二次型矩阵形式
二次型矩阵形式
二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。
首先，我们来定义二次型。给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：
Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2
其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：
Q(x)=x^TAx
其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。
接下来，我们来探讨二次型的性质。首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。
另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型
Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。
正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化
问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。
特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。给定一个二次型
Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，
使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对
应的特征值。特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的
性质。
矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩
阵A可对角化。对角矩阵D的对角线上的元素是矩阵A的特征值，P的列
向量是矩阵A的特征向量。对角化可以简化二次型的计算和分析，并且更
容易展示二次型的性质。
总结一下，二次型是通过矩阵表示的一个重要数学概念。我们可以通
过系数矩阵A来定义二次型，该矩阵是实对称矩阵。二次型具有很多重要
的性质，例如正定、负定、半正定和半负定。特征值和特征向量也与二次
型密切相关，它们可以帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。最后，
矩阵对角化是二次型的一个重要应用，它可以简化计算和分析过程。
二次型作为线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。它在优化问题、凸优化、最小二乘和信号处理等领域中有着重要的作用。深入理解和掌握
二次型及其矩阵形式对于学习和应用这些领域的数学知识都是至关重要的。希望本文能给读者提供一个清晰和详细的二次型矩阵形式的介绍，帮助读
者更好地理解和应用这一概念。
二次型定理
二次型定理 二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。 一、二次型的定义 在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。设有n 个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。二次型可以表示为： f(x) = x^TAx 其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。 二、二次型的矩阵表示 设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx 可以写成矩阵形式： f(x)=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} 整理得： f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j 将此式称为二次型的矩阵表示。 三、二次型定理 二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得： P^TAP = D
二次型的矩阵表示
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ? ??'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型 (或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( ) ()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++= . ),,,(),,,(212 122221 112 1121221122 22121121211121AX X x x x a a a a a a a a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =??? ? ? ? ? ????????? ??=? ?????? ??+++++++++= 其中 ?? ? ? ? ? ? ??=???? ?? ? ??=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 2 122221 1121121, . 称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩 阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系. 三、线性变换 定义2 关系式 ????? ??+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111 称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ?? ? ? ? ? ? ??=nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1222 21112 11 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换. 对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得 线性代数二次型 1 二次型与对称矩阵 一、 二次型及其矩阵 1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数： 22 2 12111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + 12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --+++ + 称为二次型。 为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为： 2 12111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =++ + 2 212122222n n a x x a x a x x ++++ + 2 1122n n n n nn n a x x a x x a x ++++ ,1 n ij i j i j a x x == ∑ 令1112 12122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则 12(,, ,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。 