三次样条拟合算法
三次样条拟合算法
三次样条拟合算法是一种常用的曲线拟合方法，其基本思想是利用三次多项式连接数据点，构造出一条光滑的曲线来拟合给定的数据。
具体算法步骤如下：
1. 根据给定的数据点，构造出一个三次多项式曲线，对数据点进行拟合。
2. 利用三次样条插值的方法，将拟合曲线分成多个小段，每个小段内均匀分布着一些样本点。将每个小段的三次多项式分别写成标准形：
s(x)=a+bx+cx^2+dx^3。
3. 选定初始点，设置边界条件。一般常用的边界条件有“自然边界”和“固定边界”：自然边界所表达的是函数的一阶导数值相等；固定边界将所选定的端点函数值设定为已知值。
4. 利用样条函数的连续性和光滑性，得到关于系数a,b,c,d 的线性方程组，然后进行求解。
5. 通过求解系数，得到每个小段内的三次多项式，将这些小段拼接起来，得到最终的三次样条拟合曲线。
三次样条拟合算法适用于平滑曲线拟合、数据平滑处理、信号平滑处理等方面，具有一定的实用性和广泛性。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系 《三次样条插值与多项式拟合的关系》 一、简介 在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。三次样条 插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。 二、三次样条插值的原理与方法 三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三 次插值多项式的方法。它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。这样可以保证整个插值 曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接 点处有相同的函数值和导数值。三次样条插值不仅可以实现较高的插 值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。 三、多项式拟合的原理与方法 多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。常见的拟合
方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。 四、三次样条插值与多项式拟合的关系 在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。 五、个人观点和理解 在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。
三次样条插值求导法
三次样条插值求导法 三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于近似插值实现 平滑曲线的拟合。它的优点在于可以保持原始数据的特性，同时能够 降低数据间的噪声干扰，使得插值的结果更加准确。本文将介绍三次 样条插值法的原理、算法以及应用方面的指导意义。 首先，我们需要了解三次样条插值法的基本原理。三次样条插值 法通过在相邻数据点之间构造三次多项式来近似拟合原始数据。这些 三次多项式满足一定的光滑性条件，使得插值结果的曲线平滑而连续。在三次样条插值中，每个数据点都对应一个三次多项式，并且相邻多 项式之间的导数和二阶导数必须相等，以保证曲线的平滑性。 接下来，我们将介绍三次样条插值法的算法步骤。首先，我们需 要确定每个数据点对应的三次多项式。为了满足光滑性条件，我们需 要计算每个数据点处的导数值。这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程的个数等于数据点的个数。解得导数值之后，我们就可 以得到每个数据点对应的三次多项式的系数。 然后，我们需要利用这些系数来计算在数据点之间的插值结果。 为了实现这一点，我们可以利用三次多项式的性质，通过给定的数据 点和对应的三次多项式系数，来计算在两个相邻数据点之间的插值结果。 最后，我们需要通过合理的选择数据点以及插值节点的间距，来 获得更加准确的三次样条插值结果。一般来说，数据点的选择应尽量
