问题不需要初始条件） 如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态：
u x, y, z, t |t 0 x, y, z
对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息：
k
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
1
f t ,则相应的边界条件为 Yux x, t
x l
f t .
18
第三类边界条件
(混合边界条件)
第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数
的线性组合在边界上的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u cun |rB f r , t
i
（线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、 微分性质、积分性质、卷积性质）
3、Laplace变换的应用
1
例 6.4 求解半无界弦的振动问题.
utt a 2uxx 0 x , t 0 u x, t 0 t 0 u 0, t f t , lim x u x, 0 0, ut x, 0 0 0 x
T
综上，可得：
utt a u xx , a
弦（自由）振动方程
如果弦振动过程中受到横向外力的作用，则振动方程应为：
utt a uxx f x, t
2
弦的受迫振动方程
10
均匀杆的纵振动方程
均匀杆中 x 处 dx 段的运动方程为
YS u x
x dx
YS u x
x
u x YS dx ( Sdx)utt x
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
8
1 tan 1 ,
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx
u tan sin 注意到: u x x
故得
ux x tan 1 sin 1 ,
（P159）
21
含时Schrödinger方程
i V t 2m
2
如果势能函数不显含时间，则上述方程简化为：
2
2m
V E
定态Schrödinger方程
13
边界条件与初始条件
由物理学规律出发得到的数学物理方程是某一类（或几类）
物理现象所必需遵循的，并不能唯一地、确定地描写某一个具体
t xx
代入初始条件后变成： a2U 其通解为： U x, p C
xx
p2U x, p
2
px / a px / a p e C p e 1 2 原方程的解为： U x, t f x, t , t x / a;U x, t 0, t x / a.
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
6
注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当 假设使方程简化以便求解． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位 移所遵循的普遍规律，所以考察点需具有一般性。
7
根据牛顿第二定律
F ma
u
方向运动的方程可以描述为：
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
可得
utt Yu xx 0
这就是杆的纵振动方程．
11
热传导方程
k ut a u f x, y, z, t , a c
2 2
k 是热传导系数，c是比热，ρ是密度。
扩散方程
ut a2u f x, y, z, t , a2 D