由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次 型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。 例1 设 3132212 322 2132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 第二章 2 试求二次型矩阵A . 解 111=a , 222=a , 333=a , 2 52112==a a , 273223==a a , 293113==a a . 于是得 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32 729272 25 29251A ，1123235912257(,,)2 2297322x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中 ⎪ ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=321x x x X . 求二次型AX X T 的矩阵. 解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X 3231212322 214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--223211311. 二、线性变换 1 标准形 定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。 显然：其矩阵为对角阵。 2 线性变换 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 第六章 二 次 型 I 重要知识点 一、二次型及其矩阵表示 1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n +a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。 2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵 A =?? ? ? ? ? ? ??nn n n n n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式： f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2122212 11211 ??? ?? ? ? ??n x x x 21=X T AX 其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。 二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了 一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。 3、线性变换 设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式 ?????? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由 x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。 线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵 C =?? ? ? ? ? ? ??nn n n n n c c c c c c c c c 2 1 22221 11211 则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式： X =CY 其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。 1) 当|C |≠0时，线性变换X =CY 称为非退化的线性变换。 2) 当C 是正交矩阵时，称X =CY 为正交线性变换，简称正交变换。 3) 线性变换的乘法。 设X =C 1Y 是由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 的非退化的线性变换，而Y =C 2Z 是由y 1，y 2，…，y n 到z 1，z 2，…，z n 的非退化的线性变换，则 二次型矩阵本质 摘要： 一、二次型矩阵的定义与性质 1.二次型矩阵的概念 2.二次型矩阵的性质 二、二次型矩阵的标准化 1.标准化方法 2.标准化后的矩阵形式 三、二次型矩阵的求解方法 1.配方法 2.初等变换法 3.求解二次型矩阵的逆矩阵 四、二次型矩阵的应用 1.最小二乘问题 2.矩阵的特征值与特征向量 正文： 二次型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有很多有趣的性质和广泛的应用。本文将围绕二次型矩阵的定义、性质、标准化、求解方法及其应用展开讨论。 首先，我们需要了解二次型矩阵的定义和性质。二次型矩阵是一个n 阶矩阵，其元素都是实数，并且满足矩阵的转置等于自身的性质。二次型矩阵有 很多重要的性质，如正定、半正定、负定和半负定等，这些性质在研究二次型矩阵的求解方法时具有很大的意义。 其次，我们来探讨二次型矩阵的标准化问题。二次型矩阵的标准化是将矩阵化为对角矩阵，这样可以方便我们研究矩阵的性质和求解线性方程组。二次型矩阵标准化后的矩阵形式为对角矩阵，其中对角线上的元素为矩阵的特征值。 接着，我们介绍二次型矩阵的求解方法。二次型矩阵的求解方法主要有配方法、初等变换法和求解二次型矩阵的逆矩阵。配方法是一种常用的求解二次型矩阵的方法，它可以通过配成完全平方的形式，将二次型矩阵化为一个容易求解的矩阵。初等变换法则是通过一系列的初等行变换将二次型矩阵化为对角矩阵。求解二次型矩阵的逆矩阵是另一种求解方法，它需要满足矩阵的正定或半正定条件。 最后，我们来看一下二次型矩阵在实际问题中的应用。二次型矩阵在最小二乘问题中有广泛的应用，通过最小化误差的平方和，可以得到最优的参数估计。此外，二次型矩阵还可以用于研究矩阵的特征值和特征向量，这对于研究矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。 综上所述，二次型矩阵在理论研究和实际应用中都具有重要意义。 二次矩陣方程 摘要： 1.二次矩阵方程的定义与概念 2.二次矩阵方程的求解方法 3.二次矩阵方程的应用与实际案例 正文： 一、二次矩阵方程的定义与概念 二次矩阵方程是指包含一个二次型矩阵和一个向量方程的数学表达式，通常表示为： Ax = B 其中，A 是一个n ×n 的矩阵，x 是一个n 维向量，B 是一个n 维向量。求解二次矩阵方程就是找到一个或多个满足该方程的向量x。 二、二次矩阵方程的求解方法 求解二次矩阵方程的方法有多种，其中最常用的方法有以下几种： 1.高斯消元法：这是一种将矩阵A 转化为阶梯形矩阵的方法，从而可以求解方程组的一种方法。通过高斯消元法，可以将二次矩阵方程转化为一个容易求解的形式。 2.矩阵分解法：矩阵分解法是将矩阵A 分解为两个矩阵的乘积，从而将二次矩阵方程转化为一个容易求解的形式。