满足曲线的变化趋势，以反映原始数据的特点。此外，插值节点的间 距也需要经过合理的选择，以保证插值结果的准确性。 三次样条插值法在实际应用中有着广泛的意义和指导价值。首先，它可以用于光滑曲线的拟合，将离散的数据点进行连续化处理，使得 数据的绘图和分析更加方便。其次，它可以用于数据的插值预测，通 过已有的数据点来预测未知数据点的取值。此外，三次样条插值法还 可以在数字图像处理中用于图像的平滑和插值填充，从而改善图像的 质量和美观度。 综上所述，三次样条插值法是一种有效的数值分析方法，可以用 于实现平滑曲线的拟合和数据的插值预测。通过了解其原理、算法以 及应用方面的指导意义，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而 提高数据处理和分析的准确性和效率。
matlab上三次样条拟合代码
matlab上三次样条拟合代码MATLAB是一种强大的数学软件，可以用于各种数学计算和数据分析。在MATLAB中，三次样条拟合是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合非线性数据。下面是一个简单的MATLAB代码示例，用于实现三次样条拟合。 首先，我们需要准备一组数据，这里以x和y为例。x是自变量的取值，y是对应的因变量的取值。我们可以使用MATLAB中的数组来表示这组数据。 ```matlab x = [1, 2, 3, 4, 5]; y = [2, 4, 1, 5, 3]; ``` 接下来，我们可以使用MATLAB中的`spline`函数来进行三次样条拟合。`spline`函数的输入参数是自变量x和因变量y，输出参数是一个函数对象，表示拟合的曲线。 ```matlab f = spline(x, y); ``` 现在，我们可以使用这个函数对象来计算拟合曲线上的任意点的取值。例如，我们可以计算自变量为2.5时的因变量的取值。
```matlab y_fit = ppval(f, 2.5); ``` 最后，我们可以使用MATLAB中的`plot`函数来绘制原始数据和拟 合曲线。 ```matlab plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10); % 绘制原始数据点 hold on; xx = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成用于绘制拟合曲线的自变 量取值 yy = ppval(f, xx); % 计算拟合曲线上的因变量取值 plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2); % 绘制拟合曲线 hold off; ``` 这样，我们就完成了三次样条拟合的代码编写。通过运行这段代码，我们可以得到原始数据和拟合曲线的图像。 三次样条拟合是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合非线性数据。MATLAB提供了方便的函数和工具，可以轻松实现三次样条拟合。通过使用MATLAB进行数据拟合，我们可以更好地理解数据的特征和 趋势，为后续的数据分析和预测提供有力的支持。
三次样条算法
一、实验目的和要求 （1） 掌握三次样条方法的原理，加深对插值方法的理解。 （2） 理解三次样条在高次差值的逼近效果比多项式的优越性！ （3） 能构造出正确的算法结构并能实现具体问题的计算。 二、实验内容和原理 实验内容： 三次样条插值 解决具体问题：对于函数 ，取等距节点5,0,1,,10i i i x =-+= ， 设已给出节点上的函数值以及左右两个端点的一阶导数值，按上述算法进行样条插值。 实验原理： （1）、三次样条的定义： 设在[a,b]上有n+1个节点，f(xi)= yi,i=0,1,2,…,n 。若S3(x)满足 1) S3(x)在每个[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是不高于三次的多项式； 2) S3(x)， ， 在[a,b]上连续； 3) S3(xi)=yi(i=0,1,…,n)。 则称S3(x)为f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。 （2）、三次样条插值函数的边界条件： 待定系数个数：4n 已知条件： 补充条件：这两个条件通常在区间[a,b]的两个端点给出，称为边界条件 （3）、三次样条插值函数的求法： 21()1 f x x =+)('3x s )(' '3x s 3333333(),(0,1,)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)i i i i i i i i S x y i n S x S x i n S x S x i n S x S x i n ==⎧⎪-=+=-⎪⎨''-=+=-⎪⎪''''-=+=-⎩ 3011011i i+1i i i+1 20 212 021()()()()()...(1)h =x -x , x x x ()(1)(21)()(23) ()(1)()(1) i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y h m h m h h h h x x x x x x x x x x x x ϕϕψψϕϕψψ++----=+++≤≤=-+=-+=-=-
三次样条插值法公式
三次样条插值法公式 三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过利用已知的数据点，构建出一个连续的光滑函数，从而对未知数据点进行估计或预测。 在介绍三次样条插值法之前，我们先来了解一下插值的概念。插值是指通过已知数据点之间的关系，推导出其他位置的数据点的过程。在实际应用中，经常会遇到需要估计或预测某些数据点的情况，这时候插值就派上了用场。 三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内分别构造一个三次函数来拟合数据点。这样做的好处是可以保证整个插值函数的连续性和光滑性。 具体而言，三次样条插值法的步骤如下： 1. 将插值区间分成n个小区间，每个小区间由两个相邻的数据点确定。 2. 在每个小区间内，构造一个三次函数，该函数满足通过该区间内的两个数据点，且在两个相邻小区间内的函数值、一阶导数和二阶导数均相等。 3. 根据这些条件，可以得到每个小区间内的三次函数的表达式。 4. 使用求解得到的三次函数，可以对未知数据点进行估计或预测。 三次样条插值法的优点在于，它能够在保持插值函数的光滑性的同
时，较好地拟合已知数据点，并且在插值区间内的误差较小。与其他插值方法相比，三次样条插值法能够更好地处理数据点之间的不连续性和异常值。 然而，三次样条插值法也存在一些限制和注意事项。首先，插值区间内的数据点必须是有序的，不能有重复值或乱序。其次，对于较大的插值区间，三次样条插值法的计算复杂度较高，可能会造成较大的计算开销。此外，三次样条插值法对于边界条件的处理也需要特别注意，常见的处理方式有自然边界条件和周期边界条件等。 三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过构造多个小区间内的三次函数，保证了插值函数的连续性和光滑性，能够较好地拟合已知数据点，并对未知数据点进行估计或预测。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的插值方法，以获得更准确、可靠的结果。
高精度三次样条插值算法及其在数据拟合中的应用研究
高精度三次样条插值算法及其在数据拟合中 的应用研究 在现代社会，大量的数据被生成和存储。如何从这些数据中提取有效信息是一 项极具挑战性的任务。其中一项常见的任务是对数据进行拟合。在拟合数据的过程中，一个常见的策略是使用插值算法。插值算法是一种数值分析的方法，通过已知数据来推断其他未知数据的值。 三次样条插值是一种常见的插值算法。这种算法利用三次多项式来逼近原始数据，并通过一系列的约束条件来确保插值的平滑性和连续性。在数据拟合中，三次样条插值算法被广泛应用。 三次样条插值算法有很多种不同的变体。其中一种是高精度三次样条插值算法。这种算法由于对三次多项式系数的精度要求更高，所以相对于普通的三次样条插值，其计算复杂度和内存使用量都更高。但同时，它也能提供更高的插值精度、更优秀的数值稳定性和更好的自适应性能。 高精度三次样条插值算法涉及到的主要问题是三次多项式系数的确定和插值节 点的选择。最常用的确定系数的方法是通过求解一个三对角线系统，它的系数矩阵是一个对角线主副对角线元素都为正的五对角矩阵。插值节点的选择有多种方法，包括等距节点、Chebyshev节点、自适应节点等。其中，自适应节点是一种比较新 颖的方法，它通过对插值区间内函数的局部变化情况进行估计，来自适应的选择插值节点，既能保证插值的精度，又能提高计算效率。 高精度三次样条插值算法在数据拟合中的应用具有广泛的意义。通过选择合适 的插值节点和确定多项式系数，高精度三次样条插值算法可以精确地拟合各种类型的数据。同时，它也适用于除常规数据外的其他非常规数据。例如，对于噪声数据，高精度三次样条插值算法通过其平滑插值的特性，可以有效地滤除噪声数据，并恢复真实的数据趋势。