常用的矩阵分解方法有LU 分解、QR 分解等。 3.特征值与特征向量法：特征值与特征向量法是求解二次矩阵方程的另一种方法。通过求解矩阵A 的特征值和特征向量，可以将二次矩阵方程转化为 一个容易求解的形式。 三、二次矩阵方程的应用与实际案例 二次矩阵方程在实际问题中有广泛的应用，例如在物理、力学、计算机图形学等领域。以下是一个实际案例： 假设有一个物体在三维空间中运动，其运动方程可以表示为： Ax = B 其中，A 是一个3 ×3 的矩阵，表示物体的质点坐标；x 是一个3 维向量，表示物体的速度；B 是一个3 维向量，表示物体的加速度。求解该方程，可以得到物体的速度，从而进一步求解物体的运动轨迹。 综上所述，二次矩阵方程是一种重要的数学表达式，其在实际问题中有广泛的应用。 二次型变为标准型的变换矩阵 二次型的标准型是一个非常重要的概念，可以用来描述二次型的规范形式。通过变换矩阵，我们可以将一个任意的二次型变换为其标准型。本文将详细介绍二次型变为标准型的变换矩阵的性质和计算方法。 首先，我们先简要地回顾一下二次型的定义和一些基本性质。设有一个n元二次型f(\boldsymbol{x})，其中 \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T是一个n维向量，那么二次型可以表示为： f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^T A \ boldsymbol{x} 其中A是一个对称矩阵，称为二次型f(\boldsymbol{x})的矩阵。 二次型的标准型是指将二次型转化为一种特殊的形式，即只包含平方项，不包含交叉项（即各个变量的平方项和变量之间的乘积项）。对于二次型f(\boldsymbol{x})，其标准型可以表示为： f(\boldsymbol{x}) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \cdots + \lambda_n x_n^2 其中\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是标准型的特征值。 接下来，我们将介绍如何通过变换矩阵将一个任意的二次型转化为其标准型。假设P是一个可逆矩阵，即存在逆矩阵P^{-1}，那么我们可以定义一个新的二次型g(\boldsymbol{x})： g(\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y}^T D \boldsymbol{y} 其中D=P^T A P。由于P是可逆的，所以D也是一个对称矩阵。我们将D的对角线元素记为d_1, d_2, \cdots, d_n，则标准型为： 第六章二次型 6.3 基本内容 6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数 n n n x x x x x x x x x x f 11311321122 11121222),,,(αααα++++= 2222x α+ n n x x x x 22322322αα+++ + 2 n nn x α+ j i n i n j ij x x ∑∑=== 11 α (其中∈=ij ji ij αααR )， 称为n 个变量n x x x ,,,21 的二次型。 注若0=ij α（n j i j i ,,2,1,, =≠）则称f 为标准型。 (1) 矩阵形式Ax x x T =)(f 其中[]n n ij T n A x x x ?==)(,,,,21α x ，这里ji ij αα=，即A 为实对称矩阵。 注1 实对阵矩阵A 成为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。 注2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注3标准型的矩阵是对角阵。 6.3.2 与二次型的标准型有关的概念(1) 满秩线形变换 设[][]n n ij T n T n p y y y x x x ?===)(,,,,,,,,2121P y x 可逆，则称x=Py 为由 n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的满秩线形变换。 注若P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2) 合同矩阵 设A ，B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使 B AC C T = 则A 合同与B ，C 为合同变换阵。 注1 若C 为正交阵，满足B AC C T =，A 与B 既合同，又相似。注2 合同矩阵秩相等。 注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3) 对任一个二次型Ax x T f =，总可以通过满秩线形变换x=Py 化为 22 22211r r y d y d y d f +++== Ay P y T T 成为f 的标准型。其中r=r(A )，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注1 f 的标准型矩阵D=AP P T 与f 的矩阵A 合同。 注2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。注3 当1,111-======+r p p d d d d 时的标准型成为f 的规范型。其形式为 22122221r p p y y y y y ---++++ ，二次型的规范形是唯一的。 (4) 惯性律 对一个二次型Ax x T =f ，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方项前正系数个数p 和负系数个数r-p 都是唯一确定的，称p 为二次型的正惯性指数，r-p 为负惯性指数（其中r 为A 的秩），而p-（r-p ）称为符号差。 注两个n 个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 6.3.3 化二次型为标准型的方法 (1) 配方法对二次型 j i n 第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 教学目的：了解二次型的有关概念，理解矩阵的合同关系. 教学重点：二次型的有关概念. 教学难点：理解矩阵的合同关系. 教学内容： 一、二次型及其矩阵表示 设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式 ) 1(222),,,(2 222222112112211121n nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型. 定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,, (2) 称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成 ) 3(),,,(112 22112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=n i n j j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵二次型及其矩阵
线性代数二次型
二次型及其矩阵表示
二次型
二次型矩阵本质
二次 矩阵方程
二次型变为标准型的变换矩阵
第六章二次型
二次型及其矩阵表示