三次样条拟合算法
三次样条拟合算法 前言 三次样条拟合算法是在数值分析中常用的一种插值方法，用于在给定一组数据点的情况下，通过构建一条光滑的曲线来拟合这些数据点。三次样条函数具有一阶和二阶导数连续的特点，因此能够更好地反映数据的特征，并且拟合出的曲线也比较平滑。在本文中，我们将详细介绍三次样条拟合算法的原理和实现方法。 三次样条函数的定义 三次样条函数是由多个三次多项式组成的复合函数。在给定一组数据点(x i,y i)的情况下，我们希望构造一条曲线S(x)来拟合这些数据点。假设数据点的个数为n，则 曲线S(x)由n−1段三次多项式组成，每一段三次多项式的表达式为： S i(x)=a i+b i(x−x i)+c i(x−x i)2+d i(x−x i)3 其中，x i和x i+1是相邻数据点的横坐标，a i、b i、c i和d i是需要求解的系数。 插值条件 为了决定每一段三次多项式的系数，我们需要满足以下插值条件： 1. 插值条件一：S i(x i)=y i，即曲线通过给定的数据点。 2. 插值条件二：S i(x i+1)=y i+1，即曲 线通过相邻数据点。 3. 插值条件三：S′i(x i+1)=S′i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据 点处一阶导数连续。 4. 插值条件四：S″i(x i+1)=S″i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处二阶导数连续。其中，S′i(x)和S″i(x)分别表示曲线S i(x)的一阶和二阶导数。矩阵方程的求解 通过将插值条件转化为矩阵方程，可以求解出每一段三次多项式的系数。令ℎi= x i+1−x i，则有： 1. a i=y i，由插值条件一可得。 2. c i=1 3ℎi (y i+1−y i)− 1 6ℎi(b i+1+2b i)，由插值条件二和插值条件三可得。 3. b i=y i+1−y i ℎi − ℎi 6(2c i+c i+1)，由插值条件二和插值条件三可得。 4. d i=c i+1−c i 6ℎi ，由插值条件四 可得。
第三讲三次样条函数分析
第三讲三次样条函数分析 在数学和计算机科学中，样条函数是一种常见的插值方法，用于构建一个平滑而连续的曲线来穿过一系列离散的数据点。其中，三次样条函数是最常见的一种样条函数类型。在本文中，我们将详细介绍三次样条函数的原理、方法和应用。 一、三次样条函数的原理及定义 三次样条函数是由一系列小区间的三次多项式组成的函数。这些小区间之间有一个平滑的连接条件，使得整个函数在连续、平滑的同时能够穿过给定的数据点。 具体地说，我们设想有n个数据点(xi, yi)，这些点按照自变量x的顺序排列。则三次样条函数S(x)可以表示为： S(x) = S_i(x), (xi <= x < xi+1) 其中，S_i(x)是第i个小区间上的三次多项式，其形式为： S_i(x) = a_i + b_i(x - xi) + c_i(x - xi)^2 + d_i(x - xi)^3需要注意的是，在每个小区间上，三次样条函数满足以下条件： 1. S_i(xi) = yi ，即样条函数必须通过给定的数据点； 2. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内是三次多项式，二阶导数连续，即 S_i''(x)是一个连续的函数； 3. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内的一阶导数也是连续的。 这些条件将确保样条函数在整个区间上是连续、平滑的，并且能够穿过给定的数据点。
二、三次样条函数的构造方法 为了构造三次样条函数，我们可以使用不同的方法。其中，最常用的方法是自然边界条件和固定边界条件。 1. 自然边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的二阶导数为0，即S''(x0) = S''(xn) = 0。这意味着在数据点的首尾之外，样条函数在边界处是一条平直线。使用这种方法可以得到唯一解。 2. 固定边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的一阶导数等于给定值。例如，如果我们希望样条函数在首尾两点处的斜率分别为m0和mn，则我们可以得到以下等式：S'(x0) = m0 和 S'(xn) = mn。这种方法可以用于控制曲线的斜率。 在构造样条函数时，可以将问题转化为一个线性方程组，并使用线性代数中的解法来求解。常用的方法有三对角矩阵法和Thomas算法。利用这些方法可以高效地解决潜在的大规模问题。 三、三次样条函数的应用 三次样条函数广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、物理学等。以下是一些常见的应用领域： 1.数据插值：三次样条函数可以通过插值方法来穿过一系列离散数据点，从而生成一条平滑的曲线。这在计算机图形学、数据可视化等领域非常有用。 2.曲线拟合：通过选择合适的数据点和边界条件，可以使用三次样条函数来拟合具有连续性和平滑性要求的曲线。例如，在线性回归中，可以使用三次样条函数来逼近数据，从而得到更准确的拟合结果。
matlab对离散点的三次b样条最小二乘法拟合
在进行matlab对离散点的三次b样条最小二乘法拟合时，我们首先 需要了解什么是离散点、三次b样条和最小二乘法。我们将深入探讨matlab在这一过程中的应用和优势，以及三次b样条最小二乘法拟合在实际应用中的意义和局限性。 1. 离散点的概念： 离散点指的是在一定范围内且有限个数的点，相对于连续函数而言。 离散点通常通过有限的数据集来表示，应用广泛，如实验数据、传感 器采集的数据等。在实际应用中，我们经常需要对离散点进行分析、 拟合和预测，以揭示数据背后的规律和趋势。 2. 三次b样条的概念： 三次b样条是一种数学曲线，它由一些特定的节点和曲线段组成，具 有平滑性和高度可控性。在数据拟合中，三次b样条可以灵活地适应 不同形状的数据集，并且对噪声具有一定的鲁棒性。三次b样条可以 通过插值或最小二乘法进行拟合，以满足不同的数据拟合需求。 3. 最小二乘法的概念： 最小二乘法是一种数学优化方法，用于求解线性方程组中的最小平方 和解。在数据拟合中，最小二乘法常用于寻找最优的拟合曲线或曲面，以最大程度地减小实际观测值和拟合值之间的误差。最小二乘法能够 有效地处理包含噪声的数据，并且在拟合过程中可以灵活地控制模型 的复杂度。
在matlab中，我们可以利用其强大的数值计算和优化工具，结合三次b样条和最小二乘法，实现对离散点的高质量拟合。我们可以通过编 写matlab代码，对离散点进行数据预处理，包括去除异常值、填充缺失值等。我们可以使用matlab提供的三次b样条插值函数或自定义 函数，对数据进行曲线拟合。我们可以利用matlab内置的最小二乘法优化器，对拟合曲线的参数进行优化，以得到最优的拟合结果。 三次b样条最小二乘法拟合在实际应用中具有重要意义。它可以帮助 我们挖掘离散数据背后的潜在规律和趋势，为实验数据分析和预测提 供依据。利用三次b样条最小二乘法拟合，我们可以对数据进行平滑 处理，减少噪声和异常值的影响，提高数据拟合的准确性和稳定性。 三次b样条最小二乘法拟合还可以帮助我们进行数据内插和外推，填 补数据缺失的部分，并且具有很好的数学性质和通用性。 然而，三次b样条最小二乘法拟合也存在局限性。拟合结果受到样本 数据质量和数量的限制，当样本数据较少或受到严重噪声干扰时，拟 合效果可能不理想。三次b样条最小二乘法拟合需要事先确定节点的 位置和数量，这对于某些数据集而言可能是一个挑战。三次b样条最 小二乘法拟合的数学原理和参数调整可能对非专业人士来说较为复杂，需要一定的数学和编程基础。 在总结回顾本文时，我们深入探讨了matlab对离散点的三次b样条
样条函数(三次样条)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。 1. 三次样条曲线原理 假设有以下节点 1.1 定义 样条曲线是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件： a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。 b. 满足（i = 0, 1, …, n ） c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。 所以n个三次多项式分段可以写作： ，i = 0, 1, …, n-1 其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。 1.2 求解 已知: a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n b. 每一分段都是三次多项式函数曲线 c. 节点达到二阶连续 d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界） 根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。 插值和连续性： , 其中i = 0, 1, …, n-1 微分连续性：
, 其中i = 0, 1, …, n-2 样条曲线的微分式： 将步长带入样条曲线的条件： a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 由此可得： d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 设，则 a. 可写为：
，推出 b. 将ci, di带入可得： c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得： 端点条件 由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。 a. 自由边界(Natural) 首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。具体表示为和 则要求解的方程组可写为： b. 固定边界(Clamped) 首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
python 三次样条曲线拟合
python 三次样条曲线拟合 三次样条曲线拟合是一种利用三次多项式来逼近一组数据的方法。它在数据不光滑或不连续的情况下能够产生一个平滑的曲线。在 Python中，有多种方法可以实现三次样条曲线拟合，例如利用SciPy 库中的interpolate模块或使用numpy.polyfit函数。下面将介绍这 两种方法的基本原理和具体实现过程。 一、基本原理 三次样条曲线拟合的基本原理是通过使用多个三次多项式来逼近 一组数据，使得拟合的曲线在每个数据点处与原始数据相切且平滑。 这意味着在每个数据点的一阶导数值相等，从而保证了曲线的平滑特性。 为了实现这一点，我们可以将原始数据分成多个小段，每一段对 应一个三次多项式。这样，我们只需确定每一段的系数，即可拟合出 整个曲线。 二、SciPy库的interpolate模块
SciPy是一个强大的科学计算库，其中的interpolate模块提供了许多插值和拟合的函数。在进行三次样条曲线拟合时，我们可以使用interp1d函数来实现。 具体步骤如下： 1.导入必要的库 ```python import numpy as np from scipy.interpolate import interp1d import matplotlib.pyplot as plt ``` 2.准备数据 ```python x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5]) #自变量数据 y = np.array([1, 2, 1, 0, 1, 2]) #因变量数据 ```
3.使用interp1d函数进行拟合 ```python f = interp1d(x, y, kind='cubic') # cubic表示三次样条插值 ``` 4.生成插值点 ```python x_new = np.linspace(0, 5, num=100) #生成100个均匀分布的插值点 y_new = f(x_new) #计算插值点的纵坐标值 ``` 5.绘制拟合曲线和原始数据 ```python plt.plot(x, y, 'o', label='原始数据') #绘制原始数据点 plt.plot(x_new, y_new, '-', label='拟合曲线') #绘制拟合曲线
基于三次B样条曲线拟合的主车轨迹预测算法的研究
基于三次B样条曲线拟合的主车轨迹预测算法的研究 作者：邓琬云曲延羽杨子钰林智桂廖尉华 来源：《汽车与驾驶维修（维修版）》2021年第11期
中图分类号：U463.6 文献标识码：A 0引言 自适应巡航控制功能（Adaptive Cruise Control，简称ACC）是利用摄像头、雷达等传感器识别周围环境，从前方众多目标中选择一个有效目标，作为本车需要跟随的目标。然后系统通过控制驱动和制动系统调整车速，使本车和有效目标之间保持一定的安全距离，从而达到提升车辆主动安全能力和舒适性的目的。 ACC功能的系统框架如图l所示，其中，选择有效目标模块、速度控制模块及距离控制模块皆由选择有效目标模块决定。当选择有效目标模块检测到前方探测范围内不存在有效目标时，则按照驾驶员设定的巡航速度进行定速控制;当选择有效目标模块检测到前方存在有效目标时，则按照驾驶员设定的安全距离进行跟随控制。通常选择有效目标的策略是预测主车行驶轨迹，在预测轨迹上选择较近目标作为前方有效目标。所以，主车轨迹预测算法是ACC功能中识别前方有效目标的重要环节。 1主车轨迹预测算法介绍 当前常用的主车轨迹预测算法包括定曲率识别算法、基于前方目标拟合车道线算法和基于前方目标和主车轨迹分两段预测主车行驶轨迹算法等。定曲率识别算法计算简单，它将当前车头所指方向作为主车预期行驶轨迹，此方法导致主车行驶在弯道时会存在严重的误差。基于前方目标拟合车道线算法是将前方不同目标的运动轨迹进行融合得到主车预期行驶轨迹，但在交
叉路口、车辆换道等复杂工况下，不能体现出很好的适应性。用两段回旋線预测主车行驶轨迹的算法是将主车预期轨迹分为两段，近端由主车行驶轨迹的历史状态拟合得出，远端由前方车辆行驶轨迹的历史状态拟合得出，该方法的预测准确性较高，但由于要充分保证分段点处的曲率一致性，分段点较难选取。 上述算法普遍使用主车行驶轨迹和目标轨迹对主车预期行驶轨迹进行拟合，但忽略了在行驶过程中车道信息对预期轨迹的影响。因此，本文基于分两段预测主车行驶轨迹的算法，提出了采用三次B样条曲线对主车预期行驶轨迹进行拟合的方法，以达到提高运算效率、提升ACC性能的目的。 2基于曲线拟合的主车轨迹预测算法 本文提出的主车轨迹预测算法模型架构如图2所示。将摄像头、雷达和底盘读取的信号分别用于计算车道中心线、识别前方目标运动轨迹及拟合主车行驶轨迹，在轨迹离散模块中将计算出的路径和轨迹进行离散化处理，在轨迹融合模块中引入距离权重的概念对3条轨迹线进行融合处理，最后用三次B样条曲线拟合主车预期行驶轨迹。 图3描述了轨迹融合模块中进行融合操作的3种情况，即根据轨迹和路径的有效性，选择有效的轨迹或路径进行融合。为了保证主车行驶轨迹和本车道或者前方目标运动轨迹的方向一致，需先判断所选择的有效轨迹或路径是否皆同号，如果同号则对轨迹进行融合，否则不进行融合。为了保证预期行驶轨迹可以包含所有潜在有效目标，预期行驶轨迹的长度应为主车到有效目标的纵向距离。但在有效目标不存在的情况下，选择用车道中心线的长度作为预期行驶轨迹的长度，保证预期行驶轨迹参数的完整性。 在融合过程中，将同一时间戳上依据图3描述的3种融合情况，选取轨迹线的离散点作为融合对象。使用2条有效轨迹进行融合的公式如下： 式中k——步长 W——权重，权重的大小为预期轨迹长度的倒数 （x1，y1）、（x2，y2）——同一时间戳上离散点的坐标 （x，v）——融合点的坐标 当使用主车行驶轨迹、前方目标运动轨迹和车道中心线三者进行融合时，应优先保证主车在本车道上行驶，故使用车道中心线和主车行驶轨迹的离散点代入式（1）进行计算。然后将融合之后的点（x，y）作为（x1，y1），将前方目标运动轨迹的点（x2，y2）代入式（2）进行计算，即可得到最终规划轨迹上的点（x，y）。
三次样条拟合
设计目的、要求对龙格函数 1 125x2在区间[-1,1]上取n10的等距节点，分别作多项式插值、 f(x) 三次样条插值和三次曲线拟合，画出f(x)及各逼近函数的图形，比拟各结果。 设计原理〔1〕多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即： x0,x1,...,x n表示待插值函数的n 1个节点，n L n(x j)y k l k(x j)y j，其中j0,1,...,n； k0 l k(x) (xx0)...(x x k1)(xx k1)...(xx n) x0)...(x k x k1)...(x k x k1)...(x k x n) (x k 〔2〕三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数的插值方法：S'(x0)f'0 S'(x n) f'n 〔3〕三次曲线拟合：此题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与数据之间的距离的平方和最小。在此题中，n=10，故有11个点，以这11个点的x和值为数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为p xi a4a3x i a2x i2 ax i3，该拟合曲线只需[p xi y i]2的值最小即可。 3采用软件、设备 计算机、matlab软件
设计内容 1、多项式插值：在区间1,1上取n10的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。在matlab中建立一个文件，里面代码如下：%lagrange函数 functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~= kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end建立一个文件，用于多项式插值的实现，代码如下：%lagrange插值x=[-1:0.2:1];y=1./(1+25*x.^2);x0=[- 1:0.02:1];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y0,'--r')%插值曲线holdon%原曲线 plot(x0,y1,'-b') 运行文件，得到如下列图形：
三次B样条数据拟合的节点自适应选取算法的开题报告
三次B样条数据拟合的节点自适应选取算法的开题报告 1.研究背景 B样条曲线是一种经典的曲线拟合方法，在计算机图形学、计算机辅助设计、计算机辅助制造等领域得到广泛应用，同时也被应用于科学计算和数值分析中。在B样条曲线的拟合过程中，节点的选取对于拟合结果和计算效率都有很大的影响。因此，如何自适应地选取节点，使得节点数目少而能够保证拟合精度的问题已成为B样条拟合中的研究热点之一。 2.研究目的和意义 本文旨在探讨一种基于自适应节点选取算法的B样条拟合方法，使得节点数目可以根据拟合数据的特点进行自适应调整，保证拟合精度的同时有效降低计算复杂度。该方法可以在曲线拟合领域以及其他涉及到B样条曲线的应用中发挥重要作用，提高计算效率。 3.研究内容 本文将着重研究以下内容： （1）B样条曲线的基本原理和常用算法。 （2）常见的节点选取算法及其优缺点。 （3）一种基于自适应节点选取的B样条曲线拟合算法，并对算法进行数值实验和效果评价。 4.研究方法和技术路线 （1）通过文献调研和综述，了解B样条曲线的基本原理及其应用领域，收集和整理目前常见的节点选取算法以及其优缺点。 （2）提出一种基于自适应节点选取的B样条曲线拟合算法，通过适当的理论分析，系统性地讨论其有效性和可行性。 （3）在数值实验中，设计并实现该算法，通过对比实验数据和标准数据，分析算法的性能和效果。 （4）在上述的研究基础上，撰写出完整的开题报告，并为后续的研究工作打下坚实的基础。 5.预期结果和创新点
本文研究一种基于自适应节点选取的B样条曲线拟合算法，预期可以有效缩短拟合时间和提高拟合精度。此外，该算法有望减少计算资源的消耗，避免由于节点数目导致的计算复杂性难以控制的问题，具有一定的创新性。
三次b样条曲线rrt算法详解
三次b样条曲线rrt算法详解 三次B样条曲线是一种重要的曲线表示方法，在计算机图形学等领域被广泛应用。其 中rrt算法是一种基于三次B样条曲线的曲线拟合算法。下面将详细介绍rrt算法的原理 和实现过程。 1. 三次B样条曲线 三次B样条曲线是由一系列控制点构成的曲线，它是通过插值和逼近方法进行构造的。三次B样条曲线的定义如下： $$ C(t) = \sum_{i=0}^n P_iB_{i,3}(t) $$ 其中，$P_i$为控制点，$B_{i,3}(t)$为三次B样条曲线基函数。三次B样条曲线基函数的定义如下： $$ B_{i,3}(t) = \frac{1}{6}(\delta_{i,3}(t)+3\delta_{i,2}(t)+3\delta_{i,1}(t)+\delta_{i,0}(t)) $$ 其中，$\delta_{i,j}(t)$为Kronecker delta函数，定义如下： $$ \delta_{i,j}(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } t = j \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$ 三次B样条曲线在$t\in[0,n-2]$的区间上是具有两个连续二阶导数的光顺曲线，可以拟合各种形状的曲线，包括圆弧、椭圆、三角形、四边形等。 2. RRT算法 RRT（Rapidly-exploring Random Tree）算法是一种用于路径规划的随机采样算法。 该算法将搜索空间分为两个区域：障碍区域和自由区域。通过随机采样的方式，将自由区 域逐渐探索并建立一个尽可能大的树形结构。RRT算法的基本步骤